微分方程习题及答案

第十二章 微分方程

§ 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程

一、单项选择题

1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ．

(A)2xyy； (B)222xyC；

(C)0yy； (D)(76)d()d0xyxxyy． 答(B).

2. 微分方程4(3)520yyxyy的阶数是( )．

(A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C).

3. 下列所给的函数，是微分方程0yy的通解的是( )．

(A)1cosyCx； (B)2sinyCx；

(C)cossinyxCx； (D)12cossinyCxCx 答(D).

4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )．

(A)xyye； (B)xyyx；

(C)10yxy； (D)()d()d0xyxxyy． 答(A).

5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )．

(A)xyye； 2(B)xyyx；

(C)0yxyx； (D)()d()d0xyxxyy． 答(D).

二、填空题

1．函数25yx是否是微分方程2xyy的解 ． 答：是 .

2．微分方程3dd0,4xxyyyx的解是 ． 答：2225xy．

3．微分方程23550xxy的通解是． 答：3252xxyC．

4．微分方程ln0xyyy的通解是 ． 答： Cxye.

5．微分方程2211xyy的通解是 ． 答：arcsinarcsinyxC．

第十二章 微分方程

§12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程

一、单项选择题

1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ．

(A)2xyy； (B)222xyC；

(C)0yy； (D)(76)d()d0xyxxyy． 答(B).

2. 微分方程4(3)520yyxyy的阶数是( )．

(A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C).

3. 下列所给的函数，是微分方程0yy的通解的是( )．

(A)1cosyCx； (B)2sinyCx；

(C)cossinyxCx； (D)12cossinyCxCx 答(D).

4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )．

(A)xyye； (B)xyyx；

(C)10yxy； (D)()d()d0xyxxyy． 答(A).

5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )．

(A)xyye； 2(B)xyyx；

(C)0yxyx； (D)()d()d0xyxxyy． 答(D).

二、填空题

1．函数25yx是否是微分方程2xyy的解? ． 答：是 .

2．微分方程3dd0,4xxyyyx的解是 ． 答：2225xy．

3．微分方程23550xxy的通解是． 答：3252xxyC．

4．微分方程ln0xyyy的通解是 ． 答： Cxye.

5．微分方程2211xyy的通解是 ． 答：arcsinarcsinyxC．

1 常微分方程第四版课后练习题含答案

第一章：常微分方程基本概念和初值问题

1.2 课后练习题

1.2.1

（1）y′=2y+3，y(0)=1，求解y(t)；

（2）y′+ty=1，y(0)=0，求解y(t)。

解答：

（1）该微分方程为一阶线性常微分方程，其通解为

$$y(t)=Ce^{2t}-\\frac{3}{2}$$

代入初始条件y(0)=1，可得

$$C=\\frac{5}{2}$$

所以

$$y(t)=\\frac{5}{2}e^{2t}-\\frac{3}{2}$$

（2）首先设$u(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}y(t)$，则$u'(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}(y'+ty)$。代入原方程可得

$$u'(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}$$

对其积分得

$$u(t)=\\int e^{\\frac{t^2}{2}} dt +

C=\\frac{\\sqrt{2\\pi}}{2}erf\\frac{t}{\\sqrt{2}}+C$$ 2 其中$erf(x)=\\frac{2}{\\sqrt{\\pi}}\\int_0^x e^{-t^2} dt$称为误差函数。进一步解得

$$y(t)=e^{-\\frac{t^2}{2}}u(t)-ue^{-\\frac{t^2}{2}}=-\\frac{\\sqrt{2\\pi}}{2}erf\\frac{t}{\\sqrt{2}}e^{-\\frac{t^2}{2}}$$

代入初始条件y(0)=0即可得到最终解答。

第二章：一阶线性微分方程

2.2 课后练习题

2.2.1

求下列方程的通解：

（1）(2x+1)y′+y=1；

（2）(x−1)y′−y=2x；

（3）$(2+\\cos x)y'-y=2-x\\cos x$。

解答：

（1）该微分方程为一阶线性常微分方程，设方程的通解为$y=Ce^{-\\int

常微分方程基础练习题答案

求下列方程的通解

2xdydyxdx?xy1.? Cey?2 分离变量，C为任意常数， ydxdyx 2dx??x?12Cey?0?1?xdy?2.xydx，， 分离变量 C任意常数

y2x?1dy1xdx??Ce?y0lny3.xy??y 分离变量 ，

ylnyxydyxdx2222?y?y)(xdy?4.()?Cxy0?x)dx?y(1?)(1?x ，分离变量

22xy1?1?dydudy1udu25.?(2x?y?5)?2?5?2x?yu?arctan?x?C 则 令，，dx? 1dxdxdx22?u22y1?dy2

y?dyx1u1?duydyx??6.dxdu???xu?u， ，令，代入得，原方程变为

y dx2y?dxxx1?udxxdx?1

xyyy2arctan?lnx??C?u C?u2arctan?u?lnx 回代得通解

，xxx 2yydydxduy?? ?220?1?????u0y?y?x?7.xy?方程变形为，令，代入得 ?? xxxdxx2??1?uyyy

arctan?lnx??C?u C?arctanu?lnx 回代得通解 ，xxxdudxdyydyyyyCx?1?1?Cx?yln?x8.lnu?y?xee?u ，，令，，，方程变形为

x1)?u(lnuxxxdxxdx

dy??xdx22xdx?2x??x?4?2xy9.4xedx?C)?e(?Ce?2y ，一阶线性公式法

dx11dyy??dxdx?223 ?x?210.??Cx)?x2xedx?y?e(Cxx ,一阶线性公式法

dxx214x2x43?22??yyyx?C)?(?x4211.(xxy?1)y??一阶线性公式法 ，方程变形为