高考中常考的抽象函数问题的分类解析

抽象函数常见题型解法综述

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型

及解法评析如下：

一、定义域问题

例1. 已知函数)(2xf的定义域是［1，2］，求f（x）的定义域。

解：)(2xf的定义域是［1，2］，是指21x，所以)(2xf中的2x满足412x

从而函数f（x）的定义域是［1，4］

评析：一般地，已知函数))((xf的定义域是A，求f（x）的定义域问题，相当于已知))((xf中x的取值范围为A，据此求)(x的值域问题。

例2. 已知函数)(xf的定义域是]21[，，求函数)]3([log21xf的定义域。

解：)(xf的定义域是]21[，，意思是凡被f作用的对象都在]21[，中，由此可得4111)21(3)21(2)3(log11221xxx

所以函数)]3([log21xf的定义域是]4111[，

评析：这类问题的一般形式是：已知函数f（x）的定义域是A，求函数))((xf的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知)(x的值域B，且AB，据此求x的取值范围。例2和例1形式上正相反。

二、求值问题

例3. 已知定义域为R的函数f（x），同时满足下列条件：①51)6(1)2(ff，；②)()()(yfxfyxf，求f（3），f（9）的值。 解：取32yx，，得)3()2()6(fff

因为51)6(1)2(ff，，所以54)3(f

又取3yx

得58)3()3()9(fff

评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取32yx，，这样便把已知条件51)6(1)2(ff，与欲求的f（3）沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。

抽象函数问题—分类解析

一、分类解析抽象函数问题

我们在学习一类函数时，往往会碰到没有给出解析式的函数，称为抽象函数，而这类问题往往抽象性强，灵活性大，同学们在学习时往往感觉到很困惑，让我们和同学们一起来解决这类问题．

问题一：灵活思考会求函数定义域

例1：函数的定义域为，则函数的定义域是

分析：这里需要把看作一个整体来求解．

解：因为相当于中的，则，则可以解得或

．

评注：对于抽象函数的定义域问题，则一定要看清楚中的，或者说对于函数，则可以把其中的看作一个整体，问题就会迎刃而解．

问题二：条件赋值判断奇偶

例2：已知的定义域为，且对于任意的实数、满足，求证：是偶函数．

分析：本题中可设、为具体的值，可确定=时具体的值，再判断的奇偶性．

解：在中，令得到，则可以得到，

令，得到，则得到，于是

，则是偶函数．

评注：对于抽象函数的奇偶性，结合其特点，不妨取特殊值来解决．

问题三：利用图象判断单调性

例3：已知偶函数在上是减函数，问是在上是增函数还是减函数，并证明你的结论．

分析：本题可根据图形来结合该函数是偶函数且是减函数，画出函数的示意图，以形助数，使问题得到迅速地解决．

解：如图1，则容易知道是在上是增函数，证明如下：任取，

因为是在上是减函数，所以，又是偶函数，所以，

，从而，故在上是增函数．

评注：往往有很多关于函数的奇偶性和单调性的问题，则可以通过数形结合来解决．

图1

问题四：巧妙求解函数值

例4：已知的定义域为，且对一切正实数、都成立，若，则 ．

分析：本题可取特殊值代入即可解决问题．

解：在条件中，令，则得到，

则得到，又令，则得到，所以．

评注：实际上可通过紧扣已知条件进行迭代变换，经过有限次的迭代，发现函数具有周期性，则可以利用周期性巧妙解答．

问题五：讨论方程根的问题

例5：已知函数对一切实数都满足，并且方程有三个实数根，则这三个实数根之和是 ．

抽象函数问题的题型综述

抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它

是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对

教材也难以处理，而高考中又出现过这一题型，有鉴于此，本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型：

一 . 求某些特殊值

这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值

法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。

例 1 定义在 R上的函数 f ( x) 满足： f (x) f (4 x) 且 f (2 x) f ( x 2) 0 ，求

f ( 2000) 的值。

解：由 f (2 x) f ( x 2) 0 ，

以 t x 2 代入，有 f ( t ) f (t ) ，

f (x) 为奇函数且有 f (0) 0

又由 f ( x 4) f [ 4 ( x)]

f ( x)

f ( x)

f ( x 8)

f ( x 4)

f ( x)

故 f (x) 是周期为 8的周期函数，

f (2000) f (0) 0

例 2 已知函数 f (x) 对任意实数 x， y 都有 f ( x y) f ( x) f ( y) ，且当 x 0时，

f ( x) 0，f ( 1) 2，求 f ( x) 在 [ 2，1] 上的值域。

解：设 x1 x2

且 x1 ，x2 R ，

则 x2 x1 0 ，

由条件当 x 0时， f ( x) 0

f ( x2 x1 ) 0

又 f (x2 ) f [( x2 x1 ) x1 ]

f (x2 x1 ) f ( x1 ) f ( x1 )

f (x) 为增函数，

令 y x ，则 f ( 0) f ( x) f ( x)

又令 x y 0

常见抽象函数类型及解题策略

没有给出具体解析式的函数xfy，称为抽象函数。

抽象函数问题将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数、周期性等性质和图象集于一身，所以这类问题可以全面综合考查我们对于函数概念和性质的理解。

常见抽象函数类型 具体函数

cyfxfyxf（c为常数） bkxy

yfxfxyf xy

yfxfxyf xyalog

yfxfyxf xay

nxfxf（n为周期） xysin，xycos，xytan.

常用方法：①特殊值法，如1,1,0fff；②“凑”（转化）的方法；③同时借助于函数的单调性、奇偶性等性质.

例题：

一，cyfxfyxf型 （bkxy）

1，函数xf的定义域为R，Ryx,，有yfxfyxf；且当0)(0xfx时，，且21f，求xf在区间3,3上的最大值和最小值.

2，函数xf，Ryx,，满足条件yxfyfxf2；2)(0xfx时，；

53f，求不等式3222aaf的解.

二，yfxfxyf型 （xy）

3，函数xf，Ryx,，满足yfxfxyf，且00f，试判断xf的奇偶性.

三，yfxfxyf型 （xyalog）

4，已知xf的定义域为R，Ryx,，yfxfxyf.求证：xf是偶函数.

5，xf是定义在,0上的单调增函数，满足yfxfxyf，13f，

① 求1f； ② 若28xfxf，求x的取值范围.

四，yfxfyxf型 （xay）