微积分试题及答案(5)

微积分试题及答案

一、填空题(每小题2分，共20分)

1. 2arctanlimxxx .

2. 设函数0 , 10 )21()(1xkx ,xxfx在0x处连续，则k 。

3. 若xxf2e)(，则)(lnxf 。

4. 设2sinxy，则)0()7(y 。

5. 函数2xy在点0x处的函数改变量与微分之差yyd 。

6. 若)(xf在ba,上连续, 则xaxxfxd)(dd ; bxxxfx2d)(dd .

7. 设函数)3)(2)(1()(xxxxf，则方程0)(xf有 个实根。

8. 曲线xxye的拐点是 。

9. 曲线)1ln(xy的铅垂渐近线是 。

10. 若Cxxxfx2d)(，则)(xf 。

二、单项选择（每小题2分，共10分）

1. 设xxfln)(，2)(xxg则)]([xgf的定义域是（ ）

（A）,2 （B）,2 （C）2, （D）2,

2. 当0x时，下列变量中与x相比为高阶无穷小的是（ ）

（A）xsin （B）2xx （C）3x （D）xcos1

3. 函数)(xf在],[ba上连续是)(xf在],[ba上取得最大值和最小值的（ ）

（A）必要条件 （B）充分条件 （C）充分必要条件 （D）无关条件

4. 设函数)(xf在]0[a，上二次可微，且0)()(xfxfx，则xxf)(在区间)0(a，内是（ ）

（A）不增的 （B）不减的 （C）单调增加的 （D）单调减少的

5. 若Cxxxf2d)(，则xxxfd)1(2 。

（A）Cx22)1(2 （B）Cx22)1(2

（C）Cx22)1(21 （D）Cx22)1(21

三、计算题（每小题6分，共48分）

1. 求极限 22)sin(1coslimxxxxx.

2. 求极限 20)(arctancoslnlimxxx.

3. 设)1ln()(xxf，))((xffy，求xydd.

4. 已知方程yxxy确定了函数)(xyy，求xydd.

5. 求函数1234xxy的对应曲线的凹凸区间及拐点.

6. 求不定积分)52(dxxxx.

7. 求不定积分xxxxdln)1(.

8. 求定积分102d1arctanxxxx

四、(9分) 求曲线2,620,2xxxxy与直线0y，3y所围图形的面积，并求此图形绕y轴旋转所成旋转体的体积yV。

五、(9分) 某商品的需求函数为40003pQ，其中Q为需求量(件)，p为单价(元)，求：(1)8p时的边际需求；(2) 8p时的需求弹性；(3)p为多少时，总收益最大？

六、(4分) 设函数)(xf在]10[，上有连续的导数。对于]10[，上每一点，均有1)(0xf且1)(xf。试证在1,0内有且仅有一点，使)(f.

《微积分(上)》试卷1解答

一、填空题

1. 0 2.210e)21(limxxxk 3. xxf2e2)(，22)(lnxxf

4. 707)7(21)272sin(21)0(xxy 5. 2dxyy

6. )(xf，)2(2xf 7. 2 8. 拐点)2,2(2e

9. 1x 10. 12ln2)(xxf

二、单项选择 A D B C D

三、计算题

1. 原式1)sin1(1cos1lim22xxxxx.

2. 原式21cos2sinlimcoslnlim020xxxxxxx.

3. 1)1ln(ln)]([xxffy，

111)1ln(1ddxxxy.

4. 两边取对数，xyyxlnln，

两边关于x求导，xyxyyyxylnln，

 xxyxyxyyylnln22

5. 2364xxy，)1(1212122xxxxy，

令0y，得01x，12x，

x 0, 0 1,0 1 ,1

y + 0 - 0 +

y  1（拐点）  0（拐点） 

6. 原式52d2xxx4)1()1(d22xxCx21arctan.

7. 原式)(dln21)(lndln2xxxx

xxxxxxd121ln21)(ln21222

Cxxxx22241ln21)(ln21

8. 原式102102)(arctan21)1ln(21xx322ln212

四、325.133232918d)6(2330yyyS

302d])6[(yyyVy.5.58d)1336(302yyy

五、 (1) 34000pQ，23pQ，192)8(Q

(2) 3340003ppQQp，44.010948)8(

(3) 44000)(pppQpR，344000)(ppR，

令0R，得10p，而0122pR，

 当10p时，总收益最大。

六、证：(1) 存在性:

设xxfxF)()(，则)(xF在]10[，上连续，

 1)(0xf， 01)1()0()1()0(ffFF，

由介值定理，)1,0(，使0)(F，即)(f；

（2）唯一性。

若还有)1,0(，使0)(F，由罗尔定理，)1,0(，

使0)(F，即1)(f，与1)(xf矛盾，故)(xF的零点唯一。

微积分试题及答案

第一章 函数极限与连续

一、填空题

1、已知xxfcos1)2(sin，则)(cosxf 。

2、)1()34(lim22xxxx 。

3、0x时，xxsintan是x的 阶无穷小。

4、01sinlim0xxkx成立的k为 。

5、xexxarctanlim 。

6、0,0,1)(xbxxexfx在0x处连续，则b 。

7、xxx6)13ln(lim0 。

8、设)(xf的定义域是]1,0[，则)(lnxf的定义域是__________。

9、函数)2ln(1xy的反函数为_________。

10、设a是非零常数，则________)(limxxaxax。

11、已知当0x时，1)1(312ax与1cosx是等价无穷小，则常数________a。

12、函数xxxf13arcsin)(的定义域是__________。

13、22lim(22)____________xxx。

14、设8)2(limxxaxax，则a________。

15、)2)(1(limnnnnn=____________。

二、选择题

1、设)(),(xgxf是],[ll上的偶函数，)(xh是],[ll上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(xgxf；（Ｂ）)()(xhxf；（C）)]()()[(xhxgxf；（D）)()()(xhxgxf。

2、xxx11)(，31)(xx，则当1x时有 。

（Ａ）是比高阶的无穷小； （Ｂ）是比低阶的无穷小；

（C）与是同阶无穷小； （D）~。

3、函数0)1(0,1111)(3xkxxxxxf在0x处连续，则k 。

（Ａ）23； （Ｂ）32； （C）1； （D）0。

4、数列极限]ln)1[ln(limnnnn 。

（Ａ）1； （Ｂ）1； （C）； （D）不存在但非。

5、01cos000sin)(xxxxxxxxxf，则0x是)(xf的 。

（Ａ）连续点；（Ｂ）可去间断点；（C）跳跃间断点；（D）振荡间断点。

6、以下各项中)(xf和)(xg相同的是（ ）

（Ａ）2lg)(xxf，xxglg2)(； （Ｂ）xxf)(，2)(xxg；

（C）334)(xxxf，31)(xxxg；（D）1)(xf，xxxg22tansec)(。

7、 ||sinlim0xxx= （ ）

（Ａ） 1； （Ｂ） -1； （C） 0； （D） 不存在。

8、 xxx10)1(lim （ ）

（Ａ） 1； （Ｂ） -1； （Ｃ） e； （Ｄ） 1e。

9、)(xf在0x的某一去心邻域内有界是)(lim0xfxx存在的（ ）

（Ａ）充分必要条件；（Ｂ） 充分条件；（C）必要条件；（D）既不充分也不必要条件.

10、 )1(lim2xxxx（ ）

（Ａ） 1； （Ｂ） 2； （C） 21； （D） 0。

11、设}{},{},{nnncba均为非负数列，且nnnnnncbalim,1lim,0lim，则必有（ ）

（A）nnba对任意n成立； （B）nncb对任意n成立；

（C）极限nnncalim不存在 ； （D）极限nnncblim不存在。

12、当1x时，函数11211xexx的极限（ ）

（Ａ）等于２； （Ｂ）等于０； （Ｃ）为； （Ｄ）不存在但不为。

三、计算解答

1、计算下列极限

（1）12sin2limnnnx； （2）xxxxcotcsclim0 ；