1 3.4 基本不等式：ab≤a＋b2 第2课时 基本不等式的应用
A级 基础巩固
一、选择题
1．若x＞0，则函数y＝－x－1x( )
A．有最大值－2 B．有最小值－2
C．有最大值2 D．有最小值2
解析：因为x＞0，所以x＋1x≥2.
所以－x－1x≤－2.当且仅当x＝1时，等号成立，故函数y＝－x－1x有最大值－2.
答案：A
2．下列命题正确的是( )
A．函数y＝x＋1x的最小值为2
B．若a，b∈R且ab>0，则ba＋ab≥2
C．函数x2＋2＋1x2＋2的最小值为2
D．函数y＝2－3x－4x的最小值为2－43
解析：A错误，当x<0时或≠1时不成立；B正确，因为ab>0，所以ba>0，ab>0，且ba＋ab≥2；C错误，若运用基本不等式，需x2＋22＝1，x2＝－1无实数解；D错误，y＝2－(3x＋4x)≤2－43.
答案：B
3．lg 9·lg 11与1的大小关系是( )
A．lg 9·lg 11＞1 B．lg 9·lg 11＝1
C．lg 9·lg 11＜1 D．不能确定
解析：lg 9×lg 11≤lg 9＋lg 1122＝lg 9922＜lg 10022＝222＝1.
答案：C 2 4．已知a，b∈R，且a＋b＝1，则ab＋1ab的最小值为( )
A．2 B.52 C.174 D．22
答案：C
5．已知a＝(x－1，2)，b＝(4，y)(x，y为正数)，若a⊥b，则xy的最大值是( )
A.12 B．－12
C．1 D．－1
解析：因为a⊥b，则a·b＝0，
所以4(x－1)＋2y＝0，所以2x＋y＝2，
所以xy＝12(2x)·y≤12·222＝12，
当且仅当2x＝y时，等号成立．
答案：A
二、填空题
6．设x>－1，则函数y＝（x＋5）（x＋2）x＋1的最小值是________．
2025年高考数学复习讲义及练习解析
1第二节基本不等式课标解读考向预测
1.掌握基本不等式ab≤a＋b
2(a，b>0)，了解
其证明过程.
2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的
最大值或最小值问题.基本不等式是高考考查的重点，基本不等式
具有将“和式”转化为“积式”及将“积式”转化
为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大
小或证明不等式．从近几年高考来看，基本
不等式考查的内容、频率、题型难度均变化
不大，2025年备考仍以选择题、解答题为主，重点关注利用基本不等式进行大小判断、与
解三角形、圆锥曲线、导数等知识相结合求最值或求取值范围的问题.
必备知识——强基础
1．基本不等式：ab≤a＋b
2.
(1)基本不等式成立的条件：01a>0，b>0．
(2)等号成立的条件：当且仅当02a＝b时，等号成立．
(3)其中03a＋b
2叫做正数a，b的算术平均数，04ab叫做正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b205
≥2ab(a，b∈R)．
(2)b
a＋a
b06
≥2(a，b同号)．
(3)ab07≤a＋b
22
(a，b∈R)．
(4)a2＋b2
208
≥a＋b
22
(a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为09a＝b．
3．利用基本不等式求最值2025年高考数学复习讲义及练习解析
2(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，
那么当10x＝y时，和x＋y有最小值112P．(简
记：积定和最小)
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，
那么当12x＝y时，积xy有最大值131
4S2．(简
记：和定积最大)
注意：(1)利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”，其中“一正”指正数，
“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．
(2)形如y＝x＋a
x(a>0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函
数的单调性求解．
1．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件要一致．
基本不等式测试题
A组
一．填空题(本大题共8小题；每小题5分；共40分)
1.若xy>0；则xyyx的最小值是 。
1.2.提示：xyyx≥2xyyx=2.
2. 已知a；b都是正数；则 错误!、错误!的大小关系是 。
2.错误!≤错误!。提示：平方作差；利用a2+b2≥2ab可得。
3.若x＋y＝4；x＞0；y＞0；则lgx＋lgy的最大值是 。
3.lg4.提示：lgx＋lgy=lgxy≤lg(2xy)2=lg4.
121(0,0),mnmn则mn的最小值是
4. 22。提示：1221222mnmnmn。
5.已知：226xy； 则 2xy的最大值是＿＿＿
： 6 = 22xy≥2·22xy； ∴22xy≤9 。
故2xy的最大值是9；此时x=y=2log3。
6 某公司租地建仓库；每月土地占用费y1与车库到车站的距离成反比；而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比；如果在距车站10公里处建仓库；这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元；那么要使这两项费用之和最小；仓库应建在离车站__________公里处
由已知y1=x20；y2=0 8x(x为仓库与车站距离)；
费用之和y=y1+y2=0 8x+ x20≥2xx208.0=8；当且仅当0 8x=x20即x=5时“=”成立。
7.已知正数xy、满足3xyxy；则xy的范围是 。
7.[9,)。提示：由0,0xy；则3xyxy32xyxyxy；即2()230xyxy解得13xyxy(舍)或；当且仅当3xyxyxy且即3xy时取“=”号；故xy的取值范围是[9,)。
8. 给出下列命题：
①a；b都为正数时；不等式a+b≥2ab才成立。 ②y=x+1x的最小值为2。
高一数学必修一第二章第二课基本不等式
摘要：
1.必修一第二章第二课：基本不等式
2.基本不等式的定义和性质
3.基本不等式的推导和证明
4.基本不等式的应用实例
5.总结与展望
正文：
【1.必修一第二章第二课：基本不等式】
在高一数学必修一的第二章中，我们迎来了第二课的内容：基本不等式。这一课是整个高中数学中非常重要的一部分，它将为我们后续的学习打下坚实的基础。那么，什么是基本不等式？它又有哪些重要的性质、推导和应用呢？让我们一起来学习。
【2.基本不等式的定义和性质】
基本不等式，又称柯西不等式，是指对于任意实数 a1, a2, b1, b2，都有
(a1b1 + a2b2)^2 ≤ (a1^2 + a2^2)(b1^2 + b2^2) 成立。我们可以通过平方的方法来判断这个不等式是否成立。如果 (a1b1 + a2b2)^2 = (a1^2 +
a2^2)(b1^2 + b2^2)，则称这个不等式取等号。
基本不等式具有以下几个重要的性质：
(1) 对称性：对于任意实数 a1, a2, b1, b2，都有 (a1b1 + a2b2)^2 ≤
(a1^2 + a2^2)(b1^2 + b2^2) 成立。 (2) 传递性：如果对于实数 a1, a2, b1, b2，都有 (a1b1 + a2b2)^2 ≤
(a1^2 + a2^2)(b1^2 + b2^2) 成立，那么对于实数 c1, c2, d1, d2，也都有
(c1d1 + c2d2)^2 ≤ (c1^2 + c2^2)(d1^2 + d2^2) 成立。
(3) 等号成立条件：当且仅当 a1b1 = a2b2 时，不等式取等号。
【3.基本不等式的推导和证明】
基本不等式的推导过程比较简单。首先，我们可以将 (a1b1 + a2b2)^2
展开，得到 a1^2b1^2 + 2a1a2b1b2 + a2^2b2^2。然后，我们将这个式子与 (a1^2 + a2^2)(b1^2 + b2^2) 进行比较，可以发现它们是相等的。因此，我们得到了基本不等式。
