2020年最新人教A版高中数学必修3第一章算法初步1.3算法案例教案(1)

1 高中数学 第一章 算法初步 1.3 中国古代数学中的算法案例课堂探究 新人教B版必修3

1．辗转相除法与更相减损之术的异同

剖析：相同点：①都是求最大公约数的方法．②更相减损之术的理论依据为：由m－n＝r，得m＝n＋r，可以看出，m，n与n，r有相同的公约数；辗转相除法的理论依据是：由m＝nq＋r可以看出，m，n和n，r有相同的公约数，即二者的“算理”相似．

不同点：①更相减损之术进行的是减法运算，辗转相除法进行的是除法运算，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少．②结果上，辗转相除法体现结果是以相除余数为0得到，而更相减损之术则以减数与差相等而得到．

2.秦九韶算法是多项式求值最先进的方法

剖析：(1)秦九韶算法把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值，即把求f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋„＋a1x＋a0的值转化为求递推公式

 v0＝an，vk＝vk－1x＋an－k，(k＝1,2, „，n)中vn的值，所以我们可以将这个递推关系通过循环结构编写程序在计算机上来实现．

(2)运算次数减少，只需至多n次乘法和n次加法运算，而直接求和所用乘法的次数为nn＋12，加法的次数为n次，从而大大提高了运算效率．计算机做一次乘法运算需要的时间是做加法运算的几倍到十几倍，衡量一个算法“优”“劣”的标准之一就是运算效率，减少乘法运算的次数也就加快了计算速度．

所以说，秦九韶算法是多项式求值的最先进的算法．

3．教材中的“探索与研究”

古希腊求两个正整数的最大公约数的方法是辗转相除法(即欧几里得算法)：用较大的数除以较小的数所得的余数和较小的数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到大数被小数除尽，这个较小的数就是最大公约数．以求288和123的最大公约数为例，操作如下：

(288,123)→(42,123)→(42,39)→(3,39)．

想一想这种算法的道理．试着编写程序在计算机上实现．

第一章 算法初步

本章综述

随着计算机技术的飞速发展,计算机已经普及到千家万户.你肯定玩过一些好玩的游戏,惊奇于它的灵活与机智,为什么它也会有智能?大家可能运行过一些方便的程序,它们简化了我们的繁杂的操作,让我们从简单,乏味、重复的操作中解脱出来,是什么在它们后面支持和控制着它们呢?其实,不是计算机本身,而是我们的算法.你想学习如何控制它们吗?那就跟我们来吧,进入算法精彩的世界.

算法初步是高中阶段传统的数学基础知识以外的新增内容.在数学发展的历程中,寻求对一类问题的算法一直是数学发展的一个重要特点.我国古代数学发展的主导思想,就是构造“算法”来解决实际问题.在现代,算法已是数学及其应用科学中的重要组成部分,并成为计算机科学的重要基础.随着现代信息技术的飞速发展,算法在科学技术和社会发展中发挥着越来越大的作用,并日益融入社会生活的许多方面.算法思想也逐渐成为每一个现代人应具有的数学素养.

算法是一个全新的课题,但我们并不陌生,数学必修一中我们学习过求函数零点的二分算法;数学必修二的解析几何初步中,我们把利用公式计算的几何问题进行分步求解,形成算法;又如解方程的算法、解不等式的算法等,这些算法都是对解决一类问题有效的通法,其过程称为“数学机械化”,即大量重复、循环、复杂的逻辑推理运算由计算机完成.

我们在第一部分主要学习一下算法的概念以及它的特点和主要用处,研究一下算法的思想,算法的几种常见的结构,即三种结构:顺序结构、条件结构、循环结构以及用程序框图来简洁清晰地表示算法.体验一下用简单清晰的图形表示我们的思想,会发现数学简单中的美丽,你会发现算法实质上就是我们的思维过程.第二部分主要开始学习一些编程的基本语句,你可以尝试着自己来做一个算法程序,以解决一些繁杂的问题.这可是非常令人自豪的事情.第三部分主要介绍中国古代数学中的三个算法案例:辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法、进位制.

人教版高中数学必修三 第一章 算法初步算法案例分析

算法案例分析

自主学习

1.算法(algorithm)一词源于算术(algorism)，即算术方法，是指一个由已知推求未知的运算过程。后来，人们把它推广到一般，把进行某一工作的方法和步骤称为算法。

广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法，等等。 2. 2．算法的重要特征：

（1）有限性：一个算法在执行有限步后必须结束； （2）确定性：算法的每一个步骤和次序必须是确定的；

（3）输入：一个算法有0个或多个输入，以刻划运算对象的初始条件．所谓0个输入是指

算法本身定出了初始条件．

（4）输出：一个算法有1个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果．没有输出的

算法是毫无意义的．

师生互动

例1

解：算法如下：

第一步：判断n是否等于2，若n=2，则n是质数；若n>2，则执行第二步。

第二步：依次从2至（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的数，若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数。

这是判断一个大于1的整数n是否为质数的最基本算法。

点评：通过例1明确算法具有两个主要特点：有限性和确定性。

练1 解：第一步：把水注入电锅； 第二步：打开电源把水烧开； 第三步：把烧开的水注入热水瓶.

点评：在日常生活中做任何一件事情，者是按照一定规则，一步一步进行，比如在工厂中生产一部机器，先把零件一道道工序进行加工，多面手一，又把各种零件按一定法则组装成一产，了完整机器，它们的工艺流程就是算法；在农村，种庄稼有耕地、播种、育苗、施肥、中耕、收割等各个环节，这些栽培技术也是算法。总之，在任何这些数值计算或非数值计算的过程中所采取的方法和步骤，都称之为算法。

高中数学第一章算法初步1.3.3进位制练习（含解析）新人教A版必修3

知识点一 进位制的概念

1．关于进制的说法，正确的个数为( )

①“几进制”的数，其基数就是几，就“满几进一”；

②计算机采用的进制一般都是二进制；

③各种进制的数之间可以相互转化；

④任何进制的数都必须在右下角标明基数．

A．2 B．3 C．4 D．1

答案 B

解析 ①②③都是正确的，④中说法不对，因为十进制数一般省略基数．

2．以下给出的各数中不可能是八进制数的是( )

A．312 B．10110 C．82 D．7457

答案 C

解析 八进制数只用到数字0，1，2，…，7，不会出现数字8．

知识点二 不同进位制间的转化

3．将数30012(4)转化为十进制数为( )

A．524 B．774 C．256 D．260

答案 B

解析 30012(4)＝3×44＋0×43＋0×42＋1×41＋2×40＝774．

4．已知10b1(2)＝a02(3)，则a＋b的值为________．

答案 2

解析 10b1(2)＝1×20＋b×21＋0×22＋1×23＝9＋2b．

a02(3)＝2×30＋0×31＋a×32＝9a＋2，因为10b1(2)＝a02(3)，b∈{0，1}，a∈{0，1，2}，且9＋2b＝9a＋2，所以a＝b＝1，所以a＋b＝2．

5．把下列各数转换成十进制数．

(1)101101(2)；(2)2102(3)；(3)4301(6)．

解 (1)101101(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋1×22＋0×2＋1＝45．

(2)2102(3)＝2×33＋1×32＋2＝65．

(3)4301(6)＝4×63＋3×62＋1＝973．

易错点 对进位制转换的方法掌握不牢致错

6．把十进制数48化为二进制数．

易错分析 由于基础知识，基本方法掌握不牢而错将结果写成11(2)．

正解 如下图所示，得48＝110000(2)．