高考数学压轴专题最新备战高考《坐标系与参数方程》真题汇编附答案解析
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新数学《坐标系与参数方程》试卷含答案
一、13
1．已知点,xy在圆22()(23)1xy++上，则xy的最大值是( )
A．1 B．1 C．21 D．21
【答案】C
【解析】
【分析】
设圆上一点2,3Pcossin,则1xysincos,利用正弦型函数求最值,即可得出结论
【详解】
设22(2)(3)1xy上一点2,3Pcossin,
则2312sin1214xycossinsincos,
故选：C
【点睛】
本题考查圆的参数方程的应用,考查正弦型函数的最值
2．点(,)满足223cos2sin6cos，则2的最大值为（ ）
A．72 B．4 C．92 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
将223cos2sin6cos化成直角坐标方程，则2的最大值为22xy 的最大值。
【详解】
223cos2sin6cos两边同时乘，化为22326xyx，得22332yxx，则2222211919369(3)22222xyxxxxx.由223302yxx…，可得02x剟，所以当2x时，222xy取得最大值4．
故选B
【点睛】
本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化以及利用二次函数求最值，属于一般题。
3．如图所示，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH……叫作“正方形的渐开线”，其中¶AE，¶EF，·FG，¶GH，……的圆心依次按,,,BCDA循环，则曲线AEFGH的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
分别计算»AE，»EF，»FG，¼GH的大小，再求和得到答案.
【详解】
根据题意可知，»AE的长度2，»EF的长度为，»FG的长度为32，¼GH的长度为2，所以曲线AEFGH的长是5.
【点睛】
本题考察了圆弧的计算，意在考察学生的迁移能力和计算能力.
4．221xy经过伸缩变换23xxyy后所得图形的焦距（ ）
A．25 B．213 C．4 D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
用x′，y表示出x，y，代入原方程得出变换后的方程，从而得出焦距．
【详解】
由23xxyy得2
3xxyy，代入221xy得22 149xy，
∴椭圆的焦距为29425，故选A．
【点睛】
本题主要考查了伸缩变换，椭圆的基本性质，属于基础题．
5．极坐标cos和参数方程12xtyt（t为参数）所表示的图形分别是
A．直线、直线 B．直线、圆 C．圆、圆 D．圆、直线
【答案】D
【解析】
由ρ＝cosθ得ρ2＝ρcosθ，∴x2＋y2＝x，即12x 2＋y2＝14.
它表示以1,02骣琪琪桫为圆心，以12为半径的圆．
由x＝－1－t得t＝－1－x，代入y＝2＋t中，得y＝1－x表示直线．
6．参数方程（为参数）所表示的图象是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由，得，代入，经过化简变形后得到曲线方程，但需注意曲线方程中变量、的符号，从而确定曲线的形状。
【详解】
由题意知将代入，得，
解得，因为，所以.故选：D。
【点睛】
本题考查参数方程与普通方程之间的转化，参数方程化普通方程一般有以下几种消参方法：①加减消元法；②代入消元法；③平方消元法。消参时要注意参数本身的范围，从而得出相关变量的取值范围。
7．在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为22162xy，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()36，射线M的极坐标方程为(0).设射线m与曲线C、直线l分别交于A、B两点，则2211OAOB的最大值为（ ）
A．34 B．25 C．23 D．13
【答案】C
【解析】
分析：先由曲线C的直角坐标方程得到其极坐标方程为221+2sin6，设A、B两点坐标为1,，2,，将射线M的极坐标方程为分别代入曲线C和直线l的极坐标方程，得到关于的三角函数，利用三角函数性质可得结果.
详解：∵曲线C的方程为22162xy，即2236xy，
∴曲线C的极坐标方程为221+2sin6
设A、B两点坐标为1,，2,，
联立221+2sin6，得221112sin6，同理得222cos163，
根据极坐标的几何意义可得22222212cos111112sin663OAOB
1+1cos21cos23sin23666，即可得其最大值为23，故选C.
点睛：本题考查两线段的倒数的平方和的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，充分理解极坐标中的几何意义以及联立两曲线的极坐标方程得到交点的极坐标是解题的关键，是中档题．
8．已知曲线T的参数方程2111xkykk（k为参数），则其普通方程是（）
A．221xy B．2210xyx C．221,01,0xxyxx D．21yx(0x) 【答案】C
【解析】
【分析】
由已知1xk=得1kx代入另一个式子即可消去参数k，要注意分类讨论。
【详解】
由题意1xkQ1kx代入211ykk得211yxx
221yxxx
①当0x时21yx
②当0x时21yx
综上221,01,0xxyxx
故选：C
【点睛】
本题考查曲线的普通方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想及分类讨论思想，是基础题．
9．设曲线C的参数方程为35cos()15sinxy为参数，直线l的方程310xy，则曲线C上到直线l的距离为52的点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
将圆C化为普通方程，计算圆心到直线l的距离，通过比较所求距离与52的关系即可得到满足条件的点的个数．
【详解】
化曲线C的参数方程为普通方程：223125xy，
圆心3,1到直线310xy的距离3115522d， 所以直线和圆相交，过圆心和l平行的直线和圆的2个交点符合要求，
与l平行且与圆相切的直线和圆的一个交点符合要求，故有3个点符合题意，
故选C
【点睛】
解决这类问题首先把曲线C的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系得出结论．
10．已知点N在圆224xy上，2,0A，2,0B，M为NB中点，则sinBAM的最大值为（ ）
A．12 B．13 C．1010 D．55
【答案】B
【解析】
【分析】
设(2cos,2sin)N，则(1cos,sin)M先求出AM的斜率的最大值，再得出sinNAM的最大值．
【详解】
解：设(2cos,2sin)N，则(1cos,sin)M，
sin0sin2tan1cos2cos34BAM„，
1sin3BAM„，
故选：C．
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．
11．已知实数x，y满足2212xy，则2222267xyxyx的最小值等于（ ）
A．625 B．627 C．63 D．962
【答案】D
【解析】
【分析】
设2cosx，siny，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．
【详解】
因为实数x，y满足2212xy„，
设2cosx，siny， 222222222|2||67||2cossin2||2cossin62cos7||sin|xyxyx2|cos62cos8|，
22cos62cos8(cos32)100Q恒成立，
222222|2||67|sincos62cos8962cos962xyxyx…，
故则2222|2||67|xyxyx的最小值等于962.
故选：D．
【点睛】
本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
12．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为2sin42a，曲线2C的参数方程为cossinxy（为参数，0剟）.若1C与2C有且只有一个公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．2 B．(2,2) C．[1,1) D．[1,1)或2
【答案】D
【解析】
【分析】
先把曲线1C，2C的极坐标方程和参数方程转化为直角坐标方程和一般方程，若1C与2C有且只有一个公共点可转化为直线和半圆有一个公共点，数形结合讨论a的范围即得解.
【详解】
因为曲线1C的极坐标方程为2sin,42a即222(sincos)222a
故曲线1C的直角坐标方程为：0xya.
消去参数可得曲线2C的一般方程为：221xy，由于0剟，故0y≥
如图所示，若1C与2C有且只有一个公共点，直线与半圆相切，或者截距11a
当直线与半圆相切时||122Olada
由于为上半圆，故02aa
