高考安徽卷理科数学详细解析版

2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数学（理科）

第Ⅰ卷（选择题 共50分)

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 设i是虚数单位，复数aii为纯虚数，则实数a为

（A）2 (B) 2 (C)  (D) 

【答案】A

【解析】法一：()aiiaiaaiiii为纯虚数，所以,aa；

法二：设aibii得aibbi，所以,ba ；

法三：iaiaiii为纯虚数，所以a，答案为A；

（2） 双曲线xy的实轴长是

（A）2 (B) (C) 4 (D) 4

【答案】C

【解析】双曲线方程可变为xy，所以,aa,实轴长a。

（3） 设()fx是定义在R上的奇函数，当x时，()fxxx，则()f

（A） (B)  （Ｃ）１ （Ｄ）３

【答案】A

【解析】法一:fx是定义在R上的奇函数,且x时, ()fxxx

2112113ff,故选A.

法二:设0x,则0x,fx是定义在R上的奇函数,

且x时,()fxxx,2222fxxxxx,

又fxfx,22fxxx,212113f,故选A.

（４）设变量,xy满足1,xy则2xy的最大值和最小值分别为 （Ａ）１，－１ （Ｂ）２，－２ （Ｃ）１，－２ （Ｄ）２，－１

【答案】B

【解析】法一：特值验证：当0,1xy时，22xy,故排除A，C；当0,1xy时，22xy,故排除D，答案为B。

法二:画出不等式1,xy表示的平面区域，平移目标函数线，易知当直线2xyu经过点B，D时分别对应u的最大值和最小值，所以maxmin2,2uu。

法三：已知条件是含绝对值的不等式，所以目标函数的最大值和最小值一定互为相反数，易知0,1xy时，22xy，故选B

法四：绝对值不等式表示的区域是以(0,1),(1,0),(0,1),(1,0)为顶点的正方形，线性规划一定在顶点处取得最优解，带入目标函数计算可得最大值、最小值分别为2,2。

(5) 在极坐标系中，点 (,) 到圆2cos 的圆心的距离为

（A）2 (B) 249 (C) 219 （D) 3

【答案】D

【解析】极坐标(,)化为直角坐标：coscossinsinxy，即(1,3)

圆2cos的方程为222xyx即22(1)0xy，圆心到点(,)的距离为3。

(6)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

(A)48

(B)32817

(C)48817

(D)80

【答案】C

【解析】几何体是以侧视图等腰梯形为底面的直四棱柱，

所以该几何体的表面积为

12(24)4442421164488172S. (7)命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是

（A）所有不能被2整除的数都是偶数

（B）所有能被2整除的数都不是偶数

（C）存在一个不能被2整除的数都是偶数

（D）存在一个能被2整除的数不是偶数

【答案】D

【解析】全称命题的否定是特称命题，“所有”对于“存在一个”，同时否定结论，答案为D.

（8）设集合1,2,3,4,5,6,A4,5,6,7,8,B则满足SA且SB的集合S的个数为

（A）57 （B）56 （C）49 （D）8

【答案】B

【解析】法一：集合A的子集有6264个，满足SB的子集就是集合{1,2,3}的所有子集，一共有328个，所以集合S的个数为632264856。

法二：集合S是集合A的子集且至少含有集合{4,5,6}的一个元素，所以将S看作集合{4,5,6}的非空子集与集合{1,2,3}的子集的并集，因此一共有33(21)256个。

（9）已知函数()sin(2)fxx，其中为实数，若()()6fxf对xR恒成立，

且()()2ff，则()fx的单调递增区间是

（A）[,]()36kkkZ （B）[,]()2kkkZ

（C）2[,]()63kkkZ （D）[,]()2kkkZ

【答案】C

【解析】对xR时，()()6fxf恒成立，所以()sin()163f，

可得52266kk或，

因为()sin()sin()sin(2)sin2ff，故sin0，

所以526k，所以5()sin26fxx，

函数单调递增区间为5222262kxk，

所以2[,]()63xkkkZ,答案为C.

(10)函数()(1)mnfxaxx在区间[0,1]上的

图像如图所示，则,mn的值可能是

（A）1,1mn （B）1,2mn

（C）2,1mn （D）3,1mn

【答案】B

【解析】法一：当1,1mn时，

()(1)fxxx图像关于直线12x对称，所以A不可能；

当1,2mn时，232()2(1)242fxxxxxx，2()6822(31)(1)fxxxxx，所以max8()0.527fx，10.53，由图可知所以B可能；

当2,1mn时，232()(1)fxxxxx，2()32(32)fxxxxx，

所以max24()()0.5327fxf，20.53，所以C不可能；

当3,1mn时，343()(1)fxxxxx，322()43(43)fxxxxx，

所以max327()()0.54256fxf，30.54，所以D不可能。

法二：'1111()(1)(1)(1)[(1)]mnmnmnfxamxxanxxaxxmxnx

11(1)[()]mnaxxmmnx

令'()0fx得0,1,mxmn，结合图像，12mxmn是函数的极大值点，选项B符合。

第II卷（非选择题 共100分）

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.

（11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 .

【答案】15

【解析】第1次进入循环体有：00T，

第2次有：01T，

第3次有：012T，……

第n次有：012(1)Tn,

令(1)1052nnT，解得15n（负值舍去），

故16,n此时输出15k。 （12）设()xaaxaxax，则aa .

【答案】 0

【解析】,aa分别是含x和x项的系数，所以,aCaC，

所以aaCC。

（13）已知向量,ab满足()()abab，且1a，2b，则a与b的夹角为 .

【答案】3

【解析】设a与b的夹角为，依依题意有：22(2)()272cos6ababaabb，所以1cos=2，因为0，故=3.

（14）已知ABC 的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为_____________

【答案】153

【解析】不妨设角0120,Acb，则4,4abcb，

于是2220(4)(4)1cos1202(4)2bbbbb，解得=10b，所以01=sin1201532Sbc.

（15）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(,)xy为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点

②如果k与b都是无理数，则直线ykxb不经过任何整点

③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点

④直线ykxb经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数

⑤存在恰经过一个整点的直线

【答案】①③⑤

【解析】①正确，如直线122yx，不经过任何整点（10,2xy；0x，y是无理数）

②错误，直线22yx中k与b都是无理数，但直线经过整点（1,0）；

③正确，当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点；

④错误，当10,2kb时，直线12y不通过任何整点；

⑤正确，比如直线2yx只经过一个整点(0,0)。 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡的指定区域内。

（16）（本小题满分12分）

设21)(axexfx，其中a为正实数.

（Ⅰ）当34a时，求)(xf的极值点；

（Ⅱ）若)(xf为R上的单调函数，求a的取值范围

（16）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性之间的关系。求解一元二次不等式等基本知识，考查运算求解能力，综合分析和解决问题的能力。

解：对)(xf求导得222)1(21)(axaxaxexfx ①

（Ⅰ）当34a时，若0)(xf，则03842xx，解得21,2321xx

结合①，可知

x )21,( 21 )23,21( 23 ),23(

)(xf + 0 _ 0 +

)(xf ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

所以，231x是极小值点，212x是极大值点。

（Ⅱ）若)(xf为R上的单调函数，则)(xf在R上不变号，结合①与条件a>0，知

0122axax

在R上恒成立，因此0)1(4442aaaa，由此并结合a>0，知10a.