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高一数学三角函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质

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信心训练营

1 sin()yAx的图像和性质

【知识要点】

1．用“五点法”画()sin()fxAx的图象, 弄清,,A与函数sin()yAx的图 象之间的关系,会用图象变换的方法画()sin()fxAx的图象，会求一些函数的振幅、周期、最值等

2 一般地，函数sin()yAx，xR的图象（其中0A，0）的图象，可看作由下面的方法得到：

①把sinyx向左（当0时）或向右（当0时）平行移动||个单位长度得到sin()yx；

②再把sin()yx横坐标缩短（当1时）或伸长（当01时）到原来的1倍（纵坐标不变），得到sin()yx；

③再把sin()yx纵坐标伸长（当1A时）或缩短（当01A时）到原来的A倍（横坐标不变），得到sin()yAx。

即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。

【典型例题】

例1.函数),2,0)(sin(RxxAy的部分图象如图所示，试写出函数的表达式

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2 例2. 已知函数sin()(0,0,||)2yAxBA在同一个周期上的最高点为(2,2)，最低点为(8,4)。求函数解析式。

例3 已知函数cos()yAx（0A，0，0）的最小值是5，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差4，且图象经过点5(0,)2，求这个函数的解析式

例4.函数)2||,0,0)(sin(AxAy在)32,0(x内只取到一个最大值和一个最小值，且当12x时，函数的最大值为3，当127x时，函数的最小值为－3，试求此函数的解析式。

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3 300-3001180-1900oIt

例5. 设函数)(),0( )2sin()(xfyxxf图像的一条对称轴是直线8x。

（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数)(xfy的单调增区间；

（Ⅲ）画出函数)(xfy在区间],0[上的图像

例6．已知电流I与时间t的关系式为sin()IAt．右图是sin()IAt（ω＞0，||2）在一个周期内的图象，根据图中数据求sin()IAt的解析式；（２）如果t在任意一段1150秒的时间内，电流sin()IAt都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？

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4 sin()yAx的图像和性质课堂练习

1. 已知简谐运动ππ()2sin32fxx的图象经过点(01)，，则该简谐运动的最小正周期T和初相分别为（ ）

Ａ．6T，π6 Ｂ．6T，π3

Ｃ．6πT，π6 Ｄ．6πT，π3

2．要得到函数xycos2的图象，只需将函数)42sin(2xy的图象上所有的点的（ ）

(A)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8个单位长度

(B)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4个单位长度

(C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4个单位长度

(D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8个单位长度

3.函数()3sin2fxx的图象为C，①图象C关于直线1112x对称；②函数()fx在区间5，内是增函数；③由3sin2yx的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．以上三个论断中，正确论断的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

4. 函数y=sinx的定义域为[a,b]，值域为21,1[]，则b-a的最大值和最小值之和为（ ）

（A）34 （B）2 （C）38 （D）4

5.若函数)sin(3)(xxf对任意的实数x都有)6()6(xfxf，则)6(f=_______

6.使函数)52sin(3)(xxf的图像关于y轴对称的为

7. 已知函数cos()yAx（0A，0，0）的最小值是5，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差4，且图象经过点5(0,)2，求这个函数的解析式

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高中数学：“剖析”函数y=asin（wxφ）的图像及性质

高中数学：“剖析”函数y=asin（wxφ）的图像及性质

高中数学：“剖析”函数y=asin（wxφ）的图像及性质

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“老师，为什么我用五点法作图，总是会出错呢？不是这里错，就是那里错！”

“老师，我觉得在高中数学函数y=Asin(wx+φ)中，函数图像的变化是最容易错的，很多时候我都把几倍的变换弄成是几分之一的变换，真是头都大了！”

“老师，有的题目稍微复杂一点，我就连解析式都求不出来了。”

……

在高中数学中，函数y=Asin(wx+φ)的相关知识确实是很难，不仅要考虑的东西非常多，而且很多知识点都非常容易弄错。

在本省重点中学从事高中数学教学13年，教学实践还算是有些丰富，一直以来，这个知识点都是同学们最大的难点，我总是会话最多的时间去讲评、去给同学们做练习。

但是，同学们的吸收效率还是非常不理想，于是，我就自己花时间去总结。学过这个内容的同学都知道，这个知识点的复杂以及考题的多变，很多时候类似的题目，同学们的答题效果也是非常不理想。

为了帮助同学们更好的学习，让同学们掌握方法才是关键，我自己抽出时间来总结了这个知识点。我总结出了高中数学中国年y=Asin(wx+φ)的三个考点，并且选择了典型的例子给同学们讲解。

高中数学中，y=Asin(wx+φ)的考题变幻无常，同学们看了我举的例子以后一定要自己在做一些练习，强化一下，相信同学们一定会有所进步的。

一、用“五点法”作函数y=Asin(wx+φ)(A>0,W>0)的图像。

五点，及最高点、最低点以及与坐标轴的三个交点，凭这五点，即可完成一个函数图像的绘制。这是解答函数题目的一个非常重要的步骤，考得最多。 二、三角函数图象的变换。

在高中数学中，函数图像的变换也是非常常考的点，在这一部分，同学们一定要分清楚w和φ不同倍数时的纵坐标和横坐标的变化。

三、函数y=Asin(wx+φ)的物理意义。

在高中数学的函数中，y=Asin(wx+φ)的物理意义比较简单，主要就是考它的周期和振幅、频率及相位。

高中数学《函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质》教学设计

高中数学《函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质》教学设计

1 课题： 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象（第一课时）

授课教师：南京师范大学附属中学 丁菁

教材：苏教版普通高中课程标准实验教科书数学必修4

一、内容与内容解析

1．本课地位和作用

三角函数是描述周期现象的数学模型，也是一种基本初等函数，在数学和其他领域中具有重要的作用．“函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象”是三角函数的一个重要内容，通过揭示参数A，ω，φ变化对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响，有助于进一步深化对函数图象变换的理解和认识，同时也有助于体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型．

2．本课内容剖析

“函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象”主要是探讨函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与函数

y＝sinx的图象之间的关系．图象是由点构成的，图象变换的本质是图象上点的位置变化，而点的位置变化对应着点的坐标变化，因此，欲研究函数图象的变换规律，只需研究图象上每个点坐标的变化规律．

本节课是“函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象”的第一课时，本节课的教学设计是先分别探讨φ、A、ω对y＝sin(x＋φ)、y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的影响，再探究y＝sin(2x＋1)的图象和y＝sin2x的图象之间的变换关系．其中，对参数φ的研究方法可以迁移到后续问题解决中去．

本节课的重点是：对 y＝sin(x＋φ)、y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象和

y＝sinx的图象之间的变换规律的理解.

二、目标与目标解析

1．分别探究φ、A、ω对y＝sin(x＋φ)、y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的影响；

2．在理解φ、A、ω对y＝sin(x＋φ)、y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的变换规律的基础上，探究ω不为1时的平移变换；

3．让学生自主探究研究策略，经历从具体到抽象、由感性到理性的研究过程，培养学生的认知策略． 2 三、学生学情分析

函数y=Asin(ωxφ)的图象与性质教案-高一数学湘教版(2019)必修第一册

函数y=Asin(ωxφ)的图象与性质教案-高一数学湘教版(2019)必修第一册

5.4 函数yAsinx的图像与性质

考纲要求：

结合具体实例，了解sin()yAx的实际意义；能借助图象理解参数，，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.学生已经学习了正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，会使用“五点法”作出含有sinx、cosx、tanx的简单函数图象，这些知识为本节课的学习奠定了基础.通过本节课的学习，学生将经历“观察—猜想—验证”这一探究数学问题的一般性过程，领会由简单到复杂、由特殊到一般的数学思想方法

学习目标：

1．结合实例了解yAsinx的实际意义，并借助计算机或相应的数学软件（几何画板），观察参数A,,对函数图象影响；

2.会用“五点法”作出函数sin()yAx的图象，掌握由sinyx的图象得到sin()yAx的图象的方法

学习重点：

借助图象理解参数，A的意义，了解，A的变化对函数图象的影响.

学习难点：

通过图象变换由ysinx的图象可得到yAsinx的图象。

核心素养：

直观想象，数学抽象，逻辑推理，数学建模

教学过程

一、情境引入

观察交流电电流—时间图象。

问题1：这个图象与ysinx的图象有不同之处呢？你认为造成不同的原因是什么？

学生：正弦函数ysinx的图像经过坐标原点，图像关于原点对称是奇函数，最大值、最小值分别为1和-1，这个函数不具备这些性质，但图形的形状和正弦曲线很相似

教师：我们将这种函数看作yAsinx，这也是这结合我们要研究的函数

设计意图：创设问题情景，建立函数ysinx的图象与函数yAsinx的图象的联系。 让学生认识知识来源于实际生活，又用知识解决生活问题，培养学生对该节书的学习兴趣。

二、新课学习

正弦函数是描述周期性变化的最简单、最基本、非常重要的周期的函数。但只用ysinx也有明显的局限性：它的周期只能是2,而不能是其他正数，但周期现象的周期显然可以取各种不同的值；ysinx的最大值只能是1，最小值只能是-1，这也不足以描述周期性变化的量的各个不同的变化范围；ysinx的变化起点是x0时的状态，这也不能描述可以从不同状态开始的周期性变化。

全国青年数学教师优质课教学设计：函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质

全国青年数学教师优质课教学设计：函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质

1 课题： 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象（第一课时）

授课教师：南京师范大学附属中学 丁菁

教材：苏教版普通高中课程标准实验教科书数学必修4

一、内容与内容解析

1．本课地位和作用

三角函数是描述周期现象的数学模型，也是一种基本初等函数，在数学和其他领域中具有重要的作用．“函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象”是三角函数的一个重要内容，通过揭示参数A，ω，φ变化对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响，有助于进一步深化对函数图象变换的理解和认识，同时也有助于体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型．

2．本课内容剖析

“函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象”主要是探讨函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与函数

y＝sinx的图象之间的关系．图象是由点构成的，图象变换的本质是图象上点的位置变化，而点的位置变化对应着点的坐标变化，因此，欲研究函数图象的变换规律，只需研究图象上每个点坐标的变化规律．

本节课是“函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象”的第一课时，本节课的教学设计是先分别探讨φ、A、ω对y＝sin(x＋φ)、y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的影响，再探究y＝sin(2x＋1)的图象和y＝sin2x的图象之间的变换关系．其中，对参数φ的研究方法可以迁移到后续问题解决中去．

本节课的重点是：对 y＝sin(x＋φ)、y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象和

y＝sinx的图象之间的变换规律的理解.

2 二、目标与目标解析

1．分别探究φ、A、ω对y＝sin(x＋φ)、y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的影响；

2．在理解φ、A、ω对y＝sin(x＋φ)、y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的变换规律的基础上，探究ω不为1时的平移变换；

3．让学生自主探究研究策略，经历从具体到抽象、由感性到理性的研究过程，培养学生的认知策略．