广西钦州市高考数学一模试卷文(含解析)
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2016年广西钦州市钦州港经济技术开发区中学高考数学一模试卷（文科）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数在复平面上对应的点的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）
2．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是（ ）
A．y=2|x| B． C．y=2x+2﹣x D．
3．若曲线f（x）=x4﹣x在点P处的切线平行于直线3x﹣y=0，则点P的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（1，0） C．（1，﹣3） D．（﹣1，2）
4．在△ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，条件“a＜b”是使“cosA＞cosB”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．函数f（x）=sin2x﹣4sin3xcosx（x∈R）的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．π
6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，则该双曲线离心率等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上， =λ，
=μ，若•=1， •=﹣，则λ+μ=（ ）
A． B． C． D．
8．若直线l：ax+by+1=0始终平分圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的周长，则（a﹣2）2+（b﹣2）2的最小值为（ ）
A． B．5 C．2 D．10
9．设b、c表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是（ ）
A．若b⊂α，c∥α，则b∥c B．若b⊂α，b∥c，则c∥α
C．若c∥α，α⊥β，则c⊥β D．若c∥α，c⊥β，则α⊥β
10．已知数列{xn}满足xn+3=xn，xn+2=|xn+1﹣xn|（n∈N*），若x1=1，x2=a（a≤1，a≠0）则数列{xn}的前2010项的和S2010为（ ）
A．1340 B．1338 C．670 D．669 11．在平面直角坐标中，O为坐标原点，设向量=， =，其中=（3，1），=（1，3），若=λ+μ，且0≤λ≤μ≤1，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知点F是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．（1，+∞） B．（1，2） C．（1，1+） D．（2，1+）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．对任意非零实数a、b，若a⊗b的运算原理如图所示，则= ．
14．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 m3． - 3 - / 22
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为 ．
16．设函数，函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数为 ．
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）．
（Ⅰ）设bn=an+1，求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．
18．每年春季在北京举行的“中国国际马拉松赛”活动，已经成为最具影响力的全民健身活动之一，每年的参与人数不断增多．然而也有部分人对该活动的实际效果提出了质疑，对此，某新闻媒体进行了网上调查，在所有参与调查的人中，持“支持”、“保留意见”和“不支持”态度的人数如下表所示：
支持 保留意见 不支持
男 800 450 200
女 100 150 300
（Ⅰ） 在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持“支持”态度的人中抽取了45人，求n的值；
（Ⅱ）接受调查的人同时要对这项活动进行打分，其中6人打出的分数如下：9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把这6个人打出的分数看作一个总体，从中任取2个数，求这两个数与总体平均数之差的绝对值都不超过0.5的概率．
19．如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．
（I）求证：BC⊥平面APC；
（Ⅱ）若BC=3，AB=10，求点B到平面DCM的距离． - 4 - / 22
20．设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B．已知|AB|=|F1F2|．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．
21．已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数．
（1）证明：f（x）是R上的偶函数．
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．
（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x02+3x0）成立．试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC
（Ⅰ）求证：BE=2AD；
（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．
[选修4-4：极坐标和参数方程]
23．已知：直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ2cos2θ=1．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）求直线l被曲线C截得的弦长．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．
（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域； （2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．
2016年广西钦州市钦州港经济技术开发区中学高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数在复平面上对应的点的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】复数分母实数化，再化简即可得到复数对应的点，得到选项．
【解答】解：复数==，所以复数所对应的点的坐标（1，﹣1）
故选D．
2．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是（ ）
A．y=2|x| B． C．y=2x+2﹣x D．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】由奇偶性的定义判断．
【解答】解：A∵f（﹣x）=f（x）∴为偶函数
B∵f（﹣x）=﹣f（x）∴为奇函数
C∵f（﹣x）=f（x）∴为偶函数
D定义域是（﹣1，+∞），定义域不关于原点对称既不是奇函数，又不是偶函数．
3．若曲线f（x）=x4﹣x在点P处的切线平行于直线3x﹣y=0，则点P的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（1，0） C．（1，﹣3） D．（﹣1，2）
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】设P（m，n），求出f（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解m的方程可得m，进而得到切点P的坐标．
【解答】解：f（x）=x4﹣x的导数为f′（x）=4x3﹣1，
设P（m，n），可得曲线在点P处的切线斜率为4m3﹣1，
由切线平行于直线3x﹣y=0，可得4m3﹣1=3，
解得m=1，n=m4﹣m=1﹣1=0．
即有P（1，0），
故选：B．
4．在△ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，条件“a＜b”是使“cosA＞cosB”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】余弦函数的单调性；充要条件．
【分析】根据在（0，π）上，函数f（x）=cosx为减函数，判断角的大小关系．
【解答】解：（1）∵a、b分别是角A、B所对的边，且a＜b，∴0＜∠A＜∠B＜π． 而在（0，π）上，函数f（x）=cosx为减函数．
∴cosA＞cosB成立．
（2）在（0，π）上，函数f（x）=cosx为减函数，0＜∠A，∠B＜π，cosA＞cosB，
∴∠A＜∠B，从而a＜b．
所以前者是后者的充要条件．
故选C．
5．函数f（x）=sin2x﹣4sin3xcosx（x∈R）的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．π
【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．
【分析】利用二倍角公式，可将函数f（x）的解析式化为f（x）=sin4x，代入T=可得函数的周期．
【解答】解：∵f（x）=sin2x﹣4sin3xcosx
=sin2x﹣sin2x•2sin2x
=sin2x（1﹣2sin2x）
=sin2x•cos2x
=sin4x
故T==
故选C
6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，则该双曲线离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】圆与圆锥曲线的综合．
【分析】先将圆的方程化为标准方程，再根据双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，利用圆心到直线的距离等于半径，可建立几何量之间的关系，从而可求双曲线离心率．
【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±，即bx±ay=0
圆C：x2+y2﹣6x+5=0化为标准方程（x﹣3）2+y2=4
∴C（3，0），半径为2
∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切
