第九章证明（二）单元测试卷（一）（5篇可选）

人教版高中数学必修第二册第九章统计单元测试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷60分,第Ⅱ卷90分,共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.从某地区中小学生中抽取部分学生,进行肺活量调查.经了解,该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异,而同一学段男女生的肺活量差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是()A.抽签法B.按性别分层随机抽样C.按学段分层随机抽样D.随机数法2.从某小学随机抽取100名学生,将他们的身高(单位:厘米)分布情况汇总如下表:身高[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]频数535302010由此表估计这100名学生身高的中位数为(结果保留4位有效数字)()A.119.3B.119.7C.123.3D.126.73.高二(1)班某宿舍有7人,他们的身高(单位:cm)分别为170,168,172,172,175,176,180,则这7个数据的第60百分位数为()A.168B.175C.172D.1764.在抽查产品尺寸的过程中,将其尺寸分成若干组,[a,b]是其中的一组.已知该组的频率为m,该组上的频率分布直方图的高为h,则|a-b|等于()A.mhB.C.D.m+h5.2020年2月8日,在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中,中国组合隋文静、韩聪以总分217.51分拿下四大洲赛冠军,这也是他们第六次获得四大洲冠军.中国另一对组合彭程、金杨以213.29分摘得银牌.花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分,首先这9位评委给出某对选手的原始分数,评定该对选手的成绩时从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分,得到7个有效评分,7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是()A.中位数B.平均数C.方差D.极差6.为了了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况,得到如图C4-1所示的频率分布直方图,由于不慎将部分数据丢失,但知道后5组频数之和为62,设视力在4.6到4.8之间的学生数为a,最大频率为0.32,则a的值为()图C4-1A.64B.54C.48D.277.某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图C4-2所示,则下列说法中正确的是()图C4-2A.支出最高值与支出最低值的比是8∶1B.4至6月份收入的平均数为50万元C.利润最高的月份是2月份D.2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同8.为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成图C4-3,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.则下列说法中,错误的是()图C4-3A.服药组的指标x的平均数和方差比未服药组的都小B.未服药组的指标y的平均数和方差比服药组的都大C.以统计的频率作为概率,估计患者服药一段时间后指标x低于100的概率为0.94D.这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.5二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,至少有两项是符合题目要求的)9.“悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用,用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况.某人根据2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程(单位:十公里)的数据绘制了如图C4-4所示的折线图,根据该折线图,下列结论正确的是()图C4-4A.月跑步里程逐月增加B.月跑步里程的最大值出现在9月C.月跑步里程的中位数为8月份对应的里程D.1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小,变化比较平稳10.某学校为了调查学生在一周生活方面的支出(单位:元)情况,抽取了一个容量为n的样本,将样本数据按[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]分组后所得频率分布直方图如图C4-5所示,其中支出在[50,60]内的学生有60人,则下列说法正确的是()图C4-5A.样本中支出在[50,60]内的频率为0.03B.样本中支出不少于40元的人数有132C.n的值为200D.若该校有2000名学生,则一定有600人支出在[50,60]内11.统计某校n名学生某次数学同步练习的成绩(单位:分,满分150分),根据成绩依次分成六组[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],得到频率分布直方图如图C4-6所示,若不低于140分的人数为110,则下列说法正确的是()图C4-6A.m=0.031B.n=800C.100分以下的人数为60D.成绩在区间[120,140)内的人数超过50%12.某市12月17日至21日期间空气质量呈现重度及以上污染水平,经市政府批准,该市启动了空气重污染红色预警,期间实行机动车“单双号”限行等措施.某社会调查中心联合问卷网,对2400人进行问卷调查,并根据调查结果得到如图C4-7所示的扇形图,则下列结论正确的是()图C4-7A.“不支持”部分所占的比例是10%B.“一般”部分对应的人数是800C.扇形图中如果圆的半径为2,则“非常支持”部分对应扇形的面积是65πD.“支持”部分对应的人数是1080请将选择题答案填入下表:题号12345678总分答案题号9101112答案第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.一组数据按从小到大的顺序排列为10,12,13,x,17,19,21,24,其中位数为16,则x=.14.某校为了了解学生收看“空中课堂”的方式,对该校500名学生进行了调查,并把结果绘制成如图C4-8所示的扇形图,那么该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数是.图C4-815.国家禁毒办于2019年11月5日至12月15日在全国青少年毒品预防教育数字化网络平台上开展2019年全国青少年禁毒知识答题活动,活动期间进入答题专区,点击“开始答题”按钮后,系统自动生成20道题.已知某校高二年级有甲、乙、丙、丁、戊五位同学在这次活动中答对的题数分别是17,20,16,18,19,则这五位同学答对题数的方差是.16.从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图C4-9所示).由图中数据可知a=.若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用比例分配的分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为.图C4-9四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)将一组数据按从小到大的顺序排列,得到-1,0,4,x,7,14,已知这组数据的中位数为5,求这组数据的平均数与方差.18.(12分)某车站在春运期间为了了解旅客的购票情况,随机调查了100名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间t(以下简称为购票用时,单位为min).下面是对所得数据进行统计分析后得到的频率分布表和频率分布直方图.频率分组频数[5,10)100.10[10,15)10②[15,20)①0.50[20,25]300.30合计1001.00解答下列问题:(1)在表中填写出缺失的数据并补全频率分布直方图(如图C4-10所示);(2)估计旅客购票用时的平均数.图C4-1019.(12分)某班主任利用周末时间对该班2019年最后一次月考的语文作文分数进行了统计,发现分数都位于20~55之间,现将分数情况按[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45),[45,50),[50,55]分成七组后,作出频率分布直方图如图C4-11所示,已知m=2n.(1)求频率分布直方图中m,n的值;(2)求该班这次月考语文作文分数的平均数和中位数.(每组数据用该组区间的中点值作为代表)图C4-1120.(12分)已知甲、乙两人在相同条件下各射靶10次,每次射击的命中环数如图C4-12所示.(1)求甲、乙两人射击命中环数的平均数和方差;(2)请根据甲、乙两人射击命中环数的平均数和方差,分析谁的射击水平高.图C4-1221.(12分)某地区100位居民的人均月用水量(单位:t)的分组及各组的频数分别为[0,0.5],4;(0.5,1],8;(1,1.5],15;(1.5,2],22;(2,2.5],25;(2.5,3],14;(3,3.5],6;(3.5,4],4;( 4,4.5],2.(1)列出样本的频率分布表.(2)画出频率分布直方图,并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数.(3)当地政府制定了人均月用水量不超过3t的标准,若超过3t则加倍收费,当地政府说,85%以上的居民不超过这个标准,这个解释对吗?为什么?22.(12分)我国是世界上严重缺水的国家之一,某市为了制定合理的节水方案,对家庭用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100户家庭的月均用水量(单位:t),将数据按照[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10]分成5组,制成了如图C4-13所示的频率分布直方图.(1)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替,求全市家庭月均用水量平均数的估计值(精确到0.01);(2)求全市家庭月均用水量的25%分位数的估计值(精确到0.01).图C4-13参考答案与解析1.C[解析]由题意得,最合理的抽样方法是按学段分层随机抽样,故选C.2.C[解析]设中位数为t,则有5100+35100+30100× -12010=0.5,解得t≈123.3.故选C.3.B[解析]将这7人的身高从小到大排序,可得168,170,172,172,175,176,180.∵7×60%=4.2,∴第5个数据为所求的第60百分位数,即这7个数据的第60百分位数为175.故选B.,所以h= | - |,则|a-b|= ,故选C.4.C[解析]在频率分布直方图中小长方形的高等于频率组距5.A[解析]根据题意可知,不变的数字特征是中位数.故选A.6.B[解析]前两组的频数为100×(0.05+0.11)=16.因为后五组的频数之和为62,所以前三组的频数之和为38,所以第三组的频数为38-16=22.又最大频率为0.32,故第四组的频数为0.32×100=32.所以a=22+32=54.故选B.7.D[解析]由图可知,支出最高值为60万元,支出最低值为10万元,其比是6∶1,故A错误;4至6月份的平均收入为13×(50+30+40)=40(万元),故B错误;利润最高的月份为3月份和10月份,故C 错误;由图可知2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同,故D正确.故选D.8.B[解析]服药组的指标x的取值相对集中,方差较小,且服药组的指标x的平均数小于未服药组的指标x的平均数,故选项A中说法正确;未服药组的指标y的取值相对集中,方差较小,故选项B 中说法错误;服药组的指标x值有3个大于100,所以估计患者服药一段时间后指标x低于100的概率为0.94,故选项C中说法正确;未服药组的指标y值只有1个数据比1.5小,则这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.5,故选项D中说法正确.故选B.9.BCD[解析]2月跑步里程比1月的小,故A错误;月跑步里程9月最大,故B正确;月跑步里程从小到大对应的月份依次为2月、7月、3月、4月、1月、8月、5月、6月、11月、10月、9月,故月跑步里程的中位数为8月份对应的里程,故C正确;1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月,波动性更小,变化比较平稳,故D正确.故选BCD.10.BC[解析]由频率分布直方图得,样本中支出在[50,60]内的频率为1-(0.01+0.024+0.036)×10=0.3,故A错误;样本中支出不少于40元的人数为0.0360.3×60+60=132,故B正确;n=600.3=200,故C正确;在D中,若该校有2000名学生,则大约有600人支出在[50,60]内,故D错误.故选BC.11.AC[解析]由图可知10×(m+0.020+0.016+0.016+0.011+0.006)=1,解得m=0.031,故A正确;因为不低于140分的频率为0.011×10=0.11,所以n=1100.11=1000,故B错误;因为100分以下的频率为0.006×10=0.06,所以100分以下的人数为1000×0.06=60,故C正确;对选项D,成绩在区间[120,140)内的频率为0.031×10+0.016×10=0.47<0.5,人数不超过50%,故D错误.故选AC.12.ACD[解析]“不支持”部分所占的比例是1-45%-30%-15%=10%,A正确;“一般”部分对应的人数是2400×15%=360,B不正确;“非常支持”部分对应扇形的面积是π×22×30%=65π,C正确;“支持”部分对应的人数为2400×45%=1080,D正确.故选ACD.13.15[解析]由中位数的定义知 +172=16,∴x=15.14.25[解析]∵该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数所占的百分比为1-(25%+70%)=5%,∴该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数是500×5%=25.15.2[解析]这五位同学答对题数的平均数 =17+20+16+18+195=18,则方差s2=15×[(17-18)2+(20-18)2+(16-18)2+(18-18)2+(19-18)2]=2.16.0.0303[解析]因为10×(0.035+0.020+0.010+0.005+a)=1,所以a=0.030.身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生人数为100×(0.030+0.020+0.010)×10=60,其中身高在[140,150]内的学生中人数为100×0.010×10=10,所以从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为1060×18=3.17.解:因为数据-1,0,4,x,7,14的中位数为5,所以4+ 2=5,解得x=6.设这组数据的平均数为 ,方差为s2,则 =16×(-1+0+4+6+7+14)=5,s2=16×[(-1-5)2+(0-5)2+(4-5)2+(6-5)2+(7-5)2+(14-5)2]=743.18.解:(1)表中缺失的数据分别为①50,②0.10.补全后的频率分布直方图如图所示.(2)估计旅客购票用时的平均数为7.5×0.10+12.5×0.10+17.5×0.50+22.5×0.30=17.5(min).19.解:(1)由频率分布直方图,得=2 ,(0.01+0.03+0.06+ +0.03+ +0.01)×5=1,解得 =0.04, =0.02.(2)该班这次月考语文作文分数的平均数为22.5×0.05+27.5×0.15+32.5×0.3+37.5×0.2+42.5×0.15+47.5×0.1+52.5×0.05=36.25.因为(0.01+0.03+0.06)×5=0.5,所以该班这次月考语文作文分数的中位数为35.20.解:(1)由折线图可知甲射击10次命中的环数分别为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.乙射击10次命中的环数分别为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.则x 甲=110×(9+5+7+8+7+6+8+6+7+7)=7(环).x 乙=110×(2+4+6+8+7+7+8+9+9+10)=7(环),甲2=110×[(9-7)2+(5-7)2+(7-7)2×4+(6-7)2×2+(8-7)2×2]=1.2,乙2=110×[(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+(7-7)2×2+(8-7)2×2+(9-7)2×2+(10-7)2]=5.4.(2)因为x 甲=x 乙, 甲2< 乙2,所以甲的射击稳定性比乙好,故甲的射击水平高.21.解:(1)作出频数分布表,如下.分组频数频率[0,0.5]40.04(0.5,1]80.08(1,1.5]150.15(1.5,2]220.22(2,2.5]250.25(2.5,3]140.14(3,3.5]60.06(3.5,4]40.04(4,4.5]20.02合计1001.00(2)由频率分布表画出频率分布直方图,如图所示.由频率分布直方图得这组数据的平均数=0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25×0.06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.02.∵人均月用水量在[0,2]内的频率为0.04+0.08+0.15+0.22=0.49,在(2,2.5]内的频率为0.25,∴中位数为2+0.5−0.490.25×0.5=2.02.众数为2+2.52=2.25.(3)月用水量在3t以上的居民的比例为6%+4%+2%=12%,即大约有12%的居民月用水量在3t以上,88%的居民月用水量不超过3t,因此政府的解释是正确的.22.解:(1)因为0.06×2×1+0.11×2×3+0.18×2×5+0.09×2×7+0.06×2×9=4.92.因此全市家庭月均用水量平均数的估计值为4.92t.(2)频率分布直方图中,用水量低于2t的频率为0.06×2=0.12.用水量低于4t的频率为0.06×2+0.11×2=0.34.故全市家庭月均用水量的25%分位数的估计值为2+0.25−0.120.11≈3.18(t).。

第九章单元测试卷一、填空题（每小题3分，共24分） 1.已知x y >，用“<”“>”填空. （1）12x +12y +； （2）4x4y ；（3）5x - 5y -； （4）1x - 1y -. 2.x 的12与5的差不小于3，用不等式可表示为 .3.当x 时，式子35x -的值大于53x +的值.4.已知a b >，若0a <，则2a ab ；若0a ≥，则2a ab .（填上合适的不等号）.5.不等式32x ≤的正整数解为 ；不等式组3315x -<+<的整数解是 .6.若不等式组12x x m<≤⎧⎨>⎩有解，则m 的取值范围是 .7.当a 时，不等式(2)1a x ->的解集是12x a<-.8.某次数学测验中有16道选择题，评分办法：答对一道得6分，答错一道扣2分，不答得0分，某学生有一道题未答，那么这个学生至少要答对 道题，成绩才能在60分以上. 二、选择题（每小题2分，共16分）9.已知a b <，则下列不等式中不正确的是（ ）A.44a b <B.44a b +<+C.44a b -<-D.44a b -<- 10.下列不等式中不是一元一次不等式的是（ ） A.m m <- B.1x y -≤ C.230x x --≥ D.a b c +>11.若方程3(1)1(3)5m x m x x ++=--的解是负数，则m 的取值范围是（ ） A. 1.25m >- B. 1.25m <- C. 1.25m > D. 1.25m < 12.不等式组5335x x x a-<+⎧⎨<⎩的解集为4x <，则a 满足的条件是（ ）A.4a <B.4a =C.4a ≤D.4a ≥13.由m n >得到22m a na >，则a 满足的条件是（ ） A.0a > B.0a < C.0a ≠ D.a 为任意实数 14.不等式475x a x ->+的解集是1x <-，则a 为（ ）A.-2B.2C.8D.515.某种出租车的收费标准：起步价7元（即行驶距离不超过3千米都须付7元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米计）.某人乘坐这种出租车从甲地到乙地共付车费19元，那么甲地到乙地路程的最大值是（ ） A.5 千米 B.7 千米 C.8 千米 D.15 千米16.一元一次不等式组5231x x +>⎧⎨-≥⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）三、解答题（共60分） 17.（10分）计算： （1）解不等式2(1)12x x ---<，并把解集表示在数轴上.（2）解不等式组523(1)131722x x x x ->+⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，并求其整数解.-3 -2 -10 1 2 3 A-3 -2-10 1 2 3B-3 -2 -10 1 2 3C-3 -2 -10 1 2 3D18.（8分）已知方程组33121x y mx y m+=+⎧⎨+=-⎩，当m为何值时，x y>19.（8分）已知代数式513x-+的值不小于112x+-的值，求x的取值范围.20.（10分）哇哈哈矿泉水每瓶售价1.2元，现甲、乙两家商场给出优惠政策：甲商场全部九折，乙商场20瓶以上的部分8折.若你是消费者，选哪家商场比较合适？21.（10分）有一群猴子，一天结伴去偷桃子.分桃子时，如果每只猴子分3个，那么还剩下59个；如果每只猴子分5个，就都分得桃子，但又一个猴子分得的桃子不够5个.你能求出有几只猴子，几个桃子吗？22.（14分）某企业有员工300人，生产A种产品，平均每人每年可创造利润m万元（m为大于零的常数）.为减员增效，决定从中调配x人去生产新开发的B中产品.根据平局，调配后，继续生产A种产品的员工平均每人每年创造的利润可增加20%，生产B种产品的员工平均每人每年可创造利润1.54m 万元.（1）调配后，企业生产A产品的年利润为万元，生产B产品的年利润为万元（用含x和m的代数式表示），若设调配后企业全年总利润为y万元，则y关于x的函数解析式为.（2）若要求调配后，企业生产A产品的年利润不小于调配前企业年利润的45，生产B产品的年利润大于调配前企业年利润的一半，应该有哪几种调配方案？请设计出来，并指出其中哪种方案全年总利润最大.。

七年级数学（下）第九章《不等式与不等式组》单元测试卷（测试时间：90分钟 满分：120分）一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）1．已知实数a 、b ，若a>b ，则下列结论正确的是（ ） A ．55a b -<- B ．22a b +<+ C ．33a b > D ．33a b < 2．不等式组的解集是（ ）A ．x ＞B.﹣1≤x ＜ C ．x ＜ D ．x ≥﹣1 3．若关于x 的一元一次不等式组有解，则m 的取值范围为（ ）A.23m >-B.23m ≤C.23m >D.23m ≤-4．小明和小丽是同班同学，小明的家距学校2千米远，小丽的家距学校5千米远，设小明家距小丽家x 千米远，则x 的值应满足（ ）A ．x=3B ．x=7C ．x=3或x=7D ．3≤x ≤7 5．使不等式x ﹣1≥2与3x ﹣7＜8同时成立的x 的整数值是（ ） A ．3，4 B ．4，5 C ．3，4，5 D ．不存在 6．不等式组⎩⎨⎧≥111－，＜－x x 的解集在数轴上表示正确的是（ ）。

7．下列不等式，其中属于一元一次不等式的是（ ） A ．x ≥5xB ．2x>1-x 2C ．x+2y<1D ．2x+1≤3x 8．不等式3(2)4x x -≤+的非负整数解有（ ）个 A ．4 B ．5 C ．6 D ．无数9．某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒，则这个敬老院的老人最少有（ ）A ．29人B ．30人C ．31人D ．32人 10．小亮在解不等式组62053x x -<⎧⎨+>-⎩①②时，解法步骤如下：解不等式①，得x ＞3，…第一步； 解不等式②，得x ＞﹣8，…第二步；所有原不等式组组的解集为﹣8＜x ＜3…第三步．对于以上解答，你认为下列判断正确的是（ ）A ．解答有误，错在第一步B ．解答有误，错在第二步C ．解答有误，错在第三步D ．原解答正确无误 二、填空题（共10小题，每题3分，共30分） 11．不等式052>-x 的最小整数解是 ．12．某次数学测验中共有20道题目，评分办法：答对一道得5分，答错一道扣2分，不答得0分．某学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对 道题，成绩才能在80分以上． 13．不等式2x －1≤3的非负整数解是 .14．七年级(1)班组织听写汉字大赛，班长小明现有100元班费，欲购买笔记本和钢笔这两种奖品共30件，已知笔记本每本2元，钢笔每支5元，那么小明最多能买钢笔 支. 15．若a ＜0则－3a ＋2____0.(填“＞”“＝”“＜”) 16．若不等式组841,x x x m+<-⎧⎨>⎩的解集是x ＞3，则m 的取值范围是 ．17．代数式41＋2x 的值不大于8－2x的值，那么x 的正整数解是 ． 18．某采石场爆破时，点燃导火线的甲工人要在爆破前转移到400米以外的安全区域．甲工人在转移过程中，前40米只能步行，之后骑自行车．已知导火线燃烧的速度为0.01米/秒，步行的速度为1米/秒，骑车的速度为4米/秒．为了确保甲工人的安全，则导火线的长要大于 米． 19．若不等式组2x a <<的整数解有3个，则a 的取值范围是 .20．在一次社会实践活动中，八年级二班可筹集到的活动经费不超过900元．此次活动租车需300元，每个学生活动期间所需经费为20元，则参加这次活动的学生人数最多为_______人．三、解答题（共60分）21．(6分）解不等式：2x 12x 3-+≤并将它的解集在数轴上表示出来． 22.（6分）解不等式组：()()2x 1x 11x 2>2x 13⎧-≥+⎪⎨--⎪⎩． 23．（7分）小明、小华、小刚三人在一起讨论一个一元一次不等式组． 小明：其中一个不等式的解集为x ≤8；小刚：其中有一个不等式在求解的过程中需要改变不等号方向； 请你写出符合上述条件的不等式组，并解这个不等式组．24．（9分）若方程组2225x y m x y m +=+⎧⎨-=-⎩的解是一对正数，则：（1）求m 的取值范围（2）化简：42m m -++25．（12分）已知关于x 、y 的方程组24221x y mx y m +=⎧⎨+=+⎩（实数m 是常数）．（1）若x ＋y ＝1，求实数m 的值； （2）若－1≤x －y ≤5，求m 的取值范围； （3）在（2）的条件下，化简：223m m ++-．26．（8分）在我市举行的中学生安全知识竞赛中共有20道题．每一题答对得5分，答错或不答都扣3分． （1）小李考了60分，那么小李答对了多少道题？（2）小王获得二等奖（75～85分），请你算算小王答对了几道题？27．（12分）第一中学组织七年级部分学生和老师到苏州乐园开展社会实践活动，租用的客车有50座和30座两种可供选择．学校根据参加活动的师生人数计算可知：若只租用30座客车x 辆，还差5人才能坐满； （1）则该校参加此次活动的师生人数为 （用含x 的代数式表示）；（2）若只租用50座客车，比只租用30座客车少用2辆，求参加此次活动的师生至少有多少人？ （3）已知租用一辆30座客车往返费用为400元，租用一辆50座客车往返费用为600元，学校根据师生人数选择了费用最低的租车方案，总费用为2200元，试求参加此次活动的师生人数．参考答案（测试时间：90分钟 满分：120分）一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）1．已知实数a 、b ，若a>b ，则下列结论正确的是（ ） A ．55a b -<- B ．22a b +<+ C ．33a b > D ．33a b < 【答案】C 【解析】考点：不等式的性质 2．不等式组的解集是（ ）A ．x ＞B.﹣1≤x ＜ C ．x ＜ D ．x ≥﹣1 【答案】A 【解析】试题分析：解不等式2x-1＞0得：x ＞12，解不等式x+1≥0得：x ≥-1，所以不等式组的解集为x ＞． 故选A ．学@科网 考点：不等式组的解集. 3．若关于x 的一元一次不等式组有解，则m 的取值范围为（ ）A.23m >-B.23m ≤C.23m >D.23m ≤-【答案】C 【解析】试题分析：解不等式20x m -＜得，x ＜2m ，解不等式2x m +＞得，x ＞2-m ，因为不等式组有解，所以不等式组的解集是：2m ＞2-m ，解得：m ＞23； 故选C ．考点：不等式组的解集.4．小明和小丽是同班同学，小明的家距学校2千米远，小丽的家距学校5千米远，设小明家距小丽家x 千米远，则x 的值应满足（ ）A ．x=3B ．x=7C ．x=3或x=7D ．3≤x ≤7 【答案】D 【解析】试题分析：设小明家距小丽家x 千米远，根据题意得：5-2≤x ≤5+2，解得：3≤x ≤7． 故选D ．考点：不等式组的应用.5．使不等式x ﹣1≥2与3x ﹣7＜8同时成立的x 的整数值是（ ） A ．3，4 B ．4，5 C ．3，4，5 D ．不存在 【答案】A 【解析】考点：不等式组的整数解. 6．不等式组⎩⎨⎧≥111－，＜－x x 的解集在数轴上表示正确的是（ ）。

九年级上学期单元测试题------证明（二）一、用心选一选（每小题3分，共30分）1、等腰三角形底边长为7，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为3，则腰长是（ ） A 、4 B 、10 C 、4或10 D 、以上答案都不对2、如图，EA ⊥AB ，BC ⊥AB ，EA=AB=2BC ，D 为AB 中点，有以下结论：(1)DE=AC ；(2)DE ⊥AC ；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE 。

其中结论正确的是（ ） A 、(1)，(3) B 、(2)，(3) C 、(3) ，(4) D 、(1)，(2)，(4) 3、设M 表示直角三角形，N 表示等腰三角形，P 表示等边三角形，Q 表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示他们之间关系的是（ ）4、已知Rt △ABC 中，∠C =90°，若cm c cm b a 1014==+，，则S Rt △ABC =（ ） A 、24cm2B 、36cm2C 、48c2D 、50cm25、（2009，怀化）如图3，在中， ，是的垂直平分线，交于点，交于点．已知，则的度数为（ ） A ． B ． C ． D ．6、（2009，衡阳）如图所示，A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米， AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ）A ．AB中点 B ．BC 中点C ．AC 中点D ．∠C 的平分线与AB的交点7、(2008山东济宁)如图，ABC △是等腰直角三角形，BC 是斜边，将ABP △绕点A 逆时针旋转后，能与ACP '△重合，如果3AP =，那么PP '的长等于（ ） A ．B．C ．D．8、（2008湖北鄂州）如图，已知ABC △中，45ABC ∠=，4AC =，H 是高AD 和BE 的交点，则线段BH 的长度为（ ）AB ．4C ．D ．5Rt ABC △ 90=∠B ED AC AC D BC E10=∠BAE C ∠30405060 ADCBDCBA EH9、已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝BD ，AD ＝DE ＝EB ，则∠A 的度数是（ ） （A ） 30° （B ） 36° （C ） 45° （D ） 54°10、如图，等边△ABC 中，BD=CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是 （ ） A.45° B.55° C.60° D.75°12、等腰直角三角形的斜边长为a ，则其斜边上的高为 （ ） A.a 23 B.a 2 C.2aD.a 42 13、下列两个三角形中，一定全等的是 （ ） （A ）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形 （B ）两个等边三角形 （C ）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形 （D ）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形 14、下列判断正确的是（ ）A.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B.有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等C.有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D.有两角和一边对应相等的两个三角形全等15、一架长2.5m 的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底端0.7m ，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯子底端将滑动（ ）A.0.9mB.1.5mC.0.5mD.0.8m16、如图，△ABC 中，∠ACB=90°，BA 的垂直平分线交CB 边于D ，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、517、如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且AB=6cm ，则△DEB 的周长为（ ）A 、4cmB 、6cmC 、8 cmD 、10cm18、三角形的三个内角中，锐角的个数不少于 （ ） A 1 个 B 2 个 C 3个 D 不确定19、适合条件∠A =∠B =31∠C 的三角形一定是 （ ） A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 任意三角形20、用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；②矩形；③正方形；④等腰三角形，一定可以拼成的图形是 （ ） A ①②④ B ②④ C ①④ D ②③21、等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为 （ ） A 17 B 22 C 13 D 17或2222、面积相等的两个三角形 （ ） A 必定全等 B 必定不全等 C 不一定全等 D 以上答案都不对二、细心填一填（每小题3分，共18分）1、已知等腰三角形的一个角是36°，则另两个角分别是 ；2、全等△的对应角相等的逆命题是 、它是 命题。

单元测试卷一、选择题：（每小题3分，共30分）1．（3分）如果不等式ax＜b的解集是x＜，那么a的取值范围是（）A．a≥0 B．a≤0 C．a＞0 D．a＜02．（3分）若0＜a＜1，则下列四个不等式中正确的是（）A．a＜1＜B．a＜＜1 C．＜a＜1 D．1＜＜a3．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）A．m≤3 B．m＞3 C．m＜3 D．m=34．（3分）关于x的不等式2x﹣a≤﹣1的解集如图所示，则a的取值是（）A．0 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣15．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．6．（3分）不等式组的解集为（）A．﹣2＜x＜4 B．x＜4或x≥﹣2 C．﹣2≤x＜4 D．﹣2＜x≤47．（3分）已知ab=4，若﹣2≤b≤﹣1，则a的取值范围是（）A．a≥﹣4 B．a≥﹣2 C．﹣4≤a≤﹣1 D．﹣4≤a≤﹣28．（3分）已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．9．（3分）王老师带领学生到植物园参观，门票每张5元，购票才发现所带的钱不足，售票处工作人员告诉他：如果参观人数50人以上（含50人），可以按团体票享受8折优惠，于是王老师买了50张票，结果发现所带的钱还有剩余，那么王老师和他的学生至少有（）人．A．40 B．41 C．42 D．4310．（3分）如果关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是（）A．m＞1 B．m≥1 C．m＜1 D．m≤1二、填空题：（每小题3分，共30分）11．（3分）一次函数y=﹣2x+b中，当x=1时，y＜1，当x=﹣1时，y＞0．则b 的取值范围是．12．（3分）不等式2（x﹣3）≤2a+1的自然数解只有0、1、2三个，则a的取值范围是．13．（3分）不等式组的解集是x≤3，那么a的取值范围．14．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是．15．（3分）不等式的最小整数解是．16．（3分）若不等式组无解，则a的取值范围是．17．（3分）若不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2012=．18．（3分）已知不等式组，x的整数解是1、2、3，则最大整数解b 和最小整数a的差为．19．（3分）若不等式组的解集是空集，则a，b的大小关系是．20．（3分）已知关于x的不等式组只有5个整数解，则a的取值范围是．三、解答题：（共60分）21．（8分）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来并写出非负整数解．22．（8分）如果关于x的不等式组整数解仅为1、2、3，那么适合条件的有序整数对（a，b）共有多少个？23．（10分）奥运会期间，某旅行社组团去北京观看某场足球比赛，入住某宾馆．已知该宾馆一楼房间比二楼房间少5间，该旅游团有48人，若全部安排在一楼，每间住4人，房间不够，每间住5人，有房间没住满．若全部安排在二楼，每间住3人，房间不够，每间住4人，则有房间没住满．你能根据以上信息确定宾馆一楼有多少房间吗？24．（10分）附加题：某校组织部分师生到甲地考察，学校到甲地的全程票价为25元，对集体购票，客运公司有两种优惠方案供选择：方案1：所有师生按票价的88%购票；方案2：前20人购全票，从第21人开始，每人按票价的80%购票．你若是组织者，请你根据师生人数讨论选择哪种方案更省钱？25．（12分）已知关于x、y的方程组，且它的解是一对正数．（1）试用含m的式子表示方程组的解；（2）求实数m的取值范围；（3）化简|m﹣4|+|m+1|．26．（12分）为了更好地治理水质，保护环境，我县污水处理公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种设备可供选择，月处理污水分别为240m3/月、200m3/月，经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．（1）若污水处理公司购买设备的预算资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案？（2）若每月需处理的污水约2040m3，在不突破资金预算的前提下，为了节约资金，又要保证治污效果，请你为污水处理公司设计一种最省钱的方案．参考答案与试题解析一、选择题：（每小题3分，共30分）1．（3分）如果不等式ax＜b的解集是x＜，那么a的取值范围是（）A．a≥0 B．a≤0 C．a＞0 D．a＜0【考点】C3：不等式的解集．【分析】根据不等式的解集中不等号的方向不变进而得出a的取值范围．【解答】解：∵不等式ax＜b的解集是x＜，∴a＞0，故选：C．【点评】此题主要考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出a的符号是解题关键．2．（3分）若0＜a＜1，则下列四个不等式中正确的是（）A．a＜1＜B．a＜＜1 C．＜a＜1 D．1＜＜a【考点】C2：不等式的性质．【分析】代入一个特殊值计算比较即可．【解答】解：当a=0.5时，=2，故选A．【点评】代入特殊值进行比较可简化运算．3．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）A．m≤3 B．m＞3 C．m＜3 D．m=3【考点】CB：解一元一次不等式组．【专题】11 ：计算题．【分析】先解不等式组，然然后根据不等式的解集，得出m的取值范围即可．【解答】解：，解①得，x＞3；解②得，x＞m，∵不等式组的解集是x＞3，则m≤3．故选A．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，根据的法则是：大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．4．（3分）关于x的不等式2x﹣a≤﹣1的解集如图所示，则a的取值是（）A．0 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集．【专题】11 ：计算题．【分析】首先根据不等式的性质，解出x≤，由数轴可知，x≤﹣1，所以，=﹣1，解出即可；【解答】解：不等式2x﹣a≤﹣1，解得，x≤，由数轴可知，x≤﹣1，所以，=﹣1，解得，a=﹣1；故选：D．【点评】本题主要考查了不等式的解法和在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．【分析】分别求出各不等式的解集，并求出其公共解集，在数轴上表示出来即可．【解答】解：，由①得，x≥1；由②得，x＜2，故此不等式组的解集为：1≤x＜2．在数轴上表示为：故选D．【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集及解一元一次不等式组，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．6．（3分）不等式组的解集为（）A．﹣2＜x＜4 B．x＜4或x≥﹣2 C．﹣2≤x＜4 D．﹣2＜x≤4【考点】CB：解一元一次不等式组．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：，解①得：x≥﹣2，解②得：x＜4，∴不等式组的解集为：﹣2≤x＜4，故选：C．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．7．（3分）已知ab=4，若﹣2≤b≤﹣1，则a的取值范围是（）A．a≥﹣4 B．a≥﹣2 C．﹣4≤a≤﹣1 D．﹣4≤a≤﹣2【考点】C2：不等式的性质．【分析】根据已知条件可以求得b=，然后将b的值代入不等式﹣2≤b≤﹣1，通过解该不等式即可求得a的取值范围．【解答】解：由ab=4，得b=，∵﹣2≤b≤﹣1，∴﹣2≤≤﹣1，∴﹣4≤a≤﹣2．故选D．【点评】本题考查的是不等式的基本性质，不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．8．（3分）已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组；D1：点的坐标；P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．【专题】11 ：计算题．【分析】先得出点M关于x轴对称点的坐标为（1﹣2m，1﹣m），再由第一象限的点的横、纵坐标均为正可得出关于m的不等式，继而可得出m的范围，在数轴上表示出来即可．【解答】解：由题意得，点M关于x轴对称的点的坐标为：（1﹣2m，1﹣m），又∵M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，∴，解得：，在数轴上表示为：．故选：A．【点评】此题考查了在数轴上表示不等式解集的知识，及关于x轴对称的点的坐标的特点，根据题意得出点M对称点的坐标是解答本题的关键．9．（3分）王老师带领学生到植物园参观，门票每张5元，购票才发现所带的钱不足，售票处工作人员告诉他：如果参观人数50人以上（含50人），可以按团体票享受8折优惠，于是王老师买了50张票，结果发现所带的钱还有剩余，那么王老师和他的学生至少有（）人．A．40 B．41 C．42 D．43【考点】C9：一元一次不等式的应用．【分析】首先设王老师和他的学生共有x人，由题意得：5×人数＞5元×8折×人数，根据不等关系列出不等式，再解不等式即可．【解答】解：设王老师和他的学生共有x人，由题意得：5x＞5×80%×50，解得：x＞40，因此至少有41人，故选：B．【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出不等式．10．（3分）如果关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是（）A．m＞1 B．m≥1 C．m＜1 D．m≤1【考点】CB：解一元一次不等式组．【分析】根据已知得出关于m的不等式，求出即可．【解答】解：∵x的不等式组无解，∴m+1≤3﹣m，解得：m≤1，故选D．【点评】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集的应用，解此题的关键是能得出关于m的不等式．二、填空题：（每小题3分，共30分）11．（3分）一次函数y=﹣2x+b中，当x=1时，y＜1，当x=﹣1时，y＞0．则b 的取值范围是﹣2＜b＜3．【考点】F5：一次函数的性质．【分析】将x=1时，y＜1及x=﹣1时，y＞0分别代入y=﹣2x+b，得到关于b的一元一次不等式组，解此不等式组，即可求出b的取值范围．【解答】解：由题意，得，解此不等式组，得﹣2＜b＜3．故答案为﹣2＜b＜3．【点评】本题考查了一次函数的性质，将已知条件转化为一元一次不等式组是解题的关键．12．（3分）不等式2（x﹣3）≤2a+1的自然数解只有0、1、2三个，则a的取值范围是﹣1.5≤a＜﹣0.5．【考点】C7：一元一次不等式的整数解．【分析】首先求得不等式的解集，然后根据不等式的自然数解只有0、1、2三个，即可得到一个关于a的不等式，从而求得a的范围．【解答】解：解不等式得：x≤a+3.5．不等式的自然数解只有0、1、2三个，则自然数解是：0，1，2．根据题意得：2≤a+3.5＜3，解得：﹣1.5≤a＜﹣0.5．故答案为﹣1.5≤a＜﹣0.5．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．13．（3分）不等式组的解集是x≤3，那么a的取值范围a＞1．【考点】CB：解一元一次不等式组．【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据不等式的同小取小列出不等式，然后求解即可．【解答】解：，解不等式②得，x≤3，∵不等式组的解集是x≤3，∴2a+1＞3，解得a＞1，∴a的取值范围a＞1．故答案为：a＞1．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．14．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是m≤3．【考点】C3：不等式的解集．【专题】2B ：探究型．【分析】根据“同大取较大”的法则进行解答即可．【解答】解：∵不等式组的解集是x＞3，∴m≤3．故答案为：m≤3．【点评】本题考查的是不等式的解集，熟知“同大取较大”的法则是解答此题的关键．15．（3分）不等式的最小整数解是x=3．【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．【分析】先求出一元一次不等式组的解集，再根据x是整数得出最小整数解．【解答】解：，解不等式①，得x≥1，解不等式②，得x＞2，所以不等式组的解集为x＞2，所以最小整数解为3．故答案为：x=3．【点评】此题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．16．（3分）若不等式组无解，则a的取值范围是a≥2．【考点】CB：解一元一次不等式组．【分析】根据“大大小小找不到（无解）”的法则求解，但是要注意当两数相等时，解集也是空集即无解，不要漏掉相等这个关系．【解答】解：不等式组无解，根据大大小小找不到（无解）可知：2a﹣1≥a+1，解得a≥2．故答案为：a≥2．【点评】主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．但是要注意当两数相等时，解集也是空集即无解，不要漏掉相等这个关系．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．17．（3分）若不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2012=1．【考点】CB：解一元一次不等式组．【专题】11 ：计算题．【分析】先求出两个不等式的解集，再根据解集列出方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：，解不等式①得，x＜，解不等式②得，x＞a+2，所以，不等式组的解集是a+2＜x＜，∵不等式组的解集是﹣1＜x＜1，∴a+2=﹣1，=1，解得a=﹣3，b=2，∴（a+b）2012=（﹣3+2）2012=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，根据不等式组的解集列出关于a、b的方程是解题的关键．18．（3分）已知不等式组，x的整数解是1、2、3，则最大整数解b 和最小整数a的差为30．【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解进而求得a、b的取值范围，得出答案即可．【解答】解：不等式组解集为≤x≤，因为整数解为1、2、3，所以0＜≤1，3≤＜4，即0＜a≤9，24≤b＜32；所因此b的最大整数为31，a的最小整数为1，差为31﹣1=30．故答案为：30．【点评】此题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．19．（3分）若不等式组的解集是空集，则a，b的大小关系是a≤b．【考点】C3：不等式的解集．【分析】因为不等式组的解集是空集，利用不等式组解集的确定方法即可求出答案．【解答】解：∵不等式组的解集是空集，∴a≤b．故答案为：a≤b．【点评】本题考查由不等式组解集的表示方法来确定a，b的大小，也可以利用数轴来求解．20．（3分）已知关于x的不等式组只有5个整数解，则a的取值范围是﹣4＜a≤﹣3．【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．【分析】先解每一个不等式，再根据不等式组有5个整数解，确定含a的式子的取值范围．【解答】解：，解不等式①，得x≥a，解不等式②，得x＜2，∵不等式组有5个整数解，即：1，0，﹣1，﹣2，﹣3，∴﹣4＜a≤﹣3，故答案为：﹣4＜a≤﹣3．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解．关键是先解每一个不等式，再根据整数解的个数，确定含a的代数式的取值范围．三、解答题：（共60分）21．（8分）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来并写出非负整数解．【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．【专题】11 ：计算题．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【解答】解：，由①得：x＞﹣1；由②得：x≤4，则不等式组的解集为﹣1＜x≤4，即不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（8分）如果关于x的不等式组整数解仅为1、2、3，那么适合条件的有序整数对（a，b）共有多少个？【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．【分析】先求出不等式组的解，得出关于a、b的不等式组，求出整数a、b的值，即可得出答案．【解答】解：∵解不等式9x﹣a≥0得：x≥，解不等式8x﹣b＜0得：x＜，∴不等式组的解集是≤x＜，∵关于x的不等式组整数解仅有1，2，3，∴0＜≤1，3＜≤4，解得：0＜a≤9，24＜b≤32，即a的值是1，2，3，4，5，6，7，8，9，b的值是25，26，27，28，29，30，31，32，即适合这个不等式组的整数a，b组成的有序数对（a，b）共有72个．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出a、b的值．23．（10分）北京奥运会期间，某旅行社组团去北京观看某场足球比赛，入住某宾馆．已知该宾馆一楼房间比二楼房间少5间，该旅游团有48人，若全部安排在一楼，每间住4人，房间不够，每间住5人，有房间没住满．若全部安排在二楼，每间住3人，房间不够，每间住4人，则有房间没住满．你能根据以上信息确定宾馆一楼有多少房间吗？【考点】C9：一元一次不等式的应用．【专题】12 ：应用题．【分析】本题可设1楼有x间房，则2楼有x+5间房，再根据题意可列出不等式：4x＜48，5x＞48，且3（x+5）＜48，4（x+5）＞48，再分别计算出x的取值，在数轴上表示出来，看相交的部分有哪些即为答案．【解答】解：设1楼有x间房，则2楼有x+5间房，根据题意有：4x＜48，x＜12，5x＞48，x＞9.6，且3（x+5）＜48，即x＜11，4（x+5）＞48，x＞7．在数轴上可表示为：所以9.6＜x＜11因此x=10答：一楼有10间房．【点评】本题考查的是一元一次不等式组的运用，解此类题目常常要结合数轴来判断．24．（10分）附加题：某校组织部分师生到甲地考察，学校到甲地的全程票价为25元，对集体购票，客运公司有两种优惠方案供选择：方案1：所有师生按票价的88%购票；方案2：前20人购全票，从第21人开始，每人按票价的80%购票．你若是组织者，请你根据师生人数讨论选择哪种方案更省钱？【考点】C9：一元一次不等式的应用．【专题】22 ：方案型．【分析】方案1的收费=师生人数×25×88%，方案2的收费=20×25+（师生人数﹣20）×25×80%，将两者的收费进行比较，从而可根据师生人数确定选择何种方案．【解答】解：设师生人数为x人，则按方案1：收费为25×88%•x=22x按方案2收费为：25×20+25（x﹣20）80%=20x+100答：（1）由22x＜20x+100得x＜50，即当师生人数＜50人时，选择方案1更省钱；（2）由22x=20x+100得x=50，即当师生人数等于50人时，两种方案所需的费用一样多；（3）由22x＞20x+100得x＞50，即当师生人数＞50人时，选择方案2更省钱．【点评】本题主要是根据师生人数选择确定选择方案．方案设计的问题是中考数学中就可以．25．（12分）已知关于x、y的方程组，且它的解是一对正数．（1）试用含m的式子表示方程组的解；（2）求实数m的取值范围；（3）化简|m﹣4|+|m+1|．【考点】97：二元一次方程组的解；CB：解一元一次不等式组．【分析】（1）解方程组即可得出方程组的解，（2）由方程组的解是一对正数，列出不等式组求解即可．（3）利用m的取值范围求解．【解答】解：（1）解方程组得，（2）∵方程组的解是一对正数．∴解得＜m＜4．（3）∵＜m＜4．∴|m﹣4|+|m+1|=4﹣m+m+1=5．【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解及解一元一次不等式组，解题的关键是利用解是一对正数求出m的取值范围．26．（12分）为了更好地治理水质，保护环境，我县污水处理公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种设备可供选择，月处理污水分别为240m3/月、200m3/月，经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．（1）若污水处理公司购买设备的预算资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案？（2）若每月需处理的污水约2040m3，在不突破资金预算的前提下，为了节约资金，又要保证治污效果，请你为污水处理公司设计一种最省钱的方案．【考点】C9：一元一次不等式的应用．【分析】（1）设每台A型设备和每台B型设备各需要x万元、y万元，由题意得：买一台A型设备的价钱﹣买一台B型设备的价钱=2万元；购买3台B型设备﹣购买2台A型设备比=6万元．根据等量关系列出方程组，解方程组即可；再设应购置A型号的污水处理设备a台，则购置B型号的污水处理设备（10﹣a）台，由于要求资金不能超过105万元，即购买资金12a+10（10﹣a）≤105万元，根据不等关系列出不等式，再解不等式，求出非负整数解即可；（2）再设应购置A型号的污水处理设备m台，则购置B型号的污水处理设备（10﹣m）台，由于要求资金不能超过105万元，即购买资金12m+10（10﹣m）≤105万元，再根据“每台A型设备每月处理污水240吨，每台B型设备每月处理污水200吨，每月处理的污水不低于2040吨”可得不等关系：240m+200（10﹣m）≥2040吨；把两个不等式组成不等式组，由此求出关于A型号处理机购买的几种方案，分类讨论，选择符合题意得那个方案即可．【解答】解：（1）设每台A型设备和每台B型设备各需要x万元、y万元，由题意得：，解得．设应购置A型号的污水处理设备a台，则购置B型号的污水处理设备（10﹣a）台，12a+10（10﹣a）≤105，解得：a≤2.5，∵a为非负整数，∴a=0，1，2，购买方案：①A型设备1台，B型设备9台；②A型设备2台，B型设备8台；③A型设备0台，B型设备10台；（2）设应购置A型号的污水处理设备m台，则购置B型号的污水处理设备（10﹣m）台，由题意得：，解得：1≤m≤2.5，∵m为整数，∴m=1，2，则B型购买的台数依次为9台，8台；∵A型号的污水处理设备12万元一台，比B型的贵，∴少买A型，多买B型的最省钱，故买A型1台，B型9台，答：该公司购买方案A型设备1台，B型设备9台第一种方案最省钱．【点评】此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的关键语句，列出方程和不等式．。

第九章 单元能力测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1．若曲线x 2m ＋4＋y 29＝1的一条准线方程为x ＝10，则m 的值为( )A ．8或86B ．6或56C ．5或56D ．6或86答案 D解析 由准线是x ＝10及方程形式知曲线是焦点在x 轴上的椭圆，所以a 2＝m ＋4，b 2＝9，则c ＝m －5，于是m ＋4m －5＝10，解得m ＝6或86.∵m ＋4>9，∴m >5，均符合题意．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的面积为S ＝abπ，现有一个椭圆，其中心在坐标原点，一个焦点坐标为(4,0)，且长轴长与短轴长的差为2，则该椭圆的面积为( )A ．15π B.154π C ．3πD.2554π 答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝c 2＝42，2a －2b ＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝16，a －b ＝1，得到⎩⎨⎧a ＝172，b ＝152.所以S ＝abπ＝172×152π＝2554π.3．过抛物线y ＝14x 2准线上任一点作抛物线的两条切线，若切点分别为M ，N ，则直线MN 过定点( )A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(－1,0)答案 A解析 特殊值法，取准线上一点(0，－1)．设M (x 1，14x 12)，N (x 2，14x 22)，则过M 、N 的切线方程分别为y －14x 12＝12x 1(x －x 1)，y －14x 22＝12x 2(x －x 2)．将(0，－1)代入得x 12＝x 22＝4，∴MN 的方程为y ＝1，恒过(0,1)点．4．设双曲线16x 2－9y 2＝144的右焦点为F 2，M 是双曲线上任意一点，点A 的坐标为(9,2)，则|MA |＋35|MF 2|的最小值为( )A ．9 B.365 C.425D.545答案 B解析 双曲线标准方程为x 29－y 216＝1，离心率为53，运用第二定义，将35|MF 2|转化为M 到右准线的距离．5．抛物线y ＝－ax 2(a ＜0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a4)B ．(0，14a )C ．(0，－14a )D ．(0，－a4)答案 C解析 因为a ＜0，所以方程可化为x 2＝1－a y ，所以焦点坐标为(0，－14a)．故选C.6．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于( )A.10 B ．210 C. 5D ．2 5答案 B解析 F 1(－10，0)，F 2(10，0)，2c ＝210，2a ＝2. ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝40∴(PF 1→＋PF 2→)2＝|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝40，∴|PF 1→＋PF 2→|＝210.7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)．若c 是a 与m 的等比中项，n 2是m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率等于( )A.13 B.33 C.12D.22答案 B解析 ∵c 2＝am,2n 2＝c 2＋m 2，又n 2＝c 2－m 2，∴m 2＝13c 2，即m ＝33c .∴c 2＝33ac ，则e ＝c a ＝33.8．设双曲线以椭圆x 225＋y 29＝1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±2B ．±43C ．±12D ．±34答案 C解析 椭圆x 225＋y 29＝1中，a ＝5，c ＝4.设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．所以c ＝5，a 2c ＝4.所以a 2＝20，b 2＝c 2－a 2＝5.所以双曲线方程为x 220－y 25＝1.所以其渐近线方程为y ＝±520x ＝±12x ，所以其斜率为±12.解决此题关键是分清椭圆与双曲线中的a ，b ，c 关系，这也是极易混淆之处． 9．已知椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点为F 1、F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则△MF 1F 2是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形答案 C解析 由x 23＋y 24＝1知a ＝2，b ＝3，c ＝1，e ＝12.则|MF 1|＋|MF 2|＝4， 又|MF 1|－|MF 2|＝1.∴|MF 1|＝52，|MF 2|＝32，又|F 1F 2|＝2.∴|MF 1|>|F 1F 2|>|MF 2|，cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22|MF 2||F 1F 2|＝0，∴∠MF 2F 1＝90°.即△MF 1F 2是直角三角形．10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为a 22(O 为原点)，则两条渐近线的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 D解析 由y ＝b a x 和x ＝a 2c 得A (a 2c ，ab c )，∴S △＝12·ab c ·c ＝12ab ，又∵S △＝12a 2，∴a ＝b ，∴其夹角为90°.11. 已知两点M (－3,0)，N (3,0)，点P 为坐标平面内一动点，且|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )到点A (－3,0)的距离的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 B解析 因为M (－3,0)，N (3,0)，所以MN →＝(6,0)，|MN →|＝6，MP →＝(x ＋3，y )，NP →＝(x －3，y )．由|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0得6(x ＋3)2＋y 2＋6(x －3)＝0，化简整理得y 2＝－12x ，所以点A 是抛物线y 2＝－12x 的焦点，所以点P 到A 的距离的最小值就是原点到A (－3,0)的距离，所以d ＝3.12．如图，过抛物线x 2＝4py (p >0)焦点的直线依次交抛物线与圆x 2＋(y －p )2＝p 2于点A 、B 、C 、D ，则AB →·CD →的值是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2答案 D解析 |AB →|＝|AF |－p ＝y A ，|CD →|＝|DF |－p ＝y D ，|AB →|·|CD →|＝y A y D ＝p 2.因为AB →，CD →的方向相同，所以AB →·CD →＝|AB →|·|CD →|＝y A y D ＝p 2.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为________． 答案2－1解析 令AB ＝2，则AC ＝22，∴椭圆中c ＝1,2a ＝2＋22⇒a ＝1＋2， 可得e ＝c a ＝12＋1＝2－1.命题思路 本题考查椭圆概念和基本量的关系．14．若焦点在x 轴上的椭圆x 245＋y 2b 2＝1上有一点，使它与两个焦点的连线互相垂直，则b 的取值范围是________．答案 －3102≤b ≤3102且b ≠0解析 设椭圆的两焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)以F 1F 2为直径的圆与椭圆有公共点时，在椭圆上必存在点满足它与两个焦点的连线互相垂直，此时条件满足c ≥b ，从而得c 2≥b 2⇒a 2－b 2≥b 2⇒b 2≤12a 2＝452，解得－3102≤b ≤3102且b ≠0.15．设双曲线x 2－y 2＝1的两条渐近线与直线x ＝22围成的三角形区域(包含边界)为E ，P (x ，y )为该区域的一个动点，则目标函数z ＝x －2y 的最小值为________．答案 －2216．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，若|P A →|－|PB →|＝k ，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若OP →＝12(OA →＋OB →)，则动点P 的轨迹为椭圆；③方程2x 2－5x ＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x 235＋y 2＝1有相同的焦点． 其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)． 答案 ③④解析 ①错误，当k >0且k <|AB |，表示以A 、B 为焦点的双曲线的一支；当k >0且k ＝|AB |时表示一条射线；当k >0且k >|AB |时，不表示任何图形；当k <0时，类似同上．②错误．P 是AB 中点，且P 到圆心与A 的距离平方和为定值．故P 的轨迹应为圆．③④正确，很易验证．多选题的特点是知识点分散，涉及面广，且只有每一个小题都做对时才得分．故为易错题，要求平时掌握知识点一定要准确，运算要细致．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设抛物线y 2＝2px (p ＞0)被直线y ＝2x －4截得的弦AB 长为3 5. (1)求抛物线的方程；(2)设直线AB 上有一点Q ，使得A 、Q 、B 到抛物线的准线的距离成等差数列，求Q 点坐标．解析 (1)将y ＝2x －4代入y 2＝2px 得 (2x －4)2＝2px ，即2x 2－(8＋p )x ＋8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝8＋p2，x 1x 2＝4.所以|AB |＝(1＋22)[(8＋p 2)2－4×4]＝3 5.所以p ＝2.所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)①当x >－1时，设Q (x ，y )，因为抛物线的准线为x ＝－1. 所以由题意得2(x ＋1)＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)． 即x ＝x 1＋x 22＝52，所以y ＝2x －4＝1.即Q 点坐标为(52，1)．②当x <－1时，2(－x －1)＝(x 1＋1)＋(x 2＋2) ∴x ＝－x 1＋x 22－2＝－92，y ＝－13∴Q ＝(－92－13)综上，Q 为(52，1)或(－92，－13)．18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，有一个以F 1(0，－3)和F 2(0，3)为焦点、离心率为32的椭圆．设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x 、y 轴的交点分别为A 、B ，且向量OM →＝OA →＋OB →.求：(1)点M 的轨迹方程； (2)|OM →|的最小值．解析 (1)椭圆方程可写为y 2a 2＋x 2b 2＝1，式中a >b >0，且⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，3a ＝32. 得a 2＝4，b 2＝1，∴曲线C 的方程为 x 2＋y 24＝1(x >0，y >0)．y ＝21－x 2(0<x <1)，y ′＝－2x1－x 2. 设P (x 0，y 0)，因P 在C 上，有0<x 0<1，y 0＝21－x 02， y ′|x ＝x 0＝－4x 0y 0，得切线AB 的方程为y ＝－4x 0y 0(x －x 0)＋y 0.设A (x,0)和B (0，y )，由切线方程得 x ＝1x 0，y ＝4y 0. 由OM →＝OA →＋OB →得M 的坐标为(x ，y )，由x 0，y 0满足C 的方程，得点M 的轨迹方程为 1x 2＋4y 2＝1(x >1，y >2)． (2)∵|OM →|2＝x 2＋y 2， y 2＝41－1x2＝4＋4x 2－1， ∴|OM →|2＝x 2－1＋4x 2－1＋5≥4＋5＝9，且当x 2－1＝4x 2－1，即x ＝3>1时，上式取等号． 故|OM →|的最小值为3.19．(本小题满分12分)已知点A (3,0)，点B 在x 轴上，点M 在直线x ＝1上移动，且MA →·MB →＝0，动点C 满足MC →＝3BC →.(1)求C 点的轨迹D 的方程；(2)设直线l ：y ＝k (x －1)与曲线D 有两个不同的交点E ，F ，点P (0,1)，当∠EPF 为锐角时，求k 的取值范围．解析 (1)设M (1，y 0)，C (x ，y )，B (b,0)． ∵MC →＝3BC →，∴b ＝1＋2x 1＋2，0＝y 0＋2y 1＋2.①又MA →·MB →＝0，MA →＝(2，－y 0)，MB →＝(b －1，－y 0)， ∴2(b －1)＋y 02＝0.②由①②得y 2＝13(1－x )，这就是C 点的轨迹D 的方程．(2)l ：y ＝k (x －1)代入y 2＝13(1－x )得3k 2x 2＋(1－6k 2)x ＋3k 2－1＝0，解得x 1＝1，x 2＝3k 2－13k 2，则y 1＝0，y 2＝－13k . 设E (1,0)，则F (3k 2－13k 2，－13k)， PE →＝(1，－1)，PF →＝(3k 2－13k 2，－13k－1)． 当∠EPF 为锐角时，PE →·PF →＝3k 2－13k 2＋(13k ＋1)>0，解得k <－12或k >13. 当PF →＝λPE →时，有k ＝－1，应舍去．故k 的取值范围为(－∞，－1)∪(－1，－12)∪(13，＋∞)．20．(本小题满分12分)如右图所示，等腰三角形ABC 的底边BC 的两端点是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点，且AB 的中点D 在椭圆E 上．(1)若∠ABC ＝60°，|AB |＝4，试求椭圆E 的方程； (2)设椭圆离心率为e ，求cos ∠ABC .解析 (1)因为∠ABC ＝60°，且△ABC 为等腰三角形，所以△ABC 是正三角形． 又因为点B ，C 是椭圆的两焦点，设椭圆焦距为2c ，则2c ＝|BC |＝|AB |＝4，如右图所示，连结CD ，由AB 中点D 在椭圆上，得2a ＝|BD |＋|CD |＝12|AB |＋32|AB |＝2＋23，所以a ＝1＋3，从而a 2＝4＋23，b 2＝a 2－c 2＝23， 故所求椭圆E 的方程为x 24＋23＋y 223＝1.(2)设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a ，b ，c ，且|AD |＝|DB |＝m ，连结CD ， 则|BO |＝|OC |＝c ，|DC |＝2a －m ，在Rt △AOB 中，cos ∠ABC ＝c 2m.① 在△BCD 中，由余弦定理，得 cos ∠ABC ＝(2c )2＋m 2－(2a －m )22×(2c )×m.②由①②式得2m ＝2a 2－c 2a ，代入①式得cos ∠ABC ＝ac 2a 2－c 2＝e2－e 2.21．(本小题满分12分)如右图所示，F 1(－3,0)，F 2(3,0)是双曲线C 的两焦点，直线x ＝43是双曲线C 的右准线，A 1，A 2是双曲线C 的两个顶点，点P 是双曲线C 右支上异于A 2的一个动点，直线A 1P ，A 2P 交双曲线C 的右准线分别于M ，N 两点．(1)求双曲线C 的方程； (2)求证：F 1M →·F 2N →是定值． 解析 (1)由已知，c ＝3，a 2c ＝43，所以a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝5.所以所求双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.(2)设P 的坐标为(x 0，y 0)，M ，N 的纵坐标分别为y 1，y 2，因为A 1(－2,0)，A 2(2,0)， 所以A 1P →＝(x 0＋2，y 0)，A 2P →＝(x 0－2，y 0)，A 1M ＝(103，y 1)，A 2N →＝(－23，y 2)．因为A 1P →与A 1M 共线， 所以(x 0＋2)y 1＝103y 0，所以y 1＝10y 03(x 0＋2).同理，y 2＝－2y 03(x 0－2).因为F 1M →＝(133，y 1)，F 2N →＝(－53，y 2)．所以F 1M →·F 2N →＝－659＋y 1y 2＝＝－659－20y 029(x 02－4)＝－659－20×5(x 02－4)49(x 02－4)＝－659－259＝－10.22．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－c,0)和F 2(c,0)(c >0)，过点E (a 2c，0)的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且F 1A ∥F 2B ，|F 1A |＝2|F 2B |.(Ⅰ)求椭圆的离心率； (Ⅱ)求直线AB 的斜率；(Ⅲ)设点C 与点A 关于坐标原点对称，直线F 2B 上有一点H (m ，n )(m ≠0)在△AF 1C 的外接圆上，求nm的值．解析 (Ⅰ)由F 1A ∥F 2B 且|F 1A |＝2|F 2B |，得|EF 2||EF 1|＝|F 2B ||F 1A |＝12，从而a 2c －c a 2c ＋c ＝12.整理，得a 2＝3c 2.故离心率e ＝c a ＝33.(Ⅱ)由(Ⅰ)，得b 2＝a 2－c 2＝2c 2.所以椭圆的方程可写为2x 2＋3y 2＝6c 2. 设直线AB 的方程为y ＝k (x －a 2c)，即y ＝k (x －3c )．由已知设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则它们的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3c )，2x 2＋3y 2＝6c 2. 消去y 并整理，得(2＋3k 2)x 2－18k 2cx ＋27k 2c 2－6c 2＝0. 依题意，Δ＝48c 2(1－3k 2)>0，得－33<k <33. 而x 1＋x 2＝18k 2c 2＋3k 2，①x 1x 2＝27k 2c 2－6c 22＋3k 2.②由题设知，点B 为线段AE 的中点，所以 x 1＋3c ＝2x 2.③联立①③解得x 1＝9k 2c －2c 2＋3k 2，x 2＝9k 2c ＋2c2＋3k 2.将x 1，x 2代入②中，解得k ＝±23.(Ⅲ)解法一 由(Ⅱ)可知x 1＝0，x 2＝3c2.当k ＝－23时，得A (0，2c )，由已知得C (0，－2c )． 线段AF 1的垂直平分线l 的方程为y －22c ＝－22(x ＋c 2)，直线l 与x 轴的交点(c2，0)是△AF 1C 的外接圆的圆心．因此外接圆的方程为(x －c 2)2＋y 2＝(c 2＋c )2. 直线F 2B 的方程为y ＝2(x －c )，于是点H (m ，n )的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ (m －c 2)2＋n 2＝9c 24，n ＝2(m －c ).由m ≠0，解得⎩⎨⎧ m ＝53c ，n ＝223c ，故n m ＝225. 当k ＝23时，同理可得n m ＝－225. 解法二 由(Ⅱ)可知x 1＝0，x 2＝3c 2. 当k ＝－23时，得A (0，2c )，由已知得C (0，－2c )． 由椭圆的对称性知B ，F 2，C 三点共线．因为点H (m ，n )在△AF 1C 的外接圆上，且F 1A ∥F 2B ，所以四边形AF 1CH 为等腰梯形．由直线F 2B 的方程y ＝2(x －c )，知点H 的坐标为(m ，2m －2c )．因为|AH |＝|CF 1|，所以m 2＋(2m －2c －2c )2＝a 2，解得m ＝c (舍)或m ＝53 c ．则n ＝223c .所以n m ＝225. 当k ＝23时，同理可得n m ＝－225.。

证明（二）单元测试（北师版）试卷简介:考查学生对于几何计算以及证明的思考流程，需要标注条件，分析结构等，要求学生掌握常见问题的处理思路，比如遇到中点怎么想，遇到面积怎么想，有序思考。

一、单选题(共10道，每道8分)1.如图,△ABC中,AD是中线,AE是角平分线,CF⊥AE于F,AB=5,AC=2,则DF的长为( )A.3B.2C. D.12.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB边的垂直平分线交直线BC于点D,若∠BAD-∠DAC=22.5°,则∠B的度数是( )A.37.5°B.22.5°或52.5°C.67.5°D.37.5°或67.5°3.如图,BD,CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线．已知AG⊥BD于点D,交BC于点G，AF⊥CE 于点E,交BC于点F．若BF=2,ED=3,GC=4,则△ABC的周长为( )A.30B.28C.24D.214.如图,在△ABC中,已知BD和CE分别是边AC,AB上的中线,并且BD⊥CE.若BD=4,CE=6,则△ABC的面积等于( )A.12B.14C.16D.185.如图,等边三角形ABC中,D,E分别为AB,BC边上的两个动点,且总使AD=BE,AE与CD交于点F,AG⊥CD于点G,若FG=3,则AF=( )A. B.5C. D.66.如图,将△ABC绕点C(0,-1)旋转180°得到,设点A的坐标为(a,b),则点的坐标为( )A.(-a,-b)B.(-a.-b-1)C.(-a,-b+1)D.(-a,-b-2)7.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,AC=8,点O在AC上,且AO=2,点P是AB上一动点.连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转90°得到线段OD,要使点D恰好落在BC边上,则AP的长度为( )A. B.6C.5D.48.如图,在△ABC中,过AB的中点F作DE⊥BC,垂足为E,交CA的延长线于点D.若EF=3,BE=4, ∠C=45°,则DF:FE的值为( )A.2:1B.5:3C.8:3D.7:39.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,,BC=1.点D在AC边上,将△ADB沿直线BD翻折后,点A落在点E处,如果AD⊥ED,那么△ABE的面积是( )A.1B.C. D.10.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°.以A为圆心,任意长为半径画弧,分别交AB,AC于点M,N,再分别以M,N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是( )①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的垂直平分线上;④.A.1B.2C.3D.4二、填空题(共2道，每道8分)11.如图，已知AB=24，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD=10，BC=20．若点E是CD的中点，则AE的长为____．12.如图，在△ABC中，E是BC边上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点．设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为，若，则____．。

2021年人教A版（2019）必修第二册数学第九章统计单元测试卷（1）一、选择题1. 某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，某月生产这三种产品的数量之比依次为2:a:3，现用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本，已知B种型号产品抽取了60件，则a=( )A.3B.4C.5D.62. 一支田径队有男运动员49人，女运动员35人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为24的样本，则应从男运动员中抽出的人数为( )A.10B.12C.14D.163. 设两组数据分别为x1，x2，⋯，x9和x2，x3，⋯，x8，且x1<x2<x3<x4<⋯<x8<x9，则这两组数据相比，不变的数字特征是()A.中位数B.极差C.方差D.平均数4. 甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为x¯甲、x¯乙，标准差分别为σ甲、σ乙，则()A.x¯甲<x¯乙，σ甲<σ乙B.x¯甲<x¯乙，σ甲>σ乙C.x¯甲>x¯乙，σ甲<σ乙D.x¯甲>x¯乙，σ甲>σ乙5. 2019年国庆黄金周影市火爆依旧，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》票房不断刷新，为了解我校高三2300名学生的观影情况，随机调查了100名在校学生，其中看过《我和我的祖国》或《中国机长》的学生共有80位，看过《中国机长》的学生共有60位，看过《中国机长》且看过《我和我的祖国》的学生共有50位，则该校高三年级看过《我和我的祖国》的学生人数的估计值为()A.1150B.1380C.1610D.18606. 如图1和图2分别是我国1997年~2000年全国初中生在校人数和全国初中学校数的统计图，由图可知，从1997年~2000年，我国初中生在校人数（）A.逐年增加，学校数也逐年增加B.逐年增加，学校数却逐年减少C.逐年减少，学校数也逐年减少D.逐年减少，学校数却逐年增加7. 某工厂利用随机数表对生产的200个零件进行抽样测试，先将200个零件进行以下编号，001，002，…，199，200，从中抽取50个样本．下图提供随机数表的第1行与第2行，若从表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是( ) 32211834207864540732524206443811834356773578905642 84421253313457860736253007328623457889072368960804A.118B.078C.064D.0568. 高校毕业生就业关乎千家万户．在2020年8月1日新疆自治区政府新闻办召开的疫情防控工作新闻发布会上，自治区人力资源和社会保障厅党组副书记、厅长热合满江·达吾提介绍，在当前疫情防控形势下，我区以离校未就业高校毕业生为重点，优化就业服务，调整工作方式方法，加大线上服务力度，助力未就业高校毕业生早就业快就业．据自治区人社厅统计，截至7月31日，全区近8万名高校毕业生实现就业．其中区属普通高校毕业生10.23万人，实现就业66975人，就业率m%；内地高校新疆籍毕业生返疆报到登记18625人，实现就业n人，就业率约m%，与去年同期基本持平．则n的值约为( )A.12194B.13002C.12561D.128459.某校学生会为了解高二年级600名学生课余时间参加中华传统文化活动的情况（每名学生最多参加7场）.随机抽取50名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下：则以下四个结论中正确的是( )A.表中m的数值为10B.估计该年级参加中华传统文化活动场数不高于2场的学生约为108人C.估计该年级参加中华传统文化活动场数不低于4场的学生约为216人D.若采用系统抽样方法进行调查，从该校高二600名学生中抽取容量为30的样本，则分段间隔为1510. 某学校鼓励学生参加社区服务，学生甲2019年每月参加社区服务的时长（单位：小时）分别为x1,x2，…，x12，其均值和方差分别为x¯和s2，若2020年甲每月参加社区服务的时长增加1小时，则2020年甲参加社区服务时长的均值和方差分别为( ) A.x¯,s2 B.1+x¯,1+s2 C.x¯，1+s2 D.1+x¯,s211. 新冠肺炎期间某商场开通三种平台销售商品，收集一月内的数据如图甲，为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，该商场用分层抽样的方法抽取4%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图乙．下列说法错误的是（）A.样本容量为240B.若样本中对平台三满意的人数为40，则m=40%C.总体中对平台二满意的消费者人数约为300D.样本中对平台一满意的人数为24人12. 某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的学生有60人，则下列说法不正确的是( )A.样本中支出在[50,60)元的频率为0.3B.样本中支出不少于40元的人数有132C.若该校有2000名学生，则定有600人支出在[50,60)元D.n的值为200二、填空题13. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．14. 设某总体是由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为________．1818079245441716580979838619 6206765003105523640515266238．15. 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50, 150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50, 75)中的频数为100，则n的值为________．16. 某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．若下面是尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)，则a x +by的值为________.三、解答题17. 某科研院所共有科研人员800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的240人，无职称的80人，欲了解该科研院所科研人员的创新能力，决定抽取100名科研人员进行调查，应怎样进行抽样？18. 对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据如表．(1)画出茎叶图，由茎叶图判断哪位选手的成绩较稳定？(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、中位数、标准差，并判断选谁参加比赛更合适．19. 目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区1000名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）.潜伏期低于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期不低于平均数的患者，称为“长潜伏者”．(1)求这1000名患者潜伏期的众数、平均数；(2)计算出这1000名患者中“短潜伏者”的人数．20.为选拔选手参加“传承中国数学文化”大赛活动，某中学进行了一次“中国数学文化知识”考试.为了解本次竞赛中学生的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的成绩（所得分数取正整数，满分100分）进行统计，按照[50，60），[60，70），…，[90，100]的分组作出频率分布直方图，如图4所示.(1)求样本中成绩在[70，90)内的频率；(2)若该校学生共2000人，认定不低于90分的学生为优秀学生，试用样本估计全校这次考试中优秀学生的人数.21. 新疆小南瓜以沙甜闻名全国，小田打算从新疆运输小南瓜去上海，于是从某瓜农的瓜地里随机挑选了100个，其重量分别在[100,200)，[200,300)，[300,400)，[400,500)，[500,600)，[600,700]（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示．(1)请根据频率分布直方图估计小南瓜的平均重量；(2)已知瓜地里还有2万个小南瓜已经成熟，可以采摘，小田想全部购买，可是瓜农要求超过400克的小南瓜以5元一个的价格出售，其他的以3元一个的价格出售，将频率视为概率．若新疆到上海往返的运费约2000元，请问这2万个小南瓜在上海以每斤（500克）多少元定价才能保证小田的利润不少于5000元？（结果保留一位小数）22. 某市在创建国家级卫生城（简称“创卫”）的过程中，相关部门需了解市民对“创卫”工作的满意程度，若市民满意指数（满意指数=满意程度平均分）不低于0.8，“创卫”工作100按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此该部门随机调查了100名市民，根据这100名市民对“创卫”工作满意程度给出的评分，分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中x的值；(2)为了解部分市民给“创卫”工作评分较低的原因，该部门从评分低于70分的市民中用分层抽样的方法随机选取8人进行座谈，求应选取评分在[50,60)的市民人数；(3)假设同组中的每个数据用该组的中点值代替，根据你所学的统计知识，判断该市“创卫”工作是否需要进一步整改，并说明理由．参考答案与试题解析2021年人教A 版（2019）必修第二册数学第九章 统计单元测试卷（1）一、选择题1.【答案】C【考点】分层抽样方法【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，a a+5=60120，解得a =5．故选C ．2.【答案】C【考点】分层抽样方法【解析】先求出每个个体被抽到的概率，再用男运动员的人数乘以此概率，即得所求．【解答】解：每个个体被抽到的概率等于2449+35=27， 则应从男运动员中抽出的人数为49×27=14.故选C .3.【答案】A【考点】极差、方差与标准差众数、中位数、平均数【解析】【解答】解：原始中位数为x 5，去掉x 1，x 9后，剩余x 2<x 3<x 4<⋯<x 8，中位数仍为x 5，A 正确；原始平均数x ¯=19(x 1+x 2+⋯+x 8+x 9)，后来平均数x ′¯=17(x 2+x 3+⋯+x 8)，平均数受极端值影响较大，∴ x ¯与x ′¯不一定相同，D 不正确；S 2=19[(x 1−x ¯)2+(x 2−x ¯)2+⋯+(x 9−x ¯)2]，S ′2=17[(x 2−x ′¯)2+(x 3−x ′¯)2+⋯+(x 8−x ′¯)2]， 易知，C 不正确；原极差=x 9−x 1，后来极差=x 8−x 2，显然极差变小，B 不正确．故选A ．4.【答案】C【考点】极差、方差与标准差频率分布折线图、密度曲线【解析】利用折线图的性质直接求解．【解答】解：解：由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知x ¯甲>x ¯乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σ甲<σ乙.故选C .5.【答案】C【考点】容斥原理分层抽样方法【解析】此题暂无解析【解答】解：接受调查的100名学生中，只看过《中国机长》或《我和我的祖国》的学生人数：80−50=30，只看过《中国机长》的学生人数：60−50=10，只看过《我和我的祖国》的学生人数：30−10=20，看过《我和我的祖国》的学生人数：20+50=70，故该校高三年级学生中约有2300×0.7=1610人看过《我和我的祖国》这部影片. 故选C .6.【答案】B【考点】频率分布直方图【解析】本题考查统计中从条形图读取信息的能力，属于基础题．【解答】解：由两个条形统计图可以看出结论．由两个条形统计图可以看出，在校人数是逐年增加的，而学校数却在逐年减少．故选B.7.【答案】D【考点】简单随机抽样【解析】从第1行第4列开始向右读取数据，编号内的数据依次为118,078,064,056,⋯，故第4个样本编号是056 .【解答】解：从第1行第4列开始向右读取数据，编号内的数据依次为118，078，064，056，⋯故第4个样本编号是056 .故选D.8.【答案】A【考点】频数与频率【解析】利用就业率相同得解，属于基础题.【解答】解：由题设得66975102300=n18625，解得n的值约为12194.故选A.9.【答案】C【考点】频率分布表【解析】此题暂无解析【解答】解：m%=1−(8%+10%+20%+26%+18%+4%+2%)=12%，∴m=12，故A错误；600×(8%+10%+20%)=228人，故B错误；600×(18%+12%+4%+2%)=216人，故C正确；分段间隔为600÷30=20，故D错误.故选C.10.【答案】 D【考点】极差、方差与标准差 众数、中位数、平均数【解析】根据均值与方差的计算公式计算，即可解答. 【解答】 解：由题意，x ¯=x 1+x 2+...+x 1212， s 2=(x 1−x ¯)2+(x 2−x ¯)2+...+(x 12−x ¯)212，若时长增加1小时， 则均值为(x 1+1)+(x 2+1)+...+(x 12+1)12=x 1+x 2+...+x 12+1212=x ¯+1，方差为(x 1+1−x ¯−1)2+(x 2+1−x ¯−1)2+...+(x 12+1−x ¯−1)212=(x 1−x ¯)2+(x 2−x ¯)2+...+(x 12−x ¯)212=s 2. 故选D . 11. 【答案】 B【考点】 分层抽样方法用样本的频率分布估计总体分布【解析】对每一个选项逐一分析判断得解． 【解答】解：A ，样本容量为6000×4%=240，故选项A 正确；B ，根据题意得平台三的满意率402500×4%=40% ，m =40，不是m =40%，故选项B 错误；C ，样本可以估计总体，但会有一定的误差，总体中对平台二满意人数约为1500×20%=300，故选项C 正确；D ，总体中对平台一满意人数约为2000×4%×30%=24，故选项D 正确． 故选B ． 12.【答案】 C【考点】频率分布直方图 【解析】在A中，样本中支出在[50, 60)元的频率为0.3；在B中，样本中支出不少于40元的人数有：0.0360.03×60+60=132；在C中，n=600.3=200；D．若该校有2000名学生，则可能有600人支出在[50, 60)元．【解答】解：A，样本中支出在[50,60)元的频率为：1−(0.010+0.024+0.036)×10=0.3，故A正确；B，样本中支出不少于40元的人数有：600.3×0.36+60=132（人），故B正确；C，2000×0.3=600（人），若该校有2000名学生，则估计有600人支出在[50, 60)元，故C错误；D，n=60÷0.3=200（人），故n的值为200，故D正确.故选C.二、填空题13.【答案】15【考点】分层抽样方法收集数据的方法独立性检验【解析】试题分析：应从高二年级学生中抽取50×310=15名学生，故应填15．【解答】此题暂无解答14.【答案】19【考点】随机数的含义与应用【解析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．【解答】解：由题意可知每一个个体不大于20，故选取的这6个个体分别为18，07，17，16，09，19，所以选出的第6个个体编号为19．故答案为：19．15.【答案】1000【考点】频数与频率【解析】根据直方图中的各个矩形的面积代表了频率，先求出阅读时间在[50, 75)中的频率，再根据频率与频数的关系进行求解．【解答】解：阅读时间在[50, 75)中的频率为：0.004×25=0.1，样本容量为：n=100÷0.1=1000．故答案为：1000．16.【答案】510【考点】频率分布直方图频率分布表【解析】先求出样本容量，再利用频数和频率之间的关系和频率分布直方图进行求解即可. 【解答】解：由题意可知，样本容量=80.16=50，∴b=250=0.04，第四组的频数=50×0.08=4，∴a=50−8−20−2−4=16，y=0.0410=0.004，x=1650×110=0.032，∴a=16，b=0.04，x=0.032，y=0.004，∴ax +by=510.故答案为：510.三、解答题17.【答案】解：因为一般来说，创新能力与职称有关，所以应该用分层抽样．设样本中具有高级职称的人数为x，则100800=x160，可算得x=20，即要抽取具有高级职称的科研人员20人．类似地，可以算得要抽取具有中级职称的科研人员40人，具有初级职称的科研人员30人，无职称的科研人员10人．因此从高级职称的160人，中级职称的320人，初级职称的240人，无职称的80人中各抽取20人，40人，30人，10人即可．【考点】分层抽样方法【解析】此题暂无解析【解答】解：因为一般来说，创新能力与职称有关，所以应该用分层抽样．设样本中具有高级职称的人数为x，则100800=x160，可算得x=20，即要抽取具有高级职称的科研人员20人．类似地，可以算得要抽取具有中级职称的科研人员40人， 具有初级职称的科研人员30人，无职称的科研人员10人．因此从高级职称的160人，中级职称的320人，初级职称的240人， 无职称的80人中各抽取20人，40人，30人，10人即可． 18.【答案】解：(1)茎叶图如图所示：甲的数据波动大，乙数据波动小，故乙稳定. v 甲¯=27+38+30+37+35+316=33， v 乙¯=33+29+38+34+28+366=33，甲的中位数：31+352=33，乙的中位数：33+342=33.5；S 甲2=16[(27−33)2+(38−33)2+(30−33)2+(37−33)2+(35−33)2+(31−33)2]=473，S 乙2=16[(33−33)2+(29−33)2+(38−33)2+(34−33)2+(28−33)2+(36−33)2]=383.所以选乙参赛更合适． 【考点】极差、方差与标准差 众数、中位数、平均数 茎叶图【解析】（1）画出茎叶图，即可判断稳定者．（2）求出平均数与方差，然后判断选谁参加比赛更合适． 【解答】解：(1)茎叶图如图所示：甲的数据波动大，乙数据波动小，故乙稳定. v 甲¯=27+38+30+37+35+316=33， v 乙¯=33+29+38+34+28+366=33，甲的中位数：31+352=33，乙的中位数：33+342=33.5；S 甲2=16[(27−33)2+(38−33)2+(30−33)2+(37−33)2+(35−33)2+(31−33)2]=473，S 乙2=16[(33−33)2+(29−33)2+(38−33)2+(34−33)2+(28−33)2+(36−33)2]=383.所以选乙参赛更合适． 19.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知， 众数位于区间[6, 8)内， ∴ 众数为7，平均数x ¯=(1×0.02+3×0.08+5×0.15+7×0.18+9×0.03+11×0.03+13×0.01)×2 =6．(2)由(1)可知，平均数为6，∴ “短潜伏者”的频率为(0.02+0.08+0.15)×2=0.5， ∴ 这1000名患者中“短潜伏者”的人数为1000×0.5=500． 【考点】众数、中位数、平均数 频率分布直方图【解析】（1）由区间[6, 8)的频率最大可知众数为7；同一组数据用区间中点值作代表即可计算平均数．（2）由频数＝样本容量×频率/组距×频率即可得解． 【解答】解：(1)由频率分布直方图可知， 众数位于区间[6, 8)内， ∴ 众数为7，平均数x ¯=(1×0.02+3×0.08+5×0.15+7×0.18+9×0.03+11×0.03+13×0.01)×2 =6．(2)由(1)可知，平均数为6，∴ “短潜伏者”的频率为(0.02+0.08+0.15)×2=0.5， ∴ 这1000名患者中“短潜伏者”的人数为1000×0.5=500． 20. 【答案】解：(1)样本中成绩在[70，90)内的频率为(0.030+0.040)×10=0.7.(2)在随机抽取的样本中，优秀学生占5%，该校学生共2000人，用样本可以估计全校这次考试中优秀学生的人数为2000×5%=100(人).【考点】频数与频率用样本的频率分布估计总体分布【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)样本中成绩在[70，90)内的频率为(0.030+0.040)×10=0.7.(2)在随机抽取的样本中，优秀学生占5%，该校学生共2000人，用样本可以估计全校这次考试中优秀学生的人数为2000×5%=100(人).21.【答案】解：(1)小南瓜的平均质量为150×0.1+250×0.1+350×0.15+450×0.4+550×0.2+650×0.05=415（克）．(2)每个小南瓜质量超过400克的概率为0.65，故2万个小南瓜中质量超过400克的个数为13000个，价值为13000×5=65000（元），质量低于400克的价值为7000×3=21000（元），则小田运到上海总的费用为65000+21000+2000=88000（元）．由(1)知，2万个小南瓜的总质量为20000×415÷500=16600（斤），≈5.6（元），因为88000+500016600所以小田至少定价每斤5.6元才能保证利润不少于5000元．【考点】频率分布直方图众数、中位数、平均数个体、总体、样本、样本容量概念及区分【解析】(Ⅰ)根据每组取中点为代表，根据平均数的定义进行求解即可；(Ⅱ)求出每个小南瓜质量超过400克的概率，再求出2万个小南瓜中质量超过400克的个数，最后结合已知条件进行求解即可．【解答】解：(1)小南瓜的平均质量为150×0.1+250×0.1+350×0.15+450×0.4+550×0.2+650×0.05=415（克）．(2)每个小南瓜质量超过400克的概率为0.65，故2万个小南瓜中质量超过400克的个数为13000个，价值为13000×5=65000（元），质量低于400克的价值为7000×3=21000（元），则小田运到上海总的费用为65000+21000+2000=88000（元）．由(1)知，2万个小南瓜的总质量为20000×415÷500=16600（斤），≈5.6（元），因为88000+500016600所以小田至少定价每斤5.6元才能保证利润不少于5000元．22.【答案】解：(1)由(2x+0.015+0.02+0.025+0.03)×10=1，得x=0.005．(2)由频率分布直方图知，评分在[40,50)的市民人数为100×0.005×10=5；评分在[50,60)的市民人数为100×0.015×10=15；评分在[60,70)的市民人数为100×0.02×10=20 .×8=3．故应选取评分在[50,60)的市民人数为155+15+20(3)由频率分布直方图可得满意程度平均分为：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72．=0.72<0.8 .则满意指数=72100故该市“创卫”工作需要进一步整改．【考点】频率分布直方图分层抽样方法【解析】（1）由(2x+0.015+0.02+0.025+0.03)×10=1，得x=0.05．（2）由频率分布直方图知，评分在[40,50)的市民人数为100×0.005×10=5；评分在[50,60)的市民人数为100×0.015×10=15．评分在[60,70)的市民人数为100×0.02×10=20 .×8=3．故应选取评分在[50,60)的市民人数为5+155+15+20（3）由频率分布直方图可得满意程度平均分为45×0.05+55×15+65×0.2+−0.72<0.8 . 故该市“创卫' 75×0.3+85×0.25+95×0.05=72．则满意指数=72100工作需要进一步整改．【解答】解：(1)由(2x+0.015+0.02+0.025+0.03)×10=1，得x=0.005．(2)由频率分布直方图知，评分在[40,50)的市民人数为100×0.005×10=5；评分在[50,60)的市民人数为100×0.015×10=15；评分在[60,70)的市民人数为100×0.02×10=20 .×8=3．故应选取评分在[50,60)的市民人数为155+15+20(3)由频率分布直方图可得满意程度平均分为：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72．=0.72<0.8 .则满意指数=72100故该市“创卫”工作需要进一步整改．。

九年级数学证明(二)单元测试班级 姓名 得分一、选择题:(每小题3分，共30分)1、满足下列条件的两个三角形一定全等的是（ ）A 、腰相等的两个等腰三角形B 、一个角对应相等的两个等腰三角形C 、斜边对应相等的两个直角三角形D 、底相等的两个等腰直角三角形2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=2BC ，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ）A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个3、如图，△ABC 中，AB=AC ，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 上的点，，且BF=CD ，BD=CE ，则∠EDF=（ ）A 、90°–∠AB 、90°–21∠A C 、180°–∠A D 、45°–21∠A 4、等腰三角形底边上的高与底边的比是1∶2，则它的顶角等于（ ）A 、90°B 、60°C 、120°D 、150°5、等腰三角形顶角为100°，两腰垂直平分线相交于点P ，则（ ）A 、点P 在三角形内B 、点P 在三角形底边上C 、点P 在三角形外D 、点P 的位置与三角形的边长有关6、如图，△ABC 与△BDE 都是等边三角形，AB<BD 。

若△ABC 不动，将△BDE 绕B 点旋转，则在旋转过程中，AE 与CD 的大小关系为（ ）A 、AE=CDB 、AE>CDC 、AE<CD D 、无法确定7、在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3，则BC ∶AC ∶AB=（ ） A 、1∶2∶3 B 、1∶4∶9 C 、1∶2∶3 D 、1∶3∶2(第2题图) (第3题图) (第6题图) (第8题图)8、如图，l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ）A 、一处B 、二处C 、三处D 、四处9、△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于点D ，若CD ∶BD=1∶2，BC=6cm ，则点D 到点A 的距离为（ ）A.1.5cmB.3cmC.2cmD.4cm10、直角三角形的周长为2+6，斜边上的中线为1，则该三角形的面积等于（ ）A 、1B 、21 C 、41 D 、43 二、填空题:(每小题3分，共18分)11、如图，已知AC=BD ，∠A=D=90°，要使得△ABC ≌△DCB ，只需增加的一个条件是___________(填一个你认为正确的条件即可).12、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a ，则其底边上的高是 .13、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm 和6cm ，则它的面积是 cm 2.(第11题图) (第17题图) (第18题图)14、如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是 三角形.15、如果两个等腰三角形 ，那么这两个等腰三角形全等(只填一种能使结论成立的条件即可).16、在△ABC 中，∠A=50°，AB=AC ，AB 的垂直平分线DE 交AC 于D ，则∠DBC 的度数是_______。

［原创］初三上册证明(二)单元测试题 doc 初中数学汪国刚贵州省贵阳市开阳县宅吉中学550307(A 〕1 组(B 〕2 组2. 图2中的两个三角形全等，那么/(A) 72 (B) 60 (C) 58 (D) 503. 一个等腰三角形的两边长分不为4.如图3,在Rt △ ABC 中，/ ACB = 90° BC = 3,AC = 4,AB 的垂直平分线 DE 交BC 的 延长线于点E ,那么CE 的长为〔〕6. 如图5，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上.假如它们外缘边上的公共点 P 在小量角器上对应的度数为 65。

，那么在大量角器上对应的度数为 〔〔A 〕50°(B 〕60°(C) 65°7. 如图6,为估量池塘岸边 A B 的距离，小方在池塘的一侧选取一点 米，OB =10米，A 、B 间的距离不可能是①AB DE ， BC EF ， AC DF ; ②AB DE ， B E ， BC EF ; ③ B E ， BC EF ， C F ; ④AB DE ， AC DF ， B E .(B) 9(C) 12(D) 9 或 123 (A)27(B)625(C)T5. 如图 4 , Rt A ABC ACD 55° ,那么/ B 的度数是(A 〕35°且DE // AB ,假设(B 〕45 ° (C) 55 °(D)80O ,测得OA〔会员：wangguogang09总分值120分时刻：100分钟、选择题〔每题3分，共30分〕1.如图1，给出以下四组条件:其中，能使 △ ABC DEF 的条件共有(C 〕3 组 度数是2和5，那么它的周长为ACB 90° , DE 过点〔A〕20 米〔B〕15 米(C〕10〔D〕5 米米8. 如图7 ,△ ABC 、△ ADE 及\EFG 差不多上等边三角形，D 和G 分不是AC 和AE 的中点，假设AB=4时，那么多边形 ABCDEFG 的周长 是 〔丨.〔A 〕12〔B 〕15〔C 〕18〔D 〕219. 如图8所示，A 、B 、C 分不表示三个村庄， AB = 1000米，BC = 600米，AC = 800米, 在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个 村庄到活动中心的距离相等，那么活动中心 P 的位置应在 〔〕〔A 〕BC 中点 〔B 〕AB 中点〔C 〕AC 中点〔D 丨/ C 的平分线与AB 的交点10. 如图9(1)、图(2)、图⑶分不表示甲、乙、丙三人由 A 地到B 地的路线图.甲的路 线为：A C B;乙的路线为：A D E F B ，其中E 为线段AB 的中点；丙的路线为：A I J K B ，其中J 在AB 上，且AJ ＞JB 那么依照9图⑴、(2)、⑶的数据,、填空题〔每题4分，共32分〕的条件是 ____________ 〔写出一个即可〕12. 某楼梯的侧面视图如图11所示，其中AB 4米， BAC 30° C 90°因某 种活动要求铺设红色地毯，那么在 AB 段楼梯所铺地毯的长度应为.13. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30o ，腰长为4 cm ,那么其腰上的高为____________ c m .14. ________________________________________________________________________ 命题”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"的逆命题是 __________________________________ 15. 如图 12,在△ ABC 中，AB AC 12cm , BC 6cm, D 为 BC 的中点，动点 P从B 点动身，以每秒1 cm 的速度沿B A C 的方向运动•设运动时刻为 t ，那么 当t 秒时，过D 、P 两点的直线将 △ ABC 的周长分成两个部分，使其 中一部分是另一部分的 2倍.16. 在厶ABC 中，/ C=90°，Z ABC 的平分线BD 交AC 于点D,假设BD=10厘米，BC=8厘(A)甲=乙=丙 (B)甲 ＜乙＜丙 (D )丙 <乙 < 甲11.如图 10, AB AD , BAEDAC ，要使 △ ABC △ ADE ，可补充判定三人行进路线长度的大小关系为().(C)乙 < 丙< 甲 A J E(3)图12米，那么点D到直线AB的距离是___________ 厘米.22. (6分〕电信部门要修建一座电视信号发射塔 .按照设计要求，发射塔到两个城镇 A 、B的距离必须相等，到两条高速公路 m 和n 距离也必须相等.那么发射塔应该建立在什17•点P 是线段 AB 的垂直平分线上的点， PA=2 , / PAB=60 18.图甲是我国古代闻名的”赵爽弦图〃的示意图， 它是由 四个全等的直角三角形围成的 •在Rt A ABC 中，假设直角 边AC = 6, BC = 6,将四个直角三角形中边长为 6的直角 边分不向外延长一倍，得到图乙所示的”数学风车〃，那么那个风车的外围周长〔图乙中 的实线〕是 _______________ 三、简答题〔共58分〕 19.〔6 分〕如图 13, AC 平分/ BAD /20. (8 分〕在△ ABC 中，AB AC ,腰直角三角形 ABD 和ACE ，使 BAD CAE 90°21.〔1〕求 DBC 的度数； 〔2〕求证：BD CE .(8分〕在一次数学课上，汪老师在黑板上画出如图②BE=CE ③/ B=Z C,④/ BAE=/ CCDE.要求同学们从这四个等式中选出两个作为条件 你试着完成汪老师提出的要求，并讲明理由.15,并写出了四个等式：①AB=DC , ,推出△ ADE 是等腰三角形.请么位置？在如图16上标出它的位置23. (7分〕如图17,将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落子BC 边上是F 点处,AB=8，BC=10求图中阴影部分的面积图卯24. (7 分〕求证：等腰三角形底边上的中点到两腰的中点的距离相等25.(8 分〕如图18,A ABC 是等边三角形， BD 是中线，延长 BC 到点E ,使CE=CD 求证：〔1〕DB=DE.〔2〕假如把BD 改为△ ABC 的角平分线或高，能否得出同样的结论？26. 〔 8 分〕：如图 19, AF 平分/ BAC , BC 丄AF , PB 分不与线段 CF , AF 相交于P , M . 垂足为E ,点D 与点A 关于点E 对称,(1)求证：AB=CD ;⑵假设/ BAC=2 / MPC ，请你判定/ F 与/ MCD的数量关系，并讲明理由.、/ 图MS1SED /JW答案提示：一、 选择题1.C2.D3.C4.B5.A6.A7.B8.D 9.B 10.A二、 填空题11.答案不唯独(如 AC=AE 或/ C= / E 或/ B= / D) 12. (2+2 3) 13. 2. 314. 三角形一边上的中线等于这边上的一半 ，那个三角形是直角三角形15. 7 或 17 16. 6 17. 2 18. 76 三、简答题19. v AC 平分/ BAD ,•••/ BAC= / DAC.又•••/ 1 = / BAC+ / BCA ，/ 2= / DAC+ / DCA. •••/ 1 = / 2, BAC+ / BCA= / DAC+ / DCA.•••/ BCA= / DCA •/ AC=AC24. 略25.〔 1〕vA ABC 是等边三角形，•/ A=Z ABC =Z ACB=60 .v BD 是厶ABC 中线，依照等腰三角形”三线合一"，因此/ DBC=30 , 1v DC=CEE=Z CDl 60 ° =30°20. 21. 22.• △ BAC ◎△ DAC • AB=AD /〕△ ABD 是等腰直角三角形，BAD 90° ,因此/ ABD = 45° ,AB = AC,因此/ ABC = 70°，因此/ CBD = 70 ° +45°= 115°. (2)AB = AC, BAD CAE 90° ,AD = AE,因此△ BAD CAE,因此 BD = CE . 略如图16发射塔应该建立点 P 处.23. 依照题意，在Rt △ ABF 中，AF=BC=10 ,AB=8，由勾股定理可知， FC=10-6=4.设 CE=x ，那么 BF=6.因此 DE=8-x , 勾股定理可得，(8 x)2 42 , 解得，x=3.因此四边形ADEF 的面积=2S 2 1ADE210 (8 3)=50. 因此阴影部分面积为： s 阴影S矩形ABCDS 四边形 ADEF =80 —50=30.2•••△ DBE是等腰三角形，因此DB=DE.〔2〕同样能够. 理由略26. 〔1〕提示：证厶ABE ◎△ ACE〔ASA〕即可得;〔2〕/ F=2 / MCD，理由略.。

九年级数学证明（二）单元精选题-初中三年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-初中数学试卷-试卷下载九年级数学证明（二）单元精选题一、填空：1、（安徽2002年）在△ABC中，△A=50°，AB=AC ，Ab的垂直平分线交AC与D，则△DBC 的度数为。

2、（山东聊城2001年）如图，△AOB是一钢架，且△AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管根。

3、（黄冈2003年）如图1-2，在Rt△ABC中，△A=60，AC=cm，将△ABC绕点B旋转△ABC，且使点A、B、C三点在同一条直线上，则点A经过的最短路线长度是4、（上海2003年）在Rt△ABC中，△A＞△B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么△A等于度5、（淄博）△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所成的锐角为40，则底角B的大小为。

6、（淄博2003年）△ABC的边长为三个连续自然数，过最大边所对角是最小边所对角的2倍，则△ABC的周长为。

7、（河北2003年）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30，腰长为a，则其底边上的高是。

二、选择题8、（福州2002年）某市在旧城改造中计划在市内一块如图1-3所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（）元A、450a元B、225a元C、150a元D、300a元9、（上海2003年）如图1-4，已知AC平分△PAQ，点B、B&acute;分别在边AP、AQ上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB&acute;，下列条件中哪个可能无法推出AB=AB&acute;（）A、BB&acute;△ACB、BC=B&acute;CC、△ACB=△ACB&acute;D、△ABC=△AB&acute;C10、（黑龙江2003年）如图1-5，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且△APD=60，BP=1，CD=，则△ABC的边长为（）A、3B、4C、5D、611、（天津2003年）如图1-6，在△ABC中，AB=AC ，△A=36，BD、CE分别为△ABC与△ACB 的角平分线，且交于点F，则图中的等腰三角形有（）A、6个B、7个C、8个D、9个12、（盐城2003年）如图1-7，光线L照射到平面镜L1上，然后在平面镜L1 、L2之间来回反射，已知△α=55，△γ=75，则△β为（）A、50B、55C、60D、65三、证明与解答13、（江西省2003年）如图1-8，已知：方格纸中的每个小方格是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上确定一点，连接AB、AC、BC，使△ABC的面积为2个平方单位。

第九章知识总结及测试一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分） 1．（2021·浙江高一单元测试）3个数1，3，5的方差是（ ） A ．23B ．34C ．2D ．83【答案】D【解析】由题得3个数的平均数为3，所以()()()22221813335333S ⎡⎤=-+-+-=⎣⎦．故选：D2．（2020·全国高一课时练习）从某班50名同学中选出5人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将50名同学按01，02，……，50进行编号，然后从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为（ ）（注：表为随机数表的第1行与第2行）A ．24B ．36C ．46D ．47【答案】A【解析】由随机数表．抽样编号依次为43，36，47，36前面出现过去掉，46，24，第5个是24．故选：A ． 3．（2020·黑龙江齐齐哈尔市实验中学高二期中（文））为了解一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：㎝）.根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图，那么在这片树木中，底部周长 小于110㎝的株树大约是（ ）A ．3000B ．6000C ．7000D ．8000【答案】C【解析】由频率分布直方图可得，样本中底部周长小于110㎝的概率为(0.0010.0020.004)100.7++⨯=， 因此在这片树木中，底部周长小于110㎝的株树大约是100000.77000⨯=.故选：C.4．（2021·浙江高一单元测试）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下扇形统计图：则下面结论中不正确．．．的是（ ） A ．新农村建设后，种植收入略有增加 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入不变D ．新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重大幅下降 【答案】C【解析】因为该地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，不妨设建设前的经济收入为m ，则建设后的经济收入为2m ，A 选项，从扇形统计图中可以看到，新农村建设后，种植收入比建设前增加237%60%14%m m m ⨯-⨯=⨯，故A 正确；B 选项，新农村建设后，其他收入比建设前增加25%4%6%4%m m m m ⨯-⨯=⨯>⨯，即增加了一倍以上，故B 正确；C 选项，养殖收入的比重在新农村建设前与建设后相同，但建设后总收入为之前的2倍，所以建设后的养殖收入也是建设前的2倍，故C 错误；D 选项，新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重由建设前的60%降为37%，故D 正确； 故选：C.5．（2021·全国高一课时练习）如图，是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，若由直方图得到的众数，中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）分别为,,a b c ，则（ ）A ．b a c >>B ．a b c >>C ．2a cb +> D ．2b ca +> 【答案】B【解析】由频率分布直方图可知：众数7080752a +==； 中位数应落在70-80区间内，则有：0.01100.015100.015100.03(70)0.5b ⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得：22017333b ==； 平均数4050506060700.01100.015100.01510222c +++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+ 70808090901000.03100.025100.00510222+++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ =4.5+8.25+9.75+22.5+21.25+4.75=71 所以a b c >> 故选：B6．（2021·全国高一课时练习）在发生某公共卫生事件期间，我国有关机构规定：该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天每天新增加疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ） A ．甲地总体均值为3，中位数为4 B ．乙地总体均值为2，总体方差大于0 C ．丙地中位数为3，众数为3 D ．丁地总体均值为2，总体方差为3【答案】D【解析】对于A 选项，反例：0、0、1、1、4、4、4、4、4、8，满足中位数为4，均值为3，与题意矛盾，A 选项不合乎题意；对于B 选项，反例：0、1、1、1、1、1、1、2、4、8，满足均值为2，方差大于0，与题意矛盾，B 选项不合乎题意；对于C 选项，反例：0、1、1、3、3、3、3、3、3、8，满足中位数为3，众数为3，与题意矛盾，C 选项不合乎要求；对于D 选项，将10个数由小到大依次记为1x 、2x 、3x 、4x 、5x 、6x 、7x 、8x 、9x 、10x ，假设108x ≥，若均值为2，则方差为()()1022102122 3.61010i i x x s =--=≥=∑，矛盾，故108x <，假设不成立，故丙地没有发生规模群体感染，D 选项合乎要求. 故选：D.7．（2020·全国高一课时练习）在一次数学测试中，高二某班40名学生成绩的平均分为82，方差为10.2，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（ ） A ．100 B ．85C ．65D ．55【答案】D【解析】方差()22110.2ni i x x s n=-==∑，40n =∴()402110.240408i i x x =-=⨯=∑若存在55x =，则()402221()(8255)729408ii x x x x =-=-=>=-∑导致方差必然大于10.2，不符合题意.∴55不可能是该班数学成绩故选：D.8．（2021·全国高一课时练习）某校高一年级随机抽取15名男生，测得他们的身高数据，如下表所示：那么这组数据的第80百分位数是（ ） A ．175 B ．176C ．176.5D ．170【答案】C【解析】这15个数据按照从小到大排列，可得168,169,169，170,172,173,173,174,175，175,175,176,177,179,182，80%1512⨯=，∴第80百分位数为第12项与第13项数据的平均数，即()1176177176.52⨯+=. 故选：C二、多选题（每题不止有一个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分，4题共20分）9．（2020·全国）某健身房为了解运动健身减肥的效果，调查了20名肥胖者健身前（如直方图（1）所示）后（如直方图（2）所示）的体重（单位：kg ）变化情况：对比数据，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（ ） A ．他们健身后，体重在区间[)90,100内的人数较健身前增加了2人 B ．他们健身后，体重原在区间[)100,110内的人员一定无变化 C ．他们健身后，20人的平均体重大约减少了8kgD ．他们健身后，原来体重在区间[]110,120内的肥胖者体重都有减少 【答案】AD【解析】体重在区间[)90,100内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，增加了2人，故A 正确； 他们健身后，体重在区间[)100,110内的百分比没有变，但人员组成可能改变，故B 错误；他们健身后，20人的平均体重大约减少了()()0.3950.51050.21150.1850.4950.51055kg ⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯=，故C 错误；因为图（2）中没有体重在区间[]110,120内的人员，所以原来体重在区间[)110,120内的肥胖者体重都有减少，故D 正确. 故选：AD.10．（2021·全国高一课时练习）下列命题中是真命题的有（ ）A ．有A ，B ，C 三种个体按312︰︰的比例分层抽样调查，如果抽取的A 个体数为9，则样本容量为30 B ．一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同C ．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲D ．某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间[]114.5124.5，内的频率为0.4 【答案】BD【解析】对于选项A ：根据样本的抽样比等于各层的抽样比，样本容量为3918123÷=++，故选项A 不正确；对于选项B ：数据1，2，3，3，4，5的平均数为()11234535++++=，众数和中位数都是3，故选项B 正确；对于选项C ：乙组数据的平均数为()156910575++++=，乙组数据的方差为 ()()()()()22222157679710757 4.455⎡⎤-+-+-+-+-=<⎣⎦，所以这两组数据中较稳定的是乙，故选项C 不正确；对于选项D ：样本数据落在区间[]114.5124.5，有120，122，116，120有4个，所以样本数据落在区间[]114.5124.5，内的频率为.40410=，故选项D ， 故选：BD11．（2021·全国高一课时练习）下列命题是真命题的有（ ）A ．有甲、乙、丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30B ．数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同C ．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙D ．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5【答案】BCD【解析】对于A 项，乙、丙抽取的个体数分别为36,，则样本容量为36918++=，故A 错误； 对于B 项，平均数为12334536+++++=，中位数为3，众数为3，故B 正确；对于C 项，乙的平均数为56910575++++=，方差为()22222212221232555s =++++=<，则这两组数据中较稳定的是乙，故C 正确；对于D 项，将该组数据总小到大排列1,2,2,2,3,3,3,4,5,6，由1085%8.5⨯=，则该组数据的85%分位数为5，故D 正确； 故选：BCD12．（2021·全国高一课时练习）统计某校1000名学生的某次数学同步练习成绩(满分150分)，根据成绩依次分为六组，[)90,100，[)100,110，[)110,120，[)130140,，[]140,150，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）A ．0.031m =B ．0.31m =C ．100分以下的人数为60D ．成绩在区间[)120.140的人数有470人【答案】ACD【解析】对选项A ，B ，由图可知，()100.0200.0160.0160.0110.0061m ⨯+++++=，解得0.031m =，故A 说法正确，B 错误；对选项C ，因为100分以下的频率为0.00610=0.06⨯，所以100分以下的人数为10000.06=60⨯，故C 说法正确；对选项D ，成绩在区间[)120,140内的频率为0.03110+0.016100.47⨯⨯=，所以成绩在区间[)120.140的人数有10000.47470⨯=人，故D 说法正确. 故选：ACD三、填空题（每题5分，4题共20分）13．（2021·全国高一课时练习）A 工厂年前加紧手套生产，设该工厂连续5天生产的手套数依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5(单位：万只)，若这组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的方差为1.44，且x 12，x 22，x 32，x 42，x 52的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产手套___________万只. 【答案】1.6【解析】设每天生产平均值为x依题意得()()()()()22222123455 1.447.2x x x x x x x x x x -+-+-+-+-=⨯= 所以()()2222221234512345257.2x x x x x x x x x x x x ++++-+++++=又因为22222123455420x x x x x ++++=⨯= ，123455x x x x x x ++++=所以22057.2x -=解得 1.6x = 故答案为：1.614．（2021·全国高一课时练习）已知一组数据3,2,4,5,1,9a a --的平均数为3（其中a R ∈），则中位数为_____________． 【答案】3.5【解析】解：因为数据3,2,4,5,1,9a a --的平均数为3，所以32451936a a -+++-++=⨯，解得2a =，所以则组数据分别是3,4,4,3,1,9-，按从小到大排列分别为3,1,3,4,4,9-，故中位数为343.52+= 故答案为：3.515．（2021·浙江高一单元测试）为了了解初中生的身体素质，某地区随机抽取了n 名学生进行跳绳测试，根据所得数据画样本的频率分布直方图如图所示，且从左到右第一小组的频数是100，则n =_____ .【答案】1000【解析】由频率分布直方图知，从左到右第一小组的频率为0.004250.1⨯=，且从左到右第一小组的频数是100，所以100=10000.1=n .故答案为：1000 16．（2021·浙江高一单元测试）某市A 、B 、C 三个区共有高中学生20000人，其中A 区高中学生7000人，现采用分层抽样的方法从这三个区所有高中学生中抽取一个容量为600人的样本进行学习兴趣调查，则A 区应抽取__________________.【答案】210【解析】由题意知A 区在样本中的比例为700020000∴A 区应抽取的人数是700060021020000⨯=.故答案为：210． 四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）17．（2020·全国高一课时练习）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x (吨)，一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，1)，[1，2)，…，[8，9)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图,其中0.4a b =.（1）求直方图中,a b 的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数(每组数据用该组区间中点值作为代表)；（2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x (吨)，估计x 的值，并说明理由.【答案】（1）0.15a =，0.06b =；4.07（2）35.2万；（3） 5.8x =【解析】（1）由频率分布直方图可得0.04+0.08+0.200.260.040.021a a b ++++++=，又0.4a b =，则0.15a =，0.06b =，该市居民用水的平均数估计为：0.50.04 1.50.08 2.50.15 3.50.20 4.50.26x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5.50.156.50.067.50.048.50.02 4.07+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）由频率分布直方图可得，月均用水量不超过2吨的频率为：0.040.080.12+=，则月均用水量不低于2吨的频率为：10.120.88-=，所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为：400.8835.2⨯=（万）； （3）由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为：0.88，月均用水量不超过5吨的频率为0.73，则85%的居民每月的用水量不超过的标准x （吨），56x <<，0.730.15(5)0.85x ∴+-= ，解得 5.8x =，即标准为5.8吨.18．（2020·全国高一课时练习）成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查（满分100分，最低分20分）.根据检查结果：得分在[80,100]评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在[60,80)评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在[40,60)评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在[20,40)评定为“差”，不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如图：（1）依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数；（2）学校用分层抽样的方法，从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取6个班级，再从这6个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，求所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率.【答案】（1）70分；（2）1415. 【解析】（1）得分[20,40)的频率为0.005200.1⨯=；得分[40,60)的频率为0.010200.2⨯=；得分[80,100]的频率为0.015200.3⨯=；所以得分[60,80)的频率为1(0.10.20.3)0.4-++=设班级得分的中位数为x 分，于是600.10.20.40.520x -++⨯=，解得70x = 所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70分.（2）由（1）知题意 “良”、“中”的频率分别为0.4,0.2又班级总数为40于是“良”、“中”的班级个数分别为16,8.分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为4,2因为评定为“良”，奖励2面小红旗，评定为“中”，奖励1面小红旗.所以抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3为两个评定为“良”的班级或一个评定为“良”与一个评定为“中”的班级.记这个事件为A 则A 为两个评定为“中”的班级.把4个评定为“良”的班级标记为1,2,3,4. 2个评定为“中”的班级标记为5,6从这6个班级中随机抽取2个班级用点(,)i j 表示，其中16i j ≤<≤.这些点恰好为66⨯方格格点上半部分（不含i j =对角线上的点），于是有366152-=种. 事件A 仅有(5,6)一个基本事件. 所以114()1()11515P A P A =-=-= 所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率为1415. 19．（2020·全国高一课时练习）近年来，我国电子商务行业迎来了蓬勃发展的新机遇，但是电子商务行业由于缺乏监管，服务质量有待提高．某部门为了对本地的电商行业进行有效监管，调查了甲、乙两家电商的某种同类产品连续十天的销售额（单位：万元），得到如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断甲、乙两家电商对这种产品的销售谁更稳定些？（2）如果日销售额超过平均销售额，相应的电商即被评为优，根据统计数据估计两家电商一个月（按30天计算）被评为优的天数各是多少．【答案】（1）甲更稳定（2）甲15天，乙12天【解析】（1）105107113115119126128132134141=12210x +++++++++=甲(万元)， 22222221(105122)(107122)(113122)(115-122)(119122)(126122)10s ⎡=⨯-+-+-++-+-⎣甲 22(128122)(132122)+-+-+22(134122)(141122)131⎤-+-=⎦，10711511711812312513213613914812610x +++++++++==乙(万元) 22222221(107126)(115126)(117126)(118126)(123126)(125126)10s ⎡=⨯-+-+-+-+-+-⎣乙222(136126)(139126)(148126)142.6⎤+-+-+-=⎦因为22s s <甲乙，所以甲电商对这种产品的销售更稳定.（2）由题中茎叶图可知，甲电商该类产品这10天的日销售额数据超过122万元的为126，128，132，134，141，共5天，即评为优的频率为50.510=，由此可估计一个月30天甲被评为优的天数为 0.53015⨯=天， 乙电商该类产品这10天的日销售额数据超过126万元的为132，136，139，148，共4天，即评为优的频率为.40410=，由此可估计一个月30天乙被评为优的天数为0.43012⨯=天. 20．（2020·全国高一课时练习）2019年下半年以来，各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例，实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境，某部门在某小区年龄处于[]20,45岁的人中随机地抽取x 人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据.（1）求x 、y 、z 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这x 人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍五入保留整数）；（3）从年龄段在[]25,35的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，并在这9人中选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有一人年龄在[]30,35中的概率.【答案】（1）2000.6256x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩；（2）30.75；（3）1318. 【解析】（1）由题意得：450.752000.065250.6252000.0452000.0350.26x y z ⎧⎪==⎪⨯⎪⎪==⎨⨯⨯⎪=⨯⨯⨯=⎪⎪⎪⎩； （2）根据频率分布直方图，估计这x 人年龄的平均值为：22.50.327.50.232.50.237.50.1542.50.1530.75x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）从年龄段在[]25,35的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，从[)25,30中选：25952520⨯=+人，分别记为A 、B 、C 、D 、E ，从[]30,35中选：20942520⨯=+人，分别记为a 、b 、c 、d ， 在这9人中选取2人作为记录员，所有的基本事件有：(),A B 、(),A C 、(),A D 、(),A E 、(),A a 、(),A b 、(),A c 、(),A d 、(),B C 、(),B D 、(),B E 、(),B a 、(),B b 、(),B c 、(),B d 、(),C D 、(),C E 、(),C a 、(),C b 、(),C c 、(),C d 、(),D E 、(),D a 、(),D b 、(),D c 、(),D d 、(),E a 、(),E b 、(),E c 、(),E d 、(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),b c 、(),b d 、(),c d ，共36种，选取的2名记录员中至少有一人年龄在[]30,35包含的基本事件有：(),A a 、(),A b 、(),A c 、(),A d 、(),B a 、(),B b 、(),B c 、(),B d 、(),C a 、(),C b 、(),C c 、(),C d 、(),D a 、(),D b 、(),D c 、(),D d 、(),E a 、(),E b 、(),E c 、(),E d 、(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),b c 、(),b d 、(),c d ，共26种，因此，选取的2名记录员中至少有一人年龄在[]30,35中的概率26133618P ==. 21．（2020·全国高一课时练习）A ､B 两同学参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加了8次测验，成绩(单位：分)记录如下：B 同学的成绩不慎被墨迹污染(，分别用m ，n 表示).（1）用茎叶图表示这两组数据，现从A ､B 两同学中选派一人去参加数学竞赛，你认为选派谁更好？请说明理由(不用计算)；（2）若B 同学的平均分为78，方差s 2=19，求m ，n .【答案】（1）茎叶图答案见解析，选派B 同学参加数学竞赛更好，理由见解析；（2）m =8，n =0.【解析】（1）A ，B 两同学参加了8次测验，成绩(单位：分)茎叶图如下：由茎叶图可知，B 同学的平均成绩高于A 同学的平均成绩，所以选派B 同学参加数学竞赛更好；（2）因为1(7384757370807685)788x m n =+++++++++=， 所以8m n +=①， 因为222222221563(8)(2)27198S m n ⎡⎤=+++-++++=⎣⎦， 所以22(8)(2)4m n -++=②，联立①②解得，8,0m n ==.22．（2021·浙江高一单元测试）微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过两小时的人被定义为“非微信达人”．已知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3∶2.确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图．【答案】9,6,0.15,0.10x y p q ====，补全的频率分布直方图如图所示【解析】因为“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3∶2， 所以39153182x y +++=+， 又因为39151860x y +++++=，所以解得9,6x y ==， 所以960.15,0.106060p q ====， 补全的频率分布直方图如图所示。

证明（二）单元测试（二）（北师版）试卷简介:检测学生对于几何计算以及证明思考流程的掌握情况，需要标注条件，分析结构等，要求学生掌握常见问题的处理思路。

一、单选题(共12道，每道6分)1.如图,△ABC中,AB=AC=9,∠BAC=120°,AD是△ABC的中线,AE是∠BAD的角平分线,DF∥AB 交AE延长线于F,则DF的长为( )A. B.3C. D.4答案：C解题思路：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∠BAC=120°，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=60°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE=∠EAB=30°．∵DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°．∴∠DAF=∠F=30°，∴AD=DF．在Rt△ABD中，AB=9，∠B=30°，∴．试题难度：三颗星知识点：含30度角的直角三角形2.如图所示,四边形ABCD中,AE,AF分别是BC,CD的垂直平分线,∠EAF=80°,∠CBD=30°,则∠ADC 的度数为( )A.45°B.60°C.80°D.100°答案：B解题思路：如图，连接AC，∵AE，AF分别是BC，CD的垂直平分线，∴AB=AC=AD，AF⊥DC，AE⊥BC，∴∠CAF=∠DAF，∠CAE=∠BAE．∴∠DAB=2∠EAF=160°．∴∠ABD=10°，∴∠ABE=∠ACE=30°+10°=40°，∴∠CAE=50°，∴∠CAF=∠DAF=80°-50°=30°，∴∠ADC=90°-30°=60°．试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的性质3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,BC=6cm,AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E,AC 的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F,则MN的长为( )A.4cmB.3cmC.2cmD.1cm答案：C解题思路：连接AM，AN，过A作AD⊥BC于D，由题意，得∴∠B=∠C=30°，BD=CD=3cm，△ABD，△ACD，△BME，△CNF均是含30°的直角三角形，由BD=3cm得，，，∴BM=2cm．同理，得CN=2cm，∴MN=6-2-2=2cm．试题难度：三颗星知识点：含30°的直角三角形4.如图,在△ABC中,∠BAC=50°,AD是角平分线,点E在AC上,AB=9,AD=6,AE=4.则∠CDE=( )A.50°B.35°C.25°D.20°答案：C解题思路：∵，∴，∴．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠BAD=25°，∴△EAD∽△DAB，∴∠EDA=∠B．∵∠CDA=∠DAB+∠B=∠EDA+∠CDE，∴∠CDE=∠DAB =25°．试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定和性质5.如图,AB∥CD,E,F分别为AC,BD的中点,若AB=5,CD=3,则EF的长是( )A.4B.3C.2D.1答案：D解题思路：如图，连接DE并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E是AC中点，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE，∴DE=HE，DC=AH，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴．试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质6.如图,在等边三角形ABC中,点O在AC上,且AO=3,CO=6,点P是AB上一动点,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转60°,得到线段OD.要使点D恰好落在BC上,则AP的长是( )A.4B.5C.6D.8答案：C解题思路：如图，当点D恰好落在BC上时，OP=OD，∠A=∠C=60°．∵∠POD=60°∴∠AOP+∠COD=∠COD+∠CDO=120°，∴∠AOP=∠CDO，∴△AOP≌△CDO，∴AP=CO=6．故选C．试题难度：三颗星知识点：旋转的性质7.如图,DE是△ABC的中位线,M是DE的中点,CM的延长线交AB于点N,则( )A.1:5B.1:4C.2:5D.2:7答案：A解题思路：由题意得DE∥BC，，设△ABC的面积是1，由DE∥BC得△ADE∽△ABC，∴，连接AM，根据题意，得，∵DE∥BC，，∴，∴．∴，∴，∴．试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定和性质8.如图,在等边△ABC中,M、N分别是边AB,AC的中点,D为MN上任意一点,BD,CD的延长线分别交于AB,AC于点E,F.若,则△ABC的边长为( )A. B.C. D.1答案：C解题思路：如图，过点A作直线PQ∥BC，交BE延长线于点P，交CF的延长线于点Q．易得△PQD∽△BCD，∵点D在△ABC的中位线上，∴△PQD与△BCD的高相等，∴△PQD≌△BCD，∴PQ=BC，∵AE=AC-CE，AF=AB-BF，在△BCE与△PAE中，∠PAE=∠ACB，∠APE=∠CBE，∴△BCE∽△PAE，…①同理：△CBF∽△QAF，…②①+②，得：．∴，又∵，AC=AB，∴△ABC的边长为．试题难度：三颗星知识点：三角形中位线定理9.已知:如图在△ABC,△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C,D,E三点在同一条直线上,连接BD,BE.以下四个结论:①BD=CE;②BD⊥CE;③∠ACE+∠DBC=45°;④,其中结论正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4答案：C解题思路：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，∵在△BAD和△CAE中，AB＝AC∠BAD＝∠CAE AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE，本选项正确；②由①得∠ABD=∠ACE，∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，则BD⊥CE，本选项正确；③∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD+∠DBC=45°，∵∠ABD=∠ACE∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；④∵BD⊥CE，∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：，∵△ADE为等腰直角三角形，∴DE=AD，即，∴，而，本选项错误．综上，正确的个数为3个．试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质10.如图,在△ABC中,∠A=90°,P是BC上一点,且DB=DC,过BC上一点P,作PE⊥AB于E,PF⊥DC 于F,已知:AD:DB=1:3,BC=,则PE+PF的长是( )A. B.6C. D.答案：C解题思路：如图，连接PD由题意，设AD=m，则BD=DC=3m在Rt△ACD中，在Rt△ABC中，∵∴m=2∴BD=CD=6，，在△BCD中，，而∴即∴试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形11.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC=,点E为AC的中点,点F在底边BC上,且FE⊥BE,则△CEF的面积是( )A.16B.18C. D.答案：A解题思路：如图，作FD⊥CE于D，设FD=h．易证Rt△EDF∽Rt△BAE（三等角模型）∴ED：FD＝BA：EA，即ED＝2h∴∵DC=DF∴解得，∴试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形12.如图,已知等腰直角三角形△ABC的面积是1,△ABC∽△ADE,AB=2AD,∠BAE=30°,AC与DE 相交于点F,则△ADF的面积为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：如图，过点F作FG⊥AD于点G∵等腰直角三角形△ABC的面积是1，△ABC∽△ADE，AB=2AD ∴，△ADE是等腰直角三角形即∴∴∵∠BAE=30°∴∠DAF=30°Rt△AGF中，∠1=45°∴在Rt△AGF中，∠2=30°∴∴即∴∴试题难度：三颗星知识点：含30°的直角三角形二、填空题(共2道，每道8分)13.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF=____度．答案：50解题思路：如图，连接BO，∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ACB=65°，∵∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，∴∠1=25°，OA=OB易证△AOB≌△AOC∴OB=OC∴OA=OC∴∠1=∠2=25°∴∠3=65°-25°=40°由折叠的性质，知EF⊥OC∴∠CEF=50°试题难度：知识点：翻折变换(折叠问题)14.如图，已知：∠MON=30°，点…在射线ON上，点在射线OM上，…均为等边三角形，若，则的边长为____．答案：32解题思路：如图，∵是等边三角形，∴，∠3=∠4=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴，同理得，，…，．故答案是：32．试题难度：知识点：等边三角形的性质。

三亚市第三中学九年级数学第一单元测试卷(证明二)九班号姓名：评分：（2009年10月）一．填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分）1、在△ABC中，AB＝AC，∠A＝44°，则∠B＝度．2、等腰三角形的一个角为50°，则顶角是度．3、如图，AB＝AD，只需添加一个条件，就可以判定△ABC≌△ADE.4、已知等腰三角形两条边的长分别是3和6，则它的周长等于．5、如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC上的一点，且DA＝DB，DC＝AC．则∠B＝度．(第3题图) (第5题图) (第6题图)6、如图,△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于点D,∠A＝30°,BD＝1.5cm，则AB= cm．7、在△ABC中，∠A:∠B:∠C＝1:2:3，AB＝6cm，则BC＝cm．8、在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，延长BC到D，使CD＝AC，则∠CDA＝度.9、如果等腰三角形的一个底角是80°，那么顶角是度.10、等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则其他两边长为________________11、等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则等腰三角形的顶角为12、如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，236cmSABC=∆，AB=18cm，BC=12cm，则DE= cm．13、如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使点C落在E处，BE与AD相交于点O，若BC=8，EO=3，则CD=14、如图，△ABC中，BC=5，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC于E，则△ADE的周长是．二．解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）第12题第13题第14题15、如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。

(1)若CD=5，求AC的长。

(2)求证：AB=AC+CD16、在△ABC中，AB=BC=12，∠ABC=80°，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC。

九年级数学第三章证明〔二〕测试卷〔时间：40分钟，总分值：100分〕班别： 学号： 姓名：成绩：一、单项选择题〔本大题包括8小题，每题4分，共32分〕1．如图，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，以下式子中一定成立的是〔 〕A.AC ⊥BD B ．OA=OC C ．AC=BD D ．AO=OD 2．顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是〔 〕A ．菱形B ．正方形C ．矩形D ．等腰梯形 3．以下命题中错误的选项是．．．．．．〔 〕 A ．平行四边形的对边相等 B ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C ．矩形的对角线相等 D ．对角线相等的四边形是矩形4．如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，如果EF=2，那么菱形ABCD•的周长是〔 〕A ．4B ．8C ．12D ．16 5．正方形具有而菱形不一定．．．具有的性质是〔 〕 A ．对角线相等 B ．对角线互相垂直平分 C ．对角线平分一组对角 D ．四条边相等 6．四边形ABCD 是平行四边形，以下结论中不正确的选项是．．．．．．．〔 〕 A ．当AB=BC 时，它是菱形 B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形C ．当∠ABC=90°时，它是矩形D ．当AC=BD 时，它是正方形 7．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=AB ，BC=BD ，∠A=100°，那么∠C=〔 〕 A ．80° B ．70° C ．75° D ．60°8．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影局部的面积为〔 〕A ．12B ．33C ．1－33D ．1－34二、填空题〔本大题包括5小题，每题4分，共20分〕9．菱形ABCD 的面积是212cm ，对角线AC = 4 cm ，那么菱形的边长是 .10．如图，点E ，F 是菱形ABCD 的边BC ，CD 上的点，请你添加一个条件〔不得另外添加辅助线和字母〕，使AE=AF ，你添加的条件是________________________________________．11．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，∠AOD=120°， BCDAPABCD第7题第1题 第4题 第10题第11题 第12题第8题第13题AB=2.5，那么AC 的长为 . 12．如图，P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP = BC ，那么∠ACP 度数是 ． 13．如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB ，分别以DA ，AB ，BC 为边向梯形外作正方形，其面积分别为123S S S ，，，那么123S S S ，，之间的关系是 ． 三、解答题〔每题8分，共48分〕 14．：如图，E ，F 是平行四边形ABCD•的对角线AC•上的两点，AE=CF ．求证：EB ∥DF ．15、证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ： 求证： 证明：16．如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE=AD ，DF ⊥AE ，垂足为F ．线段DF与图中哪一条线段相等？先将你的猜测出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明． 即DF=________．〔写出一线段即可〕17．如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 平分BAD ，CE ∥AD 交AB 于E ． 〔1〕求证：四边形AECD 是菱形；〔2〕假设点E 是AB 的中点，试判断△ABC 的形状，并说明理由．18．如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的角平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． 〔1〕求证：EO=FO ；〔2〕当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论．19．如图，在△ABD 中，AB=AD ，AO 平分∠BAD ，过点D 作AB 的平行线交AO 的延长线A B C E F M N O(N)(M)DCAO 于点C ，连接BC.〔1〕求证：四边形ABCD 是菱形.〔2〕如果OA ，OB 〔OA>OB 〕的长〔单位：m 〕是一元二次方程27120x x 的两根，求AB 的长以及菱形ABCD 的面积.〔3〕假设动点M 从A 出发，沿AC 以2 m / s 的速度匀速直线运动到点C ，动点N 从B 出发，沿BD 以1 m / s 的速度匀速直线运动到点D ，当M 运动到C 点时运动停顿. 假设M ，N 同时出发，问出发几秒钟后，△MON的面积为214m ？。