东南大学《数值分析》上机题
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数值分析上机题1
设2211NNjSj，其精确值为1311221NN。
（1）编制按从大到小的顺序22211121311NSN，计算NS的通用程序。
（2）编制按从小到大的顺序2221111(1)121NSNN，计算NS的通用程序。
（3）按两种顺序分别计算210S，410S，610S，并指出有效位数。（编制程序时用单精度）
（4）通过本上机题，你明白了什么？
程序代码（matlab编程）：
clc
clear
a=single(1./([2:10^7].^2-1));
S1(1)=single(0);
S1(2)=1/(2^2-1);
for N=3:10^2
S1(N)=a(1);
for i=2:N-1
S1(N)=S1(N)+a(i);
end
end
S2(1)=single(0);
S2(2)=1/(2^2-1);
for N=3:10^2
S2(N)=a(N-1);
for i=linspace(N-2,1,N-2)
S2(N)=S2(N)+a(i);
end
end
S1表示按从大到小的顺序的SN
S2表示按从小到大的顺序的SN
计算结果
从大到小的顺序的值 从小到大的顺序的值 精确值 有效位数
从大到小 从小到大
210S 0.740049 0.74005 0.740049 6 5
410S 0.749852 0.7499 0.7499 4 4
610S 0.749852 0.749999 0.749999 3 6
通过本上机题，看出按两种不同的顺序计算的结果是不相同的，按从大到小的顺序计算的值与精确值有较大的误差，而按从小到大的顺序计算的值与精确值吻合。从大到小的顺序计算得到的结果的有效位数少。计算机在进行数值计算时会出现“大数吃小数”的现象，导致计算结果的精度有所降低，我们word格式-可编辑-感谢下载支持
在计算机中进行同号数的加法时，采用绝对值较小者先加的算法，其结果的相对误差较小。
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数值分析上机题2
20．（上机题）Newton迭代法
（1）给定初值0x及容许误差，编制Newton法解方程()0fx根的通用程序。
（2）给定方程3()/30fxxx，易知其有三个根13x，20x，33x。
1．由Newton方法的局部收敛性可知存在0，当0(,)x时，Newton迭代序列收敛于根2x。试确定尽可能大的。
2．试取若干初始值，观察当0(,1)x，(1,)，(,)，(,1)，(1,)时Newton序列是否收敛以及收敛于哪一个根。
MATLAB程序
问题1
clc
clear
dx=0.5;
x(1)=0.5;
while(dx>1e-6)
i=1;
error=1;
while (error>1e-8)
x(i+1)=x(i)-(1/3*x(i)^3-x(i))/(x(i)^2-1);
error=abs(x(i+1)-x(i));
i=i+1;
end
if(x(i)==0)
x(1)=x(1)+dx;
else
dx=dx/2;
x(1)=x(1)-dx;
end
end
经计算，最大的为0.774596
问题2
clc
clear
x2(1)=1e14;
i=1;
error=1;
while (error>1e-8)
x2(i+1)=x2(i)-(1/3*x2(i)^3-x2(i))/(x2(i)^2-1);
error=abs(x2(i+1)-x2(i));
i=i+1; word格式-可编辑-感谢下载支持
if(i>1e4)
break
end
end
对于不同得初始值收敛于不同的根, 0x在（-∞，-1）内收敛于3，在（-0.774，0.774）内收敛于0，在（1，+∞）内收敛于3，但在内（0.774，1）和（－1，0.774）均可能收敛于3和3。
分析：对于不同的初值，迭代序列会收敛于不同的根，所以在某个区间内求根对于初值的选取有很大的关系。产生上述结果的原因是区间不满足大范围收敛的条件。
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数值分析上机题3
39．（上机题）列主元三角分解法对于某电路的分析，归结为求解线性方程组RI=V。
（1）编制解n阶线性方程组Ax=b的列主元三角分解法的通用程序；
（2）用所编制的程序解线性方程组RI=V，并打印出解向量，保留五位有效数；
（3）本编程之中，你提高了哪些编程能力？
程序：
clc
clear
A=[31,-13,0,0,0,-10,0,0,0
-13,35,-9,0,-11,0,0,0,0
0,-9,31,-10,0,0,0,0,0
0,0,-10,79,-30,0,0,0,-9
0,0,0,-30,57,-7,0,-5,0
0,0,0,0,-7,47,-30,0,0
0,0,0,0,0,-30,41,0,0
0,0,0,0,-5,0,0,27,-2
0,0,0,-9,0,0,0,-2,29];
b=[-15,27,-23,0,-20,12,-7,7,10]';
[m,n]=size(A);
Ap=[A,b];
x=zeros(n,1);
for i=1:m-1
j=i;
[maxa,maxi]=max(abs(Ap(i:end,j)));
maxi=maxi+i-1;
if(maxa~=0)
mid=Ap(maxi,:);
Ap(maxi,:)=Ap(i,:);
Ap(i,:)=mid;
for k=i:m
Ap(i+1:m,:)=Ap(i+1:m,:)-Ap(i+1:m,j)*(Ap(i,:)./maxa);
end
end
end
for i=linspace(m,1,m)
x(i)=(Ap(i,end)-Ap(i,1:end-1)*x)/Ap(i,i);
end
结果：方程的解为（保留5位有效数字）：
x1= -0.28923，x2= 0.34544，x3= -0.71281，
x4= -0.22061，x5= -0.43040，x6= 0.15431，
x7= -0.057823，x8= 0.20105，x9= 0.29023。
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习题 4
37.（上机题）3次样条插值函数
（1）编制求第一型3次样条插值函数的通用程序;
（2） 已知汽车曲线型值点的数据如下：
ix 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
iy 2.51 3.30 4.04 4.70 5.22 5.54 5.78 5.40 5.57 5.70 5.80
端点条件为'0y=0.8，'10y=0.2。用所编制程序求车门的3次样条插值函数S(x),并打印出S(i+0.5)(i=0,1,…9)。
程序：
（1）
clc
clear
%%
x=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];
y=[2.51,3.30,4.04,4.7,5.22,5.54,5.78,5.40,5.57,5.70,5.80];
y1=0.8;
yend=0.2;
%% ___________________________________________
n=size(x,2)-1;
h=x(2:end)-x(1:end-1);
miu=h(1:end-1)./(h(1:end-1)+h(2:end));
lamda=1-miu;
f1=[y1,(y(2:end)-y(1:end-1))./h,yend];%f[xn-1,xn]
f2=[f1(2:end)-f1(1:end-1)]./[h(1),h(1:end-1)+h(2:end),h(end)];%f[xn-1,xn,xn+1]
A=2.*eye(n+1);
A(2:end,1:end-1)=A(2:end,1:end-1)+diag([miu,1]');
A(1:end-1,2:end)=A(1:end-1,2:end)+diag([1,lamda]');
M=A\(6*f2');
Sx=[y(1:end-1)',((y(2:end)-y(1:end-1))./h)'-((1/3*M(1:end-1)+1/6*M(2:end)).*h'),1/2*M(1:end-1),1/6*(M(2:end)-M(1:end-1))./h'];
%%
xx=input(’x= ’);
for j=2:n+1
if xx
S=Sx(j-1,:)*[1,xx-x(j-1),(xx-x(j-1))^2,(xx-x(j-1))^3]';
break
end
end
(2)
clc
clear
