东南大学《数值分析》上机题
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数值分析上机题1
(1) 编制按从大到小的顺序几=亠+4
2- -1 3~ — 1
计算几的通用程序。
(2 )编制按从小到大由
-走+詔E +H计算“的通用程月
(3) 按两种顺序分别计算％, %, %, 有效位数。(编制程序时用单精度)
(4) 通过本上机题，你明白了什么?
程序代码(matlab编程):
clc
clear
a=single(1・/([2:10A7]・ A2-l));
Si (1)=single(0);
SI (2)=1/(2A2-1);
for N=3:10A2
Sl(N)=a(l)；
for i=2:N-l
SI (N)=S1 (N)+a(i);
end
end
S2 (l)=single(0);
S2 (2)=1/(2A2-1);
for N=3:10A2
S2(N)=a(N-l);
for i=linspace(N-2,1,N-2)
S2(N)=S2(N)+a(i);
end
end 其精确值为俣怙卜
N—l
顺序
并指出 S1表示按从大到小的顺序的SN
S2表示按从小到大的顺序的SN 计算结果
从大到小的顺序的值 从小到大的顺序的值 精确值 有效位数
从大到小 从小到大
% 0.740049 0.74005 0.740049 6 5
几， 0.749852 0.7499 0.7499 4 4
% 0.749852 0.749999 0.749999 3 6
通过本上机题，看出按两种不同的顺序计算 的结果是不相同的，按从大到小的顺序计算的值 与精确值有较大的误差，而按从小到大的顺序计 算的值与精确值吻合。从大到小的顺序计算得到 的结果的有效位数少。计算机在进行数值计算时 会出现“大数吃小数”的现象，导致计算结果的 精度有所降低，我们在计算机中进行同号数的加 法时，采用绝对值较小者先加的算法，其结果的
相对误差较小。数值分析上机题2
20・（上机题）Newton迭代法
（1）给定初值、及容许误差，，编制Newton法 解方程/⑴“根的通用程序。
（2）给定方程弘—,易知其有三个根
1.由Newton方法的局部收敛性可知存在
5>o,当“（—恥）时,Newton迭代序列收敛于根工;。
试确定尽可能大的恥
2•试取若干初始值,观察当 x0 e （-00,-1） 9 （一1,一»）,
（一恥），°1）,（is时Niwton序列是否收敛以及收
敛于哪一个根。
MATLAB程序
问题1
dx=0 ・ 5;
x(l)=0.5;
while(dx>le-6)
i=l；
error=l;
while (error>le-8)
x(i+l)=x(i)-(l/3*x(i)A3-x(i))/(x(i)A2-l);
error=abs(x(i+1)-x(i)); i=i+l; end
if (x(i)==0)
x(l)=x(l)+dx; else
dx=dx/2;
x(l)=x(l)-dx;
end
end
经计算，最大的2为0.774596 问题2
clc
clear
x2(l)=lel4;
i=l；
error=l;
while (error>le-8)
x2(i+l)=x2(i)-(l/3*x2(i)A3-x2(i))/(x2(i)A2-l);
error=abs(x2(i+1)-x2(i));
i=i+l;
if(i>le4)
-1）内收敛于"，在（-0.774, 0.774）内收敛于 0,在（1, +8）内收敛于朽，但在内（0.774, 1）和（一1,
0.774）均可能收敛于"和厲。 分析：对于不同的初值，迭代序列会收敛于不同 的根，所以在某个区间内求根对于初值的选取有 很大的关系。产生上述结果的原因是区间不满足 大范围收敛的条件。
数值分析上机题3 对于不同得初始值收敛于不同的根， 心在（・8, 39.(上机题)列主元三角分解法对于某电路的 分析，归结为求解线性方程组RI=VO
(1)编制解n阶线性方程组Ax=b的列主元三角
分解法的通用程序;
(2)用所编制的程序解线性方程组RI二V,并打
印出解向量，保留五位有效数;
(3) 本编程之中，你提高了哪些编程能力?
程序：
clc
clear
A=[31,-13,0z0z0z-10z0z0z0 -13,35,-9,0,-11,0,0,0,0 0,-9,31,-10,0,0,0,0,0 0,0,-10,79,-30,0,0,0,-9 0,0,0,-30,57,-7,0,-5,0 0,0,0,0,-7,47,-30,0,0 0,0,0,0,0,-30,41,0,0
0z0,0,0z—5,0,0z27z-2 0,0z0/-9/0z0z0/-2,29];
b=[-15,27,-23,0,-20,12,-7,7,10] 1;
[mzn] =size (A);
Ap=[Azb]；
x=zeros(n,1);
for i=l:m-l
j=i；
[maxa,maxi]=max(abs(Ap(i:end,j))); maxi=maxi+i-1;
if(maxa~=0)
mid=Ap(maxi,:);
Ap (maxi , :) =Ap (i,：)；
Ap (i , : ) =mid;
for k=i:m
Ap (i+1 :mz : ) =Ap (i+1:m, :) -Ap (i+1 :m, j ) * (Ap (i ,:)・ /maxa);
end
end
end
for i=linspace(mz1,m)
x(i) = (Ap(i,end)-Ap(i,1:end~l)*x)/Ap(1,i);
end 结果：方程的解为（保留5位有效数字）:
xl= -0.28923, x2= 0.34544, x3= -0.71281, x4= -0.22061, x5= -0.43040, x6= 0.15431, x7= -0.057823, x8= 0.20105, x9= 0.29023 0
习题4
37・(上机题)3次样条插值函数
(1) 编制求第一型3次样条插值函数的通用程
F;
(2) 已知汽车曲线型值点的数据如下：
端点条件为＞()=0.8, 3-0. 2o用所编制程序求车 门的3次样条插值函数S(x),并打印出 S(i+0・ 5)(i=0,1, -9)o
程序：
(1)
clc clear
%%
x=[0,lz2,3z4,5z6z7,8z9z10]；
y=[2.51,3.30z4.04z4.7,5.22,5.54,5.78,5.40,5.57,5.70z5.80]; yl=0 ・ 8;
yend=0 ・ 2;
%% _____________________________________________________________________________ n=size(x,2)-1;
h=x(2:end)-x(1:end-1);
miu=h(1:end-1)・/(h(1:end-1)+h(2:end));
1amda=1-miu;
f1=[ylz(y(2:end)-y(1:end-1))・/h,yend];%f[xn-1,xn]
f2=[f1(2:end)-f1(1:end-1)]・/[h(l)zh(1:end-1)+h(2:end),h(end)];%f[xn-1 zxn,xn+l]
A=2 ・ Sye (n+1);
A(2:end,1:end-1)=A(2:end,1:end-1)+diag([miu,1]*);
A(1:end-1,2:end)=A(1:end-1,2:end)+diag([1,lamda]1);
M=A\(6*f2f);
Sx=[y(l:end-1)•z((y(2:end)-y(l:end-1))・/h)'-((1/3*M(1:end-1)+1/6*M(2: end))・*hl)z1/2*M(1:end-1)z1/6*(M(2:end)-M(1:end-1))・/hf];
0 1 2 3 4
儿 2.51 3. 30 4. 04 4. 70 5. 22
5 6 7 8 9 10
5. 54 5. 78 5. 40 5. 57 5. 70 5. 80
%%
xx=input(z x= r );
for j=2:n+1
if xx
S=Sx(j-l,:)*[l,xx-x(j-l),(xx-x(j-l))A2,(xx-x(j-l))A3]'；
break
end
end
⑵
clc
clear
%%
x=[0zlz2,3z4z5z6z7z8z9z10]；
y=[2.51,3.30,4.04,4.7,5.22,5.54,5.78,5.40,5.57,5.70,5.80];
yl=0 ・ 8;
yend=0 ・ 2;
%% _____________________________________________________________________________
n=size(x,2)-1;
h=x(2:end)-x(1:end-1);
miu=h(1:end-1)・/(h(1:end-1)+h(2:end));
lamda=l-miu;
f1=[yl, (y(2:end)-y(1:end-1))・/h,yend] ;%f[xn-1z xn]
f2=[fl(2:end)-fl(l:end-l)]・/[h(l)zh(1:end-1)+h(2:end)zh(end)];%f[xn-1 zxnzxn+l]
A=2 ・ (n+1);
A(2:end,1:end-1)=A(2:end,1:end-1)+diag([miu,1]');
A(1:end-1,2:end)=A(1:end-1,2:end)+diag([1,lamda]1);
M=A\(6*f2');
Sx=[y(l:end-1)•z((y(2:end)-y(l:end-1))・/h)'-((1/3*M(1:end-1)+1/6*M(2: end))・*h-),1/2*M(1:end-1)z1/6*(M(2:end)-M(1:end-1))・/hf];
%%
for i=0:9
xx=i+0.5;
for j=2:n+1
if xx
S(i+l)=Sx(j-l,:)*[!,xx-x(j-l)z(xx-x(j-l))A2,(xx-x(j-l))A3]・;
