初一数学 7.5 多边形的内角和与外角和(2)

课题：7.5 多边形的内角和与外角和（2）

学习目标 1. 通过将多边形分割成三角形，从而探索出多边形内角和的计算公式，并能进行应用；

2. 经历操作、观察、探索等活动，进一步提高学生分析问题、解决问题的水平，提升从不同角度思考问题的能力。

学习重难点 探索多边形内角和的计算公式，并能进行应用。

教 学 过 程 二 次 备 课

多边形的定义：在同一平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

多边形的相关概念

如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形。

3n

对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。

【问题情境】

三角形的内角和等于______. 长方形的内角和等于______.

正方形的内角和等于______.

任意一个四边形的内角和如何计算？

【自主探究】

活动1：如何把四边形的内角和转化为三角形的内角和？你是怎样实现的？你能找到几种方法？

内角和：2×180º＝360º 内角和：3×180º－180º＝360º 内角和：4×180º－360º＝360º 内角和：3×180º－180º＝360º

把四边形问题转化为熟悉的三角形问题来解决.

活动2：请你选择其中一种方法探索四边形的内角和．

如图，从四边形的一个顶点出发，可以作_____条对角线，它们将四边形分为______个三角形，四边形的内角和等于180°×______＝______°．

如图，从五边形的一个顶点出发，可以作_____条对角线，它们将五边形分为______个三角形，五边形的内角和等于180°×______＝______°．

如图，从六边形的一个顶点出发，可以作_____条对角线，它们将六边形分为_____个三角形，六边形的内角和等于180°×______＝______°．

【归纳总结】

从n 边形的一个顶点出发，可以作（n－3）条对角线，它们将n 边形分为（n－2）个三角形，这（n－2）个三角形的内角和就是n边形的内角和，所以，n边形的内角和等于（n－2）×180°．

数学七年级下多边形的内角和与外角和练习题

1、平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.

（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是

△POD的外角，故∠BOD=∠BPD +∠D，得∠BPD=∠B－∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、

∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；

（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，

则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；

图a

O

图b

（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

2、我们知道三角形一边上的中线将这个三角形分成两个面积相等的三角形．如图1，AD是△ABC边BC上的中线，则S△ABD=S△ACD

（1）如图2，△ABC的中线AD、BE相交于点F，△ABF与四边形CEFD的面积有怎样

的数量关系？为什么？

（2）如图3，在△ABC中，已知点D、E、F分别是线段BC、AD、CE的中点，且S△ABC=8，

求△BEF的面积S△BEF

（3）如图4，△ABC的面积为1．分别倍长（延长一倍）AB，BC，CA得到△A1B1C1．再

分别倍长A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2…按此规律，倍长n次后得到的△AnBnCn的面

积为 _______________

图c 图d

3、 如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB=∠ABC．

（1）图1中，作∠BAC的角平分线AD，分别交CB、BE于D、F两点，求证：∠EFD=∠ADC；

（2）图2中，作△ABC的外角∠BAG的角平分线AD，分别交CB、BE的延长线于D、F两

点，试探究（1）中结论是否仍成立？为什么？

4、已知如图，∠COD=90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE和射线AF

交于点G．

1 9.2多边形的外角和

教学目标：

1.通过探索多边形的外角和的过程，理解多边形外角和的探索方法并掌握外角和公式。

2应用外角和解决有关的边角的计算问题，体会多边形外角和与内角和的关系及相互转化。

3.通过对多边形外角和的探索过程，培养学生归纳推理的能力及类比转化的数学思想。

教学重点：掌握多边形的外角和公式。

教学难点：熟练应用多边形外角和解决与之有关的边角计算问题，以及与多边形内角有关的相互转化问题。

教学过程

一、1复习：什么是三角形的外角？2.什么是三角形的外角和？（学生口答，师配以图形解说）3.三角形的外角和多少度？(360°）多边形内角和公式？（n-2).180°

4、类比三角形的外角及外角和，说说什么是多边形的外角及外角和？(学生类比回答）

∠1+∠2+∠3+∠4的和就是四边形的外角和。

二：情境创设

小明每天都有跑步的习惯，他是沿着五边形的广场逆时针方向小跑，观察跑步的示意图，回答问题：

（1）小明每从一条街道转到下一条街道身体转过的角度是哪个角？

（2）每跑一周身体转过的角度之和是多少度？由此引出课题---------多边形的外角和

二、合作探究

采用的方法是：从特殊到一般的探索过程。

先探究四边形的外角和：学生先讨论思考，有哪些方法探究四边形外角和。合作交流研究后。 2 回答方法1、拼接法------动画演示----------猜想得出结论--------四边形外角和360°

方法2：回顾三角形外角和的推导方法------外角与相邻的内角和180°共组成3个平角，然后再减去内角和的度数，差为外角的和。应用此种方法求四边形的外角和。

以此类推，求出五边形，六边形以及n边形的外角和。完成课本表格。

给学生充分的书写研究时间。通过表格可以得到结论

任意多边形的外角和都为360度，与边数无关。

三、新知应用

例题1：如果一个多边形的每个外角都是72度，那么这个多边形是几边形？

9.2 多边形的内角和与外角和练习二

基础巩固题

一、填空题

1.如果一个多边形的内角和等于900°,那么这个多边形是_____边形.

2.一个正多边形的每个外角都等于30°,则这个多边形边数是______.

3.n边形的外角和与内角和的度数之比为2:7,则边数为_______.

4.从一个多边形的一个顶点出发,一共做了10条对角线,则这个多边形的内角和为_____度.

5.在四边形ABCD中,如果∠A:∠B:∠C:∠D=1:2:3:4,则∠D=______.

6.用正方形和正十二边形以及正_____边形可以拼地板.

二、选择题

7.用下列一种正多边形可以拼地板的是( )

A.正五边形 B.正六边形 C.正八边形 D.正十二边形

8.多边形每一个内角都等于120°,则从此多边形一个顶点出发可引的对角线的条数是( )

A.5条 B.4条 C.3 D.2条

9.一个多边形的内角和是外角和的5倍,那么这个多边形的边数是( )

10.若一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和是2570°,则这个角是( )

A.90° B.15° C.120° D.130°

11.在多边形的内角中,锐角的个数不能多于( )

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

12.n边形的边数增加一倍,它的内角和增加( )

A.180° B.360° C.(n-2).180° D.n.180°

三、解答题

13.六角螺母的一个面是正六边形,求它们每一个内角的度数.

14.一个多边形的每一个外角都等于72°,这个多边形是几边形? 它的每个内角是多少度?

15.试用黑白两种相同的正三角形拼地板,请你设计两种效果图.

强化提高题

16.一个多边形的最大外角为85°,其他外角依次减少10°, 求这个多边形的边数.

17.已知:如图,五边形ABCDE中,AE∥CD,∠A=107°,∠B=121°,求∠C的度数. EDBCA18.已知一个多边形的内角和与外角和之比为9:2,求边数.