平面解析几何-高考复习知识点

平面解析几何 高考复习知识点

一、直线的倾斜角、斜率

1、直线的倾斜角：

（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，如果把x轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线l与x轴重合或平行时，规定倾斜角为0；

（2）倾斜角的范围,0。

2、直线的斜率

（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k＝tan(≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；

（2）斜率公式：经过两点111(,)Pxy、222(,)Pxy的直线的斜率为212121xxxxyyk；

（3）直线的方向向量(1,)ak，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？

（4）应用：证明三点共线： ABBCkk。

例题：

例1．已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；

思路点拨：已知角的范围，通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，已知斜率的范围，通过正切函数的图像，可以求得角的范围

解析： ∵， ∴．

总结升华：

在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，可利用在和上是增函数分别求解.当时，；当时，；当时，；当不存在时，.反之，亦成立.

类型二：斜率定义

例2．已知△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率.

思路点拨：

本题关键点是求出边AB与AC所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率.

解析：

如右图，由题意知∠BAO=∠OAC=30°

∴直线AB的倾斜角为180°-30°=150°，直线AC的倾斜角为30°，

∴kAB=tan150°= kAC=tan30°= 总结升华：

在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小于的角，只有这样才能正确的求出倾斜角.

类型三：斜率公式的应用

例3．求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．

思路点拨： 已知两点坐标求斜率，直接利用斜率公式即可.

解析：

且，

经过两点的直线的斜率，即．

即当时，为锐角，当时，为钝角．

例4、过两点，的直线的倾斜角为，求的值．

【答案】

由题意得：直线的斜率，

故由斜率公式，

解得或． 经检验不适合，舍去. 故．

例5．已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．

思路点拨：

如果过点AB，BC的斜率相等，那么A，B，C三点共线.

解析：

∵A、B、C三点在一条直线上，

∴kAB=kAC．即

二、直线方程的几种形式

1、点斜式：已知直线过点00(,)xy斜率为k，则直线方程为00()yykxx,它不包括垂直于x轴的直线。

2、斜截式：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线方程为ykxb,它不包括垂直于x轴的直线。 3、两点式：已知直线经过111(,)Pxy、222(,)Pxy两点，则直线方程为121121xxxxyyyy，它不包括垂直于坐标轴的直线。

4、截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为,ab,则直线方程为1byax，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。

5、一般式：任何直线均可写成0AxByC(A,B不同时为0)的形式。

提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点。如过点(1,4)A，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3）

注：设直线方程的一些常用技巧：

（1）知直线纵截距b，常设其方程为ykxb；

（2）知直线横截距0x，常设其方程为0xmyx(它不适用于斜率为0的直线)；

（3）知直线过点00(,)xy，当斜率k存在时，常设其方程为00()ykxxy，当斜率k不存在时，则其方程为0xx；

（4）与直线:0lAxByC平行的直线可表示为10AxByC；

（5）与直线:0lAxByC垂直的直线可表示为10BxAyC.

提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。

三、两直线之间的位置关系

1、距离公式

（1）平面上的两点错误！未找到引用源。间的距离错误！未找到引用源。。特别地，原点O（0，0）与任意一点的P(x,y)的距离错误！未找到引用源。

（2）点00(,)Pxy到直线0AxByC的距离0022AxByCdAB；

（3）两平行线1122:0,:0lAxByClAxByC间的距离为1222CCdAB。

2、直线1111:0lAxByC与直线2222:0lAxByC的位置关系：

（1）平行12210ABAB（斜率）且12210BCBC（在y轴上截距）；

（2）相交12210ABAB；

（3）重合12210ABAB且12210BCBC；

（4）垂直12120AABB

提醒：

（1） 111222ABCABC、1122ABAB、111222ABCABC仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？

（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；

3、两直线夹角公式

（1）1l到2l的角是指直线1l绕着交点按逆时针方向转到和直线2l重合所转的角，,0且tan=21121kkkk(121kk)；

（2）1l与2l的夹角是指不大于直角的角,(0,]2且tan=︱21121kkkk︱(121kk)。

提醒：解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解。如已知点M是直线240xy与x轴的交点，把直线l绕点M逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是______（答：360xy）

例题：

例1、两条直线myxml352)3(1：，16)5(42ymxl：，求分别满足下列条件的m的值．

(1) 1l与2l相交； (2) 1l与2l平行； (3) 1l与2l重合；

(4) 1l与2l垂直； (5) 1l与2l夹角为45．

解：由mm5243得0782mm，解得11m，72m．

由163543mm得1m．

(1)当1m且7m时，2121bbaa，1l与2l相交；

(2)当7m时，212121ccbbaa．21//ll；

(3)当1m时，212121ccbbaa，1l与2l重合；

(4)当02121bbaa，即0)5(24)3(mm，311m时，21ll；

(5) 231mk，mk542．由条件有145tan11212kkkk．

将1k，2k代入上式并化简得029142mm，527m；

01522mm，35或m．∴当527m或-5或3时1l与2l夹角为45．

例2当a为何值时，直线01)1()2(1yaxal：与直线02)32()1(2yaxal：互相垂直？

解：由题意，直线21ll． (1)若01a，即1a，此时直线0131xl：，0252yl：显然垂直；

(2)若032a，即23a时，直线0251yxl：与直线0452xl：不垂直；

(3)若01a，且032a，则直线1l、2l斜率1k、2k存在，

aak121，3212aak．

当21ll时，121kk，即1)321()12(aaaa，∴1a.

综上可知，当1a或1a时，直线21ll．

例3已知直线l经过点)1,3(P，且被两平行直线011yxl：和062yxl：截得的线段之长为5，求直线l的方程．

解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为3x，此时与1l、2l的交点分别为)4,3('A和)9,3('B，截得的线段AB的长594AB，符合题意，

若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为1)3(xky．

解方程组,01,1)3(yxxky得114,123kkkkA，

解方程组,06,1)3(yxxky得119,173kkkkB．

由5AB，得2225119114173123kkkkkkkk．

解之，得0k，即欲求的直线方程为1y．

综上可知，所求l的方程为3x或1y．

解法二：由题意，直线1l、2l之间的距离为125261d，且直线l被平等直线1l、2l所截得的线段AB的长为5（如上图），设直线l与直线1l的夹角为，则225225sin，故∴45．

由直线011yxl：的倾斜角为135°，知直线l的倾斜角为0°或90°，又由直线l过点)1,3(P，故直线l的方程为3x或1y．

解法三：设直线l与1l、2l分别相交),(11yxA、),(22yxB，则： 0111yx，0622yx．

两式相减，得5)()(2121yyxx． ①

又25)()(221221yyxx ②

联立①、②，可得052121yyxx或502121yyxx

由上可知，直线l的倾斜角分别为0°或90°．

故所求直线方程为3x或1y．

例4 已知直线082yxl：和两点)0,2(A、)4,2(B．

(1)在l上求一点P，使PBPA最小；

(2)在l上求一点P，使PAPB最大．

解：(1)如图，设A关于l的对称点为),('nmA

则082222,22nmmn

∴2m，8n．

∴)8,2('A

∴BA'的的是2x，BA'与l的交点是)3,2(，

故所求的点为)3,2(P．

(2)如下图，

AB是方程)2()2(2)4(0xy，

即2xy．

代入l的方程，得直线AB与l的交点)10,12(，

故所求的点P为)10,12(．