当前位置：文档之家 › 辛普森公式

辛普森公式

  • 格式：doc
  • 大小：1.27 MB
  • 文档页数：38

1 Simpson算法及其推广形式

摘要：本文研究了辛普森公式的数值积分的计算方法问题，并且更进一步研究了变步长复化的辛普森公式和二重积分的辛普森公式的问题。首先是对一维辛普森公式和变步长复化辛普森公式以及二维辛普森公式的推导及其算法，进行误差分析，并且列举了实例。然后，对辛普森公式进行改进，这里的改进最主要是对辛普森公式的代数精度进行提高，从而使辛普森公式对积分的计算更加精确。另外，还研究了辛普森公式的推广形式。最后，在结论的当中列举了一个例子。

关键词：辛普森公式 算法 改进 推广形式 二重积分的辛普森公式

2 Abstract：This paper first studies the calculation methods of the numerical

integration in simpson formula, and then study of the long-simpson

formula and the double integral simpson formula problem. First, study the

algorithm and derived of one-dimensional simpson formula and

step-change in simpson formula, as well as two-dimensional simpson

formula, and then analysis the error. Finally , list the example. In this ,

improve the simpson formula. This improved the most important is to

increase the simpson formula’s accuracy of algebra. Besides, we study the

simpson formula’s promotion of forms. At the last, we list a example in

the conclusion.

Key word: The simpson formula, Algorithm, Improve, Promotion of forms, The

simpson formula of the two-dimensional integral.

3 1 引言

辛普森公式主要的研究数值积分（numerical integration）的。何谓数值积分呢？其是求定积分的近似值的数值方法。即用被积函数的有限个抽样值的离散或加权平均近似值代替定积分的值。求某函数的定积分时，在多数情况下，被积函数的原函数很难用初等函数表达出来， 因此能够借助微积分学的牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的机会是不多的。另外，许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分方法求解。由于以上原因，数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题。对微积分学做出杰出贡献的数学大师，如I.牛顿、L.欧拉、C.F.高斯等人也在数值积分这个领域做出了各自的贡献，并奠定了它的理论基础。

构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的n 次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式。特别在节点分布等距的情形称为牛顿-柯茨公式，例如梯形公式与抛物线公式就是最基本的近似公式。但它们的精度较差。龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对梯形公式的近似值进行加权平均获得准确程度较高的积分近似值的一种方法，它具有公式简练、计算结果准确、使用方便、稳定性好等优点，因此在等距情形宜采用龙贝格求积公式。当用不等距节点进行计算时，常用高斯型求积公式计算，它在节点数目相同情况下，准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分。数值积分还是微分方程数值解法的重要依据。许多重要公式都可以用数值积分方程导出。

在数值积分的研究辛普森是一位很重要的数学家。辛普森（Thomas Simpson，公元1710年8月20日─公元1761年5月14日）是英国著名的数学家，他生于英格兰列斯特郡，并卒于同地。他的父亲是一位纺织工人，所以他主要靠自己力学成材，而他的第一份工作也是纺织。他对数学的兴趣最初是由一次日蚀所引发起的，他在一位占卜师的指导之下，他学会了算术和基本的代数。其后他放弃了纺织的工作，而当了一间学校的司阍。凭借他刻苦和持久的努力，他证明了他在数学方面的能力，以致于1735年他能够解决了数个有关微积分的问题，1737年他便开始撰写有关数学的文章。在1754年他成为了「淑女日记」一书的编辑，及后他到了伦敦的乌尔威治并出任数学教授一职，直至逝世。

辛普森最为人熟悉的贡献是他在插值法（Interpolation）及数值积分法（Numerical Method of Integration）方面，事实上他在概率方面也有一定的 4 工作，他在1740年推出了他的「机会的特性和法则」（The Nature and Laws of

Chance），而大部份他在这方面的结果也是建基于棣美弗早期的结果。另外，当时有一群讲师巡回在伦敦咖啡屋讲学，而辛普森是当中最突出的一位。他专研有关「误差理论」（Theory of Error），并且意图证明数算平均数比单一观察较佳。Simpson公式就是他的代表的定理。

在辛普森之后，很多后人都在其的基础上，不断完善simpson公式，使其公式越来越完善。其中，华罗庚，王元的著作数《值积分及其应用》中，就是用数论的方法研究辛普森公式。在其研究中，假设fx是一个在,内定义了的函数，以后如果用到几次微商，便假设定fx有几次微商。我们用Euler求和公式（详细参考该书第一章的内容）来推出普通数值积的Simpson法。从而得出下面的内容：

命

1233strRRR （其中tR，rR参照该书第二章的1和2节）

则得

1101102246nnsniiiiRftdtyyyyn，

而且simpson公式的余项[由（1）与（2）]为

322''03''2201211233633611232nsnbxbxRfxdxnnbxbxfxdxnn

其中

1013''2012112nlnlnftdtyyynbxfxdxnn （1）

31''212211242nrRbxfxdxnn （2）

如果IVfxaxb存在，由部分积分可得 5 ''220'''330122122nnbxbxfxdxnbxbxfxdxnn

（此处用了33100,02bb）

'''442440''''''244024412212219601222nonIVnIVbxbxfxnnbxbxfxdxnnffnbxbxfxdxnnbxbxn0112960nIVfxdxn

即

5440111232960nIVsRbxbxfxdxnn、

定理1.1 如果,IVfxMx，则

5441802sMRn

证. 由于

4404321432204324321122960111111222(2412247201261236096011111122224122472012612360960nbxbxdxxxxxxxndxxxxxxx121664)663180218021802dxnn 6 故得定理。

定理1.2 如果''fx是单调非负递减函数，则

3''3324sMRfn.

证. 由

11222200102212xxbxdxdx

及对102，常有

220220232012211112212226312224108bxbxdxxxxxdxxxdx

由

3''22011232nsRbxbxfxdxnn

以及第二中值公式可得

3''2203''311232324sRfbxbxdxnMfn

即得定理1.2.

【】参考文献：华罗庚，王元， 数值积分及其应用 科学出版社 1963年

前人的经验都是很多的，这里只是列举了其中一个。现在就来介绍一下一些预备知识。首先，来介绍一下代数精度。

代数精度是用来衡量求积公式精确程度的一个概念，代数精度越高则求积公式就越准确。

定义1.1 如果一个一般的求积公式对于所以次数不大于m的多项式fx都准确成立，即

0nbkkakfxfx

合集下载

复化梯形公式,复化辛普森公式,复化柯特斯公式

复化梯形公式,复化辛普森公式,复化柯特斯公式

复化梯形公式,复化辛普森公式,复化柯特斯公式

复化梯形公式、复化辛普森公式和复化柯特斯公式都是用来计算定积分的近似值的方法。

1. 复化梯形公式：将积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上用梯形面积近似代替该小区间的曲边梯形面积，然后将这些梯形面积相加，得到积分的近似值。

2. 复化辛普森公式：将积分区间分成若干个等分小区间，在每个小区间上用矩形面积近似代替该小区间的曲边梯形面积，然后将这些矩形面积相加，得到积分的近似值。

3. 复化柯特斯公式：将积分区间分成若干个等分小区间，在每个小区间上用切线段长度近似代替该小区间的曲边梯形面积，然后将这些切线段长度相加，得到积分的近似值。

这三种方法都是通过将积分区间分成若干个小区间，然后在每个小区间上用近似方法计算该小区间的曲边梯形面积，最后将这些近似值相加得到积分的近似值。它们的精度和误差都与分区间的大小有关。

辛普森求积公式的代数精度

辛普森求积公式的代数精度

辛普森求积公式的代数精度

辛普森求积公式是数值分析中一个非常重要的工具，它在计算定积分的时候有着独特的优势。那啥是辛普森求积公式的代数精度呢？咱们今儿个就来好好说道说道。

先来说说代数精度这个概念哈。代数精度简单来说，就是一个求积公式对于某些多项式能精确计算积分的程度。比如说，如果一个求积公式对于一次多项式能精确计算积分，那它的代数精度至少是 1；如果对于二次多项式能精确计算积分，代数精度至少就是 2 ，以此类推。

那辛普森求积公式到底咋样呢？它的代数精度是 3 。为啥是 3 呢？咱们来详细瞅瞅。

假设咱有个函数 f(x) ，然后把积分区间 [a,b] 平均分成 n 等份，每个小区间的长度就是 h = (b - a) / n 。辛普森求积公式就可以写成：

∫[a,b] f(x)dx ≈ (h/3) * [f(a) + 4f((a + b)/2) + f(b)]

咱们来验证一下为啥它的代数精度是 3 。

先看对于一次多项式，也就是 f(x) = Ax + B 。把它代入辛普森求积公式，经过一通计算，会发现算出来的结果和精确积分是一样的，这说明它对一次多项式能精确计算积分。

再看二次多项式，f(x) = Ax² + Bx + C ，同样代入算一算，还是和精确积分一样。 到三次多项式的时候，f(x) = Ax³ + Bx² + Cx + D ，这时候代入辛普森求积公式算出来的结果就和精确积分不一样啦，这就说明辛普森求积公式对于三次多项式不能精确计算积分。

所以综合来看，辛普森求积公式的代数精度就是 3 。

我记得之前在给学生讲这个知识点的时候，有个学生就特别迷糊，怎么都搞不明白。我就给他举了个特别简单的例子。

比如说咱要计算从 0 到 2 区间上，函数 f(x) = x² 的定积分。按照精确的积分计算方法，算出来应该是 8/3 。

然后咱们用辛普森求积公式来算，h = (2 - 0) / 1 = 2 ，f(0) = 0 ，f(2)

复合辛普森公式matlab例题

复合辛普森公式matlab例题

文章标题：深度剖析复合辛普森公式在Matlab中的应用

1.引言

复合辛普森公式是数值分析中常用的积分逼近方法，在工程和科学领域都有广泛的应用。本文将深入探讨复合辛普森公式的原理和在Matlab中的具体例题应用，以帮助读者全面理解该方法的实际操作和应用场景。

2.复合辛普森公式简介

复合辛普森公式是一种数值积分方法，通过将积分区间分割成若干个小区间，然后在每个小区间上使用辛普森公式进行积分逼近，最终得到整个积分区间上的近似值。其公式表达为：

\[ S_n(h) = \frac{h}{3}[f(x_0) + 4\sum_{i=1}^{n/2}f(x_{2i-1}) +

2\sum_{i=1}^{n/2-1}f(x_{2i}) + f(x_n)] \]

其中，\(h\)为步长，\(n\)为分割的小区间数。

3. Matlab实例应用

假设要对函数\(f(x) = x^3 + 2x^2 + 4x + 1\)在区间\([a, b]\)上进行积分逼近，可以通过Matlab编程实现复合辛普森公式的应用。需要确定积分区间的上下限，然后计算步长\(h\)，接着编写Matlab代码进行求解。

```matlab function result = simpson(f, a, b, n)

h = (b - a) / n;

x = a:h:b;

y = f(x);

result = h/3 * (y(1) + 4*sum(y(2:2:end-1)) + 2*sum(y(3:2:end-2)) + y(end));

end

% 调用simpson函数进行积分逼近

f = @(x) x.^3 + 2*x.^2 + 4*x + 1;

a = 1; b = 2; n = 4;

result = simpson(f, a, b, n);

disp(result);

```

在以上Matlab代码中，首先定义了一个名为simpson的函数，用于计算复合辛普森公式的近似积分值。然后通过定义函数\(f(x)\)和给定的积分区间\([a, b]\)和分割数\(n\)，调用simpson函数即可得到积分近似值。

辛普森求积公式

辛普森求积公式

- 1 - 辛普森求积公式

辛普森求积公式是数值积分中一种常用的方法，它利用三点插值公式来计算被积函数的近似积分值。

具体而言，辛普森求积公式可以表示为：

∫a^b f(x)dx ≈ (b-a)/6 [f(a) + 4f((a+b)/2) + f(b)]

其中，a和b是积分区间的左右端点，f(x)是被积函数在区间[a,b]内的取值。公式中使用了三点插值法，将积分区间[a,b]分成了两个子区间，然后在每个子区间中应用二次插值公式来计算积分值。

辛普森求积公式的精度比较高，在被积函数光滑的情况下可以达到二阶精度，比其他一些数值积分方法更为准确。但是它的缺点是需要将积分区间等分成偶数份，所以在非等距离的区间上可能会有误差。