八个超强模型——彻底解决立体几何的外接球和内切球问题

八个无敌模型——全搞定空间几何的外接球和内切球问题！

1

墙角模型

三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径

题组 一

2

垂面模型

一条直线垂直于一个平面

题组二 3

切瓜模型 （两个平面互相垂直）

题组三 4

汉堡模型

（直棱柱的外接球、圆柱的外接球） 题组四 5

折叠模型

题组五 6

对棱相等模型

（补形为长方体） 题组六 7

两直角三角形拼接在一起模型

(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥) 题组七 8

锥体的内切球模型

综合反馈练习

空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）

方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(cbaR

，即2222cbaR

，求出R

例1（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4

，体积为16

，则这个球的表面积是（）

A．16

B．20

C．24

D．32

（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是9

（3）在正三棱锥SABC

中，MN、

分别是棱SCBC、

的中点，且MNAM

,若侧棱23SA

,则

正三棱锥ABCS外接球的表面积是。36

（4）在四面体SABC

中，ABCSA平面

，,1,2,120ABACSABAC

则该四面体的外接

球的表面积为（）

（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6

、4

、3，那么它的外接球的表面积是

（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1

的等腰直角三角形和边长为1

的正方形，则该几何体外接球的体积为

类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）

1．题设：如图5，PA

平面ABC

解题步骤：

第一步：将ABC

画在小圆面上，A

为小圆直径的一个端点，作小圆的直

径AD

，连接PD

，则PD

必过球心O

；

第二步：

1O

为ABC

的外心，所以

1OO

平面ABC

，算出小圆

1O

的半

径rDO

1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得

r

Cc

Bb

Aa

2

sinsinsin），PAOO

21

1

；

第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(rPAR

22)2(2rPAR

；

②2

122OOrR



212OOrR

2．题设：如图6，7，8，P

的射影是ABC

的外心

三棱锥ABCP

的三条侧棱相等

三棱锥ABCP

的底面ABC

在圆锥的底上，顶点P

点也是圆锥的顶点

解题步骤：

第一步：确定球心O

的位置，取ABC

的外心

1O

，则

1,,OOP

三点共线；

第二步：先算出小圆

1O

多面体外接球、内切球半径常见的5种求法

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体,

这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考

考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，

并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求

法在解题中往往会起到至关重要的作用.

公式法

例1

一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同

9

一个球面上，且该六棱柱的体积为三，底面周长为3,

则这个球的体积为

8

6x = 3, f 1

JQ ———

解 设正六棱柱的底面边长为X,

高为则有9 后，

2'

§ = 6x

甘"，]入=右.

正六棱柱的底面圆的半径r = ~,球心到底面的距离d = — .:.外接球的半径

2 2

R = J/ + J? =].... v

球=—.

3

小结 本题是运用公式R2 = r- + d2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.

多面体几何性质法

例2

已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,

体积为16,

则这个球的表面

积是

A. 16^ B. 20

tt C. 24>

t D. 32

i

解 设正四棱柱的底面边长为

X,外接球的半径为

R,则有4/=16,

解得% = 2,

2R = a/22 + 22 + 42 = 2^6,

:.R = £ . 这个球的表面积是 4* =24^,

选 C.

小结本题是运用''正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.

补形法

例3

若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为右，则其外接球的表面积是—.

解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，...把这个三棱锥可以补成一个棱长为

73

的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.

设其外接球的半径为R ,则有（27?）2 =

（、厅『+ （、行『+（^3）2 =9. /.

R2 =|,

第 1 页 共 4 页 空间几何体的外接球与内切球问题

高考分析： 球与几何体的切接问题是近几年高考的高频考点，常以选择题和填空题的形式出现，以中档题和偏难题为主.

一、几种常见几何体的外接与内切球

1.长方体的外接球

(1)球心：体对角线的交点；

(2)半径：R＝a2＋b2＋c22(a，b，c为长方体的长、宽、高)．

2.正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球

(1)外接球：球心是正方体的中心；半径R＝32a(a为正方体的棱长)；

(2)内切球：球心是正方体的中心；半径r＝2a (a为正方体的棱长)；

(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心；半径2=2ra (a为正方体的棱长)．

3.正四面体的外接球与内切球

(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径R＝64a (a为正四面体的棱长)；

(2)内切球：球心是正四面体的中心；半径6=12ra (a为正四面体的棱长)．

求外接球问题常用方法：

1.补体法。将几何体补形成长方体正方体等常见模型去求解

2.外接球的球心都在过底面外接圆圆心的垂线上（注意球体可以滚动所以可以选择较为方便计算的那一面作为底面）

3.利用外接球球心到几何体各顶点距离都等于半径

4.球心与截面圆圆心的连线垂直于截面圆

求外接球的关键是确定球心位置，进而计算出外接球半径。

第 2 页 共 4 页 题型一：柱体的外接球

1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_________．

2.已知三棱柱111ABCABC－的底面是边长为6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12，则该三棱柱的体积为_________．

3.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )

A．16π B．20π C．24π D．32π

4.已知圆柱的底面半径为12，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )