六年级-市北资优生培养教材-数学练习册第一章 (1)整数与整除(无解析)

整数与整除（1.1-1.3）1.1整除的意义一、梳理概念1、整数的概念：（1）和统称为自然数，最小的自然数是，自然数的个数是无限的（2）、和统称为整数，零既不是正整数，也不是负整数2、整除的概念（1）整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数，余数为0，则称能被整除，能整除（2）整除和除尽的区别被除数商整除都是整数，除数不等于0商是整数，余数为0除尽不一定是整数，除数不等于0商是整数或有限小数，没有余数二、拓展提高1、植树节全班同学分成四个小组植树，每个小组种的树的棵树相同，小明统计时说：全班共植树274棵，小明统计的数字对吗？为什么？2、一个三位数，十位上是最小的自然数，百位上是最小的正整数，三个数位上数字之和是4，求这个三位数3、观察下列一组自然数：7，10，13，16……的排列规律，试写出第n个自然数4、计算：105+110+115+120+…+195+2001.2因数和倍数一、梳理概念1、因数和倍数的意义：在正整数范围内，如果数a能被数b整除，就叫做的倍数，就叫做的因数，这两者是互相依存的。

2、因数的关系应用：（1）求一个正整数的所有因数（2）一个正整数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是，最大的因数是3、倍数的有关应用：（1）求一个正整数的倍数的方法及在规定范围内找出一个数的倍数（2）一个正整数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身二、拓展提高1、如果一个数既是30的倍数，又是120的因数，那么下列说法中正确的是（）A.这样的数只有1个B.这样的数有3个C.这样的数有无数多个D.这样的数不存在2、能被48整除的数一定是下面（）的倍数A.18B.24C.36D.962、一个数的最大因数与最小因数的差为17，求出这个数的所有因数4、某中学组织夏令营，六年级共有24人参加，老师需要把他们分成人数相等的几个小组（每小组不少于2人也不多于20人），有几种分发？1.3能被2、5整除的数一、概念梳理1、能被2、5整除的数的特征：（1）能被2整除的数的特征：个位数字是的数都能被2整除（2）能被5整除的数的特征：个位数字是的数都能被5整除（3）能同时被2、5整除的数的特征：个位数字是2、奇数和偶数：按照能否被2整除，整数可以分为奇数和偶数两类被2整除的数叫做；被2整除的数叫做二、拓展提高1、从0、3、5、7这四个数字中，任选三个数字组成一个能同时被2、3、5整除的三位数，这样的三位数有哪几个？3、用0、3、6这三个数字排成一个三位数：（1）使这个数有因数2，有几种不同的排法（2）使这个数能被5整除，有几种不同的排法（3）使这个数是3的倍数，有几种不同的排法4、试探究能被3整除的整数有什么特征？并解答下面的问题：已知A是一个正整数，它是15的倍数，并且它的各个位数上的数字只有0和8两种，问A最小是多少？。

整除定义、因数、倍数【知识定位】理解整数和整除的意义，掌握整除、因数、倍数的概念，会运用整除进行相关的应用和计算。

【知识梳理】知识梳理1：什么叫整除？1、整数a 除以整数b ，如果所得的商为整数且没有余数，我们就说a 能被b 整除，或b能整除用数学式子表示即是： a b c ÷= (其中a,b,c 均为整数)思考：现在有30个苹果让你去取，但是不能一次取完，也不能一个一个拿，必须每次拿的个数相同，且最后一次正好拿完？能做到吗？有几种办法？通过学习今天的内容你就有办法快速解决这个问题.2、上一节课我们思考过一道兴趣题，“小杰想画一个面积是12的长方形，且这个长方形的长和宽都是整数，你能告诉他符合条件的长方形有几种长和宽吗？”最后我们总结有6种条件符合：①11212⨯=；②2612⨯=；③3412⨯=；④12112⨯=；⑤6212⨯=； ⑥ 3412⨯=显然，像式子11212⨯=中，12能被1和12整除就称1和12是12的因数；反过来，12是1和12的倍数.那么，式子中12的因数还有2，3，4，6像整除的概念总结一样，可得，因数与倍数的关系.知识梳理2：因数和倍数的概念：整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的因数（也称为约数）.注：为了研究的方便，在研究因数和倍数时，我们所说的数专指不是零的自然数.（因为零乘任何数为零，零除以任何为零，研究起来没有意义）例题精讲：【试题来源】【题目】你觉得下面的算式中的数字之间能用倍数和因数来描述吗？请你来说一说.①1620320⨯= ②199⨯= ③4416⨯= ④2173÷=⑤ 200.612÷= ⑥A B C ⨯= (A 、B 、C 都是非零的自然数)【试题来源】【题目】 找出15的因数和倍数.你会发现什么？【试题来源】【题目】一个数既是96的因数，又是6的倍数，它不能被8整除，那么这个数是多少？请说明理由.【试题来源】【题目】1、65是_ _的倍数；50以内13的倍数是 .2、327至少减去7，就既有因数 ，又是 的倍数.3、12能被3整除，则12是 的倍数；3是 的因数.【试题来源】【题目】1、数a 能被数b 整除，已知数a 是最大的两位数，b 小于20大于8，那么b 的值可能是 .2、有两个正整数，它们的和是18，积是65，它们的差是 .3、既是正整数a 的因数，又是它的倍数的数是___________.【试题来源】【题目】（1）3721⨯=，（ ）和（ ）是（ ）的因数，（ ）是（ ）和（ ）的倍数.（2）72的最大因数是（），最小倍数是（），最小因数是（）.（3）一个数（0除外），它的最大因数和最小倍数都是（）.【试题来源】【题目】判断正误（1）6是因数，30是倍数.（）÷=，所以8是0.8和10的倍数，0.8和10是8的因数. ( )（2）因为80.810（3）一个数的因数一定小于这个数.（）（4）甲数比乙数大，甲数的因数的个数比乙数多. （)【试题来源】【题目】（1）30的最大因数和最小倍数的和是（），它们的积是（），它们的差是（）.（2）我是60的因数，还是12的最小倍数，我是（）；我的最大因数和最小倍数都是73，我是（）；我只有两个因数，我的2倍在30和35之间，我是（）.【试题来源】【题目】思考：12的因数有1、2、3、4、6、12共6个，5的因数有1和5共2个，那12×5即60的因数的个数有（）个.课后练习：【试题来源】【题目】下列说法正确的是（）【选项】A .1没有因数，也没有倍数； B .一个整数的因数的个数有限；C .一个整数的倍数的个数有限；D .6的因数只有2和3.【试题来源】【题目】在80以内，24的因数和倍数分别有（）【选项】A . 2，3，4，6，8，12；48，72 ；B . 2，3，4，6，8，12，48，72；C . 1，2，3，4，6，8，12，24，48，72；D.1，2，3，4，6，8，12，24; 24，48，72.【试题来源】【题目】100以内(不包括100)5的倍数有（）个【选项】A .10 ；B.18 ；C.19 ；D.20 .【试题来源】【题目】一个数既是30的倍数，又是120的因数，下列说法中，正确的是（）【选项】A.这样的数只有一个；B.这样的数有限个；C.这样的数有无数多个；D.这样的数不存在.【试题来源】【题目】正整数a既是甲的倍数，又是乙的因数，下列说法中，正确的是（）【选项】A .甲乙两数大小相等；B .甲小于乙；C .甲是乙的因数；D .乙是甲的因数.【试题来源】【题目】1、50以内7的倍数有.2、三个连续的偶数中，最大的是a，最小是.这个三数的和是48，那么这a的值为.3、对于任意整数m，有没有最大或最小的因数，如果有，它们各是什么数？【试题来源】【题目】1、一个数的最小倍数减去它的最大因数，差是（）2、一个数的最小倍数除以它的最大因数，商是（）3、一个自然数比20小，它既是2的倍数，又有因数7，这个自然数是（）【试题来源】【题目】+的和的所有因数有（）个；a-b的差的所1、如果a的最大因数是17，b的最小倍数是1，则a b⨯的积的所有因数有（）个有因数有（）个；a b2、比6小的自然数中，其中2是( )的因数，又是( )的倍数【试题来源】【题目】一个小于30的自然数，既是8的倍数，又是12的倍数，这个数是多少?【试题来源】【题目】幼儿园里有一些小朋友，王老师拿了32颗糖平均分给他们，正好分完。

第1课时整数与整除课时目标1. 理解和掌握自然数、整数、整除、因数、倍数等概念；2. 理解和掌握整除的条件，会区分整除和除尽；3. 在整除中，能够说明谁是谁的倍数，谁是谁的因数；4. 理解和掌握求一个整数的所有因数的方法，理解整数的最小和最大的因数；5. 理解和掌握求一个整数在一定范围内的倍数，理解整数的最小的倍数.知识精要1. 整数：正整数、零、负整数，统称为整数.零和正整数统成为自然数.正整数整数零自然数负整数2.整除：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a.注：（1）整除的条件：(3整1零)①除数、被除数都是整数；②被除数除以除数，商是整数而且余数为零.（2）凡是整除一定能除尽，但除尽的不一定能整除；3. 因数与倍数：如果数a能被数b整除，那么a就叫做b的倍数，b叫做a的因数(也称为约数).注：（1）因数、倍数是互相依存的.不能说a是倍数、b是因数！（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身.（3）一个正整数的倍数的个数是无限的，没有最大的倍数，最小的倍数是它本身.（4）1只有一个因数1，除1以外的整数，至少有2个因数.（5）一个整数既是它本身的约数又是它本身的倍数.（6）1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数.（7）0是任何一个不为0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数.4. 能被2、5整除的数：（1）能被2整除的数的特征是个位上的数字是0、2、4、6、8；（2）能被5整除的数的特征是个位上的数字是5或0；（3）能同时被2、5整除的数的特征是个位上的数字是0.（4）能被3整除的数的特征是各个数位上的数字相加的和是3的倍数.5. 奇数和偶数：能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数.6. 素数、合数与分解素因数：（1）正整数按照因数的个数分类可以分为素数、合数、1.（2）素数(质数)：只有1和它本身两个因数；合数：至少要有3个因数.注：（1）最小的素数是2；最小的合数是4；（2）1 既不是素数也不是合数；7. 分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来叫分解素因数.分解素因数常用的方法有：树枝分解法、短除法、口算法等.热身练习一、整数1、下列说法中，错误的是：( )A. 最小的整数是0B. 最大的正整数不存在C. 最大的负整数是－1D. 最大的自然数不存在2、最小的正整数是，最大的负整数是.3、把下列各数填入相应的横线上：－3，18，－143，0，5，100.负整数：；正整数：；整数：.二、整除4、下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是：( )A. 4和12B. 24和5C. 35和8D. 91和75、除式9÷1.5=6表示( )A. 9能被1.5整除B. 1.5能整除9C. 9能被1.5除尽D. 以上说法都不确切6、28能被a整除，a一定是( )A. 4或7B. 2、4或7C.2、4、7、14或28D. 1、2、4、7、14或287、18÷9=2，我们就说能被整除或能整除.8、能整除14的数是.三、因数和倍数9、6的因数有( )A.8个B. 6个C. 4个D. 2个10、6的倍数有( )A.1个B. 2个C. 3个D. 无数个11、已知14能整除a，那么a是( )A.1和14B. 2和14C. 14的因数D. 14的倍数12、下列说法错误的是( )A. 一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身B. 一个正整数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身C. 12在100以内的倍数共有10个D. 一个数既是16的因数，又是16的倍数，这个数就是16四、能被2、5整除的数13、末位数字是的数一定能被2整除.14、能同时被2、5整除的数，它的个位上的数必是.15、能被5整除的最大的两位数是，最小的两位数是.16、奇数与偶数的积必定是.17、两个连续自然数的和是.18、写出100以内能同时被2、3、5整除的数.五、素数、合数与分解素因数：19、在正整数1到20中，奇数有个，偶数有个，素数有个，合数有个.20、在1、2、9这三个数中，既是素数又是偶数，既是合数又是奇数，既不是素数也不是合数.21、老师将259本新书平均分给六(2)班全体同学，你认为六(2)班有同学位.精解名题例1 下列算式中，被除数能被除数整除的是( )A. 25÷4B. 25÷0.5C. 2.5÷5D. 5÷5例2 12÷4=3，下列说法不正确的是( )A. 12是4的倍数B. 4是12的因数C. 4是12的约数D.12是倍数例3下面哪些数能被2整除？哪些能被5整除？哪些能同时被2和5整除？35、85、60、108、321、1234、2010能被2整除：能被5整除：能同时被2和5整除：例4 下列数中，哪些是奇数？哪些是偶数？13、24、37、10、9、123、88、0、345奇数：偶数：例5 两个2位数的积是216，这两个数的和是多少？例6 除式21÷5=4……1，如果除数不变，要使这个除式成为整除，那么被除数至少增加 ，这时候商为 .5 5 5 5 1+？线段图解例7 1到100之间，因数个数是奇数的自然数有哪些？巩固练习一、填空题1、24的因数有 .2、若□27□能同时被2和5整除，那么这个四位数最大是 .3、在20的所有因数中，最大的是 ，最小的是 .4、一堆苹果，2个2个数、3个3个数和5个5个数都剩下一个，这堆苹果最少有 个.二、选择题5、下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是： ( )A. 14和7B. 2.5和5C. 9和18D. 0.4和86、能同时被2、5整除的最大两位数加上1后是： ( )A. 91B. 89C. 11D. 97、一个正方形的边长是奇数，它的周长是： ( )A.偶数B. 奇数C.无法确定D.我承认我不知道8、有两个质数，它们的和是18，积是65，它们的差是 ( )A. 11B. 9C.12D. 8三、解答题9、将下列各数分别填入相应的集合圈内：－5、0、21、81、43、215、－9、－8.1、1.整数正整数负整数10、写出63的所有因数.11、已知：A=2×3×5，B=3×3×5，则A和B相同的因数有哪些？12、用0、3、4、5四个数字，按下列要求排成没有重复数字的四位数，并请指出满足条件的这些四位数中最大的四位数.（1）能被2整除，但不能被5整除；（2）能被5整除，但不能被2整除；（3）既能被2整除，又能被5整除；自我测试1、已知m能整除31，那么m是( )A. 62B. 13C. 1和31D. 932、37÷4=9.25表示( )A. 37能被4整除B. 4整除37C. 37能被4除尽D. 37不能被4除尽3、下列说法正确的是( )A. 一个数的因数总比这个数小B. 9是2的倍数C. 一个整数的倍数有无数多个D. 一个整数的倍数中最大的倍数是它本身4、下列各数中，不能同时被2、5整除的是( )A. 7550B.2100C. 725D. 90005、下列说法中，正确的是( )A. 12是倍数，3是约数B. 能被2除尽的数都是偶数C. 任何奇数加上1后，一定是偶数D. 偶数除以2所得的结果一定是奇数6、下列各组数中，第1个数不能被第2个数整除的是( )A. 1.5和0.5B.15和5C. 4和4D. 10和27、下列说法错误的是( )A. 数a能被数b整除，则数b一定能除尽数aB. 数a能被数b除尽，则数a一定能被数b整除C. 一个大于1的整数，至少能被两个数整除D. 在10以内只能被2个数整除的最大数是78、如果n是一个正整数，且n能整除8，那么n= .9、100以内能同时被3和7整除的最大奇数是，最大偶数是.10、如果一个长方形的长和宽都是整数厘米，并且这个长方形的面积是24平方厘米，想一想，这个长方形的周长是多少？课后作业1.最小的自然数是，最小的正整数是.2.一个自然数的最小因数是，最大的约数是，最小的倍数是.3.一个数的最小倍数是49，这个数的因数有.4.四位数256□能同时被2，5整除，那么□应该是.5，.100以内能同时被3和5整除的最大数是，最小数是.6.判断题（若是正确的，请说明理由；若是错误的，请把它改正）（1）最小的自然数是1. （）（2）如果整数a能被整数b（b≠0）除尽，那么就可以说a能被b整除. ( ) （3）最小的整数是0. （）（4）非负整数是自然数. （）（5）如果a能被b整除，那么a是b的倍数，b是a的因数. （）7. 下列说法中正确的个数是( )（1）一个正整数的倍数一定比这个数的任何因数都大；（2）一个正整数的倍数一定能被它的因数整除（3）一个正整数的因数至少有两个（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个8. 一个奇数要变成偶数，下面各方法中除（）外都可以（A）加上1 （B）减去3 （C）乘以2 （D）除以29. 一个数既是100的因数，又是10的倍数，它不能被4整除，那么这个数是什么？。

1.5 公倍数与最小公倍数思考在上海火车站，地铁1号线每隔三分钟发车，轨道交通3号线每隔4分钟发车．如果地铁1号线和轨道交通3号线早上6:00同时发车，那么至少再过多少时间它们又同时发车？分析 问题转化为求3和4的最小公倍数．3的倍数有：3，6，9，12，15，18，21，14，27，……4的倍数有：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，……3和4的倍数有：12，24，……，其中最小的是12．如果a 1，a 2，…，a n 和m 都是正整数，且1a m ，2a m ，…，n a m ，那么m 叫做a 1，a 2，…，a n 的公倍数．公倍数中最小的数叫做a 1，a 2，…，a n 的最小公倍数，记作[a 1，a 2，…，a n ] ．如对于4、8、12这一组数，显然24、48、96都是它们的公倍数，但24是这些公倍数中最小的，所以24是它们的最小公倍数，记作[4，8，12]=24．例1 求18和30的最小公倍数．解 方法一：18的倍数有18，36，54，72，90，…30的倍数有30，60，90，120，150，…所以18和30的最小公倍数为90．方法二：把18和30分解质因数18233=⨯⨯ 30235=⨯⨯只要取出所有公有的质因数（1个2和1个3），再取各自剩余的质因数（3和5），将这些数连乘，所得的积90是它们的最小公因数．方法三：用短除法来计算∴ 18和30的最小公倍数为233590⨯⨯⨯=．例2 求18和30的最小公倍数．解∴ 18和30的最小公倍数为223560⨯⨯⨯= ．，，，531593018321，2，11，6，32，12，310，12，15532练习1.51．求2520和5940的最大公因数和最小公倍数．2．用分解质因数的方法求24和90的最大公因数和最小公倍数．3．张三、李四、王五三位同学分别发出新年贺卡x 、y 、z 张．如果已知的最小公倍数是60，x 和y 的最大公因数为4，y 和z 的最大公因数为3，那么张三发出的新年贺卡共有多少张？练习1.5答案1．180；83 1602．6；3603．4或20．提示：4是x 的约数，60是x 的整数倍，因此x 只可能是4，12，20，60．显然60x ≠．因为4是y 的因数，3是y 的因数，因此y 是12的整数倍，因此12x ≠．由此4x =或20．1.5 《公倍数与最小公倍数》练习练习1.51．15的最大因数是（ ），最小倍数是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．152．在1427=⨯中，2和7都是14的（ ）A ．素数B ．倍数C ．素因数3．有一个数，它既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（ ）A ．6B ．12C ．24D ．1444．一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有剩余，这筐苹果最少应有（ ）A ．120个B ．90个C ．60个D ．30个5．甲、乙两个数的最大公因数是6，最小公倍数是144，已知甲数是18，那么乙数应是（ ）A ．16B ．82C ．48D ．646．幼儿园大班有36个小朋友，中班有48个小朋友，小班有54个小朋友．按班分组，三个班的各组人数一样多，问每组最多有（ ）个小朋友．A ．2B ．4C ．6D ．87．下面算式中，被除数能被除数整除的有（ ）A ．265 5.2÷=B ．3575÷=C ．0.90.33÷=8．自然数中，所有17的倍数（ ）A ．都是偶数B ．有偶数有奇数C ．都是奇数9．有一个素数，是由两个数字组成的两位数，两个数字之和是8，两个数字之差是2，那么这个素数是几？10．一块砖底面长22厘米，宽10厘米，要铺成一个正方形地面（不要折断，只能铺整砖）至少要多少块砖？11．三个连续奇数的和是15，这三个奇数的最小公倍数是多少？12．从运动场的一端到另一端全长10米，从一端起到另一端止每隔4米插一面小红旗．现在要改成每隔5米插一面小红旗，有多少面小红旗不用移动？13．在一根长木棍上，有三种刻度线：第一种刻度线将木棍分成十等分，第二种刻度线将木棍分成十二等分，第三种刻度线将木棍分成十五等分．如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？1.5《公倍数与最小公倍数》练习答案1．D 2．C 3．B 4．C 5．C 6．C 7．B 8．B9．53 提示：这两个数字中较大的为5，较小的为3，所以这个素数是53．÷=，10．55块提示：22与10的最小公倍数为110，即正方形的边长最小为110厘米．又110225⨯=（块）．1101011÷=，因此至少要51155⨯⨯=．11．105 提示：由题意知，中间这个奇数为5，则这三个数为3，5，7，它们的最小公倍数为357105÷+= 12．6面提示：4与5的最小公倍数是20，即每隔20米有一面小红旗不用移动，因此共有1002016（面）小红旗不用移动．13．28段提示：10、12、15的最小公倍数是60，不妨设木棍的长度为60，若十等分，则每段长度为++=（条）刻度线．因6；若十二等分，则每段长度为5；若十五等分，则每段长度为4．木棍上有9111434÷-=（条）；因为5与4的为6与5的最小公倍数为30，因此十等分与十二等分重复的刻度线有603011÷-=（条）．以上重复的刻度线之间最小公倍数为20，因此十二等分与十五等分重复的刻度线有602012---=（条），即木棍总共被锯成28段．并不重复，因此刻度线共有3414227。

1．3 素数、合数与分解素因数自然数是我们最熟悉的数，全体自然数可以按照约数的个数进行分类；只有一个约数的自然数，这类数只有1；有两个约数的自然数，这类数叫做素数（也叫质数），如2，3，5，7，11，17等等，这样的数只有1和它本身两个约数，自然数中质数的个数有无限多个．有两个以上约数的自然数，这类数叫做合数，如4，6，8，9，10等等，这些数除了1与它本身两个约数外，至少还有一个另外的约数，自然数中合数的个数也有无限多个．显然，1既不是质数也不是合数；2是最小的质数，而且是质数中唯一的一个偶数；除了2以外的其他质数都是奇数．例1 找出1～100这100个自然数中所有的质数？分析 可用淘汰法来解，先划去比2大的所有2的倍数，再划去比3大的所有3的倍数，接下来再划去比5大的所有5的倍数，如此进行下去．解：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97．例2 判断3 333 334 111 111是素数还是合数？ 解: 3 333 334 111 111=3 333 333 000 000+1 111 111=1 111 111×3 000 000+1 111 111 =1 111 111（3 000 000+1） =1 111 111×3 000 001所以，3 333 334 111 111是合数．例3 桌子上有一堆石子共1001料，第一步从中扔去一粒石子，并将余下的石子分成两堆．以后的每一步，都从某个石子数目多于1的堆中扔去一粒，再把这堆分成两堆，试问：能否在若干步以后，使桌上的每一堆中都刚好有3粒石子？解：如果可能的话，假设最后剩下n 堆，每堆3粒，则在此之前一共进行了（n -1）次操作（开始时只有一堆石子，每操作一次，多分出一堆，操作（n -1）次后分成n 堆），而每次操作都扔去一粒，所以一共扔去了（n -1）粒，因此，()311001n n +-= 即41002n =上式中，左边是4的倍数，右边是2的倍数，但不是4的倍数，这样就产生了矛盾，所以，不可能在若干步后，使桌子上的每一堆中都刚好有3粒石子．练习1．3（1）1．在1到100这100个自然数中任取其中的n 个，要使这n 个数至少有一个合数，则n 至少是多少？ 2．有三张卡片，在它们上面各写着一个数字2、3、4，从中抽出一张、二张、三张按任意顺序排列起来，请你将其中的质数都写出来．3．已知P ，P ＋10，P +14都是质数，求所有这样的数P ． 答案练习13．1（1）1． 27 提示：1～100中有25个质数，又有一个1，因此至少任取27个数才能确保有一个合数． 2． 2、3、23、433． 3P = 提示：若3P k =（k 为正整数），则只有当k =1时P =3、P +10=13、P +14=17均为素数，而k ＞1时，P 为合数不符合题意；当31P k =+时，P +14=3k +15总能被3整除，是合数；当32P k =+时，10312P k +=+总能被3整除，是合数，因此P 只能等于3．思考：6，28和60可以写出哪几个素数相乘的形式？6 = 2 × 32 × 36 2 × 2 × 728 = 2 × 2 × 74 × 72860 =2 × 3 × 2 × 5 = 2 × 2 × 3 × 52 ×3 × 2 × 56 × 1060××××从上面的例子可以看出：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数．例4 把48，35，60分解素因数解：48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 332 62 1 22 2 42 4 875 3 535 = 5 × 7560 = 2 × 2 × 3 × 53 1 52 3 02 6 0用短除法分解素因数的步骤如下：1．先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；2．得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止； 3．然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式．质数与合数的有关性质： 1．质数有无数多个．2．2是唯一的偶质数．大于2的质数必为奇数．如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2；如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个是2． 3．若质数|p ab ，则必有|p a 或|p b ．4．若正整数a 、b 的积是质数，则必有a p =或b p =．5．唯一分解定理：任何整数n （n ＞1）可以唯一地分解为：1212k a aa k n p p p =，其中12k p p p ＜＜＜是质数；12,,k a a a 是正整数．例5 已知四个质数满足1234p p p p ＜＜＜，且22221234511p p p p =+++，试求这四个质数．分析 511是一个奇数，所以这四个质数不都是奇数，即其中必有偶质数2．解：显然有12p =，代入得222234507p p p =++，因为250752923=＜，所以419p ≤若419p =，则2223146p p =+，所以7≤3p ＜13，故311p =，这时25p =．若417p =，则2223218p p =+，所以11＜3p ＜17，故313p =，这时27p =．所以，这四个质数为2、5、11、19或2、7、13、17．例6 当x 取1到10之间的质数时，四个整式：22x +、24x +、26x +、28x +的值中共有质数多少个？ 解：1到10之间的质数有2、3、5、7，但2是偶数，所以可用质数为3、5、7．当3x =时，2211x +=，2413x +=，2615x +=，2817x +=，其中15不是质数． 当5x =时，2227x +=，2429x +=，2631x +=，2833x +=，其中27、33不是质数． 当7x =时，2251x +=，2453x +=，2655x +=，2857x +=，其中51、55、57不是质数．所以共有6个符合条件．例7 三个质数的积等于它们的和的11倍，求这三个质数．分析 设这三个质数分别为P 、Q 、R ，则有()11PQR P Q R =++，解方程即可． 解：由分析中方程可知，必有一质数为11，不妨设R =11，P ≤Q ，则方程变为：11PQ P Q =++或()()1112P Q Q ---=，即()()1112P Q --=．所以11P -=，112Q -=或12P -=，16Q -=，故所求的三个质数为2、11、13或3、7、11．练习1．3（2）1．分解素因数：45，88，126．2．农民用几只船分三次运送315袋化肥，已知每只船载的化肥袋数相等且至少载7袋，问每次应有多少只船，每只船载多少袋化肥？（每只船至多载50袋化肥）3．在乘积1000×999×998×……×3×2×1中，末尾连续有多少个0？ 4．已知三个质数a 、b 、c ，它们的积等于30，求适合条件的a 、b 、c 的值．5、证明：存在2006个连续自然数，它们都是合数．6．如图是一张8×8的正方形纸片，将它的左上角一格和右下角一格去掉，剩下的部分能否剪成若干个1×2的长方形纸片？练习1．3（2）1．45=3×3×5；88=2×2×2××11；128=2×3×3×72． 3条船，35袋化肥或5条船21袋或7条船15袋化肥或15条船7袋化肥．提示：每次运105袋化肥，对105分解素因数即可．3． 249个提示：只需考虑乘积中因数5的个数：100010001000625249 525125625+++=（个）．4． 2，3，5； 2，5，3； 3，2，5； 3，5，2； 5，2，3； 5，3，25．提示：1×2×3×…×2007+2，1×2×3×…×2007+3，1×2×3×…×2007+4，…，1×2×3×…×2007+2007，共2006个合数．。

上海市六年级数学第一章数整除教案一、教学内容本节课选自上海市六年级数学教材第一章“数的整除”第一节，内容包括整除的概念、整除的性质、倍数与约数的辨识，以及最大公约数和最小公倍数的求解方法。

二、教学目标1. 理解整除的概念，掌握整除的性质，能够辨识倍数与约数。

2. 学会求解两个数的最大公约数和最小公倍数。

3. 能够运用整除知识解决实际问题，提高数学思维能力。

三、教学难点与重点重点：整除的概念、性质、倍数与约数的辨识方法。

难点：最大公约数和最小公倍数的求解方法。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

2. 学具：练习本、铅笔。

五、教学过程1. 实践情景引入通过一个实践情景，让学生感受整除的意义：假设有18个苹果，要平均分给同学们，如何分配才能使每个人得到的苹果数量相同？2. 新课导入（1）讲解整除的概念，引导学生理解整除的含义。

（2）介绍整除的性质，如：若a能整除b，则a能整除b的任何倍数。

3. 例题讲解（1）求解18的约数，引导学生发现约数的性质。

（2）求解18和24的最大公约数和最小公倍数。

4. 随堂练习（1）找出30的所有约数。

（2）求出12和18的最大公约数和最小公倍数。

六、板书设计1. 板书数的整除2. 内容：（1）整除的概念、性质（2）倍数与约数的辨识方法（3）最大公约数和最小公倍数的求解方法七、作业设计1. 作业题目：（1）找出40的所有约数。

（2）求出15和20的最大公约数和最小公倍数。

2. 答案：（1）1、2、4、5、8、10、20、40（2）最大公约数：5，最小公倍数：60八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对整除的概念和性质掌握较好，但在求解最大公约数和最小公倍数时，部分学生存在困难，需要在课后加强练习。

2. 拓展延伸：引导学生思考如何求解三个或更多数的最大公约数和最小公倍数，激发学生深入学习的兴趣。

重点和难点解析1. 教学难点与重点的确定2. 例题讲解的深度和广度3. 随堂练习的设计与实施4. 作业设计的针对性和答案的准确性5. 课后反思及拓展延伸的深度详细补充和说明：一、教学难点与重点的确定重点：整除的概念、性质、倍数与约数的辨识方法。

整数和整除是六年级数学上学期第一章第一节内容，主要对整数的分类和整除的概念进行讲解，重点是整除的概念理解，难点是整除条件的归纳总结．通过这节课的学习一方面为我们后期学习公因数和公倍数提供依据，另一方面也为下学期学习有理数奠定基础．1、整数的意义和分类（1）自然数：零和正整数统称为自然数；（2）整数：正整数、零、负整数，统称为整数．2、整除的意义整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b 能整除a．整数和整除内容分析知识结构模块一：整数和整除的意义知识精讲例题解析【例1】在12、5.352、0、0.2、30、12.4、9.5、1这些数中，整数是_________，自然数是__________．【难度】★【答案】12，0，30，1；12，0，30，1．【解析】自然数：零和正整数统称为自然数；正整数、零、负整数，统称为整数．【总结】本题主要考查自然数和整数的概念．【例2】关于1836÷=，下列说法正确的是（）A．18能整除3 B．3能被整除18C．18能被3整除D．3不能整除18【难度】★【答案】C【解析】整数a除以整数b，如果除得的商是整数且余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a．【总结】本题主要考查整除的概念．【例3】下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是________．○13和0.3；○212和4；○35和15；○40.2和0.4；○51.4和14；○65和0.1．【难度】★★【答案】③【解析】整数a除以整数b，如果除得的商是整数且余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a．【总结】本题依旧考查整除的概念．【例4】下列说法中，正确个数是（）○1整数包括负数、整数；○21是最小的自然数；○3a除以b，商为整数，且余数为0，则a能被b整除；○4有最大的自然数，而没有最小的自然数；○5最大的正整数和最大的负整数都不存在．A．0个B．1个C．2个D．3个【难度】★★【答案】A【解析】①错，整数包括正整数、负整数和0；②错，0是最小的自然数；③错，要求a和b也要为整数；④错，没有最大的自然数，有最小的自然数为0．⑤错，没有最大的正整数，有最大的负整数为-1．【总结】本题主要考查整数的分类问题，注意0的特殊性．【例5】下面的几对数中，第一个数能除尽第二个数的是____________．○17和11；○29和2538；○32和5；○415和5；○513和91；○62和0.4；○70.3和6；○81.5和2.5．【难度】★★【答案】②③⑤⑥⑦【解析】a能除尽b是指ab 所得的商是整数或有限小数，要与数的整除的概念区分开．【总结】本题主要考查除尽的概念，注意与数的整除的区分．师生总结1、整除与除尽有什么相同点？2、整除与除尽有什么不同点？【例6】有15位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把她们平均分成若干小组，有几种分法？有可能把他们平均分成4个小组吗？为什么？【难度】★★【答案】一组、三组、五组、十五组均可．不能平均分成4个小组，因为4不能整除15．【解析】因为5==，所以可分为一组、三组、五组或者十五组．⨯15⨯3151【总结】本题主要考查数的整除在实际问题中的应用．【例7】一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班共糊纸盒342个．小马虎的统计对吗？为什么？【难度】★★★【答案】不对，因为4不能整除342．【解析】2÷，余数不为0．......342=854【总结】本题主要考查数的整除在实际问题中的应用．【例8】在1~600这600个数中，不能被2整除的数有多少个？不能被3整除的数有多少个？既不能被2整除，又不能被3整除的数有多少个？【难度】★★★【答案】300，400，200【解析】在1~600这600个数中，能被2整数的数有2，4，6，8，．．．．．．600，共有300个，则不能被2整除的数有600-300=300个；能被3整除的数有3，6，9，12，．．．．．．600，共有200个，则不能被3整除的数有600-200=400个；既能被2整除，又能被3整除的数有6，12，18，．．．．．．600，共有100个．能被2或3整除的数有300+200-100=400个，所以既不能被2整除，又不能被3整除的数有600-400=200个．【总结】本题主要考查整除在数字问题中的应用，注意思考方式的改变．模块二：因数和倍数知识精讲1、因数和倍数整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）．注：一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身．例题解析【例9】在9、12、15、30、45、66有因数2的是_________，是3的倍数的是_________．【难度】★【答案】12、30、66；12、15、30、45、66．【解析】有因数2的是：12、30、66；是3的倍数的有：9、12、15、30、45、66．【总结】本题主要考查因数和倍数的概念．【例10】既是23的倍数，又是23的因数的数是______．【难度】★【答案】23．【解析】23的因数有1、23，其中是23的倍数为23．【总结】本题主要考查因数和倍数的概念．【例11】下列说法中不正确的是（）A．1是任何整数的因数，任何整数都是1的倍数B．偶数的因数不一定是偶数C．奇数的因数一定是奇数D．一个数的最大因数一定小于它的最小倍数【难度】★★【答案】D【解析】D答案中一个数的最大因数都是等于它的最小倍数的，故D是不正确的．【总结】本题主要考查因数和倍数的定义，注意1的特殊性．【例12】一个正整数所有的因数是1、2、3、6，那么这个数是______．【难度】★★ 【答案】6【解析】因为一个正整数最小的因数为1，最大的因数为它本身，故这个数是6． 【总结】本题主要考查正整数的因数的特征．【例13】既是3的倍数，又是30的因数的数是________________．（写出所有符合条件的数）【难度】★★【答案】3、6、15、30．【解析】6510315230130⨯=⨯=⨯=⨯=，所以30的因数为1、2、3、5、6、10、15、30．其中3的倍数为3、6、15、30．【总结】本题可以将30的因数一一列出，然后判断其实不是3的倍数，反过来也可以．【例14】一个数即是10的倍数，又是100的因数，且不能被4整除，这个数是______．【难度】★★ 【答案】10、50．【解析】10的倍数为：10、20、30、40、50、60、70、80、90、100，其中又是100的因数，且不能被4整除的是10、50．【总结】本题也可一一列举出即是10的倍数，又是100的因数的数，然后再判断哪些不能被4整除．【例15】已知一个三位数abc ，若两位数bc 能被4整除，那么这个三位数就能被4整除．这句话对吗？如果正确，请证明；如果不正确，请举出反例．【难度】★★★ 【答案】正确．【解析】三位数abc 可以表示为()c b a ++10100，两位数bc 可以表示为c b +10，因为两位数bc 能被4整除，∴c b +10能被4整除．而()()()410254104100410100÷++=÷++÷=÷++c b a c b a c b a ，没有余数，所以这个三位数就能被4整除．【解析】本题主要考查整除的概念，注意合理的运算方法的选择以及对于三位数的表示．模块三：能被2、5整除的数知识精讲1、能被2整除的数能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数；能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数．2、奇数偶数的运算性质奇数±奇数= 偶数；奇数±偶数= 奇数；偶数±偶数= 偶数；奇数⨯奇数= 奇数；奇数⨯偶数= 偶数；偶数⨯偶数= 偶数．推广结论：（1）奇数个奇数的和为奇数；偶数个奇数的和为偶数；任意有限个偶数的和为偶数；（2）若干个奇数的乘积为奇数，偶数与整数的乘积为偶数；（3）如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个整数都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个整数是偶数；（4）如果两个整数的和（或差）是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和（或差）是奇数，那么这两个整数的奇偶性不同；（5）两个整数的和与差的奇偶性相同．3、能被5整除的数能被5整除的数的特征：个位上是0或5的整数．4、能同时被2、5整除的数能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数．例题解析【例16】两个连续自然数的差是（）A．奇数B．偶数C．奇数或偶数D．既不是奇数也不是偶数【难度】★【答案】A【解析】两个连续自然数的差为±1，为奇数．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【例17】9个连续自然数的积是______（“奇”或“偶”）数．【难度】★【答案】偶．【解析】9个连续的自然数中必定会有偶数，则乘积必定为偶数．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【例18】已知一个三位数13x．（1）若这个三位数能被2整除，求x；（2）若这个三位数能被5整除，求x；（3）若这个三位数能同时被2和5整除，求x．【难度】★★【答案】（1）0，2，4，6，8；（2）0，5；（3）0．【解析】能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数；能被5整除的数的特征：个位上是0，5的整数；能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数．【总结】本题主要考查能被2、5整除的数的特点．【例19】用0、1、2三个数字组成的数字不重复的三位数中，偶数有（）个A．4 B．3 C．2 D．1【难度】★★【答案】C【解析】用0、1、2三个数字组成的数字不重复的三位数有120、102、210、201，其中偶数有120、102、210．【总结】一一列举符合题目条件的数字，考查偶数的概念．【例20】5个连续偶数的和为240，这五个偶数分别是几？【难度】★★【答案】44、46、48、50、52．【解析】这5个偶数的平均数为48，则中间的数字为48，则这5个连续的偶数为44、 46、48、50、52．【总结】本题主要考查利用平均数解决连续整数和的问题．【例21】12320152016+++⋅⋅⋅++的结果是奇数还是偶数？请说明理由．【难度】★★【答案】偶数，理由见解析．【解析】1到2016个数字中有1008个偶数，这1008个偶数之和为偶数；有1008个奇数，这1008个奇数之和为偶数；则这2016个数字之和为偶数．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【例22】用25、26、27、28、29这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积，问乘积中有多少个偶数？【难度】★★【答案】7．【解析】要使乘积为偶数，则乘数中至少有一个为偶数．则26与25、27、28、29相乘，可以得到偶数；28与25、26、27、29相乘，可以得到偶数．中间有重复的26与28相乘，则一共有4+4-1=7个偶数．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【例23】13个不同的的自然数之和等于100，其中偶数最多有几个？偶数最少有几个？【难度】★★★【答案】其中偶数最多有13个；偶数最少有1个．【解析】当偶数有13个时，则其和为偶数，所以其中偶数最多有13个；偶数为0个时，则这13个数均为奇数，其和定为奇数，不可能为100；偶数为1个时，则有12个奇数，这13个数字之和为偶数，所以偶数最少有1个．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【例24】有五只杯口朝上的杯子放在桌子上，每次将其中四只杯子同时“翻转”，使其杯口朝下，问能不能经过这样有限多次的“翻转”后，使五只杯子的杯口全部朝下？为什么？【难度】★★★【答案】不能，理由见解析．【解析】对一只杯口朝上的杯子而言，需要“翻转”奇数次，才能使其杯口朝下，对于五只杯口朝上的杯子放在桌子上，则需要“翻转”的总次数为5个奇数的和，这个和定为奇数．而每次将其中四只杯子同时“翻转”，则每轮“翻转”的次数为4次（可以看做4个杯子各“翻转”1次），所以无论你“翻转”多少次，总次数都是4的倍数，定为偶数，不可能为奇数，则不能经过这样有限多次的“翻转”后，使五只杯子的杯口全部朝下．【总结】本题主要是将实际问题转化成奇、偶数的运算性质等问题．【例25】1011021039991000⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯的结果的末尾有多少个零？【难度】★★★【答案】225．【解析】只要有因数5和因数2的两个整数相乘，末尾就会出现0．1到1000中5的倍数要少于2的倍数，其中5的倍数有10005200÷=个，÷=个，25 的倍数有10002540 125的倍数有10001258÷=个，625的倍数有1个，而1到100中5的倍数有20个，25的倍数有4个，因此在1011021039991000⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯的结果的末尾中含零的个数为：2004081204225+++--=个．【总结】两数相乘结果末尾为0，则要求整数的个位为2和个位为5的数相乘即可．【例26】在1，2，3，…，2015，2016中每个数前面任意添加“+”、“-”号，最终的运算结果是奇数还是偶数？请说明理由．【难度】★★★【答案】偶数，理由见解析．【解析】2016个数中有1008个奇数，这1008个奇数之和为偶数；2016个数中有1008个偶数，这1008个偶数之和为偶数；偶偶相加为偶数，则2016个数字之和为偶数．每个数前面任意添加“+”、“-”号，与1，2，3，…，2015，2016之和的奇偶性是一样的，所以结果为偶数．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．1、 能被3整除的数能被3整除的数的特征：各个数位上的数字和是3的倍数．2、 能被9整除的数能被9整除的数的特征：各个数位上的数字和是9的倍数．【例27】要使三位数2□3能被3整除，那么□中可以填的数是_____________； 要使三位数2□3能被9整除，那么□中可以填的数是_____________．【难度】★【答案】1、4、7；4．【解析】能被3整除的数的特征：各个数位上的数字和是3的倍数；能被9整除的数的特征：各个数位上的数字和是9的倍数．【总结】本题主要考查能被3和9整除的数的特点．【例28】 一个五位数497A B 能被3整除，且7B 能被2整除，这样的五位数有______个．【难度】★★【答案】16．【解析】7B 能被2整除，则B 为0、2、4、6、8；497A B 能被3整除，则B A ++20能被3整除．当B =0时，A 可为1、4、7；当B =2时，A 可为2、5、8；当B =4时， A 可为0、3、6、9；当B =6时，A 可为1、4、7；当B =8时，A 可为2、5、8；所以这样的五位数有16个．【总结】先一一列举符合7B 能被2整除的数，然后一一列举数字，判断符不符合题意．知识精讲 模块四：能被3、9整除的数 例题解析【例29】从2、4、0、5、8这五个数字中选出3个数字组成一个三位数，使得这个三位数同时被2、3和5整除，那么这样的三位数有______个．【难度】★★★【答案】4．【解析】能同时被2和5整除的数末尾数为0，则有240、420、580、850、250、520、280、820、450、540、480、840，其中能够被3整除的有240、420、450、540、480、840．【总结】本题主要考查能被2、3、5整除的数的特征．【例30】已知一个三位数abc，试证明：若a b c++能被9整除，则abc能被9整除．【难度】★★★【答案】证明见解析．【解析】因为a b c=+（m为正整数），又abc=10010+ba9++能被9整除，则可得mc++a b c()()=++++，因为b999a b a b c++能被9整除，所以abc99+能被9整除，也a b ca9能被9整除．【总结】本题一方面考查三位数的表示方法，另一方面考查整除的运用．随堂检测【习题1】下列说法正确的是（）A．一个数至少有两个因数B．个位上是3、6、9的整数都能被3整除C．一个数既是2的倍数又是5的倍数，那么这个数一定是10的倍数D．非负整数是正整数【难度】★【答案】C【解析】A答案错误，如1只有一个因数；B答案中考查能被3整除的数的特征：各个数位上的数字和是3的倍数；C答案是正确的；D答案中0也属于非负整数．【总结】本题主要考查因数、倍数的概念以及整数分类的问题．【习题2】50以内的7的倍数有_______个．【难度】★【答案】7【解析】50以内的7的倍数有：7、14、21、27、35、42、49．【总结】从最小的倍数一一尝试即可得到答案．【习题3】一个数的最大因数与最小倍数的和是2014，这个数是______．【难度】★★【答案】1007．【解析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，因此这个数是1007．【总结】任何一个正整数的最大因数和最小倍数都是它本身．【习题4】下列说法不正确的个数有（）个（1）两个正整数的和或差的奇偶性相同；（2）甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能整除丙数；（3）任何正整数都能被0整除；（4）3m n÷=，则n一定能整除m；（5）三个连续自然数的乘积能被2整除．A．1 B．2 C．3 D．4【难度】★★【答案】B【解析】（1）对；（2）错，考查整除的定义；（3）错，0能被任何正整数整除；（4）错，n 和m不一定为整数；（5）对，因为三个连续自然数中一定有偶数，则它们的积一定是偶数．【总结】本题主要考查整除的概念，注意整除的定义中的被除数、除数、商都必须是整数，且余数为零，另外还考差了奇、偶数运算性质的问题．【习题5】下列各算式中，满足整除的有______个，满足除尽的有______个．（1）135÷；÷；（4）02÷；（2）127÷；（3）20163（5）246÷；（8）8.82÷．÷；（7）2.8 1.4÷；（6）2.53【难度】★★【答案】（3）、（4）、（5）；（1）、（3）、（4）、（5）、（7）、（8）【解析】整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a．【总结】本题主要考查整除和除尽的概念，注意除尽与整除的区别．【习题6】能整除18的数有________________．【难度】★★【答案】1、2、3、6、9、18．【解析】整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a．【总结】本题主要考查整除的概念．【习题7】一个两位数，其中个位上的数字比十位数字大2，且能被5整除，求所有符合条件的两位数：_______________．【难度】★★【答案】35．【解析】能被5整除的数尾数为0或5．0为个位数时，十位数字为负数，不合题意，舍去．所以个位上的数字只能为5，十位上的数字为3，则这个两位数为35．【总结】本题主要考查能被5整除是数的特点，可以一一举例得到最后的答案．【习题8】四位数29A B能同时被3和5整除，写出所有满足条件的四位数__________．【难度】★★【答案】2190、2490、2790、2295、2595、2895．【解析】能被5整除的数的个位数为0或5，则B为0或5；当B=0时，A为1、4、7；当B=5时，A为2、5、8．所以满足条件的四位数为2190、2490、2790、2295、2595、2895．【总结】本题主要考查能被3、5同时整除的数的特点，可以一一举例得到最后的答案．【习题9】三个连续的自然数的和一定能被3整除吗？如果是，请证明；如果不是，请举出反例．【难度】★★★【答案】是，证明见解析【解析】设三个连续的自然数为11=11++-，此数一定能+n3+n-nn，，，则其和为nnn被3整除．【总结】三个连续的自然数的表示方法为1，．n，-n1+n【习题10】小明有12张卡片，其中3张卡片上面写着1，3张卡片上面写着3，3张卡片上面写着5，3张卡片上面写着7，小明从中选出5张卡片，它们上面的数字之和可能等于22吗？如果能，请说明如何选择卡片；如果不能，请说明理由．【难度】★★★【答案】不能．【解析】因为12张卡片上的数字都是奇数，5个奇数之和一定为奇数，不可能为偶数，22是偶数，所以不能．【解析】本题主要考查数字的奇偶性，偶数个奇数相加结果为偶数；奇数个奇数相加结果为奇数．课后作业【作业1】如果A表示一个正整数，它的最小因数是_______，最小倍数是_______．【难度】★【答案】1；A．【解析】一个正整数的最小因数为1，最小倍数为它本身．【总结】本题主要考查一个正整数的最小因数的和最大因数的特征．【作业2】731最少加上______，就是5的倍数．【难度】★【答案】4【解析】能被5整除的数的特点：个位数字为0或5，因此最少加上4即可．【总结】本题主要考查能被5整除的数的特征．【作业3】 三位数“15□”是8的倍数，那么“□”中能填的数字的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【难度】★★【答案】B【解析】可以填2，四个答案一一验算．【总结】本题主要考查因数和倍数的概念，是8的倍数，则说明该数能被8整除．【作业4】 一个奇数要变成偶数，下列方法中可行的方法有______个（1）加上()12399100+++⋅⋅⋅++；（2）减去()1002327985⨯+⨯；（3）乘以2；（4）除以2．A ．1B ．2C ．3D ．4【难度】★★【答案】A【解析】（1）12399100=5050+++⋅⋅⋅++为偶数，奇数加上偶数，结果为奇数； （2）1002327985=16996⨯+⨯为偶数，奇数加上偶数，结果为奇数；（3）奇数乘以2，为偶数；（4）奇数除以2余数为1．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【作业5】 三个连续的奇数的和是321，则这三个奇数为____________【难度】★★【答案】105、107、109【解析】这三个连续的奇数平均数为1073321=÷，则中间的数为107，其余两个数为 105和109．【总结】连续的奇数和偶数之和的问题均可以用平均数来解决．【作业6】小智买一大箱苹果，共有84个，要求每次拿出的个数一样多，拿了若干次正好拿完，则小智共有______种不同的拿法．（假设不能一次全拿出）【难度】★★【答案】11．【解析】12=⨯=⨯⨯==，则84的因数为1、2、3、4、⨯=⨯=8421614784⨯412824236、7、12、14、21、28、42、84，共有12个，因为不能一次全拿出，所以共有11中不同的拿法．【总结】将实际问题转化为寻找因数的方法来解决．【作业7】一个整数的最大因数与最小因数的差为27，写出这个整数的所有因数：_______________．【难度】★★【答案】1、2、4、7、14、28．【解析】一个整数的最大因数为它本身，最小因数为1，则这个数为28．=⨯28⨯⨯=，则28的因数有1、2、4、7、14、28．=17144282【总结】任何一个正整数的最大因数为它本身，最小因数为1．【作业8】122334************⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⨯+⨯的结果是______．（填奇数或偶数）【难度】★★【答案】偶数．【解析】连续的自然数乘积为偶数，表达式中有101个偶数相加，则其结果为偶数．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【作业9】五位数538AB能够同时被2、3、5整除，求A + B的值．【难度】★★★【答案】2、5、8．【解析】能被2、5整除的数的特点是个位上数字为0，则B=0．能被3整除的数的特点是各个数位上的数字之和能被3整除，则A可为2、5、8．则A+B为2、5、8．【总结】本题主要考查能被2、3、5整除的数的特点．【作业10】油库中有7桶油，分别是汽油、柴油和机油，每桶油分别重12千克、13千克、16千克、17千克、22千克、27千克和32千克，已知柴油的总重量是机油的3倍，汽油只有一桶，请问7个桶分别装的是什么油？12千克：____油；13千克：____油；16千克：____油；17千克：____油；22千克：____油；27千克：____油；32千克：____油．【难度】★★★【答案】机油；柴油；机油；柴油；柴油；汽油；柴油．【解析】因为柴油的总重量是机油的3倍，所以他们的重量和一定为4的倍数．而7桶油的总重量是12+13+17+22+27+32=139（千克），而139÷4=34．．．．．．3，我们容易推出汽油的重量被4除余3，由此可见，汽油的重量是27千克．剩下的6桶共重139-27=112（千克），其中包括1份机油和3份柴油，因此机油的总重量为112÷4=28 （千克），柴油的总重量为112-28=84（千克），剩下的6个数字中只有12和16的和为28，则重量是12千克、16千克的这两只桶内装的是机油，其余4只桶内装的柴油．【总结】本题综合性较强，主要考查利用倍数的概念来解决实际问题．。

第(一)课时1、 理解整数与整除的意义以及掌握相关的概念教学目标2、 会运用整数与整除进行相关的应用和计算重点难点 理解和掌握整除的概念。

同步教学内容今天我们就来学习六年级的第一章节，这是对以后课程的学习做一个好的铺垫，一定要跟上 老师的节奏哦。

【知识要点】1.整数正整数负整数2.整除：整数a 除以整数b (b 0),若除得的商是整数而余数为零，就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a 。

3. 整除的条件：(三整一零)(1)除数、被除数都是整数(2 )被除数除以除数，商是整数而且余数为零4. 数物体的时候，用来表示物体个数的 1，2，3，4，5，…叫做正整数。

5. 0的含义是什么？(1) 零可以表示没有物体。

(2) 可以表示计量过程中某种量的基准数。

女口：零摄氏度，归零，从零开始。

6.最小的自然数是 0,没有最大的自然数。

注意：其实，整除是除尽的一种特殊形式。

8. a —b ，读作a 除以b ，或b 除a ; a 被b 除，或b 去除a 9. 本章中学习的整数，在没有特别说明是，都是指正整数。

课题名称 整数和整除的意义 课时进度 授课时间自然数【典型例题】 【例1] __ 最小的正整数是 【例2]【例3] 统称为自然数; 小于三的自然数有 _____________ 。

从下列书中选择适当的数填入相应的圈内 25, 13, 2.47,8.75,0,统称为整数; 29最小的自然数是【例4】从下列算式中选择适当的算式填入相应的圈内25 5 5, 2.5 0.5 5, 26 5 5.2 35 7 525 3 8L L【例5】A.【例6]【例7]【例8] 【例9] 25223L L 1F 列算式中表示整除的算式是（0.8 0.4 2 B. 16 3 第一个数能被第二个数整除的是（ A.1.2 和 2B.2 和 125L L 1 F 面各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在A.27 和 3 ( C.12 和 24 (能整除12的数有哪些?【例10] 【例11]B.3.6 和 1.2 ( D.91 和 7 (既能被2整除又能被3整除的最小的整数是 4 和 46,不能被整除，17和51,C. 2 1 C.12 和 2能被72 和 36 17 和 34 20和5 0.5 和 5() ( )() ( ) 18和319 和 38 0.2 和 417和3()( )( )()在下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除, 请在（ ）内打整除。

教师：学生：时间：年月日段一、填空1、既不是正数，也不是负数；2、最小的自然数是，最小的正整数是，最大的负整数是；3、6能被正整数整除；4、整除的条件是：（1），都是整数；（2）除以，商是，而且余数是；5、a能整除10，则a= ；6、用“能”或者“不能”填空，注意主动句与被动句的不同，并熟读语句；（1）2 整除4；（2）4 整除5；（3）6 被3整除；（4）7 被2整除；7、和13相邻的整数是；8、24÷4=6，我们说能被整除；或者说能整除。

二、选择题1、5÷4=1.25，表示（）A、5能被4整除B、5能被4除尽C、5不能被4除尽D、4能整除52、下面四句话中，正确的是（）A、最小的整数是1B、整数一定比小数大C、4能被0.8整除D、负整数、0、正整数都是整数3、下列算式中，被除数能被除数整除的是（）A、18÷4B、12÷0.4C、1.8÷1.8D、4÷44、已知m能整除71，那么m是（）A、142B、11C、1或71D、2135、下列各组数中，第1个数不能被第2个数整除的是（）A、1.5和0.5B、15和5C、4和4D、10和2三、简答题1、正整数24能被a整除，写出所有符合条件的正整数a。

2、在下列各组数中，哪一组的第一个数能被第二个数整除？能整除的要计算出结果。

①3.6和1.2 ②135和4 ③84和0.05 ④5和12 ⑤36和4 ⑥1.7和0.83、学校新购置了48台电脑，把它们平均分成几个小组整齐地摆放在电脑教室；如果你是管理员，你会怎样摆放呢？4、从下列数中选择适当的数填入相应的圈内15 －8 0 0.82 －31 41 101 自然数 整数 正整数5、将下列各算式填入合适的圈内64÷8=8 8÷16=0.5 17÷3=5……2 2.5÷2.5=1 7÷7=1 7÷3.5=2 除尽 整除。

1.2 奇数与偶数我们已经碰到各种各样的数，如小数、整数等，其中在整数范围内，能被2整除的整数是偶数，如2，10，－4等；不能被2整除的整数是奇数，如－3，1，3等．同时，如果n是整数，那么2n是偶数，2 n－1或2 n＋1是奇数．如果n是正整数，那么2n是正偶数，2n－1是正奇数．想一想0是奇数还是偶数？我们知道：奇数、偶数是整数的一种分类．在整数范围内是偶数就不是奇数，不是偶数就是奇数，如果既不是偶数又不是奇数，那么它就不是整数．奇数偶数的运算性质:奇数±奇数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±偶数=偶数，奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数，奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数;两个连续整数的和是奇数，积是偶数．推广结论:奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意有限个偶数之和为偶数．若干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数．如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个整数都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个整数是偶数．如果两个整数的和（或差）是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和（或差）是奇数，那么这两个整数一定是一奇一偶．两个整数的和与差的奇偶性相同．【例1】1，2，…，2008中每个数前面任意添加“+”、“一”号，最终的运算结果是奇数还是偶数？请说明理由解：因为a－b与a＋b的奇偶性相同，所以将算式中每一个数前的“－”号逐一改成“＋”号，其结果的奇偶性不变，故所求的结果与1＋2＋…＋2008＝1004×2009的奇偶性相同，因此所求算式结果为偶数．【例2】将1，2，…，99重新排列成a1，a2，…，a99，求证：乘积(a1－1)（a2—2）…(a99－99)一定是偶数．证明：1，2，…，99中有50个奇数，49个偶数，a1，a2，…，a99，中也有50个奇数，49个偶数，所以a1，a3，a5，…，a99这50个数中必有一个奇数，设其中a k是奇数，则a k－k是两个奇数的差，因而是偶数，所以(a1－1)(a2－2)…(a k－k) …(a99－99)是偶数．练习1.21．5个连续偶数的和是320，这五个连续偶数分别是几？2．用15、16、17、18、19这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积，问乘积中有多少个偶数？3．一次舞会有7名男士与7名女士参加，一名男士与一名女士在一起跳为跳一次舞，会后统计出有8人各跳了6次，有5人各跳了3次，问余下的一人跳了几次？4. 13个不同的自然数之和等于100，其中偶数最多有几个？偶数最少有几个？练习1.2答案：1．60、62、64、66、68．提示：将320除以5可得中间偶数为64．2．7个．提示：16与18和另外一个数乘积均为偶数，共8个，还要减去16与18的积有一个重复，因此共7个，3．3次．4．9个；5个．提示：13个不同的自然数，它们的和是100，其中奇数的个数一定是偶数，偶数的个数一定是奇数，如果有11个或11个以上偶数，它们的和至少是(0+2+4+…+20)+ (1+3)=114>100，不符合要求，另一方面，(0+2+4+…+16)+(1+3+5+19)=100，所以，偶数最多有9个．如果有10个或10个以上奇数，它们的和至少是(1+3+5+…+19)+(0+2+4)=106>100，不符合要求．另一方面，(1+3+5+…+15)+(2+4+6+8+16)=100，所以，偶数最少有5个．1.2奇数与偶数练习1.21. 30个连续自然数的乘积是奇数还是偶数？2．若7个连续偶数之和为1988，求此7个数中最大的一个数．3．有一只小渡船往返于一条小河的左右两岸之间，问：若最初小船是在左岸，往返若干次后，它又回到左岸，那么这只小船过河的次数是奇数还是偶数？如果它最后到了右岸，情况又是怎样呢？4．有九只杯口向上的杯子放在桌子上，每次将其中四只杯子同时“翻转”，使其杯口向下，问能不能经过这样有限多次的“翻转”后，使九只杯子的杯口全部向下？为什么？5．博物馆有并列的5间展室．警卫从第一间展室开始，走到第二间，再走到第三间……走到第五间后往回走，走到第四间，再走到第三间……他每进一间展室拨动一次这间展室的电灯开关，如果开始时五间展室都亮着灯，那么他走过100间展室后，还有几间亮着灯？6．如图是一张8×8的正方形纸片，将它的左上角一格和右下角一格去掉，剩下的部分能否剪成若干个l ×2的长方形纸片？答案：1．偶数2．290．提示：中间一个数等于1988÷7=284，最大的一个数就是290．3．偶数；奇数．提示：小船最初在左岸，过一次河就到了右岸，再过一次河就由右岸回到左岸．即每次由左岸出发到右岸后在回到左岸，都过了两次河，因此，小船由左岸开始往返多次后又回到左岸，则过河的次数必为2的倍数，所以是偶数．同样的道理，不难得出，若小船最后停在右岸，则过河的次数必为奇数．4．不能．提示：每次“翻转”总是偶数只杯子的杯口方向发生变化，因此无论经过多少次“翻转”，杯口向下的杯子数总是偶数．而总共有9只杯子，是奇数，因此，不能使九只杯子的杯口全部向下．5．1间．提示:每个电灯开关要拉动偶数次才能使点灯亮着．警卫经过第1、2、3、4、5、4、3、2展室，又从第1展室开始重复这个过程，第2、3、4展室的开关被拉动2次，第1、5展室的开关被拉动1次．100=8×12+4，因此当走到100间展室时，警卫经过12个来回后，又从第1间开始走到第4间，此时前四间的电灯都已经关闭，仅剩第5间的电灯还亮着．6．不能．提示：如图，我们在方格内依次相间的填上“奇”、“偶”两字，这时这时就会发现，要从上面剪下一个1×2的长方形纸片，不论怎样剪，都会包含一个“奇”，一个“偶”，而“奇”有30个，“偶”字有32个，所以这张纸不能剪成若干个l×2的长方形纸片．。

2024年上海市六年级数学第一章数整除教案一、教学内容本节课我们将学习上海市六年级数学教材第一章“数整除”的相关内容。

具体包括：1.1节整除的概念和性质，1.2节因数和倍数，1.3节最大公因数和最小公倍数。

通过这些内容的学习，让学生掌握整除的基本知识，理解因数和倍数的概念，以及最大公因数和最小公倍数的求解方法。

二、教学目标1. 知识目标：让学生理解并掌握整除、因数、倍数、最大公因数和最小公倍数的概念。

2. 能力目标：培养学生运用整除知识解决实际问题的能力，提高逻辑思维和推理能力。

3. 情感目标：激发学生学习数学的兴趣，增强合作意识和团队精神。

三、教学难点与重点重点：整除的概念和性质，因数和倍数的求解方法，最大公因数和最小公倍数的应用。

难点：最大公因数和最小公倍数的求解方法，以及在实际问题中的应用。

四、教具与学具准备教具：多媒体教学设备，PPT课件。

学具：课堂练习本，计算器，直尺。

五、教学过程1. 实践情景引入利用PPT展示生活中的整除现象，如：将24个苹果平均分给8个小朋友，每个小朋友可以得到多少个苹果？引出整除的概念。

2. 教学新课（1）讲解整除的概念和性质。

（2）通过例题讲解，让学生掌握因数和倍数的求解方法。

（3）引导学生探讨最大公因数和最小公倍数的求解方法，并进行讲解。

3. 随堂练习出示练习题，让学生当堂完成，巩固所学知识。

六、板书设计整除的概念、性质、因数和倍数、最大公因数和最小公倍数的求解方法。

七、作业设计1. 作业题目（1）求30以内的整除数。

（2）找出36的所有因数和倍数。

（3）求解18和24的最大公因数和最小公倍数。

2. 答案（1）1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 25, 30。

（2）因数：1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36；倍数：36, 72, 108, 144,（3）最大公因数：6；最小公倍数：72。

第一周整数和整除【知识要点】1、零和正整数统称为自然数；正整数、零、负整数统称为整数。

2、整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a。

3、整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数(也称为约数)4、能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数。

(A卷)姓名班级学号成绩一、填空题(3分×10 = 30分)1、____________和___________统称为自然数。

__________、______和_____________，统称为整数。

2、一个数的最小的因数是_______，最大的因数是__________。

3、一个数的最小的倍数是__________，__________最大的倍数。

4、如果一个整数能被2整除，称该整数为________。

如果一个整数不能被2整除，称该整数为___________。

5、把下列各数填在适当的圈内312，-7，0，0.4，-23，91，-8.75，4正整数负整数整数6、18最大的因数是，最小的倍数是；7、一个数既是15的因数，又是15的倍数，这个数是；8、按要求把下面各数填在圈内，9， 47， 58， 0， 1， 121， 10， 600， 78， 13奇数偶数9、按要求把下面各数填在圈内，12， 25， 40， 75， 80， 92， 105， 210，能被2整除的数能被5整除的数既能被2整除又能被5整除的数10、从3、0、8、5中任选几个数字，组成能被2整除的最大三位数是__________，能被5整除的最小四位数是___________。

二、选择题(3分×6 = 18分)1、下列算式属于整除的是（）A、13÷6=216……1 B、48÷8=6 C、7÷2=3.5 D、0.4÷0.2=22、3.6能被9( )A、除尽B、整除C、除不尽D、不整除3、下面哪个数不是36的因数（）A、2B、4C、8D、94、下面说法正确的是（）A、一个整数的因数有无限个B、一个整数没有最小的倍数C、一个整数的倍数有无限个D、根据14÷2=7，说14是倍数，2是因数5、下面哪个数及既能被2整除，又能被5整除（）A、12B、6C、15D、306、两个奇数的和一定是（）A、偶数B、奇数C、不能确定D、0三、解答题(6分×6 + 8分×2 = 52分)1、将下列各算式填入合适的圈内：3.6÷0.9=4 8÷8=1 16÷3=5……1 3.3÷3.3=1 100÷10=10整除除尽2、100以内15的倍数有几个?3、把下列各数填在2, 3, 4, 5, 6, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 6060的因数6的倍数4、在32的因数中，是2的倍数的数的和是多少？5、写出下列各数的全部约数：21、51、726、既是30的因数又是3的倍数有几个？你都能写出来吗？7、某班学生分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数相同，小马统计时说：全班共糊了纸盒342个，小马统计正确吗？为什么？8、有15位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把她们平均分成若干小组，有几种分法能？有可能把他们平均分成4个小组吗？为什么？(B 卷)姓名 班级 学号 成绩一、填空题 (2分×14 = 28分)1、把下列各数填在适当的圈内0，3，-2005，0.75，51，1，-0.12，-1 自然数 负整数 整数2、用2、3、4这几个数字可以组成_______________个数字不重复的偶数。

一、选择题1．算式180×（1+ 35 ），可以解决下面（ ）问题．A. 六年级同学采集植物标本180件，采集的昆虫标本比植物标本少 35，六年级同学采集了多少件昆虫标本？B. 幼儿园的李厨师准备包180个包子，已经包了其中的 35 ，已经包了多少个包子？C. 阳光超市11月的营业额是180万元，12月的营业额比11月增长了 35，阳光超市12月的营业额是多少万元？C 解析： C【解析】【解答】解：A 项中的问题作答时，正确的列式是180×（1-35）；B 项中的问题作答时，正确的列式是180×35；C 项中的问题作答时，正确的列式是180×（1+35）。

故答案为：C 。

【分析】A 项中，题中存在的等量关系是：六年级同学采集昆虫标本的件数=六年级同学采集植物标本的件数×（1-采集的昆虫标本比植物标本少几分之几）；B 项中，题中存在的等量关系是：李厨师准备包包子的个数×已经包了其中的几分之几=已经包了的个数；C 项中，题中存在的等量关系是：阳光超市12月的营业额=阳光超市11月的营业额×（1+12月的营业额比11月增长几分之几）。

据此列式作答即可。

2．杯子中原来盛有800毫升水，小华将杯中的水倒出一些后，情况如图：求从杯子中倒出了多少毫升水？正确的列式是（ ）A. 800× 35B. 800× 38C. 800× 58C解析： C【解析】【解答】解：根据分数乘法的意义列式：800×58。

故答案为：C 。

【分析】一共有800毫升水，把总量平均分成8份，倒出的部分是5份，也就是倒出了总量的58 ， 根据分数乘法的意义列式即可。

3．一桶油重5kg ，用去15， 还剩下多少千克？正确的算式是（ ）。

A. 5- 15B. 5×（1- 15） C. 5÷（1- 15） D. 5× 15B解析： B【解析】【解答】剩下的千克数=5×（1-15）。

整数和整除是六年级数学上学期第一章第一节内容，主要对整数的分类和整除的概念进行讲解，重点是整除的概念理解，难点是整除条件的归纳总结．通过这节课的学习一方面为我们后期学习公因数和公倍数提供依据，另一方面也为后面学习有理数奠定基础．1、整数的意义和分类 （1）自然数：零和正整数统称为自然数； （2）整数：正整数、零、负整数，统称为整数．⎧⎫⎪⎬⎨⎭⎪⎩正整数自然数整数零负整数知识结构模块一：整数的意义和分类知识精讲内容分析【例1】判断题（若是正确的，请说明理由；若是错误的，请把它改正确）．（1）最小的自然数是1 ；（2）最小的整数是0；（3）非负整数是自然数；（4）有最大的正整数，但没有最小的负整数；（5）有最小的正整数，但没有最大的负整数．【难度】★【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）×；（5）×．【解析】（1）错误，最小的自然数是0；（2）错误，不存在最小的整数；（3）正确；（4）错误，既没有最大的正整数，也没有最小的负整数；（5）错误，最小的正整数是1，最大的负整数是－1．【总结】本题主要考查与整数有关的概念．【例2】把下列各数放入相应的圈内：15，－1，－0.2，0，－63，0.7，13，－0.2323…，35．整数自然数正整数负整数【难度】★【答案】整数：15，－1，0，－63，13；自然数：15，0，13；正整数：15，13；负整数：－1，－63．【解析】整数包括正整数、零、负整数；自然数包括正整数和零．【总结】本题主要考查整数的分类．例题解析【例3】（1）试说说正整数、负整数、零、自然数、整数之间的关系；（2）试比较正整数、负整数、零的大小；（3）试比较负整数、自然数的大小．【难度】★★【答案】（1）整数包括正整数、零、负整数；自然数包括正整数和零；（2）正整数大于0，负整数小于0，正整数大于负整数；（3）自然数大于负整数；【解析】略；【例4】五个连续的自然数，已知中间数是a，那么其余四个数分别是______、______、______、______．若这五个连续自然数的和是20，试求这五个数．【难度】★★【答案】2112、、、．这五个数是：2、3、4、5、6．--++a a a a【解析】列方程：(2)(1)(1)(2)20-+-+++++=a a a a a解得：4a=∴这五个数是：2、3、4、5、6．【总结】本题主要考查如何利用已知的字母去表示与其连续的整数．【例5】有三个自然数，其和是13，将它们分别填入下式的三个括号中，满足等式要求：()()()152-=÷=+，试求这三个自然数．【难度】★★★【答案】3，10，0．【解析】设这三个数分别为1k+，5k，2k-；则15213+++-=k k k解得：2k=∴这三个数是3，10，0．【总结】本题主要是对题目中条件的理解，同一个数可以用不同的形式去表示．1、整除的意义整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a ．【例6】老师问：“当 4.5a =时，0.9b =时，a 能被b 整除吗？”一个同学回答：“因为商是5，是整数，所以a 能被b 整除．” 你认为对吗？【难度】★ 【答案】不对【解析】整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；本题只满足了商是整数，余数是0，忽略了对被除数、除数的要求；【总结】本题主要考查整除所满足的条件．【例7】下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在下面的（ ）内打“√”，不能整除的打“×”．18和9（ ） 15和30（ ） 0．4和4（ ） 14和6（ ）17和35（ ）9和0．5（ ）【难度】★【答案】横向：√×××××【解析】整除的意义：整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a ．只有18和9满足；【总结】本题主要考查整除所满足的条件．例题解析知识精讲模块二：整除的意义师生总结1、整除的条件是什么？2、“a 能整除b ”与“a 能被b 整除”的区别是什么？【例8】已知下列除法算式：57÷7=8……1；21÷7=3；22÷0.2=110；22÷5=4.4；0÷3=0；2÷4=0.5．（1）表示能除尽的算式有哪几个？（2）哪些算式中可以说被除数能被除数整除？【难度】★【答案】（1）21÷7=3；22÷0.2=110；22÷5=4.4；0÷3=0；2÷4=0.5．（2）21÷7=3；0÷3=0．【解析】除尽只要求余数为零即可，整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；【总结】本题主要考查整除和除尽的区别．【例9】把表示下列算式的序号填入适当的空格内．（1）30÷10；（2）7÷25；（3）35÷0．1；（4）18÷3；（5）0．4÷2；（6）3．9÷0．3；（7）27÷9；（8）16÷4．除数能整除被除数的：________________________________________；能够除尽的：________________________________________________．【难度】★★【答案】除数能整除被除数的：（1）（4）（7）（8）；能够除尽的：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）【解析】除尽只要求余数为零即可，整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；【总结】本题主要考查整除和除尽的区别．师生总结1、整除与除尽有什么相同点？2、除与除尽有什么不同点？【例10】若两个整数a 、b (a b >)都能被整数 c 整除，它们的和、差、积也能被 c 整除吗？为什么？ 【难度】★★ 【答案】能，原因略；【解析】设a mc =，b nc =（m n 、是整数，且m n ≠）； 则：()a b m n c +=+； ()a b m n c -=-； ab mnc =； ∴它们的和、差、积也能被 c 整除． 【总结】本题主要是对整除的概念的考查及运用．【例11】一个两位数，能被5整除，其个位数字减十位数字的差是正整数中最小的偶数，求这个两位数． 【难度】★★ 【答案】35【解析】能被5整除的数字，位数是0或5；个位数字减十位数字的差是2，说明个位不能是0，所以个位数字是5，十位数字是3，这个两位数是35．【总结】本题主要考查能被5整数的数的特征．【例12】15支铅笔分给几个学生，每人发的一样多且不止1支，并且正好分完，可以分给几个人？每人几支？有几种分法？ 【难度】★★【答案】两种分法：（1）3个人，每人5支；（2）5个人，每人3支． 【解析】将15分解可得：151153553151=⨯=⨯=⨯=⨯题目要求每人不止1支，排除掉1和15，故有两种分法： （1）3个人，每人5支；（2）5个人，每人3支． 【总结】本题主要考查如何利用整除解决实际问题．【例13】2015年的教师节是星期四，老师们可以好好庆祝一下自己的节日了，同学们，明年呢？我们能否不查日历，就能知道2016年的教师节是星期几呢？【难度】★★★【答案】星期六【解析】2016是闰年，故2016年的二月有29天，2015年的教师节与2016年的教师节间隔366天，则：3667522÷=，∴2016年的教师节是星期四后面两天，是星期六．【总结】本题主要考查如何利用整除解决实际问题．【例14】学校有10个兴趣小组，各组的人数如下表：一天下午，学校同时举办语文写作和英语听力两个讲座，已知有9个小组去听讲座，其中听英语讲座的人数是听语文讲座人数的6倍，还剩下一个小组在教室里讨论问题，这一组是第几组？【难度】★★★【答案】第6组【解析】设听语文讲座的人数为x，那么听英语讲座的人数为6x，则在教室里的一组人数为(827)x-人；由已知得：382713x≤-≤，且827x-为整数．解得：62 91177x≤≤．因为x为整数，所以x的取值为10或者11．当10x=时，82712x-=，第6组；当11x=时，8275x-=（舍）；∴留在教师的是第6组．【总结】本题主要考查如何利用整除解决实际问题．1、因数和倍数的意义整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的因数（也称为约数）．【例15】有一个算式6379÷=，则可以说______能被______整除，也可以说______能整除______，还可以说______和______是______的因数，______是______和______的倍数． 【难度】★【答案】63，7，7，63，7，9，63，63，7，9；【解析】因数和倍数的意义：整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的因数（也称为约数）．【总结】本题主要考查因数和倍数的概念．【例16】分别写出12、19和36的因数，再分别写出这三个数的倍数（倍数只需从小到大依次写3个）． 【难度】★【答案】12的因数：1，2，3，4，6，12；倍数是：12，24，36…… 19的因数：1，19；倍数是：19，38，57……36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36；倍数是：36，72，108…… 【解析】∵121122634=⨯=⨯=⨯；∴12的因数：1，2，3，4，6，12；倍数是：12，24，36…… ∵19119=⨯；∴19的因数：1，19；倍数是：19，38，57…… ∵3613621831249=⨯=⨯=⨯=⨯；∴36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36；倍数是：36，72，108…… 【总结】本题主要考查因数和倍数的概念．例题解析知识精讲模块三：因数和倍数的意义【例17】在圈内填写满足条件的数：【难度】★【答案】18的因数：1，2，3，6，9，18； 27的因数：1，3，9，27； 既是18的因数又是27的因数：1，3，9 【解析】∵181182936=⨯=⨯=⨯； ∴18的因数：1，2，3，6，9，18； ∵2712739=⨯=⨯； ∴27的因数：1，3，9，27；∴既是18的因数又是27的因数有：1，3，9．【总结】本题一方面考查如何求一个正整数的因数，另一方面考查如何求两个正整数相同的 因数．【例18】下列各数中是否含有相同的因数，若含有请指出．（1）6和9；（2）27和51．【难度】★★【答案】（1）含有相同的因数：1和3；（2）含有相同的因数：1和3．【解析】（1）∵61623=⨯=⨯，91933=⨯=⨯；∴6和9含有相同的因数：1和3； （2）∵2712739=⨯=⨯，51151317=⨯=⨯；∴27和51含有相同的因数：1和3； 【总结】本题主要考查如何求出两个不相等的正整数所含有的相同的因数．【例19】从小到大依次写出10个2的倍数：_____________________________________；从小到大依次写出10个3的倍数：_____________________________________； 其中__________________________既是2的倍数，又是3的倍数．【难度】★★【答案】2，4，6，8，10，12，14，16，18，20； 3，6，9，12，15，18，21，24，27，30； 6，12，18，24，30； 【解析】略18的因数27的因数既是18的因数又是27的因数【例20】已知：235B=⨯⨯，则A和B相同的因数有哪些？A=⨯⨯，335【难度】★★【答案】1，3，5，15．【解析】∵235A=⨯⨯，∴A的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30；∵335B=⨯⨯，∴B的因数有：1，3，5，9，15，45．∴A和B相同的因数有：1，3，5，15．【总结】本题主要考查如何求两个不相等的正整数所含有的相同因数．【例21】一个正整数只有2个因数而且这个数比10小，这个数可以是多少？【难度】★★【答案】2，3，5，7【解析】只有两个因数，说明这个数只能分解成1乘以本身，这样的数有2，3，5，7；【总结】本题主要考查因数的概念．【例22】两个2位数的积是216，这两个数的和是多少？【难度】★★【答案】30【解析】∵2162223331218=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯，∴这两个数是12和18，和是30．【总结】本题主要是对因数的概念的综合运用．【例23】1到100之间，因数个数是奇数的自然数有哪些？【难度】★★【答案】1，4，9，16，25，36，49，64，81，100【解析】因数是奇数的数是平方数，1－100之间的平方数是1，4，9，16，25，36，49，64，81，100；【总结】当一个正整数是平方数时，它的因数个数是奇数个．【例24】李明去儿童乐园玩，儿童乐园是1路车和13路车的始发站，1路车每5分钟发车一次，13路车每6分钟发车一次．现在这两路车同时发车以后，至少再经过多少分钟又同时发车？【难度】★★【答案】15分钟【解析】因为5的倍数有：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，60……；6的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48，54，60……；所以至少再经过30分钟又同时发车．【总结】本题主要是利用倍数的概念来解决实际问题．【例25】用16块面积是1平方厘米的正方形，可以拼成多少种形状不同的长方形？它的长和宽分别是多少厘米？【难度】★★★【答案】三种：（1）16，1；（2）8，2；（3）4，4．【解析】161162844=⨯=⨯=⨯；答：可以拼成3种形状不同的长方形，长和宽分别是：16，1或8，2或4，4．【总结】本题主要是利用因数的概念来解决实际问题．师生总结1、求一个整数的因数的方法有哪些？2、求一个整数的倍数的方法有哪些？3、一个正整数的最小的因数和最大的因数是什么？4、一个正整数最小的倍数是什么？【例26】一筐苹果，2个一拿或3个一拿或4个一拿或5个一拿都正好拿完没有余数，问这筐苹果最少有多少个？【难度】★★★【答案】60【解析】通过枚举法会发现2、3、4、5的最小的倍数是60，所以至少再经过30分钟又同时发车．【总结】本题主要是利用倍数的概念来解决实际问题．【例27】【难度】★★★【答案】不能另：拓展来看，每一张纸的页码和：1+2=3，3+4=7，5+6=11，……共同点：加上1后都是4的倍数，所以是不可能的．【总结】奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数．【例28】我们知道，每个正整数都有因数，对于一个正整数a，我们把小于a的正的因数叫做a的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个正整数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”．如10的“完美指标”是4(125)105++÷=．一个正整数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”是7(124)88++÷=，10的“完美指标”是45，因为78比45更接近1，所以我们说8比10完美．根据上述材料，回答下面问题：（1）5的“完美指标”是____________；（2）6的“完美指标”是____________；（3）9的“完美指标”是____________．（4）试找出比20大，比30小的正整数中，最“完美”的数．【难度】★★★【答案】14 1213 59（）；（）；（）；（4）28；【解析】（1）5的“完美指标”：15； （2）6的“完美指标”是：12316++=（3）9的“完美指标”是：13499+=； （4）素数的“完美指标”为1n，不够完美； 合数的真因数较小，完美指标也会比较小，不够完美； 所以验证24和28的完美指标：24的“完美指标”是：123468123242++++++=；28的“完美指标”是124714128++++=；∴28是比20大，比30小的正整数中，最“完美”的数．【总结】本题主要是考查学生的理解能力，通过对题目中新的概念的理解，利用概念去解决 新的问题．1、能被2整除的数能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数； 能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数． 2、能被5整除的数能被5整除的数的特征：个位上是0或5的整数． 3、能同时被2、5整除的数能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数．例题解析知识精讲模块四：能被2、5整除的数【例29】已知：11，15，32，56，19，123，312，566，787，哪些是奇数？哪些是偶数？【难度】★【答案】奇数：11，15，19，123，787；偶数：32，56，312，566．【解析】32，56，312，566能被2整除，是偶数，11，15，19，123，787不能被2整除，是奇数．【总结】本题主要考查奇数和偶数的概念．【例30】已知：17，25，70，98，105，370，952，其中能被5整除的数有_____________．【难度】★【答案】25，70，105，370．【解析】个位上是0或5的整数是能被5整除的数．【总结】本题主要考查能被5整除的数的特征．【例31】在圈内写出满足条件的数：12，25，40，75，80，94，105，210，354，465，760．能被2整除的数能被5整除的数能同时被2和5整除的数【难度】★【答案】能被2整除的数：12，40，80，94，210，354，760；能被5整除的数：25，40，75，80，105，210，465，760；能同时被2和5整除的数：40，80，210，760．【解析】能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数；能被5整除的数的特征：个位上是0或5的整数；能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数．【总结】本题主要考查能被2和5整除的数的特征．【例32】三个连续的偶数的和是54，则其中最小的一个是______．【难度】★★【答案】16【解析】设三个数分别是：22a a a -+，，． 则：2254a a a -+++=，解得：18a =．∴2a -=16．∴最小的数是16．【总结】本题考查如何用字母来表示三个连续的整数．【例33】请判断下列算式的结果是偶数还是奇数，偶数则打“√”，奇数则打“×”．86-（ ） 86+（ ） 86⨯（ ） 96-（ ） 96+（ ） 96⨯（ ） 157-（ ）157+（ ）157⨯（ ）【难度】★★【答案】横向：√√√ ××√ √√×【解析】偶数与偶数的和、差、积都是偶数；奇数与偶数的和、差是奇数，积是偶数； 奇数与奇数的和、差是偶数，积是奇数；【例34】12399910001001+++⋅⋅⋅+++的和是奇数还是偶数？请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】奇数【解析】1001个数字中，501个奇数，500个偶数，根据奇数偶数的运算性质，和为奇数． 【总结】奇数与偶数的和是奇数，奇数与奇数的和是偶数．【例35】用0、1、2、3这四个数字排成一个四位数，要使这个数有因数2，有几种不同的排法？要使这个数能被5整除，有几种不同的排法？ 【难度】★★★【答案】有因数2： 10种；有因数5： 6种．师生总结1、奇数偶数的运算性质有哪些？【解析】有因数2，则个位数字是2或0，则有1230，1320，2130，2310，3120，3210，1032，1302，3012，3102，共10种；有因数5，则个位数字是0，则有1230，1320，2130，2310，3120，3210，共6种；【总结】本题主要考查如何利用能同时被2和5整除的数的特征来进行数字的排列组合．【例36】下面的乘式的积中，末尾有多少个0？⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯．1232930【难度】★★★【答案】7个【解析】每一个因数中所含的因数是5和2的个数，决定结果中0的个数；将1－30中的数分解素因数，有7个5和多于7个2，结果中有7个0．【总结】本题是一道比较综合的题目，主要考查学生对所学知识的综合运用能力．随堂检测【习题1】先把下列各数放入正确的圈内，然后把这些数按照从小到大的顺序排列，并说明其中最小的正整数，最小的自然数，最大的负整数分别是哪个？－1，2，－0.3……，15，－0.7，0，3.83，0.3，1，4.732732……，－8，10．整数自然数正整数负整数【难度】★【答案】整数：－1，2，15，0，1，－8，10；自然数：2，15，0，1，10；正整数：2，15，1，10；负整数：－1，－8；从小到大排序为：－8，－1，－0.7，－0.3，0，0.3，1，2，3.83，4.732732……，10，15；其中最小的正整数是1，最小的自然数是0，最大的负整数是－1．【解析】略【习题2】一个三位数46，能被2整除时，中最大填______；能被5整除时，中最小填______．【难度】★【答案】8，0【解析】能被2整除的数个位数字是0，2，4，6，8；能被5整除的数个位数字是0，5；【总结】本题主要考查能被2整除以及能被5整除的数的特征．【习题3】判断题：(1)若2÷=，则n一定能整除m．（）m n(2)整数a的最大因数正好等于整数b的最小倍数，则a一定大于b．（）(3) 因为6.370.9÷=，所以6.3是7的倍数．（）(4) 因为整数7421中包含了数字2，所以7421一定能被2整除．（）【难度】★★【答案】× × × ×【解析】（1）整除要求被除数和除数也要为整数；（2）一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，因此a和b相等；（3）因数和倍数的概念是在整除的前提下存在的，本题不属于整除，不存在倍数的概念；（4）能被2整除的数字特征是个位数字为2，4，6，8，0，不是任意一位；【总结】本题主要考查学生对基本概念的理解．【习题4】已知2357A=⨯⨯⨯，那么A的全部因数的个数是(）A．10个B．12个C．14个D．16个【难度】★★【答案】D【解析】本身和1：2个；任意一个数：4个；任意两数乘积：6个；任意三个数乘积：4个；2+4+6+4=16个．【总结】本题主要考查如何去根据乘积的形式去求一个正整数的所有因数．【习题5】一个正整数既是48的因数，又是3的倍数，这个数可以是多少？【难度】★★【答案】3，6，12，24，48【解析】48的因数有1，2，3，4，6，8，12，16，24，48，其中是3的倍数的是3，6，12，24，48．【总结】本题主要考查因数和倍数的概念．【习题6】如果()n表示n的全部因数的和，如(4)1247-==++=，则(18)(21) _________．【难度】★★★【答案】7【解析】∵（18）=1+2+3+6+9+18=39，（21）=1+3+7+21=32，∴（18）－（21）=7．【总结】本题主要考查学生的理解能力，通过对()n的理解完成相关的计算．【习题7】用0、2、5、8这四个数字组成的四位数中，能被2整除的数有多少个？【难度】★★★【答案】10个【解析】能被2整除的数个位数字是0，2，4，6，8，所以有2580，2850，5280，5820，8250，8520，5082，5802，8052，8502，共10个．【总结】本题主要考查如何利用能被2整除的数的特征来进行数字的排列组合．【习题8】先把一个数的末位非零的数字割去，并在上位加上所割去数的4倍，然后再将和数的末位数割去，并在上位加上所割去数的4倍，这样继续下去，直到能够很容易看出和数是不是13的倍数为止．若是13的倍数，则这个数就是13的倍数．试判断下列各数，哪些是13的倍数？（写出具体过程）（1）9062；（2）12805；（3）158506．【难度】★★★【答案】（2）12805是13的倍数【解析】（1）9062：906+8=914，91+16=107，10+28=38，不是13的倍数；（2）12805：1280+20=1300，是13的倍数，故12805是13的倍数；（3）158506：15850+24=15874，1587+16=1603，160+12=172，17+8=25，不是13的倍数；【总结】本题主要考查对13的倍数的概念的理解及运用．课后作业【作业1】是否存在最小的的正整数，负整数，自然数；是否存在最大的正整数，负整数，自然数？如果有，请写出是哪个数．【难度】★【答案】最小的正整数是1，最小的负整数不存在，最小的自然数是0，不存在最大的正整数，最大的负整数是－1，不存在最大的自然数．【解析】略【作业2】78的因数有哪些？把其中的奇数和偶数分别填入相应的圈内．奇数偶数【难度】★★【答案】奇数有1，3，13，39，偶数有2，6，26，78．【解析】78的因数有1，2，3，6，13，26，39，78；其中，奇数有1，3，13，39，偶数有2，6，26，78．【总结】本题主要考查对因数、奇数、偶数这些基本概念的理解．【作业3】求26以内能被5整除的所有数的和．【难度】★★【答案】75【解析】26以内能被5整除的数有5，10，15，20，25，和为5+10+15+20+25=75．【总结】本题主要考查能被5整除的数的特征．【作业4】 在黑板上，先写出三个自然数1、3、5，然后任意擦去其中的一个，换成所剩两个数的和．照这样进行100次后，黑板上留下的三个数中有几个奇数？它们的乘积是奇数还是偶数？【难度】★★【答案】三个数中有两个奇数，乘积为偶数．【解析】第一次擦除，变为奇奇偶，第二次分为两种情况：（1）擦掉奇数，变为奇奇偶，（2）擦除偶数，变为奇奇偶； 之后一直保持为奇奇偶，所以100次后也为奇奇偶，乘积为偶数．【总结】本题一方面考查学生对题意的理解，另一方面考查奇数与偶数相乘的特征．【作业5】 求1000以内能同时被3、5整除的数中，最大的奇数与最小的偶数的和．【难度】★★★【答案】1005【解析】1000以内能被3、5同时整除的数是15的倍数，最小的偶数是30，最大的奇数是975，和为1050．【总结】本题主要考查能同时被3、5整除的数的特征．【作业6】 一个大于1的自然数a ，只有两个因数，那么3a 有几个因数？【难度】★★★【答案】当3a ≠时，3a 有4个因数；当3a =时，3a 有3个因数．【解析】3133a a a =⨯=⨯，由已知得：1a ≠，3a a ≠∴当3a ≠时，3a 有4个因数：1，3，a ，3a ；当3a =时，3a 有3个因数：1，3，3a ；．【总结】本题主要是考查如何根据题目中的条件去求一个正整数的因数．【作业7】 张阿姨是公共汽车售票员，她的票夹上有5角、1元、1元5角三种车票，她习惯把钱都放在车厢售票员位置的小桌上，这样就可以随时算出有没有差错．有一次她数了数桌上的硬币，是36枚1角．她对司机说：“我今天我肯定出了差错了”，你知道为什么吗？【难度】★★★【答案】略【解析】票价有三种，5角、1元、1元5角，都是5的倍数，但是36不是5的倍数．【总结】本题主要考查如何利用倍数的概念来解决实际问题．【作业8】凡一个数的奇位数字的和同它的偶位数字的和相减（大的和减去小的和），所得的差是0或是11的倍数时，这个数就是11的倍数．下列各数，哪些是11的倍数？(1)64273 (2)208549 (3)77360822【难度】★★★【答案】（1）、（2）、（3）都是11的倍数【解析】（1）64273：（6+2+3）－（7+4）=0，是11的倍数；（2）208549：（2+8+4）－（0+5+9）=0，是11的倍数；（3）77360822：（7+6+8+2）－（7+3+0+2）=11，是11的倍数；∴（1）、（2）、（3）都是11的倍数．【总结】本题主要考查对13的倍数的概念的理解及运用．。

第一章数的整除1.1整数和整除的意义比一比、赛一赛一、填空1. 在数物体的时候，用来表示物体个数的数1，2，3，4，5，…，叫做___________.2. 在正整数1，2，3，4，5，…，的前面添上“－”号，得到的数－1，－2，－3，－4，－5，…，叫做___________.3. 零是正整数呢？还是负整数呢？4.________________________统称为自然数.5.________________________统称为整数.6.整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能___________或者说b能_____________.7. 河马博士提醒我们，注意整除的条件:(1) ________________________________________________________________.(2) ________________________________________________________________.8. 课本中提醒我们注意，在本章中学习的整数，都是指________________________.9. (1) 如果一个正整数除以5，商是2，余数是3，那么这个正整数是_____________.(2) 在能够被2整除的两位数中，最大的是_____________.(3) 如果12÷3=4，那么_________能被_________整除，_________能整除________.(4) 如果n是一个正整数，且n能被5整除，同时n能整除5，那么n=________. 10. 把下列能够整除的算式填入圈内.42÷5,63÷21,11÷4,13÷3，28÷4，30÷10.二、解答题11. 下面各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在（）内打“√”.81和9（）56和7 （）12和24（）7和84（）75和15（）46和4 （）12.下面各组数中，如果第一个数能整除第二个数，请在（）内打“√”.9和36（）15和45（）3和39 （）48和12（）30和10（）17和51（）13.把下列各数填在指定的圈内.，100，－8.5.8，－10，0，0.25，－50，37正整数负整数整数14.判断（1）0是自然数.………………………………………………………………………（）（2）没有最小的自然数.………………………………………………………………（）（3）没有最小的整数.…………………………………………………………………（）（4）3.6能被6整除.……………………………………………………………………（）（5）0不能作除数.……………………………………………………………………（）15. 用“能”或者“不能”填空，注意主动句与被动句的不同，并熟读语句.（1）2______________整除4，4______________被2整除.（2）2______________整除5，5______________被2整除.（3）2______________整除6，6______________被2整除.想一想、探一探16.判断题.（1）最小的自然数是1.………………………………………………………………（）（2）负整数中有最大的数.……………………………………………………………（）（3）零是整数，所以它也是正整数.…………………………………………………（）（4）整数中没有最大的数，也没有最小的数.………………………………………（）（5）大于1，小于3的数只有2.………………………………………………………（）（6）1能被任意一个自然数整除.……………………………………………………（）（7）1001能被11整除.………………………………………………………………（）（8）2.5能被5整除.……………………………………………………………………（）（9）能整除6的数一共有4个.………………………………………………………（）（10）能够除尽的算式，被除数一定能被除数整除.…………………………………（）17. 选择题.（1）下列说法正确的是………………………………………………………………（）A.最小的整数是0 .B.负整数中有最小的数.C.自然数的个数是无限的.D. 33，34，35，36，38是连续的自然数.（2）下列说法错误的是………………………………………………………………（）A. 114能被6整除.B.整数都可以做除数.C. 12能被0.3除尽.D.如果a能被b整除，那么a能被b除尽.（3）第一个数能被第二个数整除的是………………………………………………（）A. 3和24B. 0. 9和2. 7C. 65和13D. 28和16.（4）第一个数能整除第二个数的是……………………………………………………（）A. 15和8B. 78和13C. 7和21D. 4. 6和2. 3.编一编、解一解18.请您编一个题：要求利用“整除的意义”1.3 能被2，5整除的数比一比、赛一赛1.说理题.（1）能被2整除的数有什么特征呢？（2）什么叫偶数? 什么叫奇数？（3）奇数的个位数字有什么特点呢？（4）在正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数，是奇数还是偶数？（5）在正整数中，与偶数相邻的两个数，是奇数还是偶数？（6）能被5整除的数有什么特征呢？（7）课本中提醒我们注意，0是不是偶数？2.下列哪些数有因数2？哪些数有因数5？12，27，25，30，51，60，75，96，186，225.有因数2的数________________________________________________________________. 有因数5的数________________________________________________________________.3. 下列说法对吗？对的在括号内打“√”，错的打“×”.（1）能被2整除的数一定是偶数.……………………………………………………（）（2）两个相邻的奇数相差2.…………………………………………………………（）4.在下列每个数的□内填上一个数字，使得这个数有因数5. 你还能写出几个？5□□1□5.（1）写出2个能被5整除的偶数：_____________________________________________. （2）写出2个能被5整除的奇数：_____________________________________________. （3）写出2个既能被5整除又能被2整除的数：_______________________________.6.判断题.（1）一个自然数，如果不是偶数就是奇数.…………………………………………（）（2）210能同时被2和5整除.………………………………………………………（）（3）能被5整除的数也一定能被10整除.…………………………………………（）（4）0是最小的偶数.…………………………………………………………………（）（5）个位上是0的自然数，一定能被2和5整除.………………………………（）7.把下列数字按照要求归类填写，看看还剩下哪些数没有填写.6，8，9，10，12，20，25，35，60，125，570.能被2整除的数能被5整除的数能同时被2、5整除的数8.按要求将下面的数填在圈内.28,75,87,91,295,342,552,630,1002,1090.能被2整除的数能被5整除的数能被3整除的数.（1）能同时被2、3、5整除的数是_______________________.（2）写出100以内能同时被2、3、5整除的数是_______________________.（3）试说说能被3整除的数具有什么特征？9. 若一个三位数，它即是2的倍数，又是5的倍数，则这个三位数最大是多少，最少是多少？想一想、探一探10. 用0、3、4、5四个数字，按下列要求排成没有重复数字的四位数，并请指出满足条件的这些四位数中最大的四位数.（1）能被2整除，但不能被5整除.（2）能被5整除，但不能被2整除.（3）既能被2整除，又能被5整除.11. “转糖盘”是一个固定不动的圆盘，盘面被平分为10格（如图），在偶数格内放一块糖，在奇数格内放上值钱的物品.某人给摊主5角钱，即可沿着顺时针方向转动圆盘一次. 圆 盘停转后，指针指到哪一格，摊主便依据该格的数顺着圆盘 转动方向从下一格起数格，数到哪一格，该格中的物品就归 这个人. 例如：指针停在3，则从4起再数3格，即第6格中的物品就是奖品.实际上，不管您怎么转，永远都拿不到奇数格中的物品. 请您试着填写下面表格，看看您的奖品是什么.编一编、解一解12. 请您编一个题：要求利用“能被2，5整除的数”1 32 6 5 47 10 9 81.4 素数、合数与分解素因数（２）比一比、赛一赛1. 说理题.（1）什么叫做素因数？（２）什么叫做分解素因数？（３）通常用什么方法分解素因数？（４）分解素因数的步骤如下：2. 判断题. （1）7和11是素因数. …………………………………………………………………（ ） （2）凡是合数都能分解素因数. ………………………………………………………（ ） （3）3、4、5都是60的素因数. ……………………………………………………（ ） （4）20分解素因数的式子是20122 5.=⨯⨯⨯………………………………………（ ） （5）一个合数至少有3个素因数. ……………………………………………………（ ）3. 填空题.（1）48的素因数有________________.（2）235,A =⨯⨯223 5.B =⨯⨯⨯ A 与 B 公有的素因数是________________.（3）分解素因数30=__________，40=___________，则30和40相同的素因数是_________. 4. 下面各式中，表示分解素因数的式子是……………………………………………（ ）A . 21530.⨯=B . 6025 6.=⨯⨯C . 1243 1.=⨯⨯D . 4533 5.=⨯⨯输入一个合数6. 分别把24和36分解素因数，并指出它们有哪些相同的素因数.7. 分别把各数分解素因数.18 32 4551 75 848. 把下列各数填入适当的圈内.1,2,3,4,5,7,9,11,15,21,27,29,39,41,46,51,87.9. 在下列各数中，哪些是素数？哪些是合数？请把合数分解素因数.23,32,47,65,71,78,93.想一想、探一探10. 将40分成六个素数之和，要求最小素数尽量大，那么最小的素数是几？11.有两个素数，它们的和是小于100的奇数，并且也是17的倍数，求这两个素数.编一编、解一解12.请您编一个题：要求利用“素数、合数或分解素因数”奇数 偶数 合数素数1.6 公倍数与最小公倍数比一比、赛一赛1. 说理题.（1）把圈内填数，理解倍数与最小公倍数的意义.3的倍数 4的倍数3和4的公倍数（2）什么叫公倍数？（3）什么叫最小公倍数？（4）怎样用短除法求两个数的最小公倍数？答：求两个数的最小公倍数，只要把它们所有的_______素因数和它们_______的素因数连乘，所得的积就是它们的最小公倍数.（5）如果两个数中，较大数是较小数的倍数，那么这两个数的最小公倍数是什么？（6）如果两个数是互素数，那么这两个数的最小公倍数是什么？2. 判断题. （1）6和30的最小公倍数是6. ………………………………………………………（ ） （2）5和7的最大公因数是它们的乘积. ……………………………………………（ ）（3）a b c ⨯= （a,b,c 都是自然数），ｃ一定是ａ和ｂ的最小公倍数. ………………（ ） （4）如果两个数的乘积是它们的最小公倍数，那么这两个数一定是互素的. ……（ ） （5）两个数的公倍数一定能被这两个数整除. ………………………………………（ ） 3. 填空题.（1）在6,10,15,20,25,30各数中，2的倍数是______________，5的倍数是______________，2和5的倍数是_____________. （2）a 和b 的公因数只有1，那么a 和b 最大的公因数是_______，最小的公倍数是_______. （3）22335,A =⨯⨯⨯⨯2357.B =⨯⨯⨯ A 和 B 两数最大的公因数是________________， 最小的公倍数是_______________. 4. 求下列各组数的最小公倍数.18和27 14和412和16 15和205. 求下列分数中两个分母的最小公倍数.52127和 7111530和 1111218和6. 求下列各组数的最大公因数和最小公倍数.30和45 7和921和35 17和687. “学生艺术节”快到了，六年级学生排练舞蹈，舞蹈老师要求除了领舞的1人外，其余的人要作队形变换，既要能平均分成4组，又要能平均分成6组，那么至少要选拔多少名学生参加舞蹈？想一想、探一探8. 求12,40和180的最大公因数和最小公倍数.9. 大雪后一天，大亮和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长，他们的起点和走的方向完全相同，大亮每步长54厘米，爸爸每步长54厘米，由于两脚印有重合，所以各走完一圈后雪地上只留下60个脚印，求花圃的周长.，编一编、解一解10. 请您编一个题：要求利用“公倍数与最小公倍数”第一章 复 习 题1. 填空题.（1）三个连续的自然数，最小的一个是a ，其他两个数分别是_______________. （2）在18,27,30,46,51,65,102，这些数中，能被2整除的数_____________________________________. 能被5整除的数_____________________________________.（3）如果数225,A =⨯⨯23 3.B =⨯⨯ A 和 B 的最大的公因数是____，最小公倍数是____. （4）已知225,A =⨯⨯则它的所有因数有_________________个. （5）填空：A =_______________.B =_______________. A 和 B 的最大的公因数是___________________. A 和 B 的最小公倍数是_____________________.2. 下列各数中，哪些是素数？哪些是合数？11,22,23,27,29,43,51,53,72,79.素数 合数3.下列说法对吗？不对的请改正. （1）比3小的自然数只有1和2.（2）所有正整数，不是素数就是合数. （3）互素的两个数一定都是素数. （4）12的因数只有2,3,4,6四个.（5）两个数的最小公倍数一定能被两个数的最大的公因数整除. （6）若a ，b 都是素数，则m a b =⨯一定是合数. 4. 求下列分数中两个分母的最小公倍数.11和7 9和12 12和1813和52 18和24 15和25B A 2 9 3 □ 3 45. 小丽、小杰定期到敬老院去打扫卫生，小丽每隔6天去一次，小杰每隔8天去一次，如果3月1日他们俩都在敬老院打扫卫生，那么他们下一次在敬老院见面的时间是几月几日？6. 这是学校新学期的购物单，由于采购员粗心大意，致使有些部分被墨水遮住，但是他记得单价是整数元，你能运用所学知识推算出购买的录音机的单价和总价吗？7. 小丽有60块大小相同的正方形拼板，爸爸让小丽用这60块拼板拼出一个大的长方形，拼的要求是：不能有空隙，不能有重叠，并且这60块拼板全用上，小丽按要求共能拼出多少种形状不同的长方形？请说明理由.8. 如果两个相邻的奇数都是素数，就说它们是一组孪生素数，请你举出三组孪生素数.如果三个相邻的奇数都是素数，就说它们是“三胞胎素数”，写出请一组“三胞胎素数”.，第二章 分 数2.1 分数与除法（2）比一比、赛一赛1. 怎样用数轴上的点表示分数2977和 吗？ 答：将数轴上的单位长度________等分，从______开始自左而右的第______个点表示分数27，第________个点表示分数9.72. 我们来了解一点数形结合的数学思想.例如：数轴和它上面的点是图形，分数是个数，数轴上有的点可以用一个分数表示，任何一个分数都可以用数轴上一个对应点表示出来，这就是数形结合思想. （1）数轴上的一个点你能读出它所表示的数吗？（2）一个分数，你会用数轴上的点表示吗？3. 写出数轴上点A 、点B 、点C 所表示的分数.（1）（2）（3）4. 在一条数轴上画出以下数所表示的点.()1481,,.3330 1 230 1 2()1592,,.444想一想、探一探5. 写出用9、11、17三个数中任意两个数分别做分子、分母的分数，这样的分数最多能写出几个？6. 如图，边长为23 的等边三角形ABC 放在数轴上，点B 与点0重合，点C 与表示23的点重合. 将三角形绕点C 旋转，使点A 落在数轴上；再将三角形绕点A 旋转，使点B 落在数轴上；… ；当点C 第一次落在数轴上时，点C 表示的数是多少？编一编、解一解7. 请您编一个题：要求利用“分数与除法的关系”1232.2 分数的基本性质（2）比一比、赛一赛1. 说理题.（1）什么叫最简分数？（2）约分是怎样一个过程？（3）通过约分可以_______分数.（4）“是”字的数学含义：相当于除号或分数线.例如：24厘米是1米的几分之几？甲数是乙数的几分之几？（5）怎样将一个分数化为最简分数？2. 下列分数367491681,,88325242412，，，，中， 哪些是最简分数？3. 将下列分数化成最简分数.（1）836 （2）276 （3）530 （4）6374. 将下列分数按要求填入下面各圈中.6543441.91069893，，，，，，5. 24分米是5米的几分之几？与12相等 与23相等 与1236相等6. 45分钟是1小时的几分之几？7. 125克是1千克的几分之几？8. 判断题.（1）如果分数的分子与分母中一个是奇数，一个是偶数，那么这个分数一定是最简分数.……………………………………………………………………………………（）（2）如果分数的分子与分母都是奇数，那么这个分数是最简分数.………………（）（3）如果分数的分子与分母是两个相邻的正整数，那么这个分数是最简分数.…（）（4）如果分数的分子与分母是两个连续的奇数，那么这个分数是最简分数.……（）（5）如果分数的分子是1，那么这个分数是最简分数.………………………………（）想一想、探一探9. 甲、乙两地相距72千米，乘汽车2小时到达，骑自行车要6小时到达，自行车每小时的速度是汽车每小时速度的几分之几？10. 如图，一个小三角形的面积是中三角形的；一个中三角形的面积是一个大三角形的面积的，那么大三角形的面积是整个图形面积的几分之几？编一编、解一解10. 请您编一个题：要求利用“分数的基本性质”2.3 分数的大小比较（1）比一比、赛一赛1. 如何比较两个同分母分数29和59的大小呢？答：要比较分数29和59的大小，可以在数轴上画出它们所对应的点，表示29的点在表示59的点__________边，所以29__________59.29与59是分母相同的分数，事实上，比较同分母分数的大小只需要比较______的大小即可.2. 通分是一个怎样的过程？3. 通分的一般步骤是：（1）求公分母——求分母的最小公倍数.（2）根据分数的基本性质，将每个分数化成分母相同的分数. 4. 如何比较两个异分母分数的大小呢？ 答：5. 比较下列各组同分母分数的大小，在横线上填“＞”或“＜”.（1）13_______2.3 （2）25_______3.5 （3）310_______7.10（4）1429_______15.29 （5）49100_______51.100 （6）20092011_______2010.20116. 比较下列各组同分子分数的大小，在横线上填“＞”或“＜”.（1）25_______2.3 （2）59_______5.8 （3）1011_______10.12（4）100101_____100.99 （5）20112010_____2011.2009 （6）89_______8.87. 把下列每组中的两个分数通分，并比较大小.（1）25.324和 （2）1113.1821和（3）57.4256和 （4）56.3645和8. 将下列每组分数按从小到大的顺序排列.（1）135.248，， （2）324.439，， （3）351,,.8123想一想、探一探9. 老李和小张两人加工一批相同的零件，老李5小时加工了32个零件，小张4小时加工了25个零件，问谁的工作效率高？10. 商场一楼到二楼的手扶电梯有8级，步行台阶有9阶，小明站在电梯的第7级，小华站在台阶的第8级，问他们俩谁站得高一点？（同一商场一楼到二楼的高度是一样的.）这个题目实际上是比较分数78与89的大小.编一编、解一解10. 请您编一个题：要求利用“分数的大小比较”2.4 分数的加减法（1）比一比、赛一赛1. 说理题.（1）同分母分数如何相加减？（2）用什么方法将异分母分数化为同分母分数？（3）异分母分数如何相加减？（4）一般地，分数加减法的流程图如右：2. 计算.（1）71.812+ （2）22.57-（3）41.153+ （4）54.125+3. 填空. （1）2335-=()()()()()().-=- （2）32721-=()()()()()().-=- （3）3186+=()()()()()().-=- （4）211535+=()()()()()().-=- 4. 计算.（1）111.364++ （2）237.5410-+（3）211.532-+ （4）523.8516+-5. 932减去316再加上15，结果是多少？6. 计算.（1）123.2510+- （2）5174.6305+-（3）1131.1246-+ （4）355.4126+-想一想、探一探7. 一天小张用了14小时完成了当天的数学作业，又用了25小时完成了当天的语文作业，小张完成哪种作业的时间少？少多少？完成两种作业一共用了多少时间？8. 把下面九个数分别填在括号里，使每组三个数的和相等.111112357,,,,,,,,.234612341212（ ）+（ ）+（ ）=（ ）+（ ）+（ ）=（ ）+（ ）+（ ）.编一编、解一解9. 请您编一个题：要求利用“分数的加减法”2.4 分数的加减法（3）比一比、赛一赛1. 列方程求未知数的一般步骤是：（1）设未知数为x；（2）根据题意列出方程；（3）根据加减法互为逆运算，表示出x等于哪些数相加减；（4）计算出x的值，并写上结论.2. 文字题的计算最关键的是读懂题意，请同学们在读题时要认真仔细，特别是表示数字关系的关键词要弄清楚，例如是、占、的，等等.3. 解方程.（1）3212.45x+=（2）2121.34x-=（3）712.46x+=（4）5342.84x-=4. 解方程.（1）3113.4520x+=+（2）361.874x+=-（3）4712.9186x-=-（4）575.4816x-=+（5）71253.1243x-=-（6）711632.842x-=-5. 一个数加上35，再减去16等于1315，求这个数.6. 162 减去一个数，等于133 与 122 的和，求这个数.7. 一个数减去526的差113比12少，这个数是多少？想一想、探一探8.（1）找规律，填一填.211211,.13133535=-=-⨯⨯()()()()211211,,5779=-=-⨯⨯（2）再计算.22222_________________;315356399++++= 111111___________________.315356399143+++++=编一编、解一解9. 请您编一个题：要求利用“分数的加减法”2.4 分数的乘法（2）比一比、赛一赛1. 如果乘数是带分数，该怎么办？2. 理解关键词语：的. “的”可以表示乘号.例如：35的23是多少？ 100 的45是多少？ 78的16倍是多少？3. 分数乘法的一般思路是：4. 计算：（1）163.35⨯ （2）1104.53⨯（3）1405.233⨯ （4）53210.817⨯（5）7316.8⨯ （6）2272.9⨯（7）11050.50⨯ （8）494950.50⨯（9）1112.23⨯ （10）4383.54⨯5. 计算：（1）5320.128⨯⨯ （2）5185.12159⨯⨯（3）25302.56⨯⨯ （4）127231.3311⨯⨯6. 迅速判断，填写“＞”、“＜”、“＝”：（1）71518⨯（ ）7.18 （2）340281⨯（ ）40.81（3）413527⨯（ ）13.27 （4）525618⨯（ ）25.18 （5）211112⨯（ ）1. （6）59160⨯ （ ）59.60（7）708⨯（ ）7.8 （8）15016⨯（ ）15.167. （1）415千克的56是多少千克？（2）245小时的38是多少小时？（3）225米的34是多少米？（4）小丽每天练舞23小时，每周7天共练舞多少小时？想一想、探一探8. 一根铁丝长25米，第一次截去133米，第二次截去余下的45，第二次截去多少米？9. 一根长方形盒子，长10厘米，宽1122厘米，高4165厘米，求盒子的表面积和容积．编一编、解一解10. 请您编一个题：要求利用“分数的乘法”2.6 分数的除法（2）比一比、赛一赛1. 说理题.（1）怎样把分数除法转化为分数乘法？（2）除数如果不是整数怎么办？（3）被除数或除数中有带分数怎么办？（4）本节课的关键词：“的”、“是”在同一个语句中出现．例如：一个数的1112是13，求这个数．这里“的”相当于乘号，“是”相当于等号．（5）利用乘法与除法互为逆运算，可以求x的值．2. 计算题.（1）3577.7236÷（2）3528.1881÷（3）4108.721÷（4）54103.95÷（5）333.44÷÷（6）544.655⨯÷3. 解方程.（1）13.34x=（2）15.2x=（3）93.58x=（4）83.38x=4. 58的________________是6.75. 一个数的23是29，求这个数．6. 一个正方形的周长是58米，它的一条边长是多少米？7. 一个长方形的长是115米，面积是2平方米，他的宽是多少米？8. 已知m的倒数是3，n的倒数是113，求mn的值．想一想、探一探9. 对下列给出的a的值，先写出a的倒数b，再写出b的倒数c，然后观察每组中a与c的数量关系，试用一句话概括这种关系．（1）2.3a=（2） 5.a=（3）32.4a=10. 定义运算：()1.a b a b⊗=÷+例如：()224241.5⊗=÷+=利用上述定义填空：1. 12_________.25⊗= 2.1_________ 4.3⊗=编一编、解一解11. 请您编一个题：要求利用“分数的除法”．2.7 分数与小数的互化（2）比一比、赛一赛1. 说理题.（1）什么是循环小数？（2）怎样判断一个循环小数的循环节？怎样用简便方法表示一个循环小数？（3）一组数中有小数、有分数，怎样比较它们的大小？（4）一个分数总可以化为___________小数或___________小数．2. 下列各数哪些是循环小数，在括号内打“√”．（1）0．555 （）（2）0．11232323…（）（3）1．23452345…（）（4）3．1415926（）（5）0．210210…（）（6）15．151515…（）（7）10．010010001…（）（8）7．321321132111…（）3. 将下列分数化为循环小数．（1）7.9（2）12.13（3）2.15（4）42.114. 将0. 957，2122，239250按从大到小的顺序排列．5. 将13510.86,,0.86,1559比较大小．6. 甲、乙两人骑车比赛，甲用4小时骑了85千米，乙用3小时骑了64千米，谁的速度更快？7. 同样品种和规格的梨，在甲水果店以10元4千克的价格出售，在乙水果店以14元6千克的价格出售，哪家水果店卖的梨较便宜？想一想、探一探8. 选择题．（1）介于0．75和0．82之间的分数是………………………………………………（）A. 5.7B.17.20C.2.3D.19.25（2）下列各数能化成有限小数的是……………………………………………………（）A.3.12B.6.7C.16.45D.11.121（3）将111.001,1,1100500和1.101按从小到大的顺序排列，那么第三个数是（）A. 1.001B.11100C.11500D. 1.101（4）王老师在黑板上写了7个自然数，让小杰算这几个数的平均数（得数保留两位小数），小杰算出的答案是30.23，王老师说：“得数的最后一个数字错了，其他数字都是对的．”那么正确的得数应该是…………………………………………………………（）A. 30.22B. 30.29C. 30.27D. 无法确定编一编、解一解9. 请您编一个题：要求利用“分数与小数互化”．2.8 分数、小数的四则混合运算（2）比一比、赛一赛1. 说理题.（1）分数与小数的乘除混合运算，是将题中的数化成小数运算简便还是化成分数运算简便？（2）分数与小数的加减乘除混合运算，先算什么，再算什么？（3）连续除以两个数该怎么办？例如：12262535÷÷，两个除号该怎么办？2. 计算．（1）13107545⨯÷ （2）2326138⨯⨯（3）5714630⨯÷（4）11999÷⨯（5）3375248⨯÷（6）17173118184⎛⎫÷⨯⎪⎝⎭3. 计算．（1）164133534÷-⨯（2）15725147-⨯（3）22 3.6 6.83⨯-（4）52552634÷-⨯（5）11811169322÷+÷（6）1125523322⎛⎫⨯-⎪⎝⎭4. 计算．（1）4502552⎛⎫⨯+⎪⎝⎭（2）325523322⎛⎫⨯-⎪⎝⎭5. 已知梯形的上底、下底和高分别是23厘米、56厘米和0.6厘米，求这个梯形的面积．想一想、探一探（1）销售总额是多少元？（2）A种与B种规格的鱼的销售额的和占销售总额的几分之几？7. 请你观察下面图形的特征，你能利用这个图形迅速写出111124816+++的结果．111118241616 ___________________________________________________________________这就是数形结合的数学思想．编一编、解一解8. 请您编一个题：要求利用“分数、小数的四则混合运算”．2.9 分数运算的运用（1）比一比、赛一赛1. 分数应用题中的几个关键词：“是”、“的”．我们可以从不同的角度、不同的语气去理解它们．例如：甲数是乙数的35，可以写成35=甲数乙数，在这里，“是”相当于分数线；“的”相当于等号．也可以写成甲数=乙数35⨯，在这里，“是”相当于等号，“的”相当于乘号．2. 文字过长时，要学会断句．3. 一件衣服因季节关系打折，以原价的910出售，现售价为60元，求原价.（精确到0.01元）4. 六年级（4）班共有同学48人，其中女同学占全班人数的712．问（1）六年级（4）班女同学有几人？男同学有几人？（2）男同学人数是女同学人数的几分之几？女同学人数是男同学人数的几分之几？（3）男同学人数占全班人数的几分之几？（1）上半年过生日的人数占全班人数的几分之几？（2）下半年过生日的人数是上半年过生日的人数的几分之几？（3）第2季度过生日的人数是第3季度过生日的人数的几分之几？6. 某汽车制造厂计划今年第一季度生产15000辆轿车，但实际生产的轿车数量比计划增加了14，那么该汽车制造厂今年第一季度实际生产了多少辆轿车？7. 小明10天阅读了一本书的58，小杰6天阅读了同一本书的35，小明和小杰每人平均每天阅读这本书的几分之几？想一想、探一探8. 某商场第一季度的销售额为115万元，占全年计划销售额的514，第二季度完成全年计划销售额的526，问第二季度完成多少万元（精确到万元）？第三和第四季度还需完成多少万元，才能完成全年的计划？编一编、解一解9. 请您编一个题：要求利用“分数运算的应用”．第二章 复 习 题比一比、赛一赛1. 将下列各组数通分．（1）372.81035，， （2）15723.4310，，2. 填空．（1）()()()420===5÷5 ．（2）()()331 ==4421÷⨯ ． 3. 将下列各组数按从小到大的顺序排列．（1）1124.901535，，（2）141719.357，，（3）240.38,.511∙∙，，0.37914. 计算．（1）43+54． （2）122143-．（3）45456⨯． （4）1954÷．5. 解方程．（1）2734x=．（2）113257x=．6. 计算．（1）5120.2+613⨯÷6．（2）164133534÷-⨯．（3）5388255⨯÷．（4）527393184⨯-⨯．7. 在下面的流程图中填入输出的数．如果输入的是33,45，那么输出的是___________．8. 在下图中填入适当的数，使得横向、纵向的分数之和为1．9. 人体中血液重量约占人体重量的113，小丽的体重是40千克，求她体内的血液约重多少千克？（结果保留一位小数）10. 如右图，长方形的面积是25平方米，阴影部分面积是长方形面积的25，求阴影部分 面积．11. 小杰阅读一本150页的书，如果再阅读10页，那么阅读过的页数是全书的35，小杰阅读过的页数占这本书的几分之几？如果七天后必须还书，那么，小杰在这七天中平均每天应阅读几页？最后七天中平均每天阅读的页数占全书页数的几分之几？3513 12153833212. 小丽家第三季度每个月的用电量都是前一个月的1514，已知九月份用电量为225千瓦时，九月份比七月份多用多少千瓦时电？如果1千瓦时电的电费为0．61元，那么小丽家七月份比九月份少缴多少元电费？想一想、探一探13. 对于分数23，它的分子、分母同时加上一个相同的正整数，得到一个新的分数，这个分数是否与23相等？你能得到什么结论呢？14. 生活中常用“一刹那”形容事情发生得极快，那么“一刹那”到底是多少秒呢？中国古代有一本书中这样写道：一刹那者为一念，二十念为一瞬，二十瞬为一弹指，二十弹指为一罗预，二十罗预为一须臾，一日一夜有三十须臾．根据这个叙述，完成以下填空．（结果用分数表示）1（须臾）=24604830⨯=（分）．1（罗预）=_____________________（分）．1（弹指）=_____________________（分）．1（瞬）=________________________（分）．1（刹那）=_______________________（分）=_____________________（秒）．第三章比和比例3.1 比的意义比一比、赛一赛1．什么叫做a与b的比？怎么记？怎么读？2．求a与b的比，b为什么不能为0？3．什么叫比值？4．比、分数、除法三者之间的关系：5．求两个同类量的比值，如果单位不同怎么办？6．比值可以用整数、分数、小数表示．7．东方明珠电视塔的高度是468米，它的观光层所在高度为263米．求观光层所在高度与．东方明珠电视塔的高度之比．8．下表是小明家今年第一季度家庭月收入与支出的统计表，请根据表中数据写出下列各比．（单位：元）（1）小明家1（2）小明家1月份的支出与3月份的支出之比．（3）小明家2月份的收入与1月份的收入之比．（4）小明家2月份的收入与整个第一季度的收入之比．9．求下列各比的比值．（1）25：40 （2）7.2：1.8（3）243:35 （4）218:3⋅ （5）3:044⋅ （6）50.75:8（7）21:0.53（8）40.125:5（9）375毫升：1.25升 （10）22400:1cm m（11）180:0.6g kg （12）169:1.3cm m（13）4天时：18 （14）1.25125时时分：想一想、探一探10．学校举行为贫困地区失学儿童募捐的“蓝天下的至爱”的活动，下面是六（1）班和六（2）班同学们的具体捐款统计表．请根据统计数据，利用计算器，求六（1）班和六（2）班平均每位同学捐款额之比的比值．（精确到0.01）六（1）班六（2）班9. 请您编一个题：要求利用“比的意义”．3.2 比的基本性质（2）比一比、赛一赛1．三项连比的性质是：如果::::a b m n b c n k ==，，那么::a b c =__________________．如果0k ≠，那么 :::_______:_______a a b c ak k==．2．将三个整数比化为最简整数比，就是给每项除以______________．3．．将三个分数比化为最简整数比，怎么办？答：先求分母的最小公倍数，再给各项乘以分母的最小公倍数．4．将三个小数比化为最简整数比，怎么办？答：再给各项同乘以10，100，1000等，化为整数比，再化为最简整数比．5．求三项连比的一般步骤是：（1）寻找关联量，求关联量对应的两个数的最小公倍数；（2）根据比的基本性质，把两个比中关联量化成相同的数；（3）对应写出三项连比．6．把下列各分数连比化成最简整数比．（1）111236：： （2）123234：：（3）1274510：： （4）2585315：：（5）1131842：1： （6）91114203015：：7．把下列各小数连比化成最简整数比．（1）0.75 ：0.25 ：1.25 （2）0.3 ：0.15 ：0.45 （3）1.6 ：2.4 ：1.4 （4）0.72 ：0.12 ：2.48．根据下列已知条件，求::a b c．（1）:2:3,:4:5a b b c==．（2）:3:5,:6:7a b b c==．想一想、探一探9．如图是某园林的规划图，其中正方形的34是草地，圆的67求正方形与圆的面积比．10．在实验课上老师带来了两杯果汁和一个空杯子，老师告诉同学们：“甲乙两个杯中盛有同样重量的果汁，已知甲杯中的果汁粉与水的重量比我1:2，乙杯中的果汁粉与水的重量比为1:3．现在我将它们全部倒入丙杯中，那么此时丙杯中的果汁粉与水的重量比为多少呢？”小明回答道：“()()11:232:5.++=”你觉得小明的回答正确吗？为什么？编一编、解一解9. 请您编一个题：要求利用“比的基本性质”．。

一、选择题1．算式180×（1+ 35 ），可以解决下面（ ）问题．A. 六年级同学采集植物标本180件，采集的昆虫标本比植物标本少 35，六年级同学采集了多少件昆虫标本？B. 幼儿园的李厨师准备包180个包子，已经包了其中的 35 ，已经包了多少个包子？C. 阳光超市11月的营业额是180万元，12月的营业额比11月增长了 35，阳光超市12月的营业额是多少万元？C 解析： C【解析】【解答】解：A 项中的问题作答时，正确的列式是180×（1-35）；B 项中的问题作答时，正确的列式是180×35；C 项中的问题作答时，正确的列式是180×（1+35）。

故答案为：C 。

【分析】A 项中，题中存在的等量关系是：六年级同学采集昆虫标本的件数=六年级同学采集植物标本的件数×（1-采集的昆虫标本比植物标本少几分之几）；B 项中，题中存在的等量关系是：李厨师准备包包子的个数×已经包了其中的几分之几=已经包了的个数；C 项中，题中存在的等量关系是：阳光超市12月的营业额=阳光超市11月的营业额×（1+12月的营业额比11月增长几分之几）。

据此列式作答即可。

2．哪幅图表示 25× 34 的积？A. B. C.B解析： B【解析】【解答】解：A ：表示35×34的积；B ：表示25×34的积； C ：表示12×35的积。

故答案为：B 。

【分析】先用浅色阴影表示整个图形的25 ， 然后把浅色阴影部分平均分成4份，把其中的3份涂成重色，这样就能表示出25×34的积。

3．小明看一本140页的故事书，第一天看了全书的 17，第二天应从（ ）页看起．A. 20B. 21C. 120B 解析： B【解析】【解答】140×17+1=21（页）故答案为：B 。

【分析】先用乘法求出第一天看了多少页，然后用它加上1即可解答。

第01讲整数和整除（核心考点讲与练）【基础知识】1.⎧⎫⎪⎬⎨⎭⎪⎩正整数自然数整数零负整数； 2.整除：整数a 除以整数b ，若除得的商是整数且余数为零. 即称：a 能被b 整除；或b 能整除a.整除的条件：..⎫⎧⎪⎨⎬⎪⎩⎭除数、被除数都是整数；三整一零商是整数且余数为零整除与除尽的关系.⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩整除：被除数、除数、商整数，且余数为零；区别除尽：被除数、除数、商是整数，没有余数.联系：整除是除尽都是不一定的特殊形式3.因数与倍数：整数a 能被整数b 整除，a 就叫b 的倍数，b 就叫a 的因数（约数）.因数与倍数的特征：⎧⎪⎨⎪⎩因数与倍数互相依存；一个整数的因数中最小因数为1，最大因数为它本身一个整数的倍数中最小的倍数是它本身，无最大倍数.4.能被2整除的数2468.⎧⎨⎩偶数(2n)；(否则是奇数(2n-1))特征：个位上是0，，，，， 能5整除的数的特征：个位上数字是0，5；能同时被2、5整除的数：个位上数字是0.*能被3整除的数：一个整数的各个数位上数字之和能被3整除，这个整数就能被3整除. *能同时被2、3和5整除的数：个位数是0，且各个数位上数字之和能被3整除.【考点剖析】考点1：整数和整除的意义例题1（浦东南片十六校2020期末1）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ ）A. 5和20；B. 7和2；C. 34和17；D. 1.2和3.【答案】C ；【解析】解：A 、20能被5整除，故A 不符合题意；B 、没有整除关系，故B 不符合题意；C 、34能被17整除，故C 符合题意；D 、1.2不是整数，故D 不符合题意；因此答案选C.例题2（2019上南中学10月考2）在数18，-24，0，2.5，34，2005，3.14，-10中，整数有（ ） A. 2个； B. 3个； C. 4个； D. 5个.【答案】D ；【解析】解：在上述数中，其中整数有18，-24，0，2005，-10共5个，故答案选D.考点2：整除的意义例题3．老师问：“当 4.5a =时，0.9b =时，a 能被b 整除吗？”一个同学回答：“因为商是5，是整数，所以a 能被b 整除．”你认为对吗？【难度】★【答案】不对【解析】整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；本题只满足了商是整数，余数是0，忽略了对被除数、除数的要求；【总结】本题主要考查整除所满足的条件．例题4.下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在下面的（ ）内打“√”，不能整除的打“×”．18和9（ ）15和30（ ） 0．4和4（ ） 14和6（ ）17和35（ ） 9和0．5（ ） 【难度】★【答案】横向：√×××××【解析】整除的意义：整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能 被b 整除；或者说b 能整除a ．只有18和9满足；【总结】本题主要考查整除所满足的条件．考点3：因数与倍数例题5（2019晋元附校测试2）14的因数有__________.【答案】1、2、7、14；【解析】解：14的因数有1、2、7、14.例题6（2019浦东上南东10月考17）如果用[]a 表示a 的全部因数的和，如[]1263216=+++=，那么[][]=-818________【答案】24；【解析】解：因为[]a 表示a 的全部因数的和，故[18]=1+2+3+6+9+18=39，[8]=1+2+4+8=15，所以[18]-[8]=39-15=24.考点4：能被2，5、3整除的数例题5（奉贤2019期中10）正整数中，能同时被2和5整除的最大两位数是 .【答案】90；【解析】解：正整数中，能同时被2和5整除的最大两位数是90.例题6（青教院附中2019期中18）如图，用灰白色正方形瓷砖铺设地面，则第n 个图案中白色瓷砖数 为 块.【答案】32n +;【解析】解：第1个图案中白色瓷砖数为3+2块，第2个图案中白色瓷砖数为32+2⨯块，第3个图案中白色瓷砖数为33+2⨯块，…，第n 个图案中 白色瓷砖数为3n+2块.例题7.要使三位数2□3能被3整除，那么□中可以填的数是_____________；要使三位数2□3能被9整除，那么□中可以填的数是_____________．【难度】★【答案】1、4、7；4． 【解析】能被3整除的数的特征：各个数位上的数字和是3的倍数；能被9整除的数的特征：各个数位上的数字和是9的倍数．【总结】本题主要考查能被3和9整除的数的特点．例题8.一个五位数497A B 能被3整除，且7B 能被2整除，这样的五位数有______个．【难度】★★【答案】16．【解析】7B 能被2整除，则B 为0、2、4、6、8；497A B 能被3整除，则B A ++20能被3整除．当B =0时，A 可为1、4、7；当B =2时，A 可为2、5、8；当B =4时，A 可为0、3、6、9；当B =6时，A 可为1、4、7；当B =8时，A 可为2、5、8；所以这样的五位数有16个．【总结】先一一列举符合7B 能被2整除的数，然后一一列举数字，判断符不符合题意．例题9.从2、4、0、5、8这五个数字中选出3个数字组成一个三位数，使得这个三位数同时被2、3和5整除，那么这样的三位数有______个．【难度】★★★【答案】4．【解析】能同时被2和5整除的数末尾数为0，则有240、420、580、850、250、520、 280、820、450、540、480、840，其中能够被3整除的有240、420、450、540、 480、 840．【总结】本题主要考查能被2、3、5整除的数的特征．【过关检测】一、选择题1.（2019闵行实验西校10月考1）下面各组数中，第一个数能整除第二个数的是（ ）A ．14和7； B.2.5和5； C.9和18； D.0.4和8.【答案】C;【解析】解：A 、14能被7整除，不符合题意；B 、2.5不是整数，不符合题意；C 、9能整除18，符合题意，故C 正确；D 、0.4不是整数，故D 不符合题意；因此答案选C.2.（2019上南中学10月考1）下列关于“1”的叙述不正确的是（ ）A.1是最小的自然数；B.1既不是素数，也不是合数；C.1是奇数；D.1能整除任何一个正整数.【答案】A ；【解析】解：A 、最小的自然数为0，故A 错误；B 、1既不是素数，也不是合数，故B 正确；C 、1是奇数，故C 正确；D 、1能整除任何一个正整数，故D 正确；因此答案选A.3.（浦东南片2019期中2）36的全部因数的个数有（ ）A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个【答案】D ；【解析】解：36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，一共9个；因此答案选D.4.（2019浦东四署10月考1）在下列算式中，被除数能被除数整除的是（ ）A. 254÷；B. 0.60.3÷；C. 33÷；D. 48÷.【答案】C ；【解析】解：A 、25不能被4整除，故A 错误；B 、0.6与0.3不是整数，故B 错误；C 、3能被3整除，故C 正确；D 、4不能被8整除，故D 错误；因此答案选C.5.（2019上南中学10月考3）下列说法正确的是（ ）A.任何整数的因数至少有2个；B.一个数的因数都比这个数的倍数小；C.连续两个自然数相加的和一定是奇数；D.8是因数，12是倍数.【答案】C ；【解析】解：A 、1只有一个因数，故A 错误；B 、一个数的最大因数与这个数的最小倍数相等，故B 错误；C、连续两个自然数相加的和一定是奇数，故C正确；D、因数与倍数是指两个数之间的关系，如：8是16的一个因数，16是4的倍数等；故D错误；因此答案选C.6.（2019浦东四署10月考3）下列各组数中能同时被2和3整除的一组数是（）A.10和35；B.42和24；C. 15和16；D.22和20.【答案】B；【解析】解：能同时被2和3整除的数一定能被6整除，故42和24都能被6整除，故答案选B.7.（2019建平西校10月考1）下列算式中被除数能被除数整除的是（）A. 15÷4B. 5÷2.5;C.10÷3;D. 8÷4.【答案】D；【解析】解：A、15不能被4整除，故A错误；B、2.5是小数，故B错误；C、10不能被3整除，故C错误；D、8能被4整除，故D正确；因此答案选D.8.（华师大附中2019期中1）如果M能被15整除，那么M是（）A、15B、30C、15的倍数D、15的因数【答案】C；【解析】解：如果M能被15整除，则M是15的倍数，因此答案选C.9.（2019进才北12月考1）下列说法正确的是（）A. 一个整数不是正整数就是负整数B. 一个正整数不是素数就是合数C. 一个正整数不是奇数就是偶数D. 一个正整数的最大因数不是它的最小倍数.【答案】C；【解析】解：A、整数包括正整数、负整数和零，故A错误；B、正整数包括素数、合数与1，故B错误；C、正整数包括奇数和偶数，故C正确；D、一个正整数的最大因数是它的最小倍数，故D错误；因此答案选C.10.（2019闵行实验西校10月考5）下列语句错误的是（）①2.5能被5整除；②因为4÷2=2，所以4是倍数，2是因数；A=2×3×5×B,B>1,则B一定是A的因素；④两个整数的公倍数一定能被这两个数整除；A.1个；B.2个；C.3个；D.4个.【答案】B；【解析】解：2.5不是整数，故①错误；因为4÷2=2，所以4是2的倍数，2是4的因数，故②错误；A=2×3×5×B,B>1,则B一定是A的因素，但不一定是A的素因数，故③正确；两个整数的公倍数一定能被这两个数整除，故④正确；因此错误语句有两个，答案选B.11.（2019徐教院附中10月考3）在下列说法中，正确的是（）A.合数都是偶数B. 2的倍数都是合数C. 2的倍数都是偶数D. 5的倍数都是奇数【答案】C；【解析】解：A、合数不一定是偶数，如15是合数但不是偶数，故A错误；B、2的倍数不一定是合数，如2不是合数，故B错误；C、2的倍数是偶数，故C正确；D、5的倍数不一定是奇数，如5的偶数倍是偶数，故D错误；因此答案选C.12.（2019晋元附校测试15）用一个数去除28和56都能整除，这个数最大是（）A. 2B. 4C. 14D. 28【答案】D；【解析】解：用一个数去除28和56都能整除，这个数最大是28，故答案选D.二、填空题13.(2019南模初中10月考1) 最小的自然数是 .【答案】0；【解析】解：最小的自然数为0.14.（2019大同初中10月考7）4.8÷3＝1.6，填“能”或“不能”)说3能整除4.8【答案】不能；【解析】解：因为4.8，1.6都是小数，不是整数，故不能说3能整除4.8.15.（2019晋元附校测试10）有一个数，它既是a的倍数，又是a的因数，这个数是__________.【答案】a；【解析】解：既是a的倍数，又是a的因数，则这个数就是它本身a.16.（2019松江九亭10月考1）写出既能被2整除又能被5整除的最小的两位__________.【答案】10；【解析】解：既能被2整除又能被5整除的数，个位数为0，因此最小的两位数为10.17. （华理附中2019期中8）在75,50,42,40,66中，既是2的倍数又能被5整除的数有 . 【答案】50、40；【解析】解：既是2的倍数又能被5整除的数，个位数为0，因此在上述数中有：50、40.18.（2019中国中学10月考6）三位数75□能同时被2、3整除，那么□可以是。

1.4 公因数与最大公因数思考植树节这天，老师带领24名女生和32名男生到植物园种树．老师把这些学生分成人数相等的若干个小组，每个小组中男生人数相等，请问，这56名同学最多能分成几组？分析分成的组数能整除24和32也就是24和32的因数．24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24；32的因数有：1，2，4，8，16，32；24和32公有的因数有：1，2，4，8；其中最大的一个公有的因数为8．因此老师最多可以把这些学生分成8组．每组中分别有3名女生和4名男生．几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数．如果a1，a2，…，a n和d都是正整数，且d|a1，d|a2，…，d|a n，那么d叫做a1，a2，…，a n的公因数．公因数中最大的叫做a1，a2，…，a n的最大公因数，记作（a1，a2，…，a n）．如对于4、8、12这一组数，显然1、2、4都是它们的公因数，但4是这些公因数中最大的，所以4是它们的最大公因数，记作(4，8，12)＝4．最大公因数等于公因数的最低次幂的积．例1求8，9和30的最大公因数．解：8的因数有：1，2，4，8；9的因数有：1，3，9；30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30．因此，8，9和30的最大公因数是1．如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．例1中的8和9就是互素．例2求18和30的最大公因数．解：把18和30分别分解素因数．18＝2×3×3，30＝2×3×5．可以看出：18和30全部公有的素因数是2和3，因此2和3的乘积6就是18和30的最大公因数．归纳：求几个整数的最大公因数，只要把它们的所有共有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．利用短除法也可以求最大公因数．例3三角形三边的长a、b、c都是整数，且[a，b，c]＝60，(a，b)＝4，(b，c)＝3（注：[a，b，c]表示a、b、c的最小公倍数，(a，b)表示a、b的最大公约数），求a＋b＋c的最小值．分析：求出a、b、c可能的取值是解决这道题的关键，因为b只可能取12或24，又因为要求的是a＋b ＋c的最小值，所以，可以确定b＝12，而且在满足任意两数之和大于第三个数的条件下，a和c的值越小越好，先定a＝4，c＝15，符合题意，从而可以求得答案．解：因为(a，b)＝4，(b，c)＝3，则b最小为4×3＝12，a最小为4，又[a，b，c]＝60，则c最小为3×5＝15，a＋b＋c的最小值为31．练习1.41．2520的因数有多少个？2．求24，44，60的最大公因数．3．分数1111115015是不是最简分数？4．一块长方形木料，长72 cm，宽60 cm，高36 cm，请你把它锯成同样大的正方形木块，且木块的体积要最大，木料又不能剩．算一算可以锯成几块？5．有一级茶叶165克，二级茶叶198克，三级茶叶242克，三者价值相等，现将这三种茶叶分别装袋（均为整克数），每袋价值相等，价格最低，怎样分装？练习1.4练习答案1．48个．提示：2520＝23×32×5×7，因数有(3＋1)×(2＋1)×(1＋1)×(1＋1)＝48（个）．2．4．3．是．4．90块．提示：(72，60，36)＝12，因此正方体的长、宽、高均为12 cm，共90块．5．各装11袋，一级每袋15克，二级每袋18克，三级每袋22克．1.4《公因数与最大公因数》练习1．填空．12的因数是；18的因数是；12和18的公因数是；12和18的最大公因数是．2．填空．（1）3、4和5的最大公因数是；（2）18、24和36的最大公因数是；（3）6、7和12的最大公因数是；（4）8、9和15的最大公因数是．3．成为互素数的两个数，都是素数．（填“一定”、“不一定”或“一定不”）4．如果a＝2×2×5，b＝2×3×5，那么a和b的最大公因数是（）．A．2 B．5 C．10 D．65．求出12、18和24的最大公因数．6．写出小于20的三个自然数，使它们的最大公因数是1，但其中任意两个数不互素．7．有铅笔433支、橡皮260块，平均分配给若干学生．学生人数在30～50之间，最后剩余铅笔13支、橡皮8块，问学生究竟有多少人？1.4《公因数与最大公因数》练习答案1．1，2，3，4，6，12；1，2，3，6，9，18；1，2，3，6；6．2．（1）1；（2）6；（3）1；（4）1．3．不一定．4．C．5．6．6．6，10，15等（答案不唯一）．7．42人．提示：433－13＝420（支），260－8＝252（块），420与252的公因数中符合条件的是42，因此共有42个学生．。