八个无敌模型——全搞定空间几何的外接球和内切球问题

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球

文：付雨楼、段永建

今天给大家带来8个求解立体几何内切球与外接球半径的模型，本文最开始源自付雨楼老师分享的模型，教研QQ群(群号：9)成员段永建老师进一步作图编辑优化分享。

类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）

cab图1CPAB abc图2PCBA abc图3CBPA abc图4PCO2BA

方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(cbaR，即2222cbaR，求出R

例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ）

A．16

B．20

C．24 D．32

{

（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 9

解：（1）162haV，2a，24164442222haaR，24S，选C；

（2）933342R，942RS

（3）在正三棱锥SABC中，MN、分别是棱SCBC、的中点，且MNAM,若侧棱23SA,则正三棱锥ABCS外接球的表面积是 。36

解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：

如图（3）-1，取BCAB,的中点ED,，连接CDAE,，CDAE,交于H，连接SH，则H是底面正三角形ABC的中心，SH平面ABC，ABSH，

BCAC，BDAD，ABCD，AB平面SCD，

SCAB，同理：SABC，SBAC，即正三棱锥的对棱互垂直，

本题图如图（3）-2， MNAM，MNSB//，

SBAM，SBAC，SB平面SAC，

-

SASB，SCSB，SASB，SABC， (3)题-1HEDBACSSA平面SBC，SCSA，

故三棱锥ABCS的三棱条侧棱两两互相垂直，

36)32()32()32()2(2222R，即3642R，

正三棱锥ABCS外接球的表面积是36

（4）在四面体SABC中，ABCSA平面，,1,2,120ABACSABAC则该四面体的外接球的表面积为（ D ）11.A 7.B

310.C 340.D

（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是

（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为

》

解析：（4）在ABC中，7120cos2222BCABABACBC，

7BC，ABC的外接球直径为372237sin2BACBCr，

3404)372()2()2(2222SArR，340S，选D

（5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为cba,,（Rcba,,），则

6812acbcab，24abc，3a，4b，2c，29)2(2222cbaR，2942RS，

（6）3)2(2222cbaR，432R，23R

2383334343RV，

·

类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）

1．题设：如图5，PA平面ABC

解题步骤：

图5ADPO1OCB(3)题-2MNABCSCAPB第一步：将ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直

径AD，连接PD，则PD必过球心O；

第二步：1O为ABC的外心，所以1OO平面ABC，算出小圆1O的半

径rDO1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得

rCcBbAa2sinsinsin），PAOO211；

第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(rPAR22)2(2rPAR；

②2122OOrR212OOrR

^

2．题设：如图6，7，8，P的射影是ABC的外心三棱锥ABCP的三条侧棱相等三棱锥ABCP的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点

图6PADO1OCB 图7-1PAO1OCB 图7-2PAO1OCB 图8PAO1OCB

图8-1DPOO2ABC 图8-2POO2ABC 图8-3DPOO2AB

解题步骤：

第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心1O，则1,,OOP三点共线；

第二步：先算出小圆1O的半径rAO1，再算出棱锥的高hPO1（也是圆锥的高）；

第三步：勾股定理：21212OOAOOA222)(rRhR，解出R

方法二：小圆直径参与构造大圆。

例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为( )C

A．3 B．2 C．316 D．以上都不对

— 解：选C，221)3(RR,221323RRR, 0324R,

32R,31642RS

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类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）

图9-1ACBP 图9-2AO1OCBP 图9-3PAO1OCB 图9-4AO1OCBP

1．题设：如图9-1，平面PAC平面ABC，且BCAB（即AC为小圆的直径）

第一步：易知球心O必是PAC的外心，即PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径rAC2；

第二步：在PAC中，可根据正弦定理RCcBbAa2sinsinsin，求出R

2．如图9-2，平面PAC平面ABC，且BCAB（即AC为小圆的直径）

$

21212OOCOOC2122OOrR2122OORAC

3．如图9-3，平面PAC平面ABC，且BCAB（即AC为小圆的直径），且P的射影是ABC的外心三棱锥ABCP的三条侧棱相等三棱ABCP的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点

解题步骤：

第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心1O，则1,,OOP三点共线；

第二步：先算出小圆1O的半径rAO1，再算出棱锥的高hPO1（也是圆锥的高）；

第三步：勾股定理：21212OOAOOA222)(rRhR，解出R

4．如图9-3，平面PAC平面ABC，且BCAB（即AC为小圆的直径），且ACPA，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(rPAR22)2(2rPAR；

②2122OOrR212OOrR

例3 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为32，则该球的表面积为 。

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（2）正四棱锥ABCDS的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为

解：（1）由正弦定理或找球心都可得72R，4942RS，

（2）方法一：找球心的位置，易知1r，1h，rh，故球心在正方形的中心ABCD处，1R，34V

方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是SAC的外接圆，此处特殊，SACRt的斜边是球半径，22R，1R，34V

（3）在三棱锥ABCP中，3PCPBPA,侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为（ ）

A． B.3 C. 4 D.43

解：选D，圆锥CBA,,在以23r的圆上，1R

（4）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且2SC，则此棱锥的体积为（ ）A

A．26 B．36 C．23 D．22

/

解：36)33(12221rROO，362h，62362433131ShV

类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）

图10-1C1B1AA1O1OO2BC 图10-2C1B1AA1O1OO2BC 图10-3C1B1AA1O1OO2BC

题设：如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

第一步：确定球心O的位置，1O是ABC的外心，则1OO平面ABC；

第二步：算出小圆1O的半径rAO1，hAAOO212111（hAA1也是圆柱的高）；

第三步：勾股定理：21212OOAOOA222)2(rhR22)2(hrR，解出R

例4 （1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为

解：设正六边形边长为a，正六棱柱的高为h，底面外接圆的关径为r，则21a，

底面积为833)21(4362S，89833hShV柱，3h，1)21()23(222R，

《

1R，球的体积为34V

（2）直三棱柱111ABCABC的各顶点都在同一球面上，若12ABACAA,120BAC，则此球的表面积等于 。

解：32BC，4120sin322r，2r，5R，20S

（3）已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，60,2,3AEBADEBEA，则多面体ABCDE的外接球的表面积为 。16

解析：折叠型，法一：EAB的外接圆半径为31r，11OO，

231R；法二：231MO，21322DOr，4413432R，2R，16S

（4）在直三棱柱111CBAABC中，4,3,6,41AAAACAB则直三棱柱111CBAABC的外接球的表面积为 。3160

解析：282164236162BC，72BC，37423722r，372r，

3404328)2(2122AArR，3160S

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