2-4隐函数的导数和参数方程求导

1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 对 x 求导
y 1 1 1 1 1 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4



1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4
若参数方程 关系, 可导, 且
可确定一个 y 与 x 之间的函数
则
(t ) 0 时, 有
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 d x d x d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) dt (此时看成 x 是 y 的函数 )
4
因x=0时y=0, 故
例2. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y 3 3 y 3 y 3
2 2
3 3 故切线方程为 y 3 ( x 2) 2 4
第三章
第四节 隐函数和参数方程求导
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
若由方程 函数为隐函数 . 由 例如, 表示的函数 , 称为显函数 . 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
可确定 y 是 x 的函数 ,
但此隐函数不能显化 .
隐函数求导方法: 两边对 x 求导
x a cos t 确定函数 例5. 设由方程 （其中 为参数） y b sin t
t
y y ( x) , 求
x 1-sin 例6. 设由方程 （其中 为参数）确定函数 y cos

解: 方程两边对 x 求导
确定的隐函数
得 5y4 d y 2 d y 1 21x6 0 (*)
dx dx
因 x = 0 时 y = 0 , 故 代入(*)求解。
4
例3. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导
x 8
2 9
y
y
0
将点
代入
1 3 y 0 43
y x2 3
第四节
第二章
隐函数与参数方程求导
一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、由参数方程确定的函数的导数
1
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称
此函数为隐函数 .
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
exy1 x2 y y 1 0 可确定 y 是 x 的函数 ,
如 x 0 e y 1 0
若将直角坐标系中的原点取为极点，
把 x 轴的正半轴取为极轴。
设直角坐标系中点 M 的坐标 x, y 极坐标系中点M 的坐标 r,
r oM 称为极坐标的极径。
y
• M r,
ry
0x
x
0r
称为极坐标的极角。
0 2
由极轴出发逆时针方向为正。
两坐标系中变量间关系：xy
r r
cos sin
x 2 y 2 r 2
关系,
可导, 且
则
(t) 0时, 有
dy dx
dy dt d t dx
dy dt
1 dx
(t) (t )
(t) 0时, 有
dt
dx dx d t dy dt dy

多元函数的隐函数与参数方程求导隐函数求导是微积分中常用的求导方法之一，它用于求解含有多个未知变量的方程。

而参数方程则是将一个变量表示为另外两个变量的函数，通常用于描述曲线或曲面。

一、多元函数的隐函数求导对于一个含有多个未知变量的方程，如果我们无法将其中一个变量表达为其他变量的函数形式，就需要使用隐函数求导的方法。

以二维平面上的函数为例，假设有一个方程 f(x, y) = 0，我们想要求解关于y 的导数dy/dx。

首先，我们需要确保该方程存在一个解y=f(x)。

求解步骤如下：1. 对方程两边同时对 x 求导，得到：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx = 02. 将这个方程关于 dy/dx 进行变形，得到 dy/dx 的表达式：dy/dx = - (∂f/∂x) / (∂f/∂y)这样，我们就得到了多元函数隐函数的导数表达式。

二、多元函数的参数方程求导参数方程是将一个变量（通常为 t）表示为另外两个变量（通常为 x 和 y）的函数形式。

在参数方程中，我们可以通过对 t 的求导来求解 x和 y 的导数。

以二维平面上的函数为例，假设有一个由参数方程描述的曲线：x = f(t)y = g(t)我们要求解这条曲线上各个点的导数 dy/dx。

求解步骤如下：1. 先对 x 和 y 分别关于 t 求导，得到导数 dx/dt 和 dy/dt。

2. 计算 dy/dx：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)这样，我们也可以得到多元函数参数方程的导数表达式。

综上所述，多元函数的隐函数和参数方程求导的步骤和原理是类似的，只是需要根据具体的函数形式进行求解。

总结：多元函数的隐函数求导和参数方程求导是微积分中常用的求导方法。

对于隐函数求导，需要通过对方程两边同时对某个变量求导，并变形后得到导数表达式。

而对于参数方程求导，需要分别对 x 和 y 关于参数求导，并计算 dy/dx 的表达式。

这两种方法在解决多元函数的导数问题时非常有用，能够帮助我们更好地理解函数的性质和变化趋势。

3 2
3
3 4
故切线方程为 y 3 3 3 (x2)
2
4
即
3x4y830
03.07.2019
蚌埠学院 高等数学
5
对数求导法
1.方法: 先在 y f(x) 两边取对数, 然后利用隐函 数的求导方法求出y的导数.
2.适用范围: 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数.
例如幂指函数：yu (x)v(x) (u (x)0)
dx d t dt dy

dx dt

1 dy
(t) (t)
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
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若上述参数方程中(t),(t)二阶可导,且 (t)0,
则由它确定的函数 yf(x)可求二阶导数 .
x(t)
利用新的参数方程 dy (t) ,可得 dx (t)
dV dt
故

dx dt
两边对 t 求导
R2 h2
(hx)2 d
d

25h2
R2(h
x)2
,
x t
,
而
dV
25(cm3
r
s)R

h
h
x
dt
r hxR
当x

h 2
时,
dx dt
1R020(cmhs)
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内容小结
1. 隐函数求导法则
思考与练习
1.
求螺线
r在对应于


2
的点处的切线方程.
x r cos co s