初中数学常用几何模型及构造方法大全

完整版)初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)

通过将倍长中点相关线段进行旋转变换，可以构造出旋转全等模型。这种模型的特点是，将相邻等线段所成角的一半旋转后拼接在一起，形成对称全等。同时，也可以通过将两个等腰三角形或正多边形的夹角进行变化，来构造出模型变形。如果遇到复杂图形找不到旋转全等，可以先找到两个正多边形或等腰三角形的公共极点，然后围绕公共极点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

幂定理可以用等线段、等比值、等乘积进行代换，从而将两个数之间的比值转换成乘积。在相似证明中，常用的辅助线是平行线，根据题目条件来确定比值并做出相应的平行线。

题目一：在半圆中，圆心为O，圆上有点C、E，CD垂直于AB，EF垂直于AB，EG垂直于CO。证明CD等于GF。

题目二：在正方形ABCD内部，点P满足∠PAD＝∠PDA＝15度。证明△PBC是正三角形。

题目三：在图中，ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点。证明A2B2C2D2是正方形。

题目四：在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F。证明∠DEN＝∠F。

题目五：在△ABC中，H为垂心，O为外心，且OM垂直于BC于M。

1）证明AH等于2OM；

2）如果∠BAC等于60度，证明AH等于AO。

1.设P为正三角形ABC内任意一点，连接PA,PB,PC，由三角形不等式可得PA+PB>AB。PB+PC>BC。PC+PA>CA。将三式相加得到2PA+2PB+2PC>AB+BC+CA=3，即PA+PB+PC>3/2.又由于P到三角形三边的距离不超过1，所以PA+PB+PC<3，综上可得1.5≤PA+PB+PC<3，即所求不等式成立。

2.设P为正方形ABCD内任意一点，连接PA,PB,PC,PD。由于正方形四边相等，所以PA+PC=2，PB+PD=2.又由于P到四边的距离不超过1，所以PA+PB+PC+PD<4.将前两式相加得到PA+PB+PC+PD=2(PA+PB)/2+2(PC+PD)/2≥2√(PA·PB)+2√(PC·PD)。根据均值不等式，2√(PA·PB)+2√(PC·PD)≥4√(PA·PB·PC·PD)，所以PA+PB+PC+PD≥4√(PA·PB·PC·PD)。综上可得4√(PA·PB·PC·PD)＜4，即√(PA·PB·PC·PD)＜1，所以PA·PB·PC·PD<1，即所求最小值为1.

初中数学几何模型大全 + 经典题型（含答案）

全等变换

平移：平行等线段（平行四边形）

对称：角平分线或垂直或半角

旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转

对称全等模型

说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。

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对称半角模型

说明：上图依次是 45 °、30 °、22.5 °、15 °及有一个角是 30 °直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

旋转全等模型

半角：有一个角含 1/2 角及相邻线段

自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等

共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等

中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题

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旋转半角模型

说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，

通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起， 成对称全等。

自旋转模型

构造方法：

遇 60 度旋 60 度，造等边三角形

遇 90 度旋 90 度，造等腰直角

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遇等腰旋顶点，造旋转全等

遇中点旋 180 度，造中心对称

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共旋转模型

说明：旋转中所成的全等三角形， 第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“ 8”字模型可以证明。

模型变形

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说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变

化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。

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当遇到复杂图形找不到旋转全等时， 先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点， 围绕公共顶点找到两组相邻等线段， 分组组成三角形证全等。

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初二数学 三角形全等

常用几何模型及构造方法大全

掌握它轻松搞定 全等 题！

全等是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，这次整理了常用的各大模型，一定要认真掌握~

全等变换类型：

（一） 平移全等：平行等线段（平行四边形）

（二）对称全等模型：角平分线或垂直或半角

1：角平分线模型；

2：对称半角模型；

（三）旋转全等模型：相邻等线段绕公共顶点旋转

1. 旋转半角模型

2. 自旋转模型

3. 共旋转模型

4. 中点旋转

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一、平移 全等变换

如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE

分析：将△ACE平移使EC与BD重合。B\D，上方交点，左右两个三角形，两边和 大于 第三边！

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二、对称全等模型

1：角平分线模型：

说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。

2：对称半角模型

说明：上图依次是45°、 30°、 45+ 22.5°、对称（翻折）

15°+30°直角三角形 对称（翻折） 30+60+90直角三角形对称（翻折）

翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

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三、旋转全等模型

1. 半角：有一个角含1/2角及相邻线段

2. 自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等

3. 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等（共顶点）

4. 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题（专题七）

1、旋转半角模型

说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

2、自旋转模型

构造方法：

遇60度旋60度，造等边三角形 遇90度旋90度，造等腰直角

初中数学几何模型大全+经典题型（含答案）

全等变换

平移：平行等线段（平行四边形）

对称：角平分线或垂直或半角

旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转

对称全等模型

说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。 对称半角模型

说明：上图依次是45°、30°、°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

旋转全等模型

半角：有一个角含1/2角及相邻线段

自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等

共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等

中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题

旋转半角模型

说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

自旋转模型

构造方法：

遇60度旋60度，造等边三角形 遇90度旋90度，造等腰直角

遇等腰旋顶点，造旋转全等

遇中点旋180度，造中心对称

共旋转模型 说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。

模型变形

说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。

当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

中点旋转：

说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。

几何最值模型