非线性方程组的数值方法

用Broyden方法求解非线性方程

沈欢

北京大学工学院，北京100871

2011年10月26日

摘要

用Broyden方法求解给定的非线性方程组。

1问题描述

用Broyden方法计算非线性方程组

(x

1+3)(x3

2−7)+18=0(1)

sin(x

2ex1−1)=0(2)

的解，取初始猜测为−→

x

0=(−0.5,1.4)T。

2问题分析

通过观察不难看出(0,1)点是方程的一个精确解。取初始猜测−→

x

0=(−0.5,1.4)T在精确解附

近，可以用Broyden方法求解。设：−−−−−−→

F(x

1,x

2)=F

1(x

1,x

2)−→

i+F

2(x

1,x

2)−→

j其中F

1(x

1,x

2)=

(x

1+3)(x3

2−7)+18;F

2(x

1,x

2)=sin(x

2ex1−1)。

3Broyden算法

Broyden算法类似于牛顿方法，它通过在已知的雅可比矩阵上加上一个修正项得到新的雅可

比矩阵，从而避免了牛顿方法计算雅可比矩阵的复杂度。Broyden算法如图一所示。

Broyden算法说明：

a)初始迭代点取−→

x

0=(−0.5,1.4)T;初始的雅可比矩阵的近似矩阵取为真实的雅可比矩阵，

即：

A=∇F(−→

x)=󰀂

x3

2−73(x

1+3)x2

2

cos(x

2ex1−1)∗x

2∗ex1cos(x

2ex1−1)∗ex1󰀁

(3)

1

㒭󰟎䗁ҷ󰟱󰘐X0ˈ󰩠䲙󰧃↨ⶽ䰉A0

󱳈󱮄Xk=Xk+1;

Xk-1=Xk;

󱑊⫼Xk󰩠Xk-1䅵ㅫ󱮄ⱘ䖥Ԑⶽ䰉Ak

㾷㒓󱗻󱮍⿟Ak*Sk=-F(Xk)

󱕫󰠄ԡ⿏󰧥䞣Sk

䅵ㅫ󱮄ⱘ䗁ҷ⚍Xk+1=X k+Sk󱓔

󰾟

||s||<㊒󱑺?yes

㒧󱴳䗁

ҷˈ󱕫󰠄

⒵䎇㊒󱑺

ⱘ㾷No⫼X0󰩠A0䅵ㅫX1ˈ䆒㕂㊒󱑺DŽ

图1:Broyden方法的算法简图

A

0=∇F(−→

x)=󰀂

−4.256014.7000

0.83950.5996󰀁

(4)

取精度为10−8。并计算得到−→

x

1=[−0.0553,1.0281]T。

1

华东理工大学 二O一三——二O一四学年第 1学期

研究生《非线性方程组数值解法》课程考试试卷 2013年 12 月

开课学院： 理学院 ， 考试形式： 闭卷 ，所需时间： 120 分钟

考生姓名：_____________ 学号：_____________ 任课教师：

题序 一 二 三 四 五 六 七 总分

得分

评卷人

一、 填空题（每题3分，共18分）

1. 设矩阵12

34A

，则A

 ，

1A ，

2A 。

2. 设迭代法(1)()kkxx线性收敛，每步迭代的工作量为个Horner，则其线

性效能指数为 。

3. 设nnRRDF:，求解0Fx的Newton下降法的迭代格式为

。

4. 设(0)(0):,nmnGxxxRR，则

0

0()xx

xGxdx 。

5. 设A为任意n 阶矩阵，则lim0k

kA

的充要条件是 。

6. 设

22

012

1223

121013

,,,,

0131xx

Fxxxh

xxx



则0Fxhh 。

2

二、 （12分）设x为n维向量，证明：

212xnxx

三、 （15分）证明：函数

12

22

1212,0

()(,)

00xx

x

xxFxFxx

x



在（0,0）处两个偏导数存在，但无F-导数。

3

四、（15分）序列

kx定义为

212211

,2,1,2,

!iiixxxi

i，

证明lim0k

kx

，且

1

lim1kk

kkxx

xx





，但kx不是Q-超线性收敛的。

4

五、（10分） 设:nnGDRR，又假设intxD是Gx的一个不动点。假

定在某一个球,SSxrD上，Gx是G可微的，0Gx，且

,0,,GxxxxS

一种基于拟Newton法解非线性方程组的数值算法

（吴志华 中国计量学院信息工程学院 310018）

关键字：非线性方程组 牛顿法

1、理论背景

我们先考虑线性方程，线性方程组的解便不难得出了。

与线性方程相比，非线性方程问题无论是从理论上还是从计算公式上，都要复杂得多。对于一般的非线性方程()0fx，计算方程的根既无一定章程可寻也无直接法可言。例如，求解高次方程组6371.50xxx的根，求解含有指数和正弦函数的超越方程cos()0xex的零点。解非线性方程或方程组也是计算方法中的一个主题。在解方程方面，牛顿（I . Newton）提出了方程求根的一种迭代方法，被后人称为牛顿算法。三百年来，人们一直用牛顿算法，改善牛顿算法，不断推广算法的应用范围。牛顿算法，可以说是数值计算方面的最有影响的计算方法。

对于方程式()0fx,如果()fx是线性函数，则它的求根是容易的。牛顿法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程式()fx逐步归结为某种线性方程来求解。解非线性方程组只是非线性方程的一种延伸和扩展。

2、主要理论

考虑方程组 111(,...)0,.................(,...)0.nnnfxxfxx 1

其中1,...,nff均为1(,...)nxx多元函数。若用向量记号记11(,...),(,...,)TnTnnxxxRFff，1 就可写成

()0.Fx (2)

当2,n,且(1,...,)ifin中至少有一个是自变量(1,...,)ixin 的非线性函数时，则称方程组(1)为非线性方程组。非线性方程组求根问题是前面介绍的方程即(1)n求根的直接推广，实际上只要把单变量函数()fx看成向量函数()Fx则可将单变量方程求根方法推广到方程组(2)。若已给出方程组(2)的一个近似根 ()1(,...,),kkkTnxxx 将函数()Fx的分量()(1,...,)ifxin在()kx用多元函数泰勒展开，并取其线性部分，则可表示为

一种基于拟Newton法解非线性方程组的数值算法

（吴志华 中国计量学院信息工程学院 310018）

关键字：非线性方程组 牛顿法

1、理论背景

我们先考虑线性方程，线性方程组的解便不难得出了。

与线性方程相比，非线性方程问题无论是从理论上还是从计算公式上，都要复杂得多。对于一般的非线性方程()0fx，计算方程的根既无一定章程可寻也无直接法可言。例如，求解高次方程组6371.50xxx的根，求解含有指数和正弦函数的超越方程cos()0xex的零点。解非线性方程或方程组也是计算方法中的一个主题。在解方程方面，牛顿（I . Newton）提出了方程求根的一种迭代方法，被后人称为牛顿算法。三百年来，人们一直用牛顿算法，改善牛顿算法，不断推广算法的应用范围。牛顿算法，可以说是数值计算方面的最有影响的计算方法。

对于方程式()0fx,如果()fx是线性函数，则它的求根是容易的。牛顿法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程式()fx逐步归结为某种线性方程来求解。解非线性方程组只是非线性方程的一种延伸和扩展。

2、主要理论

考虑方程组 111(,...)0,.................(,...)0.nnnfxxfxx 1

其中1,...,nff均为1(,...)nxx多元函数。若用向量记号记11(,...),(,...,)TnTnnxxxRFff，1 就可写成

()0.Fx (2)

当2,n,且(1,...,)ifin中至少有一个是自变量(1,...,)ixin 的非线性函数时，则称方程组(1)为非线性方程组。非线性方程组求根问题是前面介绍的方程即(1)n求根的直接推广，实际上只要把单变量函数()fx看成向量函数()Fx则可将单变量方程求根方法推广到方程组(2)。若已给出方程组(2)的一个近似根 ()1(,...,),kkkTnxxx 将函数()Fx的分量()(1,...,)ifxin在()kx用多元函数泰勒展开，并取其线性部分，则可表示为