人教版高中选修4-4四柱坐标系与球坐标系简介课程设计

1 高中数学 第一讲 坐标系 四 柱坐标系与球坐标系简介互动课堂学案 新人教A版选修４－4

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2 四 柱坐标系与球坐标系简介

互动课堂

重难突破

本课时的重点与难点均为对柱坐标系、球坐标系概念的理解及简单应用.

一、柱坐标系

1．定义:如图，建立空间直角坐标系Ｏ—ｘyz，设P是空间任意一点，它在Ｏxｙ平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,０≤θ<２π）来表示点Ｑ在平面Ｏxy上的极坐标。这时点P的位置可用有序数组(ρ,θ，ｚ)(ｚ∈R)表示.这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组（ρ,θ,z）叫做点P的柱坐标,记作P(ρ,θ，z），其中ρ≥０，0≤θ<２π,—∞〈z<+∞。

2。空间点Ｐ的直角坐标（x，ｙ，z）与柱坐标(ρ,θ，z)之间的变换公式为.,cos,coszzyx

二、球坐标系

1.定义:如图，建立空间直角坐标系O-xyz,设P是空间任意一点，连结OP，记｜ＯＰ｜=r,OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Ｑ,Ｏx轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ。这样点P的位置就可以用有序数组（r，φ,θ）表示。这样,空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系,把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系）,有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标，记作P（r,φ,θ)，其中r≥0，0≤φ≤π，0≤θ〈2π。 3

四 柱坐标系与球坐标系简介

课题：球坐标系与柱坐标系

教学目的：

知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法

能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。

德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系

教学难点：利用它们进行简单的数学应用

授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学.

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。

问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？

学生回顾

在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法

极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理

二、讲解新课：

1、球坐标系

设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，连接OP，记| OP |=r，OP与OZ轴正向所夹的角为，P在oxy平面的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为，点P的位置可以用有序数组),,(r表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)

有序数组),,(r叫做点P的球坐标，其中r≥0，0≤≤，0≤＜2。 空间点P的直角坐标),,(zyx与球坐标),,(r之间的变换关系为：

cossinsincossin2222rzryrxrzyx

2、柱坐标系

设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在

平面oxy上的极坐标，点P的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系

有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z∈R

空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为：

3、数学应用

人教版高中数学选修 4-4 同步辅导

第一讲 坐标系

四、柱坐标系与球坐标系简介

A 级 基础巩固

一、选择题

1．空间直角坐标系 Oxyz 中，下列柱坐标对应的点在平面 Oyz

内的是 ( )

A. 1， π

，2 B. 2， π

，0 2 3

C. ， π ， π D.

3 ， π ， π

3 4 6 6 2

π

解析：由 P(ρ，θ，z)，当 θ＝ 2 时，点 P 在平面 Oyz 内．

答案： A

M 1， π π ，则它的直角坐标为 () ．已知点 的球坐标为 ， 2 3 6

A. 1， π π

B. 3 3 1

3， 6 4， 4 ，2

3 3 1 3 3 3

C. 4， 4，2 D. 4 ，4， 2

解析：设点 M 的直角坐标为 (x，y，z)，

π π

因为点 M 的球坐标为 1，3，6 ，

π π 3

所以 x＝1·sin 3cos 6＝4，

π π 3

y＝1·sin 3sin 6＝ 4 ，

1 人教版高中数学选修 4-4 同步辅导

π 1

z＝1·cos 3＝ 2.

3 3 1

所以 M 的直角坐标为 4， 4 ，2 .

答案： B

3．设点 M 的直角坐标为 (2，0，2)，则点 M 的柱坐标为 ( )

A．(2， 0，2) B．(2，π，2)

C．( 2，0，2) D．( 2，π，2)

解析：设点 M 的柱坐标为 (ρ， θ，z)，

所以 ρ＝ x2＋y2＝2，tan θ＝y＝0，

x

所以 θ＝0，z＝2，所以点 M 的柱坐标为 (2，0，2)．

答案： A

4．在空间直角坐标系中的点 M(x， y，z)，若它的柱坐标为

π ) 3， ，3 ，则它的球坐标为 (

3

π π B. 3 π π A. 3， ，

四 柱坐标系与球坐标系简介

课题：球坐标系与柱坐标系

教学目的：

知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法

能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。

德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系

教学难点：利用它们进行简单的数学应用

授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学.

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。

问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？

学生回顾

在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法

极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理

二、讲解新课：

1、球坐标系

设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，连接OP，记| OP

|=r，OP与OZ轴正向所夹的角为，P在oxy平面的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为，点P的位置可以用有序数组),,(r表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)

有序数组),,(r叫做点P的球坐标，其中r≥0，0≤≤，0≤＜2。

空间点P的直角坐标),,(zyx与球坐标),,(r之间的变换关系为：

cossinsincossin2222rzryrxrzyx

2、柱坐标系

设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在

平面oxy上的极坐标，点P的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系

有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z∈R

空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为：