微分方程习题和答案

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微分方程习题和答案(总42页)

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微分方程习题

§1 基本概念

1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.

（1）yxyyxCyxyx2)2(,22

（2）y

0 222t-)(,1eyyyxdt

2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,CC均为常数）

（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）

（1）1)(22yCx；

（2）xCxCy2cos2sin21.

3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。

（1）曲线在yx, 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。

（2）曲线在点Pyx,处的法线x轴的交点为Q,，PQ为y轴平分。

（3）曲线上的点Pyx,处的切线与y轴交点为Q, PQ长度为2，且曲线过点（2，0）。

§2可分离变量与齐次方程

1.求下列微分方程的通解

（1）2211yyx；

（2）0tansectansec22xdyyydxx；

（3）23xyxydxdy；

（4）0)22()22(dydxyyxxyx.

2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02xyxyey；

（2）21 ,12xyyyyx

3. 求下列微分方程的通解

（1）)1(lnxyyyx；

（2）03)(233dyxydxyx.

4. 求下列微分方程的特解

（1）1 ,022xyyxxydxdy；

（2）1 ,02)3(022xyxydxdyxy.

5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程

（1）2)(yxy；

（2）)ln(lnyxyyyx

（3）11yxy

（4）0)1()1(22dyyxxyxdxxyy

6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y轴的直线和x轴所围城三角形面积等于常数2a.

7. 设质量为m的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(t速度为0，求物体速度v与时间t的函数关系. B

A P(x,y

8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了染色，30分钟后剩下，试求注射染色后t分钟时正常胰脏中染色量)(tP随时间t变化的规律，此人胰脏是否正常

9.有一容器内有100L的盐水，其中含盐10kg，现以每分钟3L的速度注入清水，同时又以每分钟2L的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐

§3 一阶线性方程与贝努利方程

1．求下列微分方程的通解

（1）2xxyy；

（2）0cos2)1(2xxyyx；

（3）0)ln(lndyyxydxy；

（4）)(ln2xyyy；

（5）1sin4xedxdyy

2．求下列微分方程的特解

（1）0 ,sectan0xyxxyy；

(2)1|,sin0xyxxxyy

3．一曲线过原点，在) ,(yx处切线斜率为yx2，求该曲线方程.

4．设可导函数)(x满足方程

 x0 1sin)(2cos)(xtdttxx，求)(x.

5．设有一个由电阻10R，电感HL2，电流电压tVE5sin20串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i和时间t之关系.

6．求下列贝努利方程的通解 (1) 62yxxyy

（2）xyxyytancos4

（3）0ln2yxxdydxy

（4）2121xyxxyy

§4 可降阶的高阶方程

1.求下列方程通解。

(1)yyx；（2）122xyxy；2(3)20yyy341yy

2002.1,0,1xxyyyy求下列方程的特解

（2）0 ,0 ,2002xxxyyeyxy

3．求xy的经过)1 ,0(且在与直线12xy相切的积分曲线

4．证明曲率恒为常数的曲线是圆或直线.

证明：0,0(,)1(232KKKyy可推出y是线性函数；K可取正或负

5．枪弹垂直射穿厚度为的钢板，入板速度为a，出板速度为b)(ba，设枪弹在板内受到阻力与速度成正比，问枪弹穿过钢板的时间是多少

§5 高阶线性微分方程

1.已知)( ),(21xyxy是二阶线性微分方程)()()(xfyxqyxpy的解，试证)()(21xyxy是0)()(yxqyxpy的解

2.已知二阶线性微分方程)()()(xfyxqyxpy的三个特解xeyxyxy33221 , ,，试求此方程满足3)0( ,0)0(yy的特解.

3．验证1 ,121xeyxy是微分方程1)1(yyxyx的解，并求其通解.

§6 二阶常系数齐次线性微分方程

1.求下列微分方程的通解

（1）02yyy；

（2）0136yyy；

（3）044yyy；

（4）02)4(yyy.

2．求下列微分方程的特解

（1）10y ,6 ,0340x0xyyyy

（2）5y ,2 ,0250x0xyyy

（3）3y ,2 ,01340x0xyyyy

3.设单摆摆长为l，质量为m，开始时偏移一个小角度0，然后放开，开始自由摆动.在不计空气阻力条件下，求角位移随时间t变化的规律.

4. 圆柱形浮筒直径为，铅垂放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒周期为2s，求浮筒质量.。

5.长为6m的链条自桌上无摩察地向下滑动，设运动开始时，链条自桌上垂下部分长为1m，问需多少时间链条全部滑过桌面.

§7 二阶常系数非齐次线性微分方程

1.求下列微分方程的通解

（1）xxeyyy323；

（2）xyyy2345；

（3）xxyycos4；

（4）xyy2sin； O

)(tx x

O x)(tp P

mg l

（5）)4(2xexyyy.

2．求下列微分方程的特解

（1）2(0)y ,6)0( ,523yyyy；

（2）1)(y ,1)( ,02sinyxyy

3.设连续函数)(xf满足 xxdttfxtexf

0 )()( )( 求)(xf.

4.一质量为m的质点由静止开始沉入水中，下沉时水的反作用力与速度成正比（比例系数为k），求此物体之运动规律.

5.一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离开钉子8m，另一端离开钉子12m，若不计摩擦力，求链条全部滑下所需时间.

6.大炮以仰角、初速0v发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线. O )(txP x O

)(tx

§8 欧拉方程及常系数线性微分方程组

1.求下列微分方程的通解

（1）32322xyyxyxyx；

（2）xxyxyy22.

2．求下列微分方程组的通解

（1）33yxdtdydtdxyxdtdydtdx

（2）00432222yxdtydyxdtxd  ))(),(()(tytxtp

x y

自测题

1.求下列微分方程的解。

（1）xyxyytan；

（2）0)2(2dyxyxydx；

（3）xxyyyy222；

（4）xxyy2sin.

2．求连续函数)(x，使得0x时有1

0 )(2)( xdtxt.

3．求以xexxCCy2221)(为通解的二阶微分方程.

4．某个三阶常系数微分方程 0cyybyay有两个解xe和x，求cba , ,.

5．设)()(xfyxpy有一个解为x1，对应齐次方程有一特解2x，试求：

（1）)( ),(xfxp的表达式；

（2）该微分方程的通解.

6．已知可导函数)(xf满足关系式：

1)(1)()(

1 2xfdttftfx求)(xf.

微分方程基础练习题(简易型)含答案解析

题目

1. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 2x$，其中 $y(0)=1$。

2. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} + y = x$，其中 $y(0)=1$。

3. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} - 2y = -4$。

4. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} + 9y = \sin x$。

答案解析

1. 对微分方程两边同时积分，得到 $y = x^3+x+c$，其中

$c$ 为任意常数。由 $y(0)=1$ 可求出 $c=1$，所以 $y=x^3+x+1$。

2. 首先解齐次方程 $\frac{dy}{dx} + y = 0$，得到 $y=Ce^{-x}$，其中 $C$ 为任意常数。对于非齐次方程 $\frac{dy}{dx} + y = x$，设其特解为 $y=ax+b$，代入方程得到 $a=\frac{1}{2}$，$b=\frac{1}{2}$。因此通解为 $y=Ce^{-x}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$。由 $y(0)=1$ 可得到 $C=\frac{1}{2}$，所以 $y=\frac{1}{2}(2e^{-x}+x+1)$。

3. 对微分方程两边同时积分，得到 $y = Ce^{2x}+2$，其中

$C$ 为任意常数。

4. 首先解齐次方程 $\frac{dy}{dx} + 9y = 0$，得到 $y=Ce^{-9x}$，其中 $C$ 为任意常数。对于非齐次方程 $\frac{dy}{dx} + 9y

= \sin x$，由于 $\sin x$ 不是指数函数 $e^{kx}$ 的线性组合，所以采用常数变易法，设其特解为 $y=A\sin x + B\cos x$，代入方程得到 $A=-\frac{1}{82}$，$B=\frac{9}{82}$。因此通解为 $y=Ce^{-9x}-\frac{1}{82}\sin x+\frac{9}{82}\cos x$。

数学课程微分方程求解练习题及答案

微分方程是数学中非常重要的一门课程，它在许多科学领域中有着广泛的应用。为了更好地掌握微分方程的解题技巧，下面将给出一些微分方程求解的练习题及其答案。

练习一：一阶线性微分方程

1. 求解微分方程：dy/dx + y = 2x

解答：

首先将该微分方程转化为标准形式：dy/dx = 2x - y

然后可以使用分离变量的方法进行求解，将变量分离得到：dy/(2x -

y) = dx

对等式两边同时积分，得到：∫(1/(2x - y))dy = ∫dx

通过对右边的积分，得到：ln|2x - y| = x + C1 (其中C1是常数)

将等式两边取e的指数，得到：2x - y = Ce^x

其中C = e^C1是一个任意常数，所以方程的通解为：y = 2x - Ce^x

（其中C为常数）

2. 求解微分方程：dy/dx + 2y = e^x

解答：

将该微分方程转化为标准形式：dy/dx = e^x - 2y 然后使用分离变量的方法进行求解，得到：dy/(e^x - 2y) = dx

对等式两边同时积分，得到：∫(1/(e^x - 2y))dy = ∫dx

通过对右边的积分，得到：(1/2)ln|e^x - 2y| = x + C2 （其中C2是常数）

再次将等式两边取e的指数，得到：e^x - 2y = Ce^2x

其中C = e^C2是一个任意常数，所以方程的通解为：y = (1/2)e^x -

(C/2)e^2x （其中C为常数）

练习二：二阶微分方程

1. 求解微分方程：d^2y/dx^2 + 4dy/dx + 4y = 0

解答：

首先将该微分方程的特征方程写出来：r^2 + 4r + 4 = 0

解特征方程，得到特征根为：r = -2

由于特征根为重根，所以方程的通解形式为：y = (C1 + C2x)e^(-2x)

（其中C1和C2为常数）

2. 求解微分方程：d^2y/dx^2 + dy/dx - 2y = 0

常微分方程第四版课后练习题含答案

1 常微分方程第四版课后练习题含答案

第一章：常微分方程基本概念和初值问题

1.2 课后练习题

1.2.1

（1）y′=2y+3，y(0)=1，求解y(t)；

（2）y′+ty=1，y(0)=0，求解y(t)。

解答：

（1）该微分方程为一阶线性常微分方程，其通解为

$$y(t)=Ce^{2t}-\\frac{3}{2}$$

代入初始条件y(0)=1，可得

$$C=\\frac{5}{2}$$

所以

$$y(t)=\\frac{5}{2}e^{2t}-\\frac{3}{2}$$

（2）首先设$u(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}y(t)$，则$u'(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}(y'+ty)$。代入原方程可得

$$u'(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}$$

对其积分得

$$u(t)=\\int e^{\\frac{t^2}{2}} dt +

C=\\frac{\\sqrt{2\\pi}}{2}erf\\frac{t}{\\sqrt{2}}+C$$ 2 其中$erf(x)=\\frac{2}{\\sqrt{\\pi}}\\int_0^x e^{-t^2} dt$称为误差函数。进一步解得

$$y(t)=e^{-\\frac{t^2}{2}}u(t)-ue^{-\\frac{t^2}{2}}=-\\frac{\\sqrt{2\\pi}}{2}erf\\frac{t}{\\sqrt{2}}e^{-\\frac{t^2}{2}}$$

代入初始条件y(0)=0即可得到最终解答。

第二章：一阶线性微分方程

2.2 课后练习题

2.2.1

求下列方程的通解：

（1）(2x+1)y′+y=1；

（2）(x−1)y′−y=2x；

（3）$(2+\\cos x)y'-y=2-x\\cos x$。

解答：

（1）该微分方程为一阶线性常微分方程，设方程的通解为$y=Ce^{-\\int