2014年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析

2014年上海市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、填空题（共14题，满分56分）

1．（4分）（2014•上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是 ．

考点： 二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．

专题： 三角函数的求值．

分析： 由二倍角的余弦公式化简，可得其周期．

解答： 解：y=1﹣2cos2（2x）

=﹣[2cos2（2x）﹣1]

=﹣cos4x，

∴函数的最小正周期为T==

故答案为：

点评： 本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题．

2．（4分）（2014•上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•= 6 ．

考点： 复数代数形式的乘除运算．

专题： 数系的扩充和复数．

分析： 把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可．

解答： 解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位，

则（z+）•=

=（1+2i）（1﹣2i）+1

=1﹣4i2+1

=2+4

=6．

故答案为：6 点评： 本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查．

3．（4分）（2014•上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为

x=﹣2 ．

考点： 椭圆的简单性质．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 由题设中的条件y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程

解答： 解：由题意椭圆+=1，故它的右焦点坐标是（2，0），

又y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，

故得p=4，

∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2．

故答案为：x=﹣2

点评： 本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题．

4．（4分）（2014•上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为 （﹣∞，2] ．

考点： 分段函数的应用；真题集萃．

专题： 分类讨论；函数的性质及应用．

分析： 可对a进行讨论，当a＞2时，当a=2时，当a＜2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围．

解答： 解：当a＞2时，f（2）=2≠4，不合题意；

当a=2时，f（2）=22=4，符合题意； 当a＜2时，f（2）=22=4，符合题意；

∴a≤2，

故答案为：（﹣∞，2]．

点评： 本题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题．

5．（4分）（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为 2 ．

考点： 基本不等式．

专题： 不等式的解法及应用．

分析： 由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．

解答： 解：∵xy=1，

∴y=

∴x2+2y2=x2+≥2=2，

当且仅当x2=，即x=±时取等号，

故答案为：2

点评： 本题考查基本不等式，属基础题．

6．（4分）（2014•上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 arccos （结果用反三角函数值表示）．

考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

专题： 空间位置关系与距离．

分析： 由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角．

解答： 解：设圆锥母线与轴所成角为θ，

∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，

∴==3， 即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，

故圆锥的轴截面如下图所示：

则cosθ==，

∴θ=arccos，

故答案为：arccos

点评： 本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键．

7．（4分）（2014•上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是 ．

考点： 简单曲线的极坐标方程．

专题： 计算题；坐标系和参数方程．

分析：

由题意，θ=0，可得C与极轴的交点到极点的距离．

解答： 解：由题意，θ=0，可得ρ（3cos0﹣4sin0）=1，

∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ=．

故答案为：．

点评： 正确理解C与极轴的交点到极点的距离是解题的关键．

8．（4分）（2014•上海）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=（a3+a4+…an），则q=

．

考点： 极限及其运算．

专题： 等差数列与等比数列．

分析： 由已知条件推导出a1=，由此能求出q的值．

解答： 解：∵无穷等比数列{an}的公比为q，

a1=（a3+a4+…an）

=（﹣a1﹣a1q） =，

∴q2+q﹣1=0，

解得q=或q=（舍）．

故答案为：．

点评： 本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用．

9．（4分）（2014•上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是 （0，1）

．

考点： 指、对数不等式的解法；其他不等式的解法．

专题：

不等式的解法及应用．

分析： 直接利用已知条件转化不等式求解即可．

解答： 解：f（x）=﹣，若满足f（x）＜0，

即＜，

∴，

∵y=是增函数，

∴的解集为：（0，1）．

故答案为：（0，1）．

点评： 本题考查指数不等式的解法，函数的单调性的应用，考查计算能力．

10．（4分）（2014•上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）．

考点： 古典概型及其概率计算公式．

专题： 概率与统计．

分析： 要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，

再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案． 解答： 解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，

其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），

（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），

∴选择的3天恰好为连续3天的概率是，

故答案为：．

点评： 本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题．

11．（4分）（2014•上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b= ﹣1 ．

考点： 集合的相等．

专题： 集合．

分析： 根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．

解答： 解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a2，b2}，

则 ①或 ②，

由①得，

∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件．

若b=a2，a=b2，则两式相减得a2﹣b2=b﹣a，

∵互异的复数a，b，

∴b﹣a≠0，即a+b=﹣1，

故答案为：﹣1．

点评： 本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．

12．（4分）（2014•上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=

． 考点： 正弦函数的图象；两角和与差的正弦函数．

专题： 三角函数的图像与性质．

分析： 先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin（x+）的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x1，x2，x3最后相加即可．

解答： 解：sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）=a，

如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，

令sin（x+）=，x+=2kπ+，即x=2kπ，或x+=2kπ+，即x=2kπ+，

∴此时x1=0，x2=，x3=2π，

∴x1+x2+x3=0++2π=．

故答案为：

点评： 本题主要考查了三角函数图象与性质．运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题．

13．（4分）（2014•上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为 0.2 ．

考点： 离散型随机变量的期望与方差．

专题： 概率与统计．

分析： 设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得4分的概率为1﹣x，由此能求出结果．

解答： 解：设小白得5分的概率至少为x，

则由题意知小白得1，2，3，4分的概率为1﹣x，

∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，

E（ξ）=4.2，

∴4（1﹣x）+5x=4.2， 解得x=0.2．

故答案为：0.2．

点评： 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望的合理运用．

14．（4分）（2014•上海）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为 [2，3] ．

考点： 直线与圆的位置关系．

专题： 直线与圆．

分析： 通过曲线方程判断曲线特征，通过+=，说明A是PQ的中点，结合x的范围，求出m的范围即可．

解答： 解：曲线C：x=﹣，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且xP∈[﹣2，0]，

对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，

说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6，

∴m=∈[2，3]．

故答案为：[2，3]．

点评： 本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想．

二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分

15．（5分）（2014•上海）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（ ）

A． 充分非必要条件 B． 必要非充分条件

C． 充要条件 D． 既非充分又非必要条件

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．

专题： 简易逻辑．

分析： 根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．

解答： 解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，