DL教育 最新高考 高中数学课件(可改)选修2-2课件：第3章 数系的扩充与复数的引入3.2.1

1 3．1.1 数系的扩充和复数的概念

学习目标 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．

知识点一 复数的概念及代数表示

思考 为解决方程x2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？

答案 设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．

梳理 (1)复数

①定义：把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．

②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．

(2)复数集

①定义：全体复数所成的集合叫做复数集．

②表示：通常用大写字母C表示．

知识点二 两个复数相等的充要条件

在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di (a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d. 2 知识点三 复数的分类

(1)复数(a＋bi，a，b∈R) 实数b＝0虚数b≠0 纯虚数a＝0非纯虚数a≠0

(2)集合表示：

1．若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( × )

2．复数z＝bi是纯虚数．( × )

3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( √

)

类型一 复数的概念

例1 (1)给出下列几个命题：

①若z∈C，则z2≥0；

②2i－1虚部是2i；

③2i的实部是0；

④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；

⑤实数集的补集是虚数集．

其中真命题的个数为( )

A．0 B．1

C．2 D．3

高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2

1 高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算

3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2

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2 3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义

教学过程

一、推进新课

1.复数的加法

探究新知

我们规定，复数的加法法则如下：

设biaz1,dicz2是任意两个复数，那么

idbcadicbia

提出问题

问题1：两个复数的和是个什么数，值唯一确定吗?

问题2：当b=0,d=0时，与实数加法法则一致吗？

问题3：它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法？

活动设计:学生独立思考，口答。

活动成果：1．仍然是个复数，且是一个确定的复数。2．一致。3．实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类比于实数运算中的合并同类项。

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第 3 章 数系的扩充与复数的引入

第1课时 数系的扩充

教学过程

随着生产和科学发展的需要数集逐步扩充,它的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾.

一、 问题情境

怎样将实数集进行扩充,使得x2=-1之类方程在新的数集中有解呢?

二、 数学建构

问题1 怎样解决-1也能开平方的问题?

解 引入虚数单位i,规定:

① i2=-1;

① 实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立.

i是-1的一个平方根.

问题2 根据虚数单位的规定,得到形如a+bi(a,b∈R)的数,这样的新数由两部分组成,用怎样的名词定义这样的新数?

解 ① 复数的定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,a叫复数的实部,b叫复数的虚部,全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示.

① 复数的代数形式:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),把复数表示成a+bi的形式,叫做复数的代数形式.

问题3 复数与实数有什么关系?

解 对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当b=0时,复数a+bi(a,b∈R)是实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0.

(图1)

学生分组活动

活动1 复数集C和实数集R之间有什么关系?

活动2 如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类? 活动3 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系,可以用韦恩图表示出来吗?

问题4 a=0是z=a+bi为纯虚数的充分条件吗?

解 是必要不充分条件. 问题5 两个复数相等的充要条件是什么?

解 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复

3．1.1 数系的扩充和复数的概念

复数的概念及代数表示

问题1：方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？

提示：没有．

问题2：若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗．

提示：有解(x＝±i)，但不在实数范围内．

1．复数的定义

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.全体复数所成的集合C叫做复数集．

2．复数的表示

复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部．

3．复数相等的充要条件

在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.

对复数概念的理解

(1)对复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时，a和b才分别是复数的实部和虚部，并注意：虚部是实数b而非bi.

(2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．

(3)利用复数相等，可以把复数问题转化成实数问题进行解决，并且一个复数等式可得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件.

复数的分类

问题1：复数z＝a＋bi在什么情况下表示实数？

提示：b＝0.

问题2：如何用集合关系表示实数集R和复数集C?

提示：

复数的分类

(1)复数a＋bi(a，b∈R) 实数b＝，虚数b≠0当a＝0时为纯虚数

(2)集合表示：

1．0的特殊性

0是实数，因此也是复数，写成a＋bi(a，b∈R)的形式为0＋0i，即其实部和虚部都是0.

2．a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的充分条件吗？

因为当a＝0且b≠0时，z＝a＋bi才是纯虚数，所以a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的必要不充分条件．

复数相等的充要条件

(1)若5－12i＝xi＋y(x，y∈R)，则x＝________，y＝________.