2015年安徽省高考数学试卷(理科)附详细解析

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2015年安徽省高考数学试卷（理科）

一.选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）

1．设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）

A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）

A． y=cosx B． y=sinx C． y=lnx D． y=x2+1

3．设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的（

）

A． 充分不必要条件 B．

必要不充分条件

C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件

4．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（ ）

A．

x2﹣=1 B． ﹣y2=1 C．

﹣x2=1 D． y2﹣=1

5．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）

A． 若α，β垂直于同一平面，则α与β平行

B． 若m，n平行于同一平面，则m与n平行

C． 若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线

D． 若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面

6．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（ ）

A． 8 B． 15 C． 16 D． 32

7．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）

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A． 1+ B．

2+

C． 1+2 D． 2

8．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（ ）

A．

||=1 B． ⊥ C． •=1 D． （4+）⊥

9．函数f（x）=的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）

A． a＞0，b＞0，c＜0 B． a＜0，b＞0，c＞0 C． a＜0，b＞0，c＜0 D． a＜0，b＜0，c＜0

10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（ ）

A． f（2）＜f（﹣2）＜f（0） B． f（0）＜f（2）＜f（﹣2） C． f（﹣2）＜f（0）＜f（2） D． f（2）＜f（0）＜f（﹣2）

二.填空题（每小题5分，共25分）

11．（x3+）7的展开式中的x5的系数是 （用数字填写答案）

12．在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值是 ．

13．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为

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14．已知数列{an}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{an}的前n项和等于 ．

15．设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是

（写出所有正确条件的编号）

①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．

三.解答题（共6小题，75分）

16．（12分）在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．

17．（12分）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．

（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）

18．（12分）设n∈N*，xn是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标

（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；

（Ⅱ）记Tn=x12x32…x2n﹣12，证明：Tn≥．

19．（13分）如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．

（Ⅰ）证明：EF∥B1C；

（Ⅱ）求二面角E﹣A1D﹣B1的余弦值．

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20．（13分）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为

（Ⅰ）求E的离心率e；

（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．

21．（13分）设函数f（x）=x2﹣ax+b．

（Ⅰ）讨论函数f（sinx）在（﹣，）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；

（Ⅱ）记f0（x）=x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣，]上的最大值D；

（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a0=b0=0，求z=b﹣满足条件D≤1时的最大值．

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2015年安徽省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一.选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）

1．

解：=i（1+i）=﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，

故选：B．

本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．

2．

解：对于A，定义域为R，并且cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；

对于B，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数，由无数个零点；

对于C，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；

对于D，定义域为R，为偶函数，都是没有零点；

故选A．

本题考查了函数的奇偶性和零点的判断．①求函数的定义域；②如果定义域关于原点不对称，函数是非奇非偶的函数；如果关于原点对称，再判断f（﹣x）与f（x）的关系；相等是偶函数，相反是奇函数；函数的零点与函数图象与x轴的交点以及与对应方程的解的个数是一致的．

3．

解：由1＜x＜2可得2＜2x＜4，则由p推得q成立，

若2x＞1可得x＞0，推不出1＜x＜2．

由充分必要条件的定义可得p是q成立的充分不必要条件．

故选A．

本题考查充分必要条件的判断，同时考查指数函数的单调性的运用，属于基础题．

4．

解：由A可得焦点在x轴上，不符合条件；

由B可得焦点在x轴上，不符合条件；

由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=±2x，符合条件；

由D可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=x，不符合条件．

故选C．

本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程的求法，属于基础题．

5.

解：对于A，若α，β垂直于同一平面，则α与β不一定平行，如果墙角的三个平面；故A错误；

对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行．相交或者异面；故B错误；

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对于C，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C错误；

对于D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D正确；

故选D．

本题考查了空间线面关系的判断；用到了面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理．

6．

解：∵样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，

∴=8，即DX=64，

数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的方差为D（2X﹣1）=4DX=4×64，

则对应的标准差为==16，

故选：C．

本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键．

7．

解：根据几何体的三视图，得；

该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，如图所示；

∴该几何体的表面积为

S表面积=S△PAC+2S△PAB+S△ABC

=×2×1+2××+×2×1

=2+．

故选：B．

本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．

8．

解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足=2，=2+，又，

所以，，

所以=2，=1×2×cos120°=﹣1，

4=4×1×2×cos120°=﹣4，=4，所以=0，即（4）=0，即

第7页（共14页） =0，所以；

故选D．

本题考查了向量的数量积公式的运用；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系．

9．

解：函数在P处无意义，由图象看P在y轴右边，所以﹣c＞0，得c＜0，

f（0）=，∴b＞0，

由f（x）=0得ax+b=0，即x=﹣，

即函数的零点x=﹣＞0，

∴a＜0，

综上a＜0，b＞0，c＜0，

故选：C

本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合定义域，零点以及f（0）的符号是解决本题的关键．

10．

解：依题意得，函数f（x）的周期为π，

∵ω＞0，

∴ω==2．（3分）

又∵当x=时，函数f（x）取得最小值，

∴2×+φ=2kπ+，k∈Z，可解得：φ=2kπ+，k∈Z，（5分）

∴f（x）=Asin（2x+2kπ+）=Asin（2x+）．（6分）

∴f（﹣2）=Asin（﹣4+）=Asin（﹣4+2π）＞0．

f（2）=Asin（4+）＜0

f（0）=Asin=Asin＞0

又∵＞﹣4+2π＞＞，而f（x）=Asin（2x+）在区间（，）是单调递减的，

∴f（2）＜f（﹣2）＜f（0）

故选：A．

本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，用诱导公式将函数值转化到一个单调区间是比较大小的关键，属于中档题．