八年级数学上册 分式方程及其应用(习题及答案)(人教版)

1 分式方程及其应用（讲义）

 课前预习

1. 请回顾相关知识，填空：

名

称 定义要点 变形依据 求解思路

一

元

一

次

方

程 ①一元一次

②整式方程 等式的基本性质 转化成x=a的形式

二

元

一

次

方

程

组 ①__元__次

②两个一组 ______的

基本性质 通过______转化为一元一次方程求解

不

等

式

（组） 用_______

连接 ______的

基本性质 类比一元一次方程，转化为x>a的形式

2. 回忆并背诵应用题的处理思路，回答下列问题：

（1）理解题意，梳理信息．

梳理信息的主要手段有_______________________________．

（2）建立数学模型．

建立数学模型要结合不同特征判断对应模型，如：

①共需、同时、刚好、恰好、相同……，考虑___________；

②不超过、不多于、少于、至少……，考虑_____________．

（3）求解验证，回归实际．

主要是看结果是否_________________．

 知识点睛

2 1. 分式方程的定义：__________________的方程叫做分式方程．

2. 解分式方程：

根据________________，把分式方程转化为__________求解，结果必须_______，因为解方程的过程中有可能产生______．

增根产生的原因是方程两边同乘了一个_________________．

3. 列分式方程解应用题，也要进行___________．

 精讲精练

1. 下列关于x的方程是分式方程的有__________．（填写序号）

①315x；②xx；③11123xy；④1152xx；

⑤11xab．

2. 已知方程2512kxx的解为1x，则k_________．

3. 解分式方程：

（1）2115225xxx； （2）100602020xx；

1 15.3 分式方程

第1课时 分式方程及其解法

【知识与技能】

1.理解分式方程的意义；

2.掌握解分式方程的基本思路和解法；

3.理解解分式方程可能无解的原因,掌握解分式方程的验根方法.

【过程与方法】

通过探索实际问题中的数量关系,体会分式方程的模型作用,在经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展学生分析问题,解决问题的能力,渗透转化的数学思想,培养学生的应用意识.

【情感态度】

在活动中培养学生乐于探索、合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值.

【教学重点】

解分式方程的基本思路和解法.

【教学难点】

理解解分式方程可能无解的原因,及增根的含义.

一、情境导入,初步认识

问题一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少？

【教学说明】让学生求出江水流速为v千米/时后,自主探究,获得方程.然后师生共同评析.教师讲课前,先让学生完成“自主预习”.

思考 (1)方程90603030vv与以往学过的方程有什么不同之处？

（2）什么叫分式方程？分式方程的特征是什么？

（3）怎样解分式方程90603030vv呢？

【教学说明】教师提出问题后,学生自主探究,相互交流,得出相应结论.教师应关注学生的参与情况及解决问题的情形,适时予以点拨,最后师生共同评析.

二、思考探究,获取新知

分式方程:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

2 解分式方程的基本思路是将分式方程运用去分母的方法化成为整式方程.

如:解方程90603030vv.

解:在方程两边乘的最简公分母(30+v)（30-v）,得

90(30-v)=60（30+v）.

解得v=6.

检验:将v=6代入方程,左边=5/2=右边,所以v=6是原分式方程的解.

试一试

解方程2110525xx .

分式方程的新型应用题

与分式有关的考题中，列方程解实际问题是中考中的重要题型之一.近年来

出现了一些创新型试题.下面从中考试题中选析几例.

一、阅读改错题

例1甲、乙两同学学习计算机打字，甲打一篇3000字的文章与乙打一篇2400

字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打12个字，问甲、

乙两人每分钟各打多少个字？

李明同学是这样解答的：

设甲同学打印一篇3 000字的文章需要x分钟， 根据题意，得3000240012xx−= （1）

解得：50x=．

经检验50x=是原方程的解． （2）

答：甲同学每分钟打字50个，乙同学每分钟打字38个． （3）

（1）请从（1）、（2）、（3）三个步骤说明李明同学的解答过程是否正确，若有

不正确的步骤改正过来．

（2）请你用直接设未知数列方程的方法解决这个问题．

解析：（1）李明同学的解答过程中第③步不正确 应为：甲每分钟打字300030006050x==（个）

乙每分钟打字601248−=（个）

答：甲每分钟打字为60个，乙每分钟打字为48个．

（2）设乙每分钟打字x个，则甲每分钟打字(12)x+个， 根据题意得：3000240012xx=+

解得48x=．

经检验48x=是原方程的解．

甲每分钟打字12481260x+=+=（个）

答：甲每分钟打字为60个，乙每分钟打字为48个

点评:本题是一道典型的判断改错题,要求同学们在认真阅读解题过程的基础

上,从中找出错误,并用直接设未知数的新方法进行解答; 这样较好地锻炼了学生阅读理解能力及分析问题、解决问题的能力．

二、同类改编题

例2某学生食堂存煤45吨，用了5天后，由于改进设备，平均每天耗煤量

降低为原来的一半，结果多烧了10天.

（1）求改进设备后平均每天耗煤多少吨？

（2）试将该题内容改编为与我们日常生活、学习有关的问题，使所列的方

程相同或相似（不必求解）.

解析：

（1） 设改进设备后平均每天耗煤x吨，根据题意，得：

人教版 八年级数学上册 第15章 分式方程及其应用（含答案）

例1. 解方程：x

xx12

11

分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根

解：方程两边都乘以，得()()xx11 xxxx

xxx

x

x2

222111

212

3232





()()()，

即，

经检验：是原方程的根。

例2. 解方程x

xx

xx

xx

x







1

26

72

35

6

解：原方程变形为：x

xx

xx

xx

x







6

75

62

31

2 方程两边通分，得 167123

6723

836

92()()()()

()()()()xxxx

xxxx

x

x





所以

即

经检验：原方程的根是x9

2。

例3. 解方程：1210

433234

892423

871619

45x

xx

xx

xx

x









解：由原方程得：31

4342

8932

8741

45xxxx

即2

892

862

8102

87xxxx

于是，

所以

解得：

经检验：是原方程的根。18986181087

898681087

1

1()()()()

()()()()xxxx

xxxx

x

x







例4. 解方程：612

444

44402

22

2y

yyy

yyy

y





解：原方程变形为：62

222

2220222()

()()()

()()()y

yyy

yyyy





约分，得62222202

yyyyyy()()

方程两边都乘以()()yy22，得

622022()()yyy

整理，得

经检验：是原方程的根。216

8

8y

y

y





5、中考题解：

例1．若解分式方程产生增根，则m的值是（ ）2

111x

xm

xxx

x



A. B. 12或12或

C. D. 12或12或

分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：