牛顿辛普森公式

辛普森公式是什么

辛普森（Simpson）公式是牛顿-科特斯公式当n=2时的情形，也称为三点公式。利用区间二等分的三个点来进行积分插值。其科特斯系数分别为1/6，4/6，1/6.

设拟柱体的高（两底面α，β间的距离）为H，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与平面α之间距离h的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V为

V=H（S_1+4S_0+S_2）/6.

式中，S_1和S_2是两底面的面积，S_0是中截面的面积（即平面γ与平面α之间距离h=H/2时得到的截面的面积）。

事实上，不光是拟柱体，其他符合条件（所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数）的立体图形也可以利用该公式求体积。

第1页 共17页 定积分的近似计算方法

摘要 本文主要讨论了一元函数常见的数值积分方法,例如插值型求积公式、龙贝格求积公式、高斯求积公式等近似计算方法,在用这些方法计算定积分时,会产生一些误差,为了减少误差, 可以利用复化求积公式、复化高斯公式等.本文围绕这些方法,系统介绍它们的计算公式以及截断误差,并用例题分析它们产生误差的大小、计算量等.

关键词 插值型积分 龙贝格积分 高斯积分 误差分析 近似计算

1引言

在计算定积分的值()baIfxdx时,常常根据微积分学基本定理求出)(xf的一个原函数)(xF,再用牛顿-莱布尼茨公式求的积分,()()()baIfxdxFbFa.但在实际应用中,这种方法只限于解决一小部分定积分的求值问题.当函数没有具体表达式,只是一些实验测得数据形成的表格或图形或者是()Fx无法用初等函数表示,例如,2bxaedx,2sinbaxdx等等,这就需要我们用一些近似方法求的积分值.

与数值积分一样,把积分区间细分,在每个小区间上,找到简单函数)(x来近似代替()fx,且()baxdx的值容易求的.这样就把计算复杂的()bafxdx转化为求简单的积分值()baxdx.因此,定积分的近似计算实质上是就是被积函数的近似计算问题.

2常见数值方法

2.1牛顿-科茨数值方法

牛顿-科茨求积公式是求积节点等距离分布的插值型求积公式.

利用插值多项式来构造数值积分公式是最常用、最基本的方法,具体做法是：

给定区间[,]ab上一组节点01...naxxxb,以及节点处函数()(0,1,2,ifxin,作()fx的n次拉格朗日多项式

0()()()nniiixfxlx,

其中 011011()()()()()()()()()iiniiiiiiinxxLxxxxLxxlxxxLxxxxLxx,将插值公式

编号

学士学位论文

牛顿-柯特斯求积公式的

代数精度研究

学生姓名：买买提克热木·亚森

学 号：20080101025

系 部：数学系

专 业：信息与计算科学

年 级： 2008-5班

指导教师：阿米娜· 沙比尔

完成日期： 2013年4月20日 学 士 学 位 论 文

BACHELOR ’S THESIS

摘要

本文主要对求数值积分公式的代数精度进行探讨。首先描述了数值积分的矩形法，梯形法，插值求积公式等求积方法的基本思路和代数精度概念，进行了余项估计。然后重点讨论对牛顿—柯特斯求积公式当15n的情形及其代数精度.最后用数值例题验证牛顿—柯特斯求积公式的代数精度的重要性。

关键词：数值积分；梯形公式；代数精度；牛顿-柯特斯公式；

学 士 学 位 论 文

BACHELOR ’S THESIS

2 目 录

摘要 ............................................................. 1

引言 ............................................................. 2

1基本概念 ....................................................... 4

1.1代数精度的概念 ............................................................................................................... 4

1.3 插值型的求积公式 .......................................................................................................... 7

第4章

复习与思考题

习题 1、给出计算积分的梯形公式及中矩形公式，说明它们的几何意义。

答：用两端点的算术平均值作为()f 的近似值，这样导出的求积公式

()d[()()]

2a

aba

fxxfafb

 ，就是梯形求积公式。

而如果改用区间中点

2ba

c

 近似取代()f ，则导出中矩形公式

()d()()

2a

aab

fxxbaf



几何意义的图形，略。

2、什么是求积公式的代数精确度？梯形公式及中矩形公式的代数精确度是多少？

答：如果某个求积公式对次数不超过m的多项式均能准确成立，但对于m+1次多项式就不

准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度

梯形公式和中矩形公式的代数精度为1.

3、对给定求积公式的节点，给出两种计算求积系数的方法。

由于是给定求积公式的节点，因此，不能使用高斯型求积公式

由于未说明是等距节点，因此不能用牛顿-科特斯求积公式。

未找到明确的资料.

答：插值型求积公式和…..

4、什么是牛顿-柯特斯求积？它的求积节点如何分布？它的代数精确度是多少？

答：设积分区间[a,b]划分为n等份，步长h=（b-a）/n,选取等距节点kxakh 构造出的

插值型求积公式

0()()nk

nnk

kIbaCfx



成为牛顿-柯特斯求积公式，式中k

nC称为柯特斯系数。

其节点是等距分布的，代数精度为节点数n-1次。

5、什么是辛普森求积公式？它的余项是什么？它的代数精确度是多少？

当n=2时，牛顿-柯特斯求积公式即为辛普森求积公式，其余项为

4(4)()()()

1802baba

Rff



其，代数精度为3.

6、什么是复合求积法？给出复合梯形公式及其余项表达式。

答：为了提高计算精度，通常把积分区间分成若干子区间（通常是等分），再在每个子区间

上使用低阶求积公式。这种方法称为复合求积法。 复合梯形公式为

11

1

01

2()()[(a)()()]

22

()(),[a,b]

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