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数学建模实验第3章

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预备：编制计算拉格朗日插值的m文件lagr1.m:

function y=lagr1(x0,y0,x)

n=length(x0);m=length(x);

for i=1:m

z=x(i);

s=0.0;

for k=1:n

p=1.0;

for j=1:n

if j~=k

p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));

end

end

s=s+p*y0(k);

end

y(i)=s;

end

预备：对数值函数，用辛普森公式计算定积分的程序simp.m:

function s=simp(y,h,m)

s=0;

for k=1:m

s=s+4*y(2*k);

end

for k=1:(m-1)

s=s+2*y(2*k+1);

end

s=(s+y(1)+y(2*m+1))*h/3;

3.1 对函数2xye, 22x在n 个节点上（ n 不要太大，如5至11）用拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值方法，计算m 个插值点的函数值（m 要适中，如50至100）。通过数值和图形输出，将三种插值结果与精确值进行比较。适当增加n ，再作比较，由此作初步分析。

解：

函数插值比较程序如下：

clear;

n=5;%在n个节点上进行插值

m=75;%产生m个插值点，计算函数在插值点处的精确值，将来进行对比

x=-2:4/(m-1):2;

y=exp(-x.^2); z=0*x;

x0=-2:4/(n-1):2;

y0=exp(-x0.^2);

y1=lagr1(x0,y0,x);% y1为拉格朗日插值

y2=interp1(x0,y0,x);% y2为分段线性插值

y3=spline(x0,y0,x);% y3为三次样条插值

[x' y' y1' y2' y3']

plot(x,z,'k',x,y,'r:',x,y1,'g-.',x,y2,'b',x,y3,'y--')

gtext('Lagr.'), gtext('Pieces. linear'), gtext('Spline'),

gtext('y=exp(-x.^2)')

hold off;%比较插值所得结果与函数在插值点处的精确值

s = ' x y y1 y2 y3'

[x' y' y1' y2' y3']

【MATLAB 计算结果】

n=5时，得到结果如下：

数值比较如下：

x y y1 y2 y3

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

-2.0000 0.0183 0.0183 0.0183 0.0183

-1.9467 0.0226 -0.0328 0.0370 -0.0082

-1.8933 0.0277 -0.0717 0.0556 -0.0276

-1.8400 0.0339 -0.0990 0.0742 -0.0404

-1.7867 0.0411 -0.1158 0.0929 -0.0468

-1.7333 0.0496 -0.1229 0.1115 -0.0472

-1.6800 0.0595 -0.1211 0.1302 -0.0419

-1.6267 0.0709 -0.1112 0.1488 -0.0314

-1.5733 0.0841 -0.0940 0.1675 -0.0159

-1.5200 0.0992 -0.0702 0.1861 0.0041

-1.4667 0.1164 -0.0406 0.2047 0.0284

-1.4133 0.1357 -0.0058 0.2234 0.0566 -1.3600 0.1573 0.0334 0.2420 0.0883

-1.3067 0.1813 0.0764 0.2607 0.1232

-1.2533 0.2079 0.1226 0.2793 0.1609

-1.2000 0.2369 0.1714 0.2980 0.2011

-1.1467 0.2685 0.2222 0.3166 0.2434

-1.0933 0.3026 0.2745 0.3353 0.2875

-1.0400 0.3391 0.3277 0.3539 0.3330

-0.9867 0.3778 0.3813 0.3763 0.3796

-0.9333 0.4185 0.4349 0.4100 0.4269

-0.8800 0.4610 0.4880 0.4437 0.4746

-0.8267 0.5049 0.5401 0.4774 0.5222

-0.7733 0.5499 0.5910 0.5112 0.5695

-0.7200 0.5955 0.6401 0.5449 0.6162

-0.6667 0.6412 0.6872 0.5786 0.6618

-0.6133 0.6865 0.7320 0.6123 0.7060

-0.5600 0.7308 0.7740 0.6460 0.7484

-0.5067 0.7736 0.8131 0.6797 0.7888

-0.4533 0.8142 0.8490 0.7134 0.8266

-0.4000 0.8521 0.8815 0.7472 0.8617

-0.3467 0.8868 0.9104 0.7809 0.8937

-0.2933 0.9176 0.9355 0.8146 0.9221

-0.2400 0.9440 0.9566 0.8483 0.9467

-0.1867 0.9658 0.9736 0.8820 0.9670

-0.1333 0.9824 0.9865 0.9157 0.9828

-0.0800 0.9936 0.9951 0.9494 0.9937

-0.0267 0.9993 0.9995 0.9831 0.9993

0.0267 0.9993 0.9995 0.9831 0.9993

0.0800 0.9936 0.9951 0.9494 0.9937

0.1333 0.9824 0.9865 0.9157 0.9828

0.1867 0.9658 0.9736 0.8820 0.9670

0.2400 0.9440 0.9566 0.8483 0.9467

0.2933 0.9176 0.9355 0.8146 0.9221 0.3467 0.8868 0.9104 0.7809 0.8937

0.4000 0.8521 0.8815 0.7472 0.8617

0.4533 0.8142 0.8490 0.7134 0.8266

0.5067 0.7736 0.8131 0.6797 0.7888

0.5600 0.7308 0.7740 0.6460 0.7484

0.6133 0.6865 0.7320 0.6123 0.7060

0.6667 0.6412 0.6872 0.5786 0.6618

0.7200 0.5955 0.6401 0.5449 0.6162

0.7733 0.5499 0.5910 0.5112 0.5695

0.8267 0.5049 0.5401 0.4774 0.5222

0.8800 0.4610 0.4880 0.4437 0.4746

0.9333 0.4185 0.4349 0.4100 0.4269

0.9867 0.3778 0.3813 0.3763 0.3796

1.0400 0.3391 0.3277 0.3539 0.3330

1.0933 0.3026 0.2745 0.3353 0.2875

1.1467 0.2685 0.2222 0.3166 0.2434

1.2000 0.2369 0.1714 0.2980 0.2011

1.2533 0.2079 0.1226 0.2793 0.1609

1.3067 0.1813 0.0764 0.2607 0.1232

1.3600 0.1573 0.0334 0.2420 0.0883

1.4133 0.1357 -0.0058 0.2234 0.0566

1.4667 0.1164 -0.0406 0.2047 0.0284

1.5200 0.0992 -0.0702 0.1861 0.0041

1.5733 0.0841 -0.0940 0.1675 -0.0159

1.6267 0.0709 -0.1112 0.1488 -0.0314

1.6800 0.0595 -0.1211 0.1302 -0.0419

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云大数学建模实验三

云大数学建模实验三

电子信息工程 聂海福 20121060220

1.某工厂利用两种原料甲、乙生产A1、A2、A3三种产品。如果每月可供应的原料数量（单位：t），每万件产品所需各种原料的数量及每万件产品的价格如下表所示：

原料 每万件产品所需原料（t） 每月原料供应量（t）

A1 A2 A3

甲 4 3 1 180

乙 2 6 3 200

收益（万元/万件） 12 5 4

（1）试制定每月最优生产计划，使得总收益最大。

解：设A1生成x1万件，A2生成x2万件，A3生成x3万件

那么总收入为：12*x1+5*x2+4*x3

目标：总收入最大，即：max 12*x1+5*x2+4*x3

约束条件：

1.甲原材料：4*x1+3*x2+x3<=180

2.乙原材料：2*x1+6*x2+3*x3<=200

3.物理条件:x1>=0,x2>=0,x3>=0

计算:

f=-[12;5;4];

A=[4,3,1;2,6,3];

b=[180;200];

Aeq=[];

beq=[];

xmin=[0,0,0];

xmax=[inf,inf,inf];

x0=xmin;

[x,fmin]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,xmin,xmax,x0);

x,-fmin

结果为：

x =

34.0000

0.0000

44.0000

ans =

584.0000

即当生产34万件的A1和44万件的A3。总收入达到最大，为584万。

高教版《数学建模与数学实验(第3版)》人口预报问题

高教版《数学建模与数学实验(第3版)》人口预报问题

数学建模实例：人口预报问题

1.问题

人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.

表1 美国人口统计数据

年（公元）

人口（百万） 1790

3.9 1800

5.3 1810

7.2 1820

9.6 1830

12.9 1840

17.1 1850

23.2

年（公元）

人口（百万） 1860

31.4 1870

38.6 1880

50.2 1890

62.9 1900

76.0 1910

92.0 1920

106.5

年（公元）

人口（百万） 1930

123.2 1940

131.7 1950

150.7 1960

179.3 1970

204.0 1980

226.5 1990

251.4

2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）

此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.

[1] 假设：人口增长率r是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.

[2] 建立模型： 记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为tx，由于量大，tx可视为连续、可微函数.t到tt时间内人口的增量为：

trxttxttx

于是tx满足微分方程：

0dd0xrxtxx （1）

[3] 模型求解： 解微分方程（1）得

0ertxtx （2）

表明：t时，tx（r>0）. [4] 模型的参数估计：

要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.

第3章 高级建模

第3章 高级建模

第3章 高级建模

本章概述

本章介绍3ds Max 2014的高级建模技术，包括修改器建模、多边形建模、Graphite建模、网格建模和NURBS建模。本章是一个异常重要的章节，基本上在实际工作中运用的高级建模技术都包含在本章中（特别是修改器建模技术和多边形建模技术，读者务必要完全掌握），通过对本章的学习，可以掌握具有一定难度的模型的制作思路与方法。

掌握常用修改器的使用方法

掌握多边形建模的思路和相关技巧

了解“Graphite建模工具”的用法

了解网格建模的思路

了解NURBS建模的思路

课堂学习目标

“修改”面板是3ds Max很重要的一个组成部分，而修改器堆栈则是“修改”面板的“灵魂”。所谓“修改器”，就是可以对模型进行编辑，改变其几何形状及属性的命令。

3.1 修改器基础知识

进入“修改”面板，可以观察到修改器堆栈中的工具 。

3.1.1 修改器堆栈

为对象加载修改器的方法非常简单。选择一个对象后，进入“修改”面板，然后单击“修改器列表”后面的按钮，接着在弹出的下拉列表中就可以选择相应的修改器 。

3.1.2 为对象加载修改器 修改器的排列顺序非常重要，先加入的修改器位于修改器堆栈的下方，后加入的修改器则在修改器堆栈的顶部，不同的顺序对同一物体起到的效果是不一样的 。

3.1.3 修改器的排序

在修改器堆栈中可以观察到每个修改器前面都有个小灯泡图标，这个图标表示这个修改器的启用或禁用状态。当小灯泡显示为亮的状态时，代表这个修改器是启用的；当小灯泡显示为暗的状态时，代表这个修改器被禁用了。单击这个小灯泡即可切换启用和禁用状态。

3.1.4 启用与禁用修改器

在修改器上单击鼠标右键会弹出一个菜单，该菜单中包括一些对修改器进行编辑的常用命令 。

3.1.5 编辑修改器

修改器有很多种，按照类型的不同被划分在几个修改器集合中。在“修改”面板下的“修改器列表”中，3ds Max将这些修改器默认分为“选择修改器”、“世界空间修改器”和“对象空间修改器”3大部分 。

高教版《数学建模与数学实验(第3版)》建模案例：最佳灾情巡视路线

高教版《数学建模与数学实验(第3版)》建模案例：最佳灾情巡视路线

建模案例：最佳灾情巡视路线

这里介绍1998年全国大学生数学模型竞赛B题中的两个问题.

一、问 题

今年夏天某县遭受水灾.为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视.巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线.

1． 若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的路线.

2． 假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2h，在各村停留时间t=1h，汽车行驶速度V=35km/h.要在24h内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下最佳的巡视路线.

乡镇、村的公路网示意图见图1.

图1

二、 假 设

1．汽车在路上的速度总是一定，不会出现抛锚等现象；

2．巡视当中，在每个乡镇、村的停留时间一定，不会出现特殊情况而延误时间；

3．每个小组的汽车行驶速度完全一样；

4．分组后，各小组只能走自己区内的路，不能走其他小组的路（除公共路外）.

三、模 型 的 建 立 与 求 解

将公路网图中，每个乡（镇）或村看作图中的一个节点，各乡（镇）、村之间的公路看作图中对应节点间的边，各条公路的长度（或行驶时间）看作对应边上的权，所给公路网就转化为加权网络图，问题就转化为在给定的加权网络图中寻找从给定点O出发，行遍所有顶点至少一次再回到O点，使得总权（路程或时间）最小，此即最佳推销员回路问题.

在加权图G中求最佳推销员回路问题是NP—完全问题，我们采用一种近似算法求出该问题的一个近似最优解，来代替最优解，算法如下：

算法一 求加权图G（V，E）的最佳推销员回路的近似算法：

1． 用图论软件包求出G中任意两个顶点间的最短路，构造出完备图),(EVG，Eyx,， ,,Gxymindxy；

2． 输入图G的一个初始H圈；

3． 用对角线完全算法产生一个初始H圈；