高考数学考点归纳之 双曲线

高考数学考点归纳之 双曲线

一、基础知识

1．双曲线的定义

平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a❶(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线❷.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

❶当|PF1|－|PF2|＝2a2a＜|F1F2|时，点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支.

当|PF1|－|PF2|＝－2a2a＜|F1F2|时，点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支.

❷若2a＝2c，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞2c，则轨迹不存在；若2a＝0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线.

2.双曲线的标准方程

(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的

标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．

(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的

标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．

3．双曲线的几何性质

标准方程 x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0) y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)

范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R

对称性 对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点

焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)

顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)

轴 线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b

焦距 |F1F2|＝2c

离心率

e＝ca＝ 1＋b2a2∈(1，＋∞) e是表示双曲线开口大小的

一个量，e越大开口越大. 渐近线 y＝±bax

y＝±abx

a，b，c的关系 a2＝c2－b2

二、常用结论

(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a，也叫通径．

(2)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2－y2b2＝t(t≠0)．

(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.

(4)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.

考点一 双曲线的标准方程

[典例] (1)(2018·石家庄摸底)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y＝±3x，则该双曲线的标准方程是( )

A.7x216－y212＝1 B.y23－x22＝1

C．x2－y23＝1 D.3y223－x223＝1

(2)(2018·天津高考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )

A.x24－y212＝1 B.x212－y24＝1

C.x23－y29＝1

D.x29－y23＝1

[解析] (1)法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程是x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，由题意得 4a2－9b2＝1，ba＝3，解得 a＝1，b＝3，所以该双曲线的标准方程为x2－y23＝1；当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程是y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，由题意得

9a2－4b2＝1，ab＝3，无解．故该双曲线的标准方程为x2－y23＝1，选C.

法二：当其中的一条渐近线方程y＝3x中的x＝2时，y＝23＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程是x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，由题意得 4a2－9b2＝1，ba＝3，解得 a＝1，b＝3，所以该双曲线的标准方程为x2－y23＝1，故选C.

法三：因为双曲线的渐近线方程为y＝±3x，即y3＝±x，所以可设双曲线的方程是x2－y23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－y23＝1，故选C.

(2)法一：如图，不妨设A在B的上方，则Ac，b2a，Bc，－b2a.

又双曲线的一条渐近线为bx－ay＝0，

则d1＋d2＝bc－b2＋bc＋b2a2＋b2＝2bcc＝2b

＝6，所以b＝3.

又由e＝ca＝2，知a2＋b2＝4a2，所以a＝3.

所以双曲线的方程为x23－y29＝1.

法二：由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3.因为双曲线

x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以ca＝2，所以a2＋b2a2＝4，所以a2＋9a2＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为x23－y29＝1，故选C.

[答案] (1)C (2)C

[题组训练]

1．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－|PF2|＝4b，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的标准方程为( )

A.x24－y2＝1 B.x23－y22＝1

C．x2－y24＝1 D.x22－y23＝1 解析：选A 由题意可得 |PF1|－|PF2|＝2a＝4b，c2＝a2＋b2，2c＝25，

解得 a2＝4，b2＝1，则该双曲线的标准方程为x24－y2＝1.

2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，离心率为 5，则双曲线的标准方程为( )

A.x24－y216＝1 B．x2－y24＝1

C.x22－y23＝1 D．x2－y26＝1

解析：选A 因为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，所以a＝2，由离心率为5，可得ca＝5，c＝25，所以b＝c2－a2＝20－4＝4，则双曲线的标准方程为x24－y216＝1.

3．经过点P(3,27)，Q(－62，7)的双曲线的标准方程为____________．

解析：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，

因为所求双曲线经过点P(3,27)，Q(－62，7)，

所以 9m＋28n＝1，72m＋49n＝1，解得 m＝－175，n＝125.

故所求双曲线方程为y225－x275＝1.

答案：y225－x275＝1

考点二 双曲线定义的应用

考法(一) 利用双曲线的定义求双曲线方程

[典例] 已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )

A.x22－y214＝1(x≥ 2) B.x22－y214＝1(x≤－2)

C.x22＋y214＝1(x≥ 2) D.x22＋y214＝1(x≤－2)

[解析] 设动圆的半径为r，由题意可得|MC1|＝r＋2，|MC2|＝r－2，所以|MC1|－|MC2|＝22＝2a，故由双曲线的定义可知动点M在以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点，实轴长为2a＝22的双曲线的右支上，即a＝2，c＝4⇒b2＝16－2＝14，故动圆圆心M的轨迹方程为x22－y214＝1(x≥ 2)．

[答案] A

[解题技法]

利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．

考法(二) 焦点三角形问题

[典例] 已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于( )

A．2 B．4

C．6 D．8

[解析] 由双曲线的方程得a＝1，c＝2，

由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2.

在△PF1F2中，由余弦定理得

|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，

即(22)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|

＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|

＝22＋|PF1|·|PF2|，

解得|PF1|·|PF2|＝4.

[答案] B

[解题技法]

在双曲线中，有关焦点三角形的问题常用双曲线定义和解三角形的知识来解决，尤其是涉及|PF1|，|PF2|的问题，一般会用到双曲线定义．涉及焦点三角形的面积问题，若顶角θ已知，则用S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sin θ，|||PF1|－|PF2|＝2a及余弦定理等知识；若顶角θ未知，则用S△PF1F2＝12·2c·|y0|来解决．

[题组训练]

1．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为

( ) A.x24－y25＝1(y>0) B.x24－y25＝1(x>0)

C.y24－x25＝1(y>0) D.y24－x25＝1(x>0)

解析：选B 由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为x2a2－y2b2＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以点P的轨迹方程为x24－y25＝1(x>0)．

2．已知双曲线x2－y224＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝43|PF2|，则△F1PF2的面积为( )

A．48 B．24

C．12 D．6

解析：选B 由双曲线的定义可得

|PF1|－|PF2|＝13|PF2|＝2a＝2，

解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，

由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，

因此S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝24.

考点三 双曲线的几何性质

考法(一) 求双曲线的离心率(或范围)

[典例] (2018·长春二测)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是( )

A.53，2 B.1，53

C．(1,2] D.53，＋∞

[解析] 由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝4|PF2|，所以|PF2|＝2a3，由双曲线上的点到焦点的最短距离为c－a，可得2a3≥c－a，解得ca≤53， 即e≤53，又双曲线的离心率e＞1，故该双曲线离心率的取值范围为1，53，故选B.

[答案] B

[解题技法]