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凯里一中2015届高三模拟考试理科数学试卷及其答案

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凯里一中2015届高三模拟考试理科数学试卷一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合}2|{2-==x y y A ，集合}1|{2-==x y x B ，则有A. B A =B. φ=B AC. A B A =D. A B A =2.已知R a ∈，i 是虚数单位，iia -+1是纯虚数，则a 等于A.1B.1-C. 2D. 2-3.下列命题正确的是A.命题“4,2-∈∃x R x 使得＜0”的否定是“04,2>-∈∀x R x 均有”B.命题“若1,12≠≠x x 则”的否命题是“1,12==x x 则” C.命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题 D.命题“若y x cos cos =,则y x =”的逆否命题是真命题 4.如图1所示的程序框图，若两次输入的x 值分别是π3和3π-，则两次运行程序输出的b 值分别是A.1，23 B ．0， 23 C. π－，23－ D. π3，23－5.设m 、n 是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题： αβα//,)1(m ⊥若，β⊥m 则；βαβαm//,,)2(则若⊥⊥m ； ααn//,,)3(则若n m m ⊥⊥ ； αββα//,n ,)4(则若⊥⊥n其中，真命题的个数为A. 1B. 2C. 3D.4 6.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n n 2S 2n +=，则=n a A. 122+n B. 22+n C. 12+n D. 32+n 7. dx x xa ⎰-=212)23(设，则=aA.12B.4C.-12D.-48.已知x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤+002422y y x y x ，则目标函数z =2x +y 的最大值是A. 5B. 52C. 3D. 329.若双曲线)0(1222>=-b by x 的一条渐近线与圆1)2(22=-+y x 至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是A.(]2,1B. [)∞+，2C. ](3,1D. [)∞+，310.a 、b 、c 均为正实数，且a a 21log 2=，b b 21log )21(=，c c 2log )21(=，则a 、b 、c 的大小顺序为A. b c a <<B. a c b <<C.a b c <<D.c b a <<图2俯视图侧视图主视图11.从6人中选4人分别到省内黄果树、小七孔、西江苗寨、梵净山游览，要求每个地点有一人游览， 每人只游览一个地点，且在这6人中甲、乙不去西江苗寨游览，则不同的选择方案共有 A.300种 B.240种 C.144种 D.96种12.已知偶函数f (x )满足f (x +1)=f (x -1),且当[]时，1,0∈x 2)(x x f =，则关于x 的方程xx f -=2)(在[]5,5-上根的个数是A.4个B. 6个C.8个D.10个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量(]为则若向量x x x ,),2,0(),1,2(),1,(sin ⊥∈-==π . 14.已知函数131)(23+++=x ax x x f 有两个极值点，则实数a 的取值范围是 . 15.一个几何体的三视图如图2所示，则这个几何体的体积为 . 16.对于*∈N n 的命题，下列四个判断中正确命题的个数为 .1)1(,2...221)(12=++++=f n f n 则）若（； 21)1(,2...221)()2(12+=++++=-f n f n 则若；31211)1(,121...31211)()3(++=+++++=f n n f 则若；131...2111)()4(++++++=n n n n f 若，则11431331231)()1(+-++++++=+k k k k k f k f三．解答题：（共70分，解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω<<>+=x x f 的一系列对应值如下表：(I)求)(x f 的解析式；(II)在ABC ∆中，若2=AC ，3=BC , ，2)(-=A f 求ABC ∆的面积。

18.（本小题满分12分）如图3，长方体中，1111D C B A ABCD -11==AA AD ,2=AB ，点E 是AB 的中点。

(I)11AED C B 平面求证：⊥； (II)的大小。

求二面角C E D A --1ECBAD C 1A 1某学校高一年级为了解学生在一次数学考试中的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分是100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[)60,50，[)70,60，[)80,70，[)90,80，[]100,90的分组作出如图4甲所示的频率分布直方图和图乙所示的样本分数茎叶图（图乙中仅列出了得分在[)60,50，[]100,90的数据）。

(I)求样本容量n 和频率分布直方图中的x ，y 的值；(II)在选取的样本中，从考试成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学为其他同学作交流，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[)90,80的学生个数，求ξ的分布列及数学期望。

甲x y 0频率组距成绩（分）茎叶图乙3 41 2 3 4 5 6 7 8 956789叶茎20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)0,1(F ，短轴的一个端点B 到F 的距离等于焦距。

(I)求椭圆C 方程；(II)过点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点N M ,，是否存在直线l ，使得BFM ∆与BFN ∆的面积之比为1？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由。

已知函数x x e e x f --=)(，其中e 是自然对数的底数。

(I)证明：)(x f 是R 上的奇函数；(II)若关于x 的不等式），在（∞+--≤-01)(m e x mf x 上恒成立，求实数m 的取值范围。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号. 22.（本小题满分10分））【选修4—1：几何证明选讲】 已知直线PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B 和点C ，APC ∠的平分线分别交AC AB ,于点D 和E .(I)证明：AED ADE ∠=∠； (II)若AP AC =，求PAPC的值.23.（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】已知曲线C 的极坐标方程为θθρ2sin cos 4=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 22122（t 为参数） (I)把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，把直线l 的参数方程化为普通方程； (II)求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长.24.（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】 已知函数16896)(22++++-=x x x x x f .(I)求)4()(f x f ≥的解集； (II)设函数)3()(-=x k x g ，R k ∈，若)()(x g x f >对任意的R x ∈都成立，求实数k 的取值范围.图5FC凯里一中2015届高三模拟考试理科数学试卷答案13、6π或65π 14、),1()1,(+∞--∞ 15、31 16、③④三、解答题 17、（本小题满分12分） (I)由图表知，周期πππωπ=-==4432T ，解得2=ω；…………………2分 又由第一关键点)0,4(π-，得0)4(2=+-⨯ϕπ，解得2πϕ=；…………………4分x x x f 2cos )22sin()(=+=∴π； 所求x x f 2cos )(=…………………………………………………………6分(II) ①在ABC ∆中，21)(-=A f ，得212cos -=A ，由π<<A 0，则π220<<A ，所以322π=A 或342π=A ，解得3π=A 或32π=A .……8分②由余弦定理得，A AB AC AB AC BC cos 2222⨯⨯⨯-+=，而2=AC ,3=BC ；当3π=A 时，得3cos2223222π⨯⨯⨯-+=AB AB ，解得16+=AB ,此时23233sin 21+=⨯⨯⨯=∆πAB AC S ABC ；…………………………10分 当32π=A 时，得32cos 2223222π⨯⨯⨯-+=AB AB ，解得16-=AB ,此时232332sin 21-=⨯⨯⨯=∆πAB AC S ABC ； 综上，所求A B C ∆的面积为2323+或2323-………………………………………12分 18、(I)如图，因为1111D C B A ABCD -为长方形，以D 为坐标原点，DA 为x 轴的正半轴，DC 为y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，由题知，)0,0,1(A ，)0,1,1(E ，)1,0,0(1D ,)0,2,0(C ,)1,2,1(1B ；所以)1,2,1(1--=→C B ；设平面1AED 的一个法向量为),,(1z y x n =→，)0,1,0(=→AE ，)1,0,1(1-=→AD； 由⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙→→→→00111AD n AE n ，则⎩⎨⎧=⨯+⨯+⨯-=⨯+⨯+⨯01010010z y x z y x ，令1=x ，求得)1,0,1(1=→n ； ECBA D C 1A 1→→-=11n C B ，所以，AED C B 平面⊥1成立. ……………………………………6分 (II) 设二面角C E D A --1的平面角为[]πθ,0∈，由(I) 平面1AED 的一个法向量为)1,0,1(1=→n ； 同理可求平面EC D 1的一个法向量为)2,1,1(2---=→n ；23)2()1()1(101)2(1)1(0)1(1||||cos 2222222121-=-+-+-⨯++-⨯+-⨯+-⨯=⋅∙=∴→→→→n n n n θ， 所以65πθ=所以，所求二面角C E D A --1的平面角为65π……………………………………12分 19、(I)由频率分布直方图和茎叶图知在[)60,50的频数为8，频率为16.0， 16.08=∴n，解得50=n ；…………………………2分 由在[]100,90的频数为2，频率为y 10，y 10502=∴，解得004.0=y ；…………………………4分 又104.010.040.01016.0=++++x ，解得03.0=x ；故所求50=n ；03.0=x ；004.0=y .…………………………6分 (II) 在区间[)90,80的学生人数为：55010.0=⨯（人）；在区间[]100,90的学生人数为：2人； 所以ξ的所有取值的可能为1，2，3.71)1(372215=⨯==C C C P ξ；74)2(371225=⨯==C C C P ξ；72)3(370235=⨯==C C C P ξ ξ的分布列为ξ的数学期望：7737271=⨯+⨯+⨯=ξE …………………………………12分20、(I) 由题知⎪⎩⎪⎨⎧==+=c a c c b a 21222，解得42=a ，32=b ；所求椭圆C 的方程为13422=+y x …………………………4分 (II)①当直线l 的斜率不存在时，此时直线l 的方程为1=x ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=134122y x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==23111y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-==23122y x ，即)23,1(M ，)23,1(-N ，而)3,0(B ，)0,1(F ； 易知BFM ∆与BFN ∆的面积之比为1；所以，直线1=x 满足题意. …………………………7分②当直线l 的斜率存在时，设为k ，此时直线l 的方程为)1(-=x k y ，设),(11y x M ，),(22y x N由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x ，消去x 得01248)43(2222=-+-+k x k x k ， 所以2221438k k x x +-=+，BFM ∆与BFN ∆的面积之比为1；则F 为MN 的中点；所以1221=+x x ，即24382221=+-=+kk x x ，化简得0382=+k ，此方程无解. ………………11分 综上，直线l ：1=x ，使得BFM ∆与BFN ∆的面积之比为1成立. ………………12分 21、(I))(x f 的定义域为R ………………1分)()()(x f e e e e x f x x x x -=--=-=---所以，)(x f 是R 上的奇函数…………………………4分(II) 因为0>x ，所以1>xe ，故01)(2>-+x x e e ；由1)(--≤-m e x mf x 得1)(--≤---m e e e m x x x ，即1)1(-≤+---x x x e e e m化简得[]xxx e e e m -≤-+11)(2，即1)(12-+-≤xx xe e e m 恒成立， 即求1)(1)(2-+-=xx xe e e x g 的最小值即可. ………………………7分 令xe t =，由0>x ，得1>t ，得11)(2-+-=t t t t g ；22')1()2()(-+-=t t t t t g （1>t ）， 令0)('=t g ，解得2=t ； 令0)('>t g ，解得2>t ；令0)('<t g ，解得21<<t ；所以)(x g 的单调递减区间为)2,1(，)(x g 的单调递增区间为),2(+∞，所以)(x g 的最小值为5112221)2(2-=-+-=g ；综上，∴所求实数m 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-51,.…………………………12分请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22、(I) PE 为APC ∠的平分线，∴BPD APD ∠=∠； 又 直线PA 是圆O 的切线，ACB PAB ∠=∠∴；又 BPD ACB AED ∠+∠=∠，APD PAB ADE ∠+∠=∠； ADE AED ∠=∠.…………………………………………5分 (II)过A 作BC AF ⊥于F ；BC 为圆O 的直径，ACB BAF ∠=∠∴，又ACB PAB ∠=∠ 由AP AC =，则ACB APC ∠=∠∴， 而090=∠+∠+∠∴APB ACB BAF ，030=∠=∠=∠∴APB ACB BAF ；则23=PA PF ， 得PA PF PC 32==， 所求即3=PAPC.………………………………………10分 图5F C23、(I) 由θθρ2sin cos 4=得θρθρcos 4sin 22=即x y 42=； 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 22122（t 为参数），消去参数t ，得01=-+y x ；曲线C 的直角坐标方程为x y 42=；直线l 的普通方程01=-+y x ；…………………5分 (II) 设直线l 交曲线C 于),(),,(2211y x B y x A ，则 ⎩⎨⎧==-+xy y x 4012，消去y 得，0162=+-x x ，621=+∴x x ，121=x x ； 843624)(1||212212=-⨯=-++=x x x x k AB所以，直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长为8.………………………10分24、(I) ⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤--<--=++-=++++-=3,1234,74,12|4||3|16896)(22x x x x x x x x x x x x f ，由9)4()(=≥f x f ，则⎩⎨⎧≥---<9124x x 或⎩⎨⎧≥≤≤-9734x 或⎩⎨⎧≥+>9123x x ，解得5-≤x 或4≥x ； 所以，所求)4()(f x f ≥的解集为{}45|≥-≤x x x 或…………………5分(II) 作出⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤--<--=++-=3,1234,74,12|4||3|)(x x x x x x x x f 的图象；直线)3()(-=x k x g 过定点)0,3(，若)()(x g x f >对任意的R x ∈都成立，则21≤<-k . 故所求实数k 的取值范围是(]2,1-………………………10分。

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2015届高三第二次模拟考试理科数学试题(Word版 含答案)1

2015届高三第二次模拟考试理科数学试题(Word版 含答案)1

2015年高考模拟试题(一)理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。

共50分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，若21mii-+为纯虚数，则实数m 的值为 A ．2B ．2-C ．12D ．12-2．设集合{}{}22430,log 1,M x x x N x x M N =-+≤=≤⋃=则A ．[]1,2B ．[)1,2C ．[]0,3D ．(]0,33．若0a b <<，则下列结论中正确的是 A ．22a b <B ．2ab b <C ．1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．2b aa b+> 4．已知()()F x f x x =-是偶函数，且()()212f f =-=，则 A ．4B ．2C ．3-D ．4-5．执行右面的程序框图，若输入7,6x y ==，则输出的有序数对为 A ．（11，12）B ．（12，13）C ．（13，14）D ．（13，12）6．已知()xf x e x =-，命题()(),0p x R f x ∀∈>：，则 A ．p 是真命题，()00:,0p x R f x ⌝∃∈< B ．p 是真命题，()00:,0p x R f x ⌝∃∈≤ C ．p 是假命题，()00:,0p x R f x ⌝∃∈< D ．p 是假命题，()00:,0p x R f x ⌝∃∈≤7．若()()sin 2f x x θ=+，则“()f x 的图象关于3x π=对称”是“6πθ=-”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8．已知函数()()()()()()22,log ,ln xf x xg x x xh x x x f a g b h c =+=+=+==，若0=，则 A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．a c b <<9．设平面区域D 是由双曲线2214x y -=的两条渐近线和抛物线28y x =-的准线所围成的三角形区域（含边界），若点(),x y D ∈，则211y x x -++的取值范围是A ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]1,1-C ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．若对于定义在R 上的函数()f x ，其图象是连续不断的，且存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“~λ特征函数”.下列结论中正确的个数为 ①()0f x =是常数函数中唯一的“~λ特征函数”；②()21f x x =+不是“~λ特征函数”； ③“13~λ特征函数”至少有一个零点；④()x f x e =是一个“~λ特征函数”. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把正确答案填写在答题卡给定的横线上. 11．已知向量与满足()2,a b a b b ==-⊥，则a 与b 的夹角为_________.12．某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有______种.13．直线1ax =与圆221x y +=相交于B A ,两点（其中a ，b 是实数），且AOB ∆是直角三角形（O 是坐标原点），则点(),P a b 与点（1，0）之间距离的最小值为_______. 14．已知()()0sin n f n nx dx π=⎰，若对于()()(),1231R f f f n x x ∀∈++⋅⋅⋅+<++-恒成立，则正整数n的最大值为___________.15．已知点D C B A ,,,均在球O的球面上，1,AB BC AC ==，若三棱锥D ABC -体积的最大值是14，则球O 的表面积为_________.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 已知函数()2cos sin 6f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为(),,1,sin 2sin a b c f C B A ==，若，且ABC ∆的面积为求c 的值.17．（本小题满分12分）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[]0,100，样本数据分组为[)[)0,20,20,40，[)[)[]40,60,60,80,80,100.（1）求直方图中x 的值；（2）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（3）从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X ，求X 的分布列和数学期望.（以直方图中的频率作为概率） 18．（本小题满分12分）一个楔子形状几何体的直观图如图所示，其底面ABCD 为一个矩形，其中4,6==AD AB ，顶部线段EF //平面ABCD ，棱FC FB ED EA ====二面角F BC A --.设N M ,分别是BC AD ,的中点.（1）证明：平面EFNM ⊥平面ABCD ；（2）求直线BF 与平面EFCD 所成角的正弦值. 19．（本小题满分12分）已知{}n a 满足()()121n n na n a n N *+=+∈，且13,1,4a a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 满足()sin n n n b a S π=，为数列{}n b 的前n 项和， 求证：对任意,2n n N S π*∈<+. 20．（本小题满分13分） 已知函数()()2ln 1f x ax x =++.（1）当14a =-时，求函数()f x 的极值； （2）当[)0,x ∈+∞时，函数()y f x =图象上的点都在0,x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围. 21．（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x2x =的焦点. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线2x =与椭圆交于Q P ,两点，P 点位于第一象限，B A ,是椭圆上位于直线2x =两侧的动点. （i ）若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值； （ii ）当点B A ,运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由.。

2015届高三考前模拟(理科)数学试卷附答案

2015届高三考前模拟(理科)数学试卷附答案

2015届高三考前模拟（理科）数学试卷考试时间：150分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知全集,U R =集合{}{}3|log (1),|2x A x y x B y y ==-==,则()U A B =ð ( )A ．0+∞（，）B ．(0,1]C ．(1,)+∞D ．(1,2) 2．复数1312iz i-=+，则（ ） A. z ＝2 B. z 的实部为1 C. z 的虚部为i - D. z 的共轭复数为1i -+3．已知随机变量X 服从正态分布N (1，σ2)，若P (X ≤2)＝0.72，则P (X ≤0)＝（ ）A.0.22B.0.28C.0.36D.0.644．执行右面的程序框图，若输出的k ＝2，则输入x 的取值范围是（ ） A.(21，41) B.[21，41] C.(21，41] D.[21，41)5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ， a 1＋a 3＝ 52，且a 2＋a 4＝ 5 4，则S na n＝（ ） A.14n -B. 41n -C. 12n -D. 21n-6．在直角三角形ABC 中，2C π∠=，2,1,AB AC ==若32AD AB =uuu r uu u r ，则CD CB ⋅=uu u r uu r( )A.92B.5C.6D.97．△ABC 的顶点A 在24y x =上，B ，C 两点在直线250x y -+=上，若AB AC -uu u r uuu r＝2 5 ，则△ABC 面积的最小值为( ) A.55B.1C.2D.5 8.一个几何体的侧视图是边长为2的正三角形，正视图与俯视图的尺寸如图所示，则此几何体的表面积为（ ） A.12233π++B. 123π+开始是x ≤81？否 输入x x ＝2x －1结束k ＝0输出k k ＝k ＋1C. 3233π+D. 233π+ 9．函数1)1(cos 2)(f 2---=x xx x ，其图像的对称中心是（ ）A ．（－1，1） B.（1，－1） C.（1，1） D.（0，－1）10．设三位数n abc =（即10010n a b c =++，其中,,a b c N *∈）,若以,,a b c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n 有（ ）A ．45个 B.81个 C.165个 D.216个 11.已知函数()(,xxaf x e a R e e =+∈是自然对数的底数)在区间[0,1]上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A. [0,1]B. [1,0]-C. [1,1]-D. 22(,][,)e e -∞-⋃+∞12．关于曲线C ：11221x y +=，给出下列四个命题：①曲线C 有且仅有一条对称轴； ②曲线C 的长度l 满足l ＞2；③曲线C 上的点到原点距离的最小值为24 ；④曲线C 与两坐标轴所围成图形的面积是 16上述命题中，真命题的个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．二项式2101)x x-（的展开式中的常数项是 ． 14．四棱锥P -ABCD 的底面是边长为42的正方形，侧棱长都等于45，则经过该棱锥五个顶点的球的表面积为_ __．15．点P 在△ABC 内部（包含边界），3,4,5AC AB BC ===，点P 到三边的距离分别是123,,d d d ，则123d d d ++的取值范围是____ ____． 16．在数列{}n a 中，已知11a =，211n n a a +=+，10096a a =，则1112a a +=三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ≥b ，sin A ＋3cos A ＝2sin B ． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求a ＋bc的最大值．18.（本小题满分12分）某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：甲 乙 9 7 0 7 8 6 3 3 1 1 0 5 7 9 8 3 2 1 3（Ⅰ）求这两名队员在比赛中得分的均值和方差； （Ⅱ）以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过．．15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过．．．15分次数X 的分布列和期望．19.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面AB 1B 1A 为 正方形，侧面BB 1C 1C 为菱形，∠CBB 1＝60︒， AB ⊥B 1C ．（Ⅰ）求证：平面AB 1B 1A ⊥BB 1C 1C ； （Ⅱ）求二面角B -AC -A 1的余弦值．20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）经过点M (－2，－1)，离心率为22．过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P 、Q ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：直线PQ 的斜率为定值，并求这个定值； （Ⅲ）∠PMQ 能否为直角？证明你的结论．21.（本小题满分12分）设定义在(0,)+∞上的函数ln (),(),x n n x e f x g x x x==其中n N *∈(Ⅰ)求函数()f x 的最大值及函数()g x 的单调区间；（Ⅱ）若存在直线:()l y c c R =∈,使得曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线l的两侧，求n 的最大值.（参考数据：ln 4 1.386,ln5 1.609≈≈）请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系Ox 中，直线C 1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M 是C 1上任意一点，点P 在射线OM 上，且满足|OP |·|OM |＝4，记点P 的轨迹为C 2． （Ⅰ）求曲线C 2的极坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 2上的点到直线ρcos (θ＋ π4)＝2距离的最大值．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 （Ⅰ）设函数1()=||||(0)f x x x a a a-++>.证明：()2f x ≥； （Ⅱ）若实数z y x ,,满足22243x y z ++=,求证:23x y z ++≤理科数学参考答案 一、选择题：BDBCD ABBBC CA 二、填空题：（13）45 （14）100π （15）[ 12 5 ，4] （16）35262±三、解答题：（17）解：（Ⅰ）sin A ＋3cos A ＝2sin B 即2sin (A ＋ π 3)＝2sin B ，则sin (A ＋ π3)＝sin B ． …3分因为0＜A ，B ＜π，又a ≥b 进而A ≥B ，所以A ＋ π 3＝π－B ，故A ＋B ＝2π3，C ＝ π3． (6)分（Ⅱ）由正弦定理及（Ⅰ）得a ＋bc ＝sin A ＋sin B sin C ＝23[sin A ＋sin (A ＋ π3)] ＝3sin A ＋cos A ＝2sin (A ＋ π6)． ………………………10分当A ＝ π3时，a ＋b c取最大值2． ……………………………12分（18）解：（Ⅰ）x-甲＝ 1 8(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15， x-乙＝ 1 8(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15， s 2甲＝ 1 8[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，s 2乙＝ 1 8[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25．…………4分（Ⅱ）根据统计结果，在一场比赛中，甲、乙得分超过15分的概率分别为p 1＝3 8，p 2＝ 1 2，两人得分均超过15分的概率分别为p 1p 2＝316，依题意，X ～B (2，316)，P (X ＝k )＝C k 2(316)k (1316)2－k，k ＝0，1，2，…………7分 X 的分布列为X 0 1 2P 169256 78256 9256…………10分X 的均值E (X )＝2×316＝ 38． …………12分（19）解：（Ⅰ）由侧面AB 1B 1A 为正方形，知AB ⊥BB 1．又AB ⊥B 1C ，BB 1∩B 1C ＝B 1，所以AB ⊥平面BB 1C 1C ，又AB ⊂平面AB 1B 1A ，所以平面AB 1B 1A ⊥BB 1C 1C ．…………………………4分（Ⅱ）建立如图所示的坐标系O -xyz ． 其中O 是BB 1的中点，Ox ∥AB ，OB 1为y 轴，OC 为z 轴．设AB ＝2，则A (2，－1，0)，B (0，－1，0)，C (0，0，3)，A 1(2，1，0)． AB →＝(－2，0，0)，AC →＝(－2，1，3)，AA 1→＝(0，2，0)． …6分设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为面ABC 的法向量，则n 1·AB →＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎨⎧－2x 1＝0，－2x 1＋y 1＋3z 1＝0．取z 1＝－1，得n 1＝(0，3，－1)．…8分设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为面ACA 1的法向量，则n 2·AA 1→＝0，n 2·AC →＝0，即⎩⎨⎧2y 2＝0，－2x 2＋y 2＋3z 2＝0．取x 2＝3，得n 2＝(3，0，2)． …………………10分 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－77．因此二面角B -AC -A 1的余弦值为－77． ……………………………12分（20）解：（Ⅰ）由题设，得4a 2＋1b2＝1， ①且a 2－b 2a ＝22， ②由①、②解得a 2＝6，b 2＝3，椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1． …………………………………………………3分（Ⅱ）记P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)．设直线MP 的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，与椭圆C 的方程联立，得 (1＋2k 2)x 2＋(8k 2－4k )x ＋8k 2－8k －4＝0，－2，x 1是该方程的两根，则－2x 1＝8k 2－8k －41＋2k 2，x 1＝－4k 2＋4k ＋21＋2k 2．设直线MQ 的方程为y ＋1＝－k (x ＋2)，同理得x 2＝－4k 2－4k ＋21＋2k 2．………………………………………………………6分因y 1＋1＝k (x 1＋2)，y 2＋1＝－k (x 2＋2)，故k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1＋2)＋k (x 2＋2)x 1－x 2＝k (x 1＋x 2＋4)x 1－x 2＝8k1＋2k28k 1＋2k 2＝1，因此直线PQ 的斜率为定值． ……………………………………………………9分B CB 1B AC 1A 1Axz y O（Ⅲ）设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为－k，假设∠PMQ为直角，则k·(－k)＝－1，k＝±1．若k＝1，则直线MQ方程y＋1＝－(x＋2)，与椭圆C方程联立，得x2＋4x＋4＝0，该方程有两个相等的实数根－2，不合题意；同理，若k＝－1也不合题意．故∠PMQ不可能为直角．…………………………………………………………12分21.（22）解：（Ⅰ）设P (ρ，θ)，M (ρ1，θ)，依题意有 ρ1sin θ＝2，ρρ1＝4． ……………………………3分 消去ρ1，得曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ． ……………………………5分 （Ⅱ）将C 2，C 3的极坐标方程化为直角坐标方程，得 C 2：x 2＋(y －1)2＝1，C 3：x －y ＝2． ……………………………7分C 2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C 3的距离d ＝322，故曲线C 2上的点到直线C 3距离的最大值为1＋322． ……………………………10分（23）证明:(Ⅰ)由0a >，有111()=|||||)()|2f x x x a x x a a a a a-++≥--+=+≥( 所以()2f x ≥ ………………………5分 (Ⅱ)22243x y z ++=,由柯西不等式得:2222222[(2)+](111)(2)x y z x y z +++≥++(当且仅当2111x y z ==即6355x z y ===，时取“=”号)整理得:9)2(2≤++z y x ,即32≤++z y x ……………………10分。

2015届高考模拟试卷数学试题(理科)附答案

2015届高考模拟试卷数学试题(理科)附答案

2015届高考模拟试卷数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z 满足i i z -=+1)1(（i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z = A ．i -B ．i 2-C ．iD ．i 22．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )A.32π B ．π＋ 3 C.32π＋ 3 D.52π＋ 33.在极坐标系中，过点(2,)6π且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )A.ρθ=B.ρθ=C.sin ρθ=D.cos ρθ=4．图(1)是某高三学生进入高中三年来 的数学考试成绩茎叶图，第1次到第 14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…， A 14.图(2)是统计茎叶图中成绩在一定 范围内考试次数的一个算法流程图． 那么算法流程图输出的结果是( )A ．7B ．8C ．9D ．105．已知“命题p ：∃x ∈R ，使得ax 2＋2x ＋1<0成立”为真命题，则实数a 满足( ) A ．[0,1) B ．(－∞，1) C ．[1，＋∞) D ．(－∞，1]6．若函数f (x )＝(k －1)·a x －a －x (a ＞0且a ≠1) 在R 上既是奇函数，又是减函数， 则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )7.等比数列{}n a 的首项为1，公比为q ，前n 项和记为S,由原数列各项的倒数组成一个新数列1{}n a ，则1{}na 的前n 项之和'S 是（ ）A.1SB.1n q SC.n q SD. 1n S q -8. 若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23x yz +=的最小值是（ ）A ．9. 若二项式*(2)()n x n N -∈的展开式中所有项的系数的绝对值之和是a ，所有项的二项式系数之和是b ，则b aa b+的最小值是（ ） A.2 B.136 C.73 D.15610.有7张卡片分别写有数字1，1,1,2,2,3,4，从中任取4张，可排出的四位数有（ ）个A.78B. 102C.114D.120第Ⅱ卷(非选择题共100分)请用0 5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

2015年高三数学理科模拟试卷及参考答案

2015年高三数学理科模拟试卷及参考答案

2015年高三数学理科模拟试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数221z i i=++，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为( )A.22B. 2C. 3D. 2 2．设a ∈R ，则“4a =”是“直线1:230l ax y +-=与直线2:20l x y a +-=平行”的( )条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要3．设函数()2xf x =，则下列结论中正确的是( ) A. (1)(2)(2)f f f -<<- B. (2)(1)(2)f f f -<-<C. (2)(2)(1)f f f <-<-D. (1)(2)(2)f f f -<-<4．设等差数列{n a 的前n 项和是n S ，若11m m a a a +-<<-(m ∈N *,且2m ≥)，则必定有( )A. 0m S >，且10m S +<B. 0m S <，且10m S +>C. 0m S >，且10m S +>D. 0m S <，且10m S +<5．已知实数x ∈[1，9]，执行如图所示的流程图， 则输出的x 不小于55的概率为( ) A.14B.23C.28D.386．某几何体的立体图如图所示，该几何体的三视图不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．设函数()log (01)a f x x a =<<的定义域为[,](m n m <)n ,值域为[0,1],若n m -的最小值为13,则实数a 的值为( )A. 14B.14或23C.23D.23或348．设双曲线22143x y-=的左,右焦点分别为12,F F,过1F的直线l交双曲线左支于,A B两点,则22BF AF+的最小值为( )A.192B. 11C. 12D. 169．已知集合{}(,)(1)(1)A x y x x y y r=-+-≤，集合{}222(,)B x y x y r=+≤，若BA⊂，则实数r可以取的一个值是( )A. 21+ B. 3 C. 2 D.212+10．设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x xf xf x x⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()()1F x xf x=-的零点的个数为( )A. 4B. 5C. 6D. 711．设等差数列{}na满足：22222233363645sin cos cos cos sin sin1sin()a a a a a aa a-+-=+，公差(1,0)d∈-.若当且仅当9n=时，数列{}n a的前n项和n S取得最大值，则首项1a的取值范围是( )A.74,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭B.43,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知椭圆，过椭圆右焦点F的直线L交椭圆于A、B两点，交y轴于P点．设，则λ1+λ2等于（）A．B．C．D．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．从3,2,1,0中任取三个数字，组成无重复数字的三位数中，偶数的个数是(用数字回答)．14．若整数．．,x y满足不等式组70y xx yx-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则2x y+的最大值为15．已知正三棱锥P﹣ABC中，E、F分别是AC，PC的中点，若EF⊥BF，AB=2，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．16．设P（x，y）为函数y=x2﹣1图象上一动点，记，则当m最小时，点P的坐标为．三．解答题。

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