关于弦振动的求解方法
李航
一、无界弦振动
1、一维齐次波动方程
达朗贝尔方程解无界的定解问题
atxatxdaatxatxtxu)(21)]()([21),(
在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。考虑无界的定解问题一般方程为
)(|),(|0, ,0022222xtuxutxxuatutt
由达郎贝尔公式，解在点),(tx的值由初始条件在区间],[atxatx内的值决定，称区间],[atxatx为点),(tx的依赖区域，在tx平面上，它可看作是过点),(tx，斜率分别a1 为的两条直线在x轴上截得的区间。
2、一维非齐次波动方程的柯西问题
达朗贝尔方程解非齐次定解问题
)2()(|),(|)1(0,),(0022222 ， xtuxutxtxfxuatutx
令),(),(),(txVtxUtxu，可将此定解分解成下面两个定解问题： (I)
， )(|),(|0,0022222xtuxutxxuatutx
(II)
， 0|,0|0,),(0022222txtuutxtxfxuatu
其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出：
atxatxdaatxatxtxU)(21)]()([21),(。
对于问题(II)，有下面重要的定理。
定理（齐次化原理）设),,(tx是柯西问题
， ),(|,0|22222xfttxattx
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分离变量法在求解波动方程中的应用
作者：王平心
来源：《科技视界》2014年第34期
【摘 要】分离变量法又称傅里叶级数法，它是求解数学物理方程定解问题的最常用和最基本的方法之一。该方法的基本思想是将偏微分方程的定解问题转化为常微分方程的定解问题。将方程中含有各个变量的项分离开来，从而将原方程拆分成多个更简单的只含一个自变量的常微分方程。它能够求解相当多的定解问题，特别是对一些常见区域上混合问题和边值问题，都可以用分离变量法试着求解。本文将讨论分离变量法在求解波动方程中的应用。
【关键词】分离变量法;波动方程;求解
0 引言
自然界很多物理现象都可以归结为波动问题，在机械工程中经常遇到的振动问题，可归结为机械波;在船舶工业中使用的声纳，可归结为声波问题;在广播领域和光学领域，可归纳出电磁波。他们都具有相同的数学物理基础，并且可以用一个式子表示：
我们称它为波动方程，因为它描述了自然界的波动这种运动形式，其中△为拉普拉斯算子。△中，变量的个数表示波动船舶空间的维数，现实生活中的波动，一般都是三维的。但是为了研究方便，我们先讨论一维的波动。
分量变量法是求解数学物理方程的一种重要方法，这种方法的基本思想是把求解偏微分方程的混合问题，经过变量分离，转化为求解两个或多个只含一个变量的常微分方程的初值问题，使原问题得到简化，这是一种很常用的方法。它通常用来求解有限区域（区间）上的边值问题或初边值问题。利用高数知识、级数求解知识，以及其他巧妙的方法，求出各个方程的通解。最后将这些通解“组装起来”。分离变量法又称Fourier方法，而在波动方程情形也称为驻波法。
1 变量分离法的基本步骤
第一步：边界条件齐次化。
如果关于未知函数u的混合问题中的边界条件不是齐次的，那么选取一个与u具有相同边界条件的已知函数，作变换u=v+w，代入关于u的混合问题，导出新的未知函数v的混合问题，这时v所满足的边界条件就是齐次的了。当方程中的非齐次项与初始条件都与t无关时，可以选择合适的变换让方程与边界条件同时齐次化。 龙源期刊网
计算方法实验
题目：非线性方程的求解
班级：1402014
学号：14020140080
姓名：胡欣怡
计算方法与实习实验报告
1 实验目的
掌握用二分法、牛顿法、割线法设计程序，从而实现非线性方程求根。以求非线性方程2X3-2X2+3X-6=0在[1, 3]内的近似根为例。
2 实验步骤
（1）.二分法是逐次把有根区间分半，直到找到根或有根区间的长度小于给定精度为止。
1. 输入区间[m,n] m,n的值.
2. 判断[m,n]间是否有零点,若无零点,输出[m,n]内无零点 若有零点,计算 [m,n]的中间值m
3. 判断[m,m]间是否有零点,若有零点将mid赋值给n,若无零点,将mid赋值给m
4. 继续求解m=(m+n)/2.0
5. 判读是否达到精度,若否则进行step(2),若是则输出m
（2）.牛顿迭代法是取x0之后，在这个基础上，找到比x0更接近的方程的跟，一步一步迭代，从而找到更接近方程根的近似跟。
1. 在区间[m,n]内输入初值x0
2. 判断x0是否满足条件若否,执行step1，若是求解x1。x(1)=x(0)－f(0)/f'(0)
3. 判断x1是否达到精度,若是则输出x1，若否,执行stp2。
（3）. 割线法是利用牛顿迭代法的思想,在根的某个领域内，函数有直至二阶的连续导数，并且不等于0，则在领域内选取初值x0,x1,迭代均收敛。
1. 在区间[m ,n]内输入初值x0，x1.
2. 计算x2。x2=x1-f(x1)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0))
3. x0=x1,x1=x2
4. 判断是否达到精度,若是输出x1，若否 执行step2
3 代码
（1）二分法
#include "Stdafx.h"
# include
# include
double quest(double x)
{
return (2*x*x*x-4*x*x+3*x-6);
第３０卷第ｌ期 工 程 数 学 学 报 Ｖｏ１．３０ Ｎｏ．１
２０１３年Ｏ２月 ＣＨＩＮＥＳＥ ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｆｅｂ．２０１３
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００５—３０８５．２０１３．０１．００４ 文章编号：１００５—３０８５（２０１３）０１－００２９—１１
一类求解波动方程的加速Ｓｃｈｗａｒｚ波形松弛方法丰
宋博，黄芬芬，蒋耀林
（西安交通大学数学与统计学院，西安７１００４９）
摘要：波动方程在声学、电磁学和流体动力学等领域上有着广泛的应用．本文针对波动 方程，研究了一类新的Ｓｃｈｗａｒｚ波形松弛方法．经典Ｓｃｈｗａｒｚ波形松弛方法是一种 迭代方法，在求解波动方程时，特别是当子区域间的重叠量特别小的情形下，迭代 次数往往较多，计算量较大．而本文构造的加速Ｓｃｈｗａｒｚ波形松弛方法，即Ａｉｔｋｅｎ Ｓｃｈｗａｘｚ波形松弛方法与Ｓｔｅｆｆｅｎｓｅｎ Ｓｃｈｗａｒｚ波形松弛方法，是一种直接方法，它通过 构造子区域边界信息的映射矩阵，很大程度地提升了计算性能．文中分别分析了这两 种方法的收敛性，并且验证了新方法对于波动方程的可行性．数值算例证实了方法的 有效性．
关键词：Ａｉｔｋｅｎ加速方法；Ｓｔｅｆｆｅｎｓｅｎ加速方法；Ｓｃｈｗａｒｚ波形松弛方法；波动方程 分类号：ＡＭＳ（２０００）６５Ｍ５５；６５Ｂ９９ 中图分类号：０２４６；０２４２．２６ 文献标识码：Ａ
１ 引言
波动方程是一类重要的二阶偏微分方程，它描述自然中波的现象，比如声波、光波、
水波和电磁波等，在声学、电磁学和流体动力学等领域的科学与工程实践中有着广泛的应
用．当动力系统的规模增大时，并行计算成为必需．对大规模动力系统进行解耦，将其分 解为若干个小规模的动力系统是非常自然的并行方法，称为波形松驰方法【ｌ】，已被广泛用
于电路和电力系统初值问题的模拟中．
区域分解方法ｆ又称Ｓｃｈｗａｒｚ算法）是二十世纪八十年代兴起的最受欢迎的并行算法
