高中数学解析几何大题精选
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*** *** 解析几何大量精选
1.在直角坐标系 xOy 中，点 M 到点 F1 3 , 0 ， F2 3 , 0 的距离之和是 4，点 M 的轨迹
是 C 与 x 轴的负半轴交于点 A ，不过点 A 的直线 l : y kx b 与轨迹 C 交于不同的两点 P 和
Q ．
⑴求轨迹 C 的方程；
⑵当 AP AQ 0 时，求 k 与b 的关系，并证明直线 l 过定点．
【解析】 ⑴ 2
x
4 2 1
y ．
y
⑵将 y kx b 代入曲线 C 的方程，
整理得 2 2 2
(1 4k )x 8kbx 4b 4 0 ， P
因为直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 P 和Q ，
A O
x
所以 2 2 2 2 2 2
64k b 4(1 4k )(4b 4) 16(4k b 1) 0 ① Q
且 2
8kb 4b 4 设
P x1 , y1 ，Q x2 , y2 ，则 1 2 ，
x x x x
2 1 2 2 1 4k 1 4k
2 2
b 4k
2 2
y y (kx b)(kx b) k x x kb( x x ) b ，
1 2 1 2 1 2 1 2 2
1 4k ②
显然，曲线 C 与 x 轴的负半轴交于点 A 2 , 0 ，
所以 AP x1 2 , y1 ， AQ x2 2 , y2 ．
由 AP AQ 0 ，得 ( x 2)( x 2) y y 0．
1 2 1 2
将② 、③ 代入上式，整理得 2 2
12k 16kb 5b 0 ．
所以 (2k b) (6k 5b) 0 ，即 b 2k 或 6
b k ．经检验，都符合条件 ①
5
当b 2k 时，直线 l 的方程为 y kx 2k ．显然，此时直线 l 经过定点 2 , 0 点．
即直线 l 经过点 A ，与题意不符．
当 6
b k 时，直线 l 的方程为
5 6 6 y kx k k x ． 5 5
显然，此时直线 l 经过定点 6
5 , 0 点，满足题意．
综上， k 与b 的关系是 6
b k ，且直线 l 经过定点
5 6
5 , 0
2.已知椭圆 C 2 2
x y
: 1
2 2
a b (a b 0) 的离心率为 1
2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的
圆与直线 x y 6 0 相切．
⑴ 求椭圆 C 的方程；
⑵ 设 P(4, 0) ， A ，B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点， 连结 PB 交椭圆 C 于
另一点 E ，证明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q ；
⑶ 在⑵的条件下，过点 Q 的直线与椭圆 C 交于 M ， N 两点，求 OM ON 的取值范围． ***
*** 【解析】 ⑴ 2 2
x y
4 3 1 ．
⑵ 由题意知直线 PB 的斜率存在，设直线 PB 的方程为 y k(x 4) ．*** *** y k( x 4),
由 x2 y2 得
1.
4 3 2 2 2 2
(4k 3)x 32k x 64k 12 0 ．①
设点 B (x1 , y1 ) ， E(x2 , y2 ) ，则 A( x1 , y1 )．
直线 AE 的方程为 y y
2 1
y y (x x )
2 2
x x
2 1
．
令 y 0 ，得 x x
2 y (x x )
2 2 1
y y
2 1
．
将 y1 k(x1 4) ， y2 k (x2 4) 代入整理，得 x 2x x 4(x x )
1 2 1 2
x x
1 2 8 ．②
2 2
32k 64k 12
由① 得 x x
x x ，
1 2 2 1 2 2
4k 3 4k 3
所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q(1，0) ． 代入② 整理，得 x 1 ．
⑶ 5
4,
4 ．
３.设椭圆 2 2
x y
C : 1(a b 0)
2 2
a b 的一个顶点与抛物线 2
C : x 4 3y 的焦点重合， F1 ，F2 分
别是椭圆的左、右焦点，且离心率
点． 1
e ，过椭圆右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、N 两
2
⑴ 求椭圆 C 的方程；
⑵ 是否存在直线 l ，使得 OM ON 2 ．若存在， 求出直线 l 的方程； 若不存在，
说明理由．
【解析】 ⑴ 2 2
x y
4 3 1．
⑵ 由题意知，直线 l 与椭圆必有两个不同交点．
① 当直线斜率不存在时，经检验不合题意．
② 设存在直线 l 为 y k (x 1)( k 0)，且 M (x1 ，y1 ) ， N( x2 ，y2 ) ．
2 2 x y 1 由 ，得
4 3
y k (x 1)
2 2 2 2
(3 4k )x 8k x 4k 12 0 ，
2
8k
x x
1 2 2
3 4k ， 2
4k 12
x x
1 2 2
3 4k ，
2
OM ON x1x2 y1 y2 x1x2 k [ x1x2 (x1 x2) 1]
2 2 2
4k 12 8k 5k 12
2 2 2
(1 k ) k k 2
2 2 2
3 4k 3 4k 3 4k ，
所以 k 2 ，
故直线 l 的方程为 y 2( x 1)或 y 2( x 1) ． ***
*** 本题直线 l 的方程也可设为 my x 1 ，此时 m 一定存在，不能讨论，且计算时
数据更简单．*** *** ４.如图， 椭圆 2 2
x y
C1 : 2 2 1 a b 0
a b 的离心率为 3
2 ， x 轴被曲线 2
C2 : y x b 截得的线
段长等于 C 的长半轴长．
1
⑴求 C1 ，C2 的方程；
⑵设 C 与 y 轴的交点为 M ，过坐标原点 O 的直线 l 与 C2 相交于点 A，B ，直线
2
MA ，MB分别与 C 相交与 D ，E ．
1
① 证明： MD⊥ME ；
② 记 △MAB ，△MDE 的面积分别是 S1 ，S2 ．问是否存在直线 l ，使得 S
1
S
2 17
32 ?请
说明理由．
【解析】 ⑴ 2
x
4 2 1 2 1
y ，y x ．
y
⑵ ① 由题意知，直线 l 的斜率存在，设为 k ，
则直线 l 的方程为 y kx ．
A
由 y kx 得
2 1
y x 2 1 0
x kx ， E D O
x
设
A x
y B
x y
x x ， ，， ，则 ， 是上述方程的两 1 2 1
1
2
2
个实根，于是
x1 x2 k ，x1 x2 1． B
M
又点 M 的坐标为 0， 1 ，
所以 k k
MA MB 2
y 1 y 1
kx 1 kx 1 k x x k x x 1
1 2 1 2 1 2
1 2
x x x x x x
1 2 1 2 1 2 1 ，
故 MA MB ，即 MD⊥ME ．
② 设直线 KM 的斜率为 k1 ，则直线的方程为 y k1x 1，
由 y k x
1
2
y x 1
1 ，解得 x
y 0
1 或 x k
1
2
y k1 1 ，则点 A的坐标为 2
k1 ，k1 1 ．
又直线 MB的斜率为 1
k
1 ，同理可得点 B 的坐标为 1 1 ， ．
1
2
k k
1 1
于是 2
1 1 1 1 1 k
2 1
S | MA | |MB | 1 k |k | 1 | |
1 1 1 2
2 2 k k 2 |k |
1 1 1 ．
由 y k x
1
1
2 2
x 4y 4 0 得 2 2
1 4k x 8k x 0，
1 1 ***
***
解得
x
y
0
1
或 x
y 8k
1
2
1 4k
1
2
4k 1
1
2
1 4k
1
，则点 D 的坐标为 2
8k 4k 1
1 1 ， ；
2 2
1 4k 1 4k
1 1
又直线 MB的斜率为 1
k
1
，同理可得点 E 的坐标 2
8k 4 k
1 1 ， ．
2 2
4 k 4 k
1 1
于是 2
32 1 k | k |
1
1 1
S |MD | |ME |
2 2 2
2 1 4k 4 k
1 1
．
因此 2 2
S (1 4k )(4 k ) 1 4
1 1 1 2
4k 17
2 1 2
S 64k 64 k
2 1 1 ，
