初高数学衔接

圆的初步

一、知识解析 

定义1 四点共圆

给定四边形ABCD

，如果存在一个圆，使得点,,,ABCD都在这个圆上，我们称这个四

边形ABCD

四点共圆，这个圆称为四边形ABCD

的外接圆。

定理1 四点共圆的角度性质

如右图所示，四边形ABCD

四点共圆，则有以下角度关系：

1. 同弧所对角相等

BACBDC

ABDACD

ACBADB

CBDCAD

2. 对角互补

180BADBCD

180ABCADC

定理2 四点共圆的角度判定（即上定理的逆命题）

图同定理1，给定四边形ABCD

,若这个四边形满足定理一中的任意一个等式，则这个

四边形四点共圆。

定理2证明

这里只证明满足等式BACBDC

的情况，其他情

况同理可证。

这里我们使用同一法证明定理2。

首先做出BCD

的外接圆，设射线CA

交这个圆于点

A

我们有BACBDCBAC

,有BA与BA平行，即

BA与BA重合，A与A

重合。所以A在BCD

的外接圆

上，即ABCD

四点共圆。

对话1 关于定理2的解释

定理1和定理2说明，给定一个四边形，满足上述6个等式中的任意一个，其他5

个等式就都会成立了。这是个四点共圆的基本结论，也是平面几何中最常用且好用的结

论。

对话2 同一法的证题逻辑

定理2的证明用到了同一法，如果你是初学者，相信你会感到奇怪，因为同一法确

实和我们的习惯思维方式相悖。

定义2 弦切角

如下左图所示，满足顶点在圆上，一条边为圆的弦，另一条边为圆的切线的角，称为

圆的弦切角。例如CAD即为圆O的弦切角。

定理3 弦切角定理

弦切角的大小等于弦切角所夹弧所对圆周角的大小。如下左图，过点A作ABC的切

线DA，则有DACABC。

定理3证明

如下右图，作过A的直径AE，连接EC。

90DACCAECAECEA

，于是DACCEACBA。

二、自招回溯 

对话3 四点共圆角度关系的重要性

新高一数学必备知识

一、乘法公式

1、完全平方公式和平方差公式

2222bababa 22bababa

2、和立方与差立方公式

3223333babbaaba

3223333babbaaba

3、立方和与立方差公式

3322babababa

3322babababa

二、一元二次方程

1、韦达定理

一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

若ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两根分别是x1，x2，则x1＋x2＝ba，x1·x2＝ca．也被称为韦达定理．以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．

利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

222121212()2xxxxxx 12121211xxxxxx

22121212()()4xxxxxx 2121212||()4xxxxxx，

一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题(相关地，抛物线与x轴两交点间的距离)，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：

设x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两根，

则aacbbx2421，aacbbx2422，

||4|242||2424|||222221aacbaacbaacbbaacbbxx||a． 【例题精讲】

例1. 已知方程5x2＋kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．

例2. 若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x-3=0的两根．

(1) 求|x1-x2|的值； (2) 求222111xx的值； (3) 求31x＋32x的值．

例3. 已知、是方程x2＋2x-5=0的两个实数根，则2＋＋2的值为_______．

1 初高中衔接课

定语从句

一、 定义

在复合句中，修饰某一

或 的从句叫做定语从句。

定语是用来限定、修饰名词或代词的，是对名词或代词起修饰、限定作用的词、短语（动词不定式短语、动名词短语和分词短语）

，汉语中常用

表示。

定语从句是指在一个句子中作定语的句子，定语从句要放在所修饰的词

（前/后）。

如：1) The man who lives next to us is a policeman.

2) You must do everything that I do.

上面两句中的man和everything是定语从句所修饰的词，叫

，引导定语从句的词有

that, which, who(宾格who, 所有格whose)和关系副词 ，

，

。

关系词常有三个作用：1、引导定语从句 2、代替先行词 3、

二、关系代词引导的定语从句

1.who指 ，在从句中做 。

(1)The boys who are playing football are from Class One.

(2)Yesterday I helped an old man who lost his way.

2. whom指 ，在定语从句中充当

，常可省略。

(1) Mr. Liu is the person (whom) you talked about.

注意：关系代词whom在口语和非正式语体中常用who代替，可省略。

(3) The man who/whom you met just now is my friend.

3. which指 ，在定语从句中做主语或者宾语，做宾语时可省略

初升高数学衔接带答案

一、选择题

1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 5 \)，求\( f(2) \)的值。

A. 7

B. 9

C. 11

D. 13

答案：B

2. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

答案：A

3. 一个数列的前三项为1, 2, 3，且每一项都是前一项的两倍加一，求第4项的值。

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

答案：A

二、填空题 1. 计算\( \sqrt{64} \)的值是______。

答案：8

2. 一个圆的半径为7，求该圆的面积。

面积公式为\( A = \pi r^2 \)，所以面积是______。

答案：\( 49\pi \)

三、简答题

1. 解释什么是二项式定理，并给出一个例子。

答案：二项式定理是代数学中的一个重要定理，它描述了(a+b)^n展开成多项式的形式。例如，\( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \)。

2. 给定一个函数\( g(x) = 3x - 4 \)，求\( g^{-1}(x) \)。

答案：为了求\( g^{-1}(x) \)，我们首先设\( y = g(x) \)，即\( y

= 3x - 4 \)。解出x，得到\( x = \frac{y+4}{3} \)，所以\( g^{-1}(x) = \frac{x+4}{3} \)。

四、计算题

1. 解不等式\( |x - 5| < 2 \)。

答案：解这个绝对值不等式，我们得到两个不等式：\( -2 < x - 5 <

2 \)。解这两个不等式，我们得到\( 3 < x < 7 \)。

2. 计算\( \int_{0}^{1} (3x^2 + 2x) \, dx \)。

答案：首先找到被积函数的原函数，即\( F(x) = x^3 + x^2 \)。然后计算定积分： \[ \int_{0}^{1} (3x^2 + 2x) \, dx = F(1) - F(0) = (1^3 + 1^2)