高三数学复习学案——利用导数研究函数的单调性

利用导数研究函数的单调性

考点一 函数单调性的判断

知识点：

函数()fx在某个区间,ab内的单调性与其导数的正负关系

（1）若 ，则()fx在,ab上单调递增；

（2）若 ，则()fx在,ab上单调递减；

（3）若 ，则()fx在,ab是常数函数.

1、求下列函数的单调区间.

（1）()lnfxxex （2）21()ln2fxxx

（3）()3xfxxe （4）()2xfxex

（5）()3lnfxxx （6）ln()xfxx

（7）2()(0)1axfxax （8）32333()xxxxfxe

2、讨论下列函数的单调性.

（1）()ln(1),fxxaxaR （2）3(),fxxaxbaR

（3）2()ln,2xfxaxaR （4）32(),,fxxaxbabR

（5）2()(22),0xfxeaxxa （6）21()2ln(2),2fxxaxaxaR

（7）2()1ln,0fxxaxax （8）221()(ln),xfxaxxaRx

3、已知函数32(),fxaxxaR在43x处取得极值.

（1）确定a的值；

（2）若()()xgxfxe，讨论函数()gx的单调性.

4、设2()(5)6ln,fxaxxaR，曲线()yfx在点1,(1)f处的切线与y轴相交于点0,6.

第十一节导数的应用

［考纲传真］(教师用书独具)1. 了解函数的单调性与导数的关系； 能利用导数研究函数的单

调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次 )；2. 了解函数在某点取得极值 的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值 (其中多项式函数一般不超过三

次);会求闭区间上函数的最大值、最小值 (其中多项式函数一般不超过三次 )；3.利用导数

研究函数的单调性、 极(最)值，并会解决与之有关的方程 (不等式)问题；4.会利用导数解决 某些简单的实际问题.

双基自主测评I

梳理自測巩固基础知.识

(对应学生用书第34页)

［基础知识填充］

1 •函数的单调性与导数的关系

函数y= f(x)在某个区间内可导，则：

(1) 如果f '(x) > 0,那么函数y= f (x)在这个区间内是增加的；

(2) 如果f '(x) v 0,那么函数y= f (x)在这个区间内是减少的；

(3) 如果f '(x) = 0,那么函数y= f(x)在这个区间内是常数函数.

2 •函数的极值与导数

(1) 极值点与极值

设函数f(x)在点xo及附近有定义，且在 xo两侧的单调性相反或导数值异号，贝U xo为函

数f (x)的极值点，f( xo)为函数的极值.

(2) 极大值点与极小值点

① 若先增后减(导数值先正后负)，则xo为极大值点;

② 若先减后增(导数值先负后正)，则xo为极小值点.

(3) 可求导函数极值的步骤：

① 求f' (x)；

② 解方程f '( x) = o ；

③ 检查f'(x)在方程f '(x) = o的解xo的左右两侧的符号.如果左正右负，那么 f (x)

在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值.如果 f'(x)在

xo两侧的符号相同，则 xo不是极值点.

3. 函数的最值与导数

(1) 函数f(x)在［a，b］上有最值的条件

如果在区间［a，b］上函数y = f(x)的图像是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小

1

高三数学一轮复习 15.导数的应用（一）单调性学案

【学习目标】

1．了解可导函数的单调性与其导数的关系．

2．导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性．每年高考都从不同角度 考查这一知识点，往往与不等式结合考查．

预 习 案

函数的单调性

(1)设函数y＝f(x)在某个区间内 ，若f′(x) 0，则f(x)为增函数；

若f′(x) 0，则f(x)为减函数．

(2)求可导函数f(x)单调区间的步骤：

①确定f(x)的 ； ②求导数f′(x)；

③令f′(x) 0(或f′(x) 0)，解出相应的x的范围；

④当 时，f(x)在相应区间上是增函数，当 时，f(x)在相应区间上是减函数．

【预习自测】

1. 函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为 ．

2. 函数y＝12x2－lnx的单调减区间为 ( )

A．(－1,1] B．(0,1] C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)

3.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图像可能是 ( )

4．已知函数f(x)＝x2(x－a)．

(1)若f(x)在(2,3)上单调，则实数a的取值范围是 ；

(2)若f(x)在(2,3)上不单调，则实数a的取值范围是 ．

1.3导数的应用

教材分析：

本章内容分为三部分：一是导数的概念；二是导数的运算；三是导数的应用.

本章先让学生通过大量实例，经历有平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数的概念及其几何意义，然后通过定义求几个简单函数的导数，从而得出导数公式及四则运算法则，最后利用导数的知识解决实际问题.

本章共分三节，第三节是“导数的应用”，内容包括利用导数判断函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数的实际应用.

在“利用导数判断函数的单调性”中介绍了利用求导的方法来判断函数的单调性；在“利用导数研究函数的极值”中介绍了利用函数的导数求极值和最值的方法；在“导数的实际应用”中主要介绍了利用导数知识解决实际生活中的最优化问题.

教学目标：

1、能熟练应用导数研究函数的单调性、极值和最值.

2、掌握利用导数知识解决实际生活中的最优化问题.

教学重点：

理解并掌握利用导数判断函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数知识解决实际生活中的最优化问题.

教学难点：

解决实际生活中的最优化问题的关键是建立函数模型.

学 法：

本节课是在学习了导数的概念、运算的基础上来学习的导数的应用，学生已经了解了数学建摸的基本思想和方法，应用导数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。

在课堂教学中，应该把以教师为中心转向以学生为中心，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设宽容的课堂气氛，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。

教法

数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是导数的应用，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题，然后由老师启发、总结、提炼，升华为分析和解决问题的能力。