高中数学解析几何大题(附有答案及详解)
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47． 已知椭圆E：222210xyabab，其短轴为2，离心率为22．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设椭圆E的右焦点为F，过点2,0G作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为1k，2k，试判断12kk是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
48． 如图，椭圆2222:10xyCabab的离心率为32且经过点31,2，P为椭圆上的一动点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设圆224:5Oxy，过点P作圆O的两条切线1l，2l，两切线的斜率分别为1k，2k.
①求12kk的值；
①若1l与椭圆C交于P，Q两点，与圆O切于点A，与x轴正半轴交于点B，且满足OPAOQBSS△△，求1l的方程.
49． 已知椭圆E：22221xyab（a＞b＞0）的左、右焦点分別为12,FF，离心率为32e，过左焦点1F作直线1l交椭圆E于A，B两点，2ABF的周长为8.
（1）求椭圆E的方程； （2）若直线2l：y=kx+m(km<0)与圆O：221xy相切，且与椭圆E交于M，N两点，22MFNF是否存在最小值？若存在，求出22MFNF的最小值和此时直线2l的方程.
50． 已知动点M与两个定点0,0O，3,0A的距离的比为12，动点M的轨迹为曲线C.
（1）求C的轨迹方程，并说明其形状；
（2）过直线3x上的动点3,0Ppp分别作C的两条切线PQ、PR（Q、R为切点），N为弦QR的中点，直线l：346xy分别与x轴、y轴交于点E、F，求NEF的面积S的取值范围.
51． 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：20xy和圆O：221xy，P是直线l上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）若PAPB，求点P的坐标；
（2）求线段PA长的最小值；
（3）设线段AB的中点为Q，是否存在点T，使得线段TQ长为定值？若存在，求出点T；若不存在，请说明理由.
52． 已知以1C为圆心的圆221:1Cxy.
（1）若圆222:(1)(1)4Cxy与圆1C交于,MN两点，求||MN的值；
（2）若直线:lyxm和圆1C交于,PQ两点，若132PCPQ，求m的值.
53． 已知圆22:21Mxy，点P是直线:20lxy上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）当切线PA的长度为3时，求点P的坐标；
（2）若PAM△的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）求线段AB长度的最小值．
54． 已知圆22:2Oxy，直线:2lykx．
（1）若直线l与圆O交于不同的两点,AB，当90AOB时，求实数k的值；
（2）若1,kP是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，试探究：直CD是否过定点．若存在，请求出定点的坐标；否则，说明理由． 55． 在平面直角坐标系xOy中，(3,0)A，(3,0)B，C是满足π3ACB的一个动点．
（1）求ABC垂心H的轨迹方程；
（2）记ABC垂心H的轨迹为，若直线l：ykxm（0km）与交于D，E两点，与椭圆T：2221xy交于P，Q两点，且||2||DEPQ，求证：||2k．
56． 平面上一动点C的坐标为2cos,sin.
（1）求点C轨迹E的方程；
（2）过点11,0F的直线l与曲线E相交于不同的两点,MN，线段MN的中垂线与直线l相交于点P，与直线2x相交于点Q.当MNPQ时，求直线l的方程.
答案及解析
47．（1）2212xy；（2）是定值，该定值为0．
【分析】
（1）依题意求得,ab，进而可得椭圆E的方程；
（2）设直线MN的方程为20ykxk，与椭圆E方程联立，利用韦达定理和斜率公式即可求得12kk的值.
【详解】
（1）由题意可知：22b，1b，
椭圆的离心率22212cbeaa，则2a，
①椭圆E的标准方程：2212xy；
（2）设直线MN的方程为20ykxk．
22(2)12ykxxy，消去y整理得：2222128820kxkxk．设11,Mxy，22,Nxy，
则2122812kxxk，21228212kxxk，
1212121212121212222211111kxkxyyxxkkkxxxxxxxx222222228242122208282111212kkkkkkkkkk．
①120kk为定值．
【点睛】
关键点点睛：第（2）问的关键点是：得出12121212221xxkkkxxxx.
48．（1）2214xy；（2）①14 ；①23025yx或23025yx
【分析】
（1）根据已知条件结合222cab列关于,ab的方程，解方程即可求解；
（2）①设00,Pxy，切线:l00()yykxx，利用圆心到切线的距离列方程，整理为关于k的二次方程，计算两根之积结合点P在椭圆上即可求12kk；①由OPAOQBSS△△可得PABQ，可转化为ABPQxxxx，设1l：ykxm，与椭圆联立可得PQxx，再求出Ax、Bx，即可求出k的值，进而可得出m的值，以及1l的方程.
【详解】
（1）因为22222234cabeaa，所以2ab，
因为点31,2在椭圆上，所以221314ab即2213144bb，
解得：1b，2a，
所以椭圆方程为：2214xy；
（2）①设00,Pxy，切线:l00()yykxx即000kxyykx
圆心0,0O到切线的距离0022551ykxdrk 整理可得：2220000442055xkxyky，
所以2020122200441451544455xykkxx，
①因为OPAOQBSS△△所以PABQ，
所以APQBxxxx，所以ABPQxxxx，
设切线为1:lykxm，
由2244ykxmxy可得：222418440kxkmxm
所以2841PQkmxxk，
令0y可得Bmxk，设,AAAxkxm，
则1AOAAkxmkxk，所以21Akmxk，
所以228411PQkmmkmxxkkk，
整理可得：2222814121kkkk，
所以221k，解得：22k，
因为圆心0,0O到1:lykxm距离2||251mdk，
所以21301255m，所以305m，
因为0Bmxk，所以当22k时，305m；当22k时，305m； 所以所求1l的方程为23025yx或23025yx.
【点睛】
思路点睛：圆锥曲线中解决定值、定点的方法
（1）从特殊入手，求出定值、定点、定线，再证明定值、定点、定线与变量无关；
（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量是此类问题的特点，设而不求的方法、整体思想和消元思想的运用可以有效的简化运算.
49．（1）2214xy；（2）最小值为2，230xy或230xy.
【分析】
(1)由椭圆定义结合已知求出a，半焦距c即可得解；
(2)由直线2l与圆O相切得221mk，联立直线2l与椭圆E的方程消去y，借助韦达定理表示出22MFNF，利用函数思想方法即可作答.
【详解】
（1）依题意，结合椭圆定义知2ABF的周长为4a，则有4a=8，即a=2，
又椭圆的离心率为32cea，得3c，于是得2221bac，
所以椭圆E的方程为2214xy；
（2）因直线2l：y=kx+m(km<0)与圆O：221xy相切，则2||11mk，即221mk，
设112212,,,,2,2MxyNxyxx，而点M在椭圆E上，则221114xy，即221114xy，又2(3,0)F，
222221121111133(3)(3)1234|2|442xxMFxyxxx1322x，
同理22322NFx，于是得2212342MFNFxx，
由2214ykxmxy消去y得：222148440kxkmxm，显然Δ0，则122814kmxxk，
又km<0，且221mk，因此得221222818||1441kkkmxxkk， 令2411tk，则212223114432123()333xxttt，当且仅当113t，即t=3时等号成立，
于是得22MFNF存在最小值，且22123422MFNFxx，22MFNF的最小值为2，
由2221413mkk，且km<0，解得2262km或2262km.
所以所求直线2l的方程为2622yx或2622yx，即230xy或230xy.
【点睛】
关键点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
50．（1）2214xy，曲线C是以1,0为圆心，半径为2的圆；（2）5542，.
【分析】
（1）设出动点M坐标，代入距离比关系式，化简方程可得；
（2）先求切点弦方程，再根据切点弦过定点及弦中点性质得出N点轨迹，然后求出动点N到定直线EF的距离最值，最后求出面积最值.切点弦方程的求法可用以下两种方法.法一：由两切点即为两圆公共点，利用两圆相交弦方程（两圆方程作差）求出切点弦方程；法二：先分别求过Q、R两点的切线方程，再代入点P坐标，得到Q、R两点都适合的同一直线方程，即切点弦方程.
【详解】
解：（1）设,Mxy，由12MOMA，得222212(3)xyxy.
化简得22230xyx，即2214xy.
故曲线C是以1,0为圆心，半径为2的圆.
（2）法一(由两圆相交弦方程求切点弦方程)：
由题意知,PQ、PR与圆相切，Q、R为切点，则DQPQ，DRPR，
