九年级上数学第一单元一元二次方程

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第一讲 :一元二次方程和用配方法解一元二次方程

一、一元二次方程

1. 一元二次方程的观点：等号两边都是 整式，只含有 一个未知数 （一元），而且未知数的最高次数 是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2. 一元二次方程的一般形式： ax2 bx c 0(a 0)

ax 2 ：二次项 a ：二次项系数

bx ：一次项 b ：一次项系数

c ：常数项 注：一元二次方程应同时知足三条 （ 1）是整式；

（ 2）只含有一个未知数；

（ 3）未知数的最高次数是 2；

（ 4）二次项的系数不为 0。

例 1：以下方程中，对于 x 的一元二次方程是（）

A．（ x 1）(x 2) 1 B．

x 2 1 0 C．

ax 2 ．

3x 2

2xy 5 y 2

0 x2 bx c 0 D

例 2：把以下方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数，一次项系数和常数项（1）（ 2 t +3） 2-2 （ t -5 ）2 =41

（2） x2 x 1 x 1

3 2 2

例 3：对于 x 的方程 (m 1) x2 (m 1) x 3m 2 0 , 当 m 时为一元一次方程；当 m

时为一元二次方程。

3. 一元二次方程的解（根）：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。

例 4：（ 17 年元调 第 1 题）在数 1， 2，3 和 4 中，是方程 x2＋ x－ 12＝0 的根的为（ ）

A． 1． B ．2． C ．3． D ．4．

例 5：已知 1 是对于 x 的一元二次方程 m 1 x2 x 1 0 的一个根，则 m 的值是

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4. 对于一元二次方程根的重要结论

（1）若 a b c 0 ，则一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 必有一个根是 x 1 ；反之

也建立，即若 x 1 是一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的一个根，那么

a b c 0 。

（2）若 a b c 0 ，则一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 必有一个根是 x 1 ；

a b c 0 。

（3）若 c 0 ，则一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 必有一个根是 x 0 ；反之也建立，

即若 x 0 是一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的一个根，那么 c 0 。

例 6：若方程 ax2 bx c 0 ( a 0) 中， a, b, c 知足 a b c 0 和 a b c 0 ，则方程

的根是（ ）

（A） 1， 0 （ B） -1 ，0 （ C） 1， -1 （ D）没法确立

例 7：一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的一个根是 1，且 a 、 b 知足等式

b a 22 a 1，求此一元二次方程

例 8：已知对于 x 的方程（ m 1） x2 ( 2m 1) x m 0

（ 1）假如对于 x 的一元一次方程，求 m 的值。

（ 2）假如对于 x 的一元二次方程，求 m 的取值范围。

二、解一元二次方程

1. 用直接开平方法解一元二次方程

（ 1）形如（

x a 2 ( 0) 的一元二次方程合用于直接开方法，其根为

x a b 。 ）

b b

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（ 2）直接开平方法的步骤为：先把方程化成 （ x 2

b 的形式，再开平方。 a）

2

例 9：解方程：（2x 1） 5

2. 用配方法解一元二次方程

（1）理论依照：利用完整平方公式 a2 2ab b2 ( a b) 2 ，把一元二次方程转变

2

为（ x a） b(b 0) 的形式，再用直接开方法求方程的解。

（2）用配方法解一元二次方程的步骤

①假如一元二次方程的二次项系数 a 不是 1，就先将方程两边同除以 a ，使方程的二

次项系数化 1；

②把常数项移到方程的右侧

③凑完整平方， 常数项是一次项系数一半的平方。

④假如右侧是非负实数，用直接开方法解出方程的解。

例 10：（ 15 年元调 第 8 题）用配方法解方程 x2 +10x+9 =0 ，以下变形正确的选项是（ ）

A． (x+5) 2=16. B ． (x+10) 2=91. C ． (x-5) 2=34. D ． (x+10) 2=109

3. 用配方法的应用

(1) 用配方法解方程

例 11：用配方法解方程：（ 1） x2 4x 1 0 （ 2） 2x2 4x 6

(2) 求字母的值

例 12：已知 a2 ＋b2＋ 4a－ 2b＋ 5＝ 0，则 3a2＋ 5b2－4 的值为

例 13：若代数式 9x2 kxy y2 表示一个完整平方式，则 k 的值为

(3) 证明字母相等

例 14：已知 a、b、 c 是△ ABC的三边，且知足 a2 b2 c 2 ab bc ac 0, 判断这

个三角形的形状．

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例 15：已知 3 a 2 b 2 c2 a b c 2 ，求证： a b c

(4) 比较大小

例 16： 若代数式

M 10 2

b 2 7

a 8,

N a 2

b 2 5 1, 则 M-N的值 ( )

a a

A. 必定是负数 B. 必定是正数 C. 必定不是负数 D.必定不是正数

例 17：已知 a、b 知足等式 x a2 b2 20 ， y 4 2b a ，则 x，y 的大小关系是 （ ）

A． x y B． x y C． x y D． x y

(5) 证明朝数式非负

2 2 2 2

的值 例 18：m+n +4m-2n+5=0，求 3m+5n -4

例 19：求证：不论 x 为何值，多项式 2x2 4x 1的值总比 x2 6x 6 的值大

(6) 求代数式的最值（求最大值或最小值 , 一定将它们化成 y a x b 2 c 的形式 , 而后再判

断, 当 a＞ 0 时 , 它有最小值 c; 当 a＜ 0 时 , 它有最大值 c. ）

例 20：利用配方法求 y 2x2 4 x 7 的最大值或最小值 .

例 21：求多项式 x2 3x 1的最小值

例 22：求多项式 2x2 5x 3 的最大值

（7）证明完整平方数

例 23：已知 9x2＋ 18( n－1) x＋ 9n2＋ n 是完整平方式，求常数 n 的值．

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第一讲：课后习题

一、选择题

1. 以下方程中，对于 x 的一元二次方程是（ ）

A．（ x 1）(x 2) 1 B. x 2 1 0 C． ax 2 bx c 0 D． 3 2 2 xy 5 y 2 0

x2 x

2. （ 16 年元调 第 1 题）将方程 x2 8x 10 化为一元二次方程的一般形式，此中二次项系

数为 1，一次项系数、常数项分别是（ ）

A．－ 8、－ 10 B．－ 8、 10 C． 8、－ 10 D． 8、10

3. 若 ax2 5x 3 0 是对于 x 的一元二次方程，则不等式 3a 6 0 的解集是（ ）．

A． a2 B ． a2 C ． a2 且 a 0 D ． a 1

2

4. 用配方法将二次三项式 a2-4a+5 变形，结果是（ ）

A ．（ a-2 ） 2

B 2 2 2

+1 ．（ a+2） -1 C ．（ a+2） +1 D ．（ a-2 ） -1

5. 不论 x、y 为何实数，代数式 x2+y2+2x-4y+7 的值（ ）

A．总不小于 2 B ．总不小于 7

C．可为任何实数 D ．可能为负数

二、填空题

6. 用适合的数填空：

2

= （ x+ 2 2

= （x－ 2

①、 x +6x+ ） ； ②、 x － 5x+ ） ；

③、 x2+ x+ = （ x+ ） 2； ④、 x2－ 9x+ = （x－ ） 2

7. 若方程（ m2 -1)x 2+x+m=0是对于 x 的一元二次方程，则 m的取值范围是

8. 已知 x 2 2xy y2 6 x 6 y 9 0 ，则 x y 的值为

9. 若 x2 2(m 3) x 9 是一个多项式的平方，则 m =

10. 若代数式 9x2 kxy y2 表示一个完整平方式，则 k 的值为

三、解答题

11. 解方程：

x2 +2x -3=0 （15 年元调 第 17 题） x2－ 5x＋ 3＝ 0（ 17 年元调 第 17 题）

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