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球的表面积和体积

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1 球的表面积和体积

1．球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球半径) 2．球的体积公式：V球＝错误!πR3(R为球半径）

球的表面积和体积的计算

过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面,已知此截面的面积为12π cm2,试求此球的表面积．

若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为1的点,且截面与此半径垂直，若此截面的面积为π，试求此球的表面积和体积．

球的表面积及体积的应用

一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？

圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？

有关球的切、接问题

求棱长为a的正四面体P—ABC的外接球,内切球的体积． 2

有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比．

一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．

基础训练

1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于（ ）

A。错误! B．1C．2 D．3

2．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积是原来整球表面积的________倍．

3．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面,已知此截面的面积为48π cm2，试求此球的表面积和体积．

4．正方体的表面积与其外接球表面积的比为（ ）

A．3∶π B．2∶πC．1∶2π D．1∶3π

5．(2013·温州高一检测）长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4，5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是( ) 3 A．25π B．50πC．125π D．都不对

4．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为( ）

A．R B．2RC．3R D．4R

6．设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( ）

A．πa2 B.错误!πa2C。错误!πa2 D．5πa2

7．圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是________cm.

提高训练．

1.一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是 ( ）

A．3或8 B．8或11 C．5或8 D．3或11

2。已知A、B、C是球O的球面上三点,三棱锥OABC的高为22，且ABC=60º ，AB=2, BC=4,则球O的表面积为( )

A． 24 B。32 C。 48 D。192

3。一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为( ）

A．4 B．3

C．2 D．

4。 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 （ )

A。3263 B。 2+263 C. 4+263 D。 43263

5。 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为( ）

A。5π B。12π C。20π D。8π 4

6。【江西省抚州市临川一中2015届高三10月月考】已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中俯视图是边长为6的正三角形，若这个空间几何体存在唯一的一个内切球（与该几何体各个面都相切）,则这个几何体的全面积是（ ）

A． 18 B．36 C． 45 D． 54

7。【浙江省重点中学协作体2015届第一次适应性训练】一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形,直角边长为1,则该几何体外接球的表面积为（ ）

A． 4 B．3 C．2 D．

8。【山西省大同市2015届高三学情调研测试】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ )

A。2a B. 237a C。 2311a D. 25a

9.【四川省成都实验外国语高2015届高三11月月考】某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( ）

A.3 B.4 C.2 D。25

5 10。 【全国高考新课标（I）理】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）

A、错误!cm3 B、错误!cm3 C、错误!cm3 D、错误!cm3

11. 矩形ABCD中，4,3,ABBC沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD,则四面体ABCD的外接球的体积是（ ）

A。12125

B。9125 C。6125 D。3125

12.在半径为R的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r的最大值为（ ）

A. （错误!－1)R B . (错误!－2）R C。错误!R D。 错误!R

13。 一个平面截一个球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离是4,则该球的体积是 。

14。三棱锥PABC的四个顶点均在同一球面上,其中ABC是正三角形，PA平面ABC，26PAAB，则该球的体积是 .

15.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是

16。 四棱锥ABCDP的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正方形，ABCDPA,2PA，则该球的体积为 _ ．

17. 过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB、AC、AD,且两两夹角都为60，若球半径为R,求弦AB的长度．

19。 【改编自浙江高考题】已知球O的面上四点A、B、C、D，DAABC平面，ABBC，DA=AB=BC=3，求球O的体积. 6

20。 【改编自山东高考题】在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,0DAB=60，E为AB的中点,将ADE与BEC分布沿ED、EC向上折起，使AB、重合于点P，求三棱锥P-DCE的外接球的体积。

21. 一个正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为3，五个顶点都在同一个球面上，求此球的表面积。

22。 球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过3个点的小圆的周长为4，求这个球的半径．

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(新教材)人教A版高中数学必修第二册学案：8.3 第2课时 球的体积和表面积 Word版含答案

(新教材)人教A版高中数学必修第二册学案：8.3 第2课时 球的体积和表面积 Word版含答案

- 1 - 第2课时 球的体积和表面积

考点 学习目标 核心素养

球的表面积与体积 记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积 数学运算

与球有关的组合体 能解决与球有关的组合体的计算问题 数学运算、直观想象

问题导学

预习教材 P117－P119 的内容，思考以下问题：

1．球的表面积公式是什么？

2．球的体积公式什么？

1．球的表面积

设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2．

2．球的体积

设球的半径为R，则球的体积V＝43πR3．

■名师点拨

对球的体积和表面积的几点认识

(1)从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有唯一确定的S和V与之对应，故表面积和体积是关于R的函数．

(2)由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的．

(3)球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积的4倍．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)决定球的大小的因素是球的半径．( )

(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( )

(3)球的体积V与球的表面积S的关系为V＝R3S.( )

答案：(1)√ (2)√ (3)√

半径为 3 的球的体积是( )

A．9π B．81π

C．27π D．36π - 2 - 解析：选 D. V＝43π×33＝36π.

若一个球的直径为 2，则此球的表面积为( )

A．2π B．16π

C．8π D．4π

解析：选 D．因为球的直径为 2，所以球的半径为 1，所以球的表面积 S＝4πR2＝4π.

把球的表面积扩大到原来的 2 倍，那么体积扩大到原来的( )

A．2 倍 B．22倍

C.2倍 D.32倍

解析：选 B．设原球的半径为 R，表面积扩大 2 倍，则半径扩大2倍，体积扩大 22倍．

球的表面积与体积的计算

球的表面积与体积的计算

球的表面积与体积的计算

球是一种几何图形，具有许多有趣的性质。在数学和物理学中，计算球的表面积和体积是非常重要的。本文将介绍球的表面积和体积的计算方法，并通过示例进行详细说明。

一、球的表面积计算

球的表面积是指球体外侧的曲面总面积。为了计算球的表面积，我们需要知道球的半径。

公式：球的表面积 = 4πr²

其中，π是圆周率，约等于3.14159；r是球的半径。

示例一：

假设半径为5厘米的球的表面积应该怎么计算呢？

解答：

根据公式，我们代入r = 5厘米进行计算：

表面积 = 4π × 5² = 4π × 25 ≈ 314.16平方厘米。

所以，半径为5厘米的球的表面积约为314.16平方厘米。

二、球的体积计算

球的体积是指球内部可以容纳的三维空间大小。要计算球的体积，同样需要知道球的半径。 公式：球的体积 = (4/3)πr³

示例二：

如果球的半径为8厘米，那么它的体积是多少？

解答：

根据公式，我们代入r = 8厘米进行计算：

体积 = (4/3)π × 8³ = (4/3)π × 512 ≈ 2144.66立方厘米。

所以，半径为8厘米的球的体积约为2144.66立方厘米。

综上所述，球的表面积和体积的计算方法如上所示。了解和掌握这些公式可以帮助我们更好地理解球体的特性，以及在实际问题中应用数学知识进行计算。

需要注意的是，在应用这些公式进行计算时，应该保持输入数据的一致性，确保使用相同的单位进行计算。此外，还要注意精度的问题，结果应适当进行四舍五入或保留小数位数，以满足实际需求。

希望本文对你理解球的表面积和体积的计算方法有所帮助，如果有任何疑问，请随时向我提问。

球的表面积和体积计算

球的表面积和体积计算

球的表面积和体积计算

球是一种常见的几何图形，其表面积和体积的计算是我们在数学和物理学中经常遇到的问题。本文将介绍如何准确计算球的表面积和体积，并提供相应的公式和计算步骤。

一、球的表面积计算

表面积是指球外部各个点的总面积，计算球的表面积可以使用球的半径来确定。使用以下公式计算球的表面积：

S = 4πr²

其中，S表示球的表面积，π表示圆周率，r表示球的半径。

例如，如果球的半径为5厘米，则可以通过代入公式计算出球的表面积：

S = 4π * (5²) = 4π * 25 ≈ 314.16 cm²

所以，半径为5厘米的球的表面积约为314.16平方厘米。

二、球的体积计算

体积是指球所占据的空间大小，计算球的体积同样使用球的半径作为计算依据。使用以下公式计算球的体积：

V = (4/3)πr³

其中，V表示球的体积，π表示圆周率，r表示球的半径。

以半径为5厘米的球为例，可以通过代入公式计算出球的体积： V = (4/3)π * (5³) = (4/3)π * 125 ≈ 523.6 cm³

因此，半径为5厘米的球的体积约为523.6立方厘米。

综上所述，球的表面积和体积的计算分别使用了公式S = 4πr²和V =

(4/3)πr³，其中S表示球的表面积，V表示球的体积，r表示球的半径，π表示圆周率。通过代入球的半径值，可以准确计算出球的表面积和体积。

请注意，在实际计算过程中，需要注意单位的统一，并按照所需精度进行四舍五入。此外，要正确使用圆周率π的值，常见的取值为3.14或3.1415926。

总结：

球的表面积和体积计算是一种常见的数学问题，掌握计算球的表面积和体积的公式和步骤能够帮助我们更好地理解和应用几何学和物理学知识。在实际应用中，需要注意单位的转换和精度的控制，以获得准确的计算结果。

球体的面积公式和体积公式

球体的面积公式和体积公式

球体的面积公式和体积公式

球体是我们身边最常见的几何体之一，它在数学、物理、化学等领域中都有广泛的应用。在研究球体时，我们会常用到球体的面积公式和体积公式，它们分别是：

球体的面积公式：$4πr^2$，其中r为球体的半径。

球体的体积公式：$\frac{4}{3}πr^3$，其中r为球体的半径。

这两个公式是研究球体时必须掌握的基本公式，下面我们将详细讲解它们的含义和应用。

球体的面积公式

球体的面积公式是指球体表面积的计算公式。在生活中，我们经常会用到这个公式，比如计算篮球、足球等球体的表面积。

球体的面积公式为：$4πr^2$，其中r为球体的半径。这个公式的推导可以通过将球体划分为无数个微小的平面元素，然后对这些平面元素的面积进行累加求和，最终得到球体的表面积。由于球体具有旋转对称性，因此可以通过旋转体积公式得到。

球体的面积公式也可以用于计算球冠的表面积。球冠是由一个平面截过球体而得到的，因此球冠的表面积就是球体表面积的一部分，可以通过球体面积公式进行计算。

球体的体积公式

球体的体积公式是指球体的体积计算公式。在生活中，我们也会经常用到这个公式，比如计算篮球、足球等球体的体积。

球体的体积公式为：$\frac{4}{3}πr^3$，其中r为球体的半径。这个公式的推导可以通过将球体划分为无数个微小的立体元素，然后对这些立体元素的体积进行累加求和，最终得到球体的体积。由于球体具有旋转对称性，因此可以通过旋转体积公式得到。

球体的体积公式也可以用于计算球冠的体积。球冠是由一个平面截过球体而得到的，因此球冠的体积就是球体体积的一部分，可以通过球体体积公式进行计算。

结语

球体是一个非常重要的几何体，它在数学、物理、化学等领域中都有广泛的应用。通过掌握球体的面积公式和体积公式，我们可以更加方便地计算球体的表面积和体积，进而应用到实际生活中。