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2013届高考数学双曲线

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第二节 双曲线

一、基本知识概要：

1.双曲线的定义

第一定义：平面内与两个定点21,FF距离的差的绝对值等于|)|2(221FFaa的点的轨迹，即点集aPFPFP2|21。（212FFa为两射线；221FFa无轨迹。）无外面的绝对值则为半条双曲线，左-右为右支，上-下为下支等。

第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数)1(e的动点的轨迹。即点集1|11edPFP=1|22edPFP，一个比产生整条双曲线。

2.双曲线的标准方程及几何性质

标准方程 )0,0(12222babyax )0,0(12222babxay

图形

焦点 F1（-)0,c，F2（)0,c F1（),0c，F2（),co

焦距 | F1F2|=2c 222cba一个Rt

范围 Ryax,|| Rxay,||

对称性 关于x轴，y轴和原点对称

性

质 顶点 （-a，0）。（a，0） （0，-a）（0，a）

轴 实轴长2a，虚轴长2b

准线

cax2 cay2

渐近线 0byaxxaby 0aybxxbay

共渐近线的双曲线系方程kbyax2222或)0(2222kkbxay

焦半径 P在右支上，

aexPFraexPFr2211

P在左支上，)()(2211aexPFraexPFr

P在上支上，

aeyPFraeyPFr2211

P在下支上，)()(2211aeyPFraeyPFr

acPFmin

平面几何性质 )1(eace，e大开口大

离心率

焦准距,2cap准线间距=,22ca焦渐距=b。

说明：(1)双曲线的两个定义是解决双曲线的性质问题和求双曲线方程的两个有力工具，所以要对双曲线的两个定义有深刻的认识。

(2)双曲线方程中的pecba,,,,与坐标系无关，只有焦点坐标，顶点坐标，准线及渐近线方程与坐标系有关，因此确定一个双曲线的标准方程需要三个条件：两个定形条件ba,，一个定位条件，焦点坐标或准线，渐近线方程。

求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹方程法。

(3)直线和双曲线的位置关系，在二次项系数不为零的条件下和椭圆有相同的判定方法和有关公式，求解问题的类型也相同。唯一不同的是直线与双曲线只有一个公共点时，不一定相切。

利用共渐近线的双曲线系kbyax2222或)0(2222kkbxay方程解题，常使解法简捷。

(4)双曲线的焦半径，当点P在右支（或上支）上时，为);(,00aeyaex当点P在左支（或下支）上时，为)];([),(00aeyaex利用焦半径公式，解题简洁明了，注意运用，

3.重点、难点：深刻理解确定双曲线的形状，大小的几个主要特征量，掌握定义，性质，掌握直线与双曲线的位置关系。

4.思维方式：方程的思想，数形结合的思想；待定系数法，参数思想等。

二、例题：

例1：根据下列条件，求双曲线方程：

(1) 与双曲线116922yx有共同渐近线，且过点)32,3(； (2) 与双曲线141622yx有公共焦点，且过点)2,23(。

【解】：（1）设所求双曲线方程为)0(16922yx，将点)32,3(代入得41，

所以双曲线方程为4116922yx。

（2）设双曲线方程为141622kykx，将点)2,23(代入得4k，

所以双曲线方程为181222yx。

【思维点拨】利用共渐近线的双曲线系方程解题简捷明了。要善于选择恰当的方程模型。

例2：在双曲线191622yx上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。

【解】：设P点的坐标为),(yx，21,FF分别为双曲线的左，右焦点。

∵双曲线的准线方程为516x。

∴|516||||516|||21xPFxPF ∵||2||21PFPF ∴P在双曲线的右支上。

∴516||516||222xPFxPF

∴548x。把548x代入方程191622yx得11953y。 所以，P点的坐标为（548，11953）

【思维点拨】运用焦半径公式，解题简洁明了.

例3．（2002年全国，19）设点P到点M（－1，0），N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围。

解：设点P的坐标为（x,y），依题意得)0(2,2xxyxy即。 （1）

因此，点P（x.y）,M(-1,0),N(1,0)三点不共线，得2MNPNPM

10,02mmPNPM，

因此，点P在以M，N为焦点，实轴长为2m的双曲线上，故112222mymx （2）

将（1）代入（2），并解得222251)1(mmmx，051,0122mm

解得0＜55m，即m的取值范围为)55,0()0,55(。

【思维点拨】本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力。解决此题的关键是用好双曲线的定义。

例4：已知双曲线12222byax的离心率21e，左，右焦点分别的为21,FF，左准线为1l，能否在双曲线的左支上找到一点P，使得||1PF是P到l的距离d与||2PF的等比中项。

【解】：设在左半支上存在点P，使dPFPF||||221，由双曲线的第二定义知ePFPFdPF||||||121，即||||12PFePF ①

再由双曲线的第一定义，得aPFPF2||||12 ②

由①②，解得： 12||,12||21eaePFeaPF 由在Δ21FPF中有 cPFPF2||||12， ceaeea21212 ③

利用ace，从③式得0122ee 解得2121e

2111ee，与已知21e矛盾。 ∴符合条件的点P不存在。

【思维点拨】利用定义及假设求出离心率的取值是关键。

例5．如图，在双曲线1131222xy的上支有三点),(),6,(),,(33211yxCxByxA，它们与点F（0，5）的距离成等差数列。

（1） 求的值31yy

（2） 证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标

解：（1）,51312c故F双曲线的焦点，设准线为l，离心率为e，

由题设有FCFAFB2 （1）

分别过A、B、C作x轴的垂线111222CBA,,,，，于交lCCBBAA，则由双曲线的第二定义有111,,FBCCeFCAAeFABBe＝，代入（1）式，得111111CCAABB2,2＋＝即CCeAAeBBe，于是两边均加上准线与x轴距离的2倍，有126223131222yyyyCCAABB＝，此即

（2）AC的中垂线方程为)(26),2(2312321313131313131yyxxxyyxxyxxxyyxxyyy即 （2）

由于A、C在双曲线上，所以有11312,1131223232121xyxy

相减得13121213)(1213,12133131232123212321yyyyxxyyxx于是有

故（2）式化为2253131xyyxxy，易知此直线过定点)225,0(D。 【思维点拨】利用第二定义得焦半径，可使问题容易解决，中垂线过弦AC的中点，中点问题往往把A、C的坐标代入方程，两式相减、变形，即可解决问题。

例6：（备用） 已知双曲线的焦点在x轴上，且过点)0,1(A和)0,1(B，P是双曲线上异于A、B的任一点，如果ΔAPB的垂心H总在此双曲线上，求双曲线的标准方程。

【解】：设双曲线方程为),(,100222yxPbyx为双曲线上任一点，BN，PM是ΔAPB的两条高，则BN方程为)1(100xyxy ① PM方程为0xx ②

又,122020byx ③ 得),(200byxH，又H在双曲线上，∴142020byx ④

∴12b，所以双曲线方程为122yx

【思维点拨】设方程，消参数。

例7：（备用）双曲线的实半轴与虚半轴的长的积为3，它的两个焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与直线F1F2的夹角为，且221tan，l与线段F1F2的垂直平分线的交点为P，线段P F2与双曲线的交点为Q，且||PQ:||2QF=2:1，建立适当的坐标系，求双曲线的方程。

【解】：以F1F2的中心为原点，F1，F2所在的直线为x轴建立坐标系，

则所求双曲线方程为)0,0(12222babyax，设)0,(2cF， 不妨设l的方程为)(221cxy，它与y轴交点)221,0(cP

由定比分点坐标公式Q点的坐标为ccyccx621322132320

即)621,32(ccQ

由点Q在双曲线上可得 13621942222bcac ① 又 3ab ②

222cba ③

解得3,1ba，所以双曲线方程为1322yx

三、课堂小结：

1.

渐近线是刻画双曲线的一个十分重要的概念，渐进线方程为xmny的双曲线方程可设为)0(2222nymx。

2. 利用点在曲线上列方程求参数值，利用曲线的范围列不等式解参数范围，在圆锥曲线解题过程中应重视这方面的应用。

3. 椭圆中cba,,的关系与双曲线中cba,,的关系是不同的，应注意区分运用。

四、作业布置：

教材P123闯关训练

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2013年湖北省高考数学试卷(理科)及解析

2013年湖北省高考数学试卷(理科)及解析

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2013年湖北省高考数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、

1、（5分）在复平面内，复数z=（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

2、（5分）已知全集为R，集合A={x|（）x≤1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩（∁RB）=（ ）

A、{x|x≤0} B、{x|2≤x≤4} C、{x|0≤x＜2或x＞4} D、{x|0＜x≤2或x≥4}

3、（5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）

A、（￢p）∨（￢q） B、p∨（￢q） C、（￢p）∧（￢q） D、p∨q

4、（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ）

A、 B、 C、 D、

5、（5分）已知0＜θ＜，则双曲线与C2：﹣=1的（ ）

A、实轴长相等 B、虚轴长相等 C、焦距相等 D、离心率相等

6、（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（ ）

A、 B、 C、 D、

7、（5分）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续

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行驶的距离（单位：m）是（ ）

A、1+25ln5 B、8+25ln C、4+25ln5 D、4+50ln2

8、（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）

2013年高考理科数学湖北卷word解析版

2013年高考理科数学湖北卷word解析版

1 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类

(湖北卷)

本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题．全卷满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑．

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑．考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选．答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．

5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2013湖北，理1)在复平面内，复数2i=1iz(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )．

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

答案：D

解析：∵2i2i1i=1i1i1iz＝i(1－i)＝1＋i，

∴复数2i=1iz的共轭复数z＝1－i，其在复平面内对应的点(1，－1)位于第四象限．

2．(2013湖北，理2)已知全集为R，集合112xAx，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则A∩＝( )．

A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}

C．{x|0≤x＜2或x＞4} D．{x|0＜x≤2或x≥4}

2013高考湖北数学真题及答案

2013高考湖北数学真题及答案

绝密★启用前

2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)

数 学(文史类)

本试题卷共5页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。

3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集，集合，，则

A. B. C. D.

2.已知，则双曲线：与：的

A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等

3.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为

A.∨ B.∨ C.∧ D.∨

4.四名同学根据各自的样本数据研究变量之间的相关关系，并求得回归直线方程，分

别得到以下四个结论：

① y与x负相关且; ② y与x负相关且;

③ y与x正相关且; ④ y与x正相关且. 其中一定不正确的结论的序号是

A.①② B.②③ C.③④ D. ①④

5.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是

6.将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是

A. B. C. D.

7.已知点、、、，则向量在方向上的投影为

2013年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)

2013年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)

2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（ ）

A．A∩B=∅ B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B

2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（ ）

A．﹣4 B． C．4 D．

3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）

A．简单的随机抽样 B．按性别分层抽样

C．按学段分层抽样 D．系统抽样

4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（ ）

A．y= B．y= C．y=±x D．y=

5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（ ）

A．[﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5]

6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（ ）

A． B． C． D．

7．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm﹣1=﹣2，Sm=0，Sm+1=3，则m=（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π

9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（ ）