高中数学选修2-2第二章《推理与证明》单元测试题(含答案)

高中数学选修2-2第二章单元测试题《推理与证明》(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.nn －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2 C.nn －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2 2．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( ) ①y ＝cos x (x ∈R )是三角函数； ②三角函数是周期函数； ③y ＝cos x (x ∈R )是周期函数． A ．①②③ B ．②①③ C ．②③①D ．③②①3．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”( )A ．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点4．(山东高考)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根5．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：( ) ①a·b ＝b·a ；②(a·b )·c ＝a·(b·c )；③a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c ；④由a·b ＝a·c (a ≠0)可得b ＝c . 则正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个6．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需增乘的代数式是( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋17．已知a ∈(0，＋∞)，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋ax n ≥n＋1，则a 的值为( )A ．2nB ．n 2C ．22(n－1)D ．n n8．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋29．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．19910．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，则a 2 015等于( )A.12B.－1 C ．2D ．3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．设函数f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．12．已知 2＋23＝2 23， 3＋38＝3 38， 4＋415＝4415，…，若 6＋a b＝6ab(a ，b 均为实数)，请推测a ＝________，b ＝________. 13．若定义在区间D 上的函数f (x )对于D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足1n[f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f(x n )]≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，称函数f (x )为D 上的凸函数；现已知f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．14.观察下列数字： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 ……则第________行的各数之和等于2 0152.三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明，证明过程或运算步骤) 15．(本小题满分12分)观察下列式子： ①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两个式子的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．16．(本小题满分12分)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且其中任意两边长均不相等，假设1a ，1b ，1c成等差数列．(1)比较b a与 cb的大小，并证明你的结论； (2)求证：角B 不可能是钝角．17．(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)． (1)求证：tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x .(2)设x ∈R ，a 为非零常数，且f (x ＋a )＝1＋f (x )1－f (x )，试问：f (x )是周期函数吗？证明你的结论．18．(本小题满分14分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n . (1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．高中数学选修2-2第一章单元测试题《推理与证明》参考答案1．选A 观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8. 2．选B 按三段论的模式，排列顺序正确的是②①③.3．选C 正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心．4．选A 因为“方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 3＋ax ＋b ＝0的实根的个数大于或等于1”，因此，要做的假设是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根．5．选B 平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b ＝a·c (a ≠0)得a·(b －c )＝0，从而b －c ＝0或a ⊥(b －c )，故④错误．6．选B 增乘的代数式为(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)k ＋1＝2(2k ＋1)．7．选D 将四个答案分别用n ＝1,2,3检验即可，故选D.8．选C 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为a n ＝6n ＋2.9．选C 记a n ＋b n ＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.10．选B ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1a 4＝－1，a 6＝1－1a 5＝2，∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *)∴a 2 015＝a 2＋3×671＝a 2＝－1.11．解析：∵f (x )＝12x ＋2，f (1－x )＝121－x ＋2＝2x2＋2·2x ＝12·2x 2＋2x .∴f (x )＋f (1－x )＝1＋12·2x2＋2x ＝22， 发现f (x )＋f (1－x )正好是一个定值， ∴2S ＝22×12，∴S ＝3 2. 答案：3 212．解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律．由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 6＋a b中，a ＝6，b ＝62－1＝35，即a ＝6，b ＝35.答案：6 3513．解析：因为f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数(小前提)， 所以13(sin A ＋sin B ＋sin C )≤sin A ＋B ＋C 3(结论)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332.因此，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332.答案：33214．解析：观察知，图中的第n 行各数构成一个首项为n ，公差为1，共2n －1项的等差数列，其各项和为S n ＝(2n －1)n ＋(2n －1)(2n －2)2＝(2n －1)n ＋(2n －1)·(n －1)＝(2n －1)2，令(2n －1)2＝2 0152，得2n －1＝2 015，解得n ＝1 008. 答案：1 00815．解：猜想sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)＋sin(－30°)] ＝1＋cos (60°＋2α)－cos 2α2＋12sin(2α＋30°)－14＝34＋12[cos 60°·cos 2α－sin 60°sin 2α－cos 2α]＋12sin(2α＋30°) ＝34－12·⎝⎛⎭⎫12cos 2α＋32sin 2α＋12sin(2α＋30°) ＝34－12sin(2α＋30°)＋12sin(2α＋30°)＝34， 即sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34.16．解：(1) b a＜ cb.证明如下： 要证b a＜ c b ，只需证b a ＜c b. ∵a ，b ，c ＞0，∴只需证b 2＜ac . ∵1a ，1b ，1c 成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c≥2 1ac，∴b 2≤ac . 又a ，b ，c 均不相等，∴b 2＜ac . 故所得大小关系正确．(2)证明：法一 假设角B 是钝角，则cos B ＜0. 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac ＞ac －b 22ac ＞0，这与co s B ＜0矛盾，故假设不成立． 所以角B 不可能是钝角．法二 假设角B 是钝角，则角B 的对边b 为最大边，即b ＞a ，b ＞c ，所以1a ＞1b ＞0，1c ＞1b ＞0，则1a ＋1c ＞1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2b矛盾，故假设不成立．所以角B 不可能是钝角．17．解：(1)根据两角和的正切公式得tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝tan x ＋tanπ41－tan x tanπ4＝tan x ＋11－tan x ＝1＋tan x 1－tan x， 即tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ，命题得证．(2)猜想f (x )是以4a 为周期的周期函数．因为f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝1＋f (x ＋a )1－f (x ＋a )＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x )，所以f (x ＋4a )＝f [(x ＋2a )＋2a ]＝－1f (x ＋2a )＝f (x )．所以f (x )是以4a 为周期的周期函数． 18．解：(1)S 1＝a 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1， 因为a n ＞0，所以a 1＝1.S 2＝a 1＋a 2＝12⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0， 所以a 2＝2－1.S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝⎛⎭⎫a 3＋1a 3， 得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *)．证明：①n ＝1时，a 1＝1－0＝1，命题成立． ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时， a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k＋1＋1a k＋1－12⎝⎛⎭⎫a k＋1a k，即a k＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k＋1＋1a k＋1－12⎝⎛⎭⎪⎫k－k－1＋1k－k－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k＋1＋1a k＋1－k，所以a2k＋1＋2ka k＋1－1＝0，所以a k＋1＝k＋1－k，则n＝k＋1时，命题成立．由①②知，n∈N*，a n＝n－n－1.。

《推理与证明》单元测试题考试时间120分钟 总分150分一．选择题（共50分）1.下面几种推理过程是演绎推理的是 ( )A ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1an －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°2.(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．923. 观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72012的末两位数字为（ ）A ．01B ．43C ．07D ．49 4. 以下不等式（其中．．0a b >>）正确的个数是（ ）1> ②③lg2>A ．0 B ．1 C ．2D ．35.如图，椭圆的中心在坐标原点，F 为左焦点，当AB FB ⊥时，有()()()22222cb b ac a +++=+，从而得其离心率为，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为（ ）A．12 B．12+ C6.如图，在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成的正六边形，以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,依此推断第8件首饰上应有（ ）颗珠宝。

学力测评（时间90分钟，满分100分）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1.在数列1,1,2,3,5,8,13,x ,34,55,…中,x 的值是( )A.19B.20C.21D.22答案：C2.以曲线(y -3)2=8(x -2)上任一点P 为圆心作圆与y 轴相切,则这些圆必过定点( ) A.(2,3) B.(4,3) C.(3,3) D.(3,0)答案：B3.由等式2+15641544,827833,38322=+=+=+,归纳推测关于自然数n 的一般结论是( )A.1n n 41n n n +=++B.1n n n 1n n n 22-=-+ C.2n 2n 2n 2n n 3+=++ D.1n 4n 1n 4n n 3-=-+ 答案：B4.设M 、P 是两个非空集合,定义M 与P 的差集为M -P ={x |x ∈M 且x P },则M - (M -P ) 等于( )A.PB.M ∩PC.M ∪PD.M答案：B5.若a 、b 、c 为△A B C 的三条边,且S =a 2+b 2+c 2,P =ab +b c+c a ,则( )A.S ≥2PB.P <S <2PC.S >PD.P ≤S <2P解析:∵a 2+b 2+c 2≥2ac 2bc 2ab 2++=ab +b c+c a ,∴S ≥P (当a =b =c 时取“=”).又2P =2ab +2b c+2a c.a -b <c,b -c<a ,a -c<b ,三式平方相加,得a 2+ b 2+ c 2<2(ab +b c+c a )=2P , ∴P ≤S <2P .答案: D6.正方体A B CD —A 1B 1C 1D 1,底边A B 、AD 的中点分别为P 、Q ,M 点是CC 1边所在直线上任意一点,过P 、Q 、M 三点作截面(截面是指平面PQM 上点的集合与正方体点的集合的交集,其点集图形为平面块),截面图形如下,这些截面中有( )A.这些图形全部符合题意要求B.其中有5个符合题意要求C.其中有4个符合题意要求D.其中有3个符合题意要求答案：B7.右图是一个无盖的正方体盒子的平面展开图,A 、B 、C 为其上三点,在正方体盒子中,∠A B C 的值为( )A.120°B.180°C.60°D.45°答案：C8.两个腰长都是1的等腰Rt △A B C 1和等腰Rt △A B C 2所在平面构成60°的锐二面角,则两点C 1与C 2之间的距离等于( )A.22 B .22或1 C.22或2 D.22或1或2 答案：D9.把数列{2n +1}依次按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三个数,第四个括号四个数,第五个括号一个数……循环分为:(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31,33),(35,37,39,41),(43),…,则第104个括号内各数之和为… ( )A.2 036B.2 048C.2 060D.2 072答案：D10.已知函数y =2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y =2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是( )A.4B.8C.2π D .4π解析:将x 轴下方的部分补到x 轴上方,则所求封闭图形的面积化为长方形的面积,易知S =2×2π=4π.答案: D11.把函数y =cos(x +34π)的图象向右平移φ个单位,所得到的图象正好关于y 轴对称,则φ的最小正值是( ) A.34π B.32π C.3π D.35π解析:向右平移后函数变为y =cos(x +34π-φ),图象关于y 轴对称,则x =0时,y =1或-1,即cos(34π-φ)=1或-1,故φ的最小正值是3π. 答案: C12.如图,双曲线C:x 2-4y 2=1,过点P (1,2)作直线l 与C 有且只有一个公共点,则满足上述条件的直线l 共有( )A.2条B.3条C.4条D.0条 解析:过P 作y =-ab x 的平行线,再过P 点作右支的切线,可得2条.答案: A二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.使方程4x +4-x +2x +2+2·21-x =p-7有实数解的实数p 的取值范围是___________. 答案：［17,+∞）14.α、β是两个不同的平面,m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线.给出四个论断:①m ⊥n ;②α⊥β;③n ⊥β;④m ⊥α.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:___________.解析:本题主要考查线线、线面及面面垂直的有关概念和性质.由α⊥β为基础构造几何模型,易得故有m ⊥α,n ⊥β,α⊥β=m ⊥n ,仿上可得另一正确答案.答案:m ⊥α,n ⊥β,α⊥β⇒m ⊥n (答案不唯一)15.已知()x f =1x x 2+,a n =2)f(a 1-n (n ∈N , n ≥2),a 1=2,则数列{a n }的通项公式是_____________.解析:a n =1a a 1n 1n +--,∴1n n a 1a 1-=+1. ∴1n n a 1a 1--=1. 故{n a 1}是以21为首项,公差为1的等差数列. ∴n a 1=21+(n -1).答案:a n =1n 22- 16.如图,第n 个图形是由正n +2边形“扩展”而来(n =1,2,3,…),则第n -2个图形中共有___________个顶点.答案：n 2+n三、解答题（本大题共4小题，每小题9分，共36分）17.如图,点P 为斜三棱柱A B C —A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点,PM ⊥BB 1交AA 1于点M ,PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证:CC 1⊥MN ;(2)在任意△DEF 中有余弦定理:DE 2=DF 2+EF 2-2DF·EF·cos ∠DFE.拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证明.解析:(1)证明:∵CC 1∥BB 1⇒CC 1⊥PM ,CC 1⊥PN ,且PM ∩PN =P ,∴CC 1⊥平面PMN ⇒CC 1⊥MN .(2)在斜三棱柱A B C —A 1B 1C 1中,有S A BB 1A12=S B CC1B 12+S ACC1A12-2S B CC1B 1·S ACC1A1cos α,其中α为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所组成的二面角.∵CC 1⊥平面PMN ,∴上述的二面角为∠MNP .在△PMN 中,PM 2=PN 2+MN 2-2PN ·MN ·cos∠MNP ⇒PM 2CC 12=PN 2CC 12+MN 2CC 12-2(PN ·CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP ,由于S B CC1B 1=PN ·CC 1,S ACC1A1=MN ·CC 1,S A BB 1A1=PM ·BB 1,∴有S A BB 1A12=S B CC1B 12+S ACC1A12-2S B CC1B 1·S ACC1A1cos α.18.阅读课本,我们学习了si n (α+β)展开的公式,但是粗心的同学总把公式错写成si n (α+β)=si nα+si n β.现请问,这一等式是否一定不可能成立?若是,请说明理由;若可能成立,求出α、β应满足的条件.解析:若si n (α+β)=si nα+si n β成立,我们寻求等式成立的充分条件,如果充分条件不存在,则说明等式不成立.从而将反溯条件型开放性问题转化为封闭性的求解问题.由si n (α+β)=si nα+si n β,而si n (α+β)=si nαcosβ+cos αsi n β,从而si nαcosβ+cos αsi n β-si nα-si n β=0,得si nα(cosβ-1)+si n β(cos α-1)=0.由余弦二倍角公式,有-2si nαsi n 22β-2si n βsi n 22α =0,由正弦二倍角公式,有 2si n 2αcos 2αsi n 22β+2si n 2βcos 2βsi n 22α=0,得si n2αsi n 2β(si n 2βcos 2α+cos 2βsi n 2α)=0, 即si n 2αsi n 2βsi n 2βα+ =0. 这时,α=2k π或β=2k π或α+β=2k π(k ∈Z).综上可知当α=2k π或β=2k π或α+β=2k π(k ∈Z)时,si n (α+β)=si nα+si n β成立,否则不成立.19.设{a n }是等差数列,a 1=1,a 3=2,设P n =a 1+ a 3+a 9+…+a k (k =3n -1,n ∈N *),Q n =a 2+a 6+a 10+…+a l (l=4n -2,n ∈N *),问P n 与Q n 哪一个大?证明你的结论.解析:由已知,得a n =21n +, ∴P n =2132132131n 10++++++- =21(30+31+…+3n -1)+41n 232n n -+=.∵a 4n -2=212)-(4n +=2n -21, ∴Q n =2(1+2+…+n )- 2n =n (n +1)-2n n 22n 2+=.当n =1时,P 1=1,Q 1=23,∴P 1<Q 1;当n =2时,P 2=3,Q 2=5,∴P 2<Q 2;当n =3时,P 3=8,Q 3=221,∴P 3<Q 3;当n =4时,P 4=22,Q 4=18,∴P 4>Q 4;当n =5时,P 5=63,Q 5=255,∴P 5>Q 5.猜想:当1≤n ≤3时,P n <Q n ;当n ≥4时,P n >Q n .证明:①当n =1,2,3时,已验证.②假设n =k (k ≥4)时,P k >Q k , 即2k k 241k 232k +>-+,得3k >4k 2+1.可得3k +1>12k 2+3, 即43k 34321k +>+. ∴22k k 64121k 43k 341-1)(k 23221k ++=-+++>+++.∵6k 2+k +2-［2(k +1)2+(k +1)］=4k 2-4k -1>0(k ≥4), ∴21)(k 1)(k 241-1)(k 2321k +++>+++,即当n =k +1时,P k +1>Q k +1.综合①②,得1≤n ≤3时,P n <Q n ;n ≥4时,P n >Q n . 20.如图所示,定椭圆2222by a x +=1(a >b >0)上的动点P 不重合于短轴两端点B 1与B 2,设两直线B 1P 、B 2P 与x 轴分别相交于点M 、N .问|OM |·|ON |是否为定值?解析:取P (a ,0),则M (a ,0)、N (a ,0),从而 |OM |·|ON |=a 2;取P (c,a b 2),则M (b a ac +,0),N (b a ac -,0).故|OM |·|ON |=a 2.于是猜想|OM |·|ON |=a 2为定值.证明:设P (a cosθ,b si n θ),其中|si n θ|≠1,且设M (x 1,0),N (x 2,0).∵三点B 、M 、P 共线,且三点B 2、N 、P 共线, ∴0x b 00acos b bsin 1-+=-+θθ,0x b 00acos b bsin 2--=--θθ,即x 1=θθsin 1acos +,x 2=θθsin 1acos -.则|OM |·|ON |=|x 1|·|x 2|=|x 1·x 2| =|θθθθsin 1acos sin 1acos -⋅+|=|θθ222sin 1cos a -|＝a 2(定值).故|OM |·|ON |为定值.。

【优化设计】 2015-2016 学年高中数学第二章推理与证明测评 A 新人教 A 版选修 2-2(基关卷 )(:90 分分:100分)第Ⅰ卷(共40分)一、 (本大共10 小 ,每小 4 分 ,共 40 分.在每小出的四个中,只有一是切合目要求的 )1.命“有理数是无穷循小数,整数是有理数,所以整数是无穷循小数”是假命,推理的原由是()A.使用了推理B.使用了比推理C.使用了“三段”,但大前提D.使用了“三段”,但小前提答案 :C2.察下边形的律,在其右下角的空格内画上适合的形()A.■B.△C.□D.○分析 :由每一行中形的形状及黑色形的个数,知A正确.答案 :A3.由“正三角形的内切切于三的中点”,可比猜想出正四周体的内切球切于四个面()A.各正三角形内任一点B.各正三角形的某高上的点C.各正三角形的中心D.各正三角形外的某点分析 :正三角形的正四周体的面,即正三角形所在的正四周体的面, 所以的中点的就是正四周体各正三角形的中心.答案 :C4.察以下各式:a+b= 1,a2+b 2= 3,a3+b 3= 4,a4+b 4= 7,a5+b 5= 11, ⋯, a10+b 10= ()A .28B .76 C.123 D .199n n分析 : a +b =f (n), f(3)=f (1)+f (2)= 1+ 3= 4;f(4)=f (2)+f (3)=3+ 4= 7;f(5)=f (3)+f (4)= 11.*通察不f( n)=f (n-1)+f (n- 2)(n∈N ,n≥ 3),f(6 )=f (4) +f (5)= 18;f(7)=f (5)+f (6)= 29;f(8)=f (6)+f (7) =47;f(9)=f (7)+f (8)= 76;f(10)=f (8)+f (9)= 123.所以a10+b 10= 123.答案 :C5.数列{ a n}足a1= ,a n+ 1= 1- , a2 015等于()A .B .-1 C.2 D .3分析 :∵a1= ,a n+ 1= 1-,∴a2= 1-=- 1,a3= 1-= 2,a4= 1-,a5= 1- =- 1,a6= 1-= 2,∴a n+ 3k=a n (n∈N* ,k∈N* ).∴a2 015=a 2+3×671=a 2=- 1.答案 :B6.已知f( x+y)=f (x)+f (y),且f(1) = 2,f(1) +f (2)+ ⋯ +f (n)不可以等于 ()A .f(1)+ 2f(1)+ ⋯+nf (1)B.fC.D.f(1)分析 :f(x+y )=f (x)+f ( y),令 x=y= 1,得 f(2)= 2f(1),令 x=1,y= 2,f(3)=f (1)+f (2)= 3f(1)?f(n)=nf (1),所以 f(1)+f (2)+ ⋯ +f (n)= (1+ 2+⋯ +n )f(1)=f (1).所以 A,D 正确 . 又f(1) +f (2)+ ⋯ +f (n) =f (1+2+ ⋯ +n )=f ,所以 B 也正确 .故 C.答案 :C7.于奇数列1,3,5,7,9,⋯,在行以下分:第一有 1 个数 {1},第二有 2 个数 {3,5}, 第三有 3个数 {7,9,11},⋯⋯,依此推 ,每内奇数之和S n与其的号数n 的关系是 ()A .S n=n 2 B. S n=n 3C.S n=n 4D. S n=n (n+ 1)33分析 :∵当 n= 1 ,S1= 1;当 n= 2 ,S2= 8= 2 ;当 n= 3,S3= 27= 3 ;∴猜想S n=n 3,故 B .答案 :B8.在等差数列{ a n}中,若a n> 0,公差d> 0,有a4a6>a3a7,比上述性,在等比数列{ b n}中,若b n> 0,公比q> 1, b4,b5,b7,b8的一个不等关系是()A .b4+b 8>b 5 +b 7B .b4+b 8<b 5+b 7C.b4+b 7>b 5+b 8 D .b4+b 7<b 5+b 834分析 :b5 +b 7-b 4-b8=b 4(q+q-1-q )322=b 4(q-1)(1-q )=-b 4(q-1) (1+q+q )∵b n> 0,q> 1,∴-b4( q-1) ·<0,∴b4+b 8>b 5+b 7.答案 :A9.已知x> 0,不等式x+≥2,x+≥3,x+≥4,⋯,可推行x+≥n+ 1, a 的 ()A .2nB .n2 C.22n-2 D .n n分析 :由 x+ ≥2,x+=x+ ≥3,x+=x+ ≥ 4, ⋯,可推行 x+ ≥n+ 1,故 a=n n.答案 :D10.将石子成如的梯形形状.称数列 5,9,14,20,⋯“梯形数”.依据形的组成 ,此数列的第 2 012与 5 的差 ,即 a2 012-5= ()A .2 018×2 012B .2 018×2 011C.1 009×2 012 D .1 009×2 011分析 :由已知可得a2-a1= 4a3-a2= 5a4-a3= 6⋯⋯a2 012-a2 011= 2 014.以上各式相加得a2 012-a1== 1 009×2 011.∵a1= 5,∴a2 012-5= 1 009×2 011.答案 :D第Ⅱ卷(非共60分)二、填空 (本大共 5 小 ,每小 4 分 ,共 20 分 .把答案填在中的横上)11.在△ABC中,D BC 的中点 , ),将命比到三棱中获得的命.答案 :在三棱 A-BCD 中 ,G △ BCD 的重心 , )*分析 :∵n> 1,∴第一步 明当n= 2 不等式建立,不等式是.即 .答案 :13.f(n)= 1++ ⋯ + (n ∈ N * ), 算得 f(2) = ,f(4)> 2,f(8)> ,f(16)> 3,f(32)> ,推 当 n ≥2 ,有 . 分析 :f(n)中 n 的 律 2k (k= 1,2, ⋯不),等式右 分 ,k= 1,2, ⋯,所以 f(2n )> (n ≥ 2). 答案 :f(2n )> (n ≥ 2)2, ⋯,x nn )] ≤f,称函数14.若定 在区 D 上的函数 f(x) 于 112D 上的 n 个 x ,x , 足 [f(x )+f (x ) +⋯ +f (xf(x) D 上的凸函数 ; 已知 f( x)= sin x 在 (0, π)上是凸函数 , △ ABC 中 ,sin A+ sin B+ sin C 的最大 是 . 分析 :因 f(x)= sin x 在 (0, π)上是凸函数 (小前提 ),所以 (sin A+ sin B+ sin C) ≤sin( ), 即 sin A+ sin B+ sin C ≤3sin.所以 ,sin A+ sin B+ sin C 的最大 是 .答案 : 15. 察下 :第 行的各数之和等于 2 0112.分析 : 察知 , 中的第 n 行的各数组成一个首 n,公差 1,共 (2n-1 ) 的等差数列 ,其各 和 :S n = (2n-1)n+= (2n-1)n+ (2n-1)( n-1)= (2n-1)2.令 (2n-1)2= 2 0112,得 2n-1= 2 011,故 n= 1 006. 答案 :1 006三、解答 (本大 共 5 小 ,共 40 分.解答 写出文字 明、 明 程或演算步 ) 16.(本小 6 分 )已知 a>b>c ,且 a+b+c= 0,求 :. 明 :因 a>b>c ,且 a+b+c= 0,所以 a> 0,c< 0.要 明原不等式建立,只要 明 a,2222即 b -ac< 3a ,进而只要 明 (a+c ) -ac< 3a , 即 (a-c)(2a+c )> 0,因 a-c> 0,2a+c=a+c+a=a-b> 0,所以 (a-c)(2a+c )> 0 建立 ,故原不等式建立 .17.(本小 6 分 )已知 数 22x,且有 a=x + ,b= 2-x,c=x -x+ 1,求 :a,b,c 中起码有一个不小于 1. 明 :假 a,b,c 都小于 1,即 a< 1,b< 1,c< 1,a+b+c< 3.∵a+b+c=+ (2-x)+ (x 2-x+ 1)= 2x 2 -2x+= 2+ 3,且 x 数 , ∴ 2+ 3≥3,即 a+b+c ≥3, 与 a+b+c< 3 矛盾 .∴假 不建立 ,原命 建立 .∴a,b,c 中起码有一个不小于 1.18.(本小8 分 )先 以下不等式的 法 ,再解决后边的:已知 a 1,a 2∈ R ,且 a 1+a 2 = 1,求 :.明 :结构函数 f(x)= (x-a 1) 2+ (x-a 2)2= 2x 2- 2(a 1+a 2)x+. 因 全部 x ∈ R ,恒有 f(x) ≥ 0,所以 Δ=4- 8() ≤从0,而得 . n ∈R ,且 a 11 22 n;(1) 若 a ,a , ⋯,a +a + ⋯ +a = 1, 写出上述 的推行式 (2) 参照上述 法 , 你推行的 加以 明 .(1) 解 :若 a 1,a 2, ⋯,a n ∈ R ,a 1+a 2+ ⋯ +a n = 1,+⋯+.(2) 明 :结构函数f(x)= (x-a1)2+ (x-a2)2+ ⋯ +(x-a n)22=nx -2(a1+a 2+ ⋯ +a n)x++ ⋯+2=nx -2x++ ⋯ +.因全部x∈R,都有 f(x) ≥0,所以Δ=4- 4n(+ ⋯ + ) ≤0,进而得 + ⋯ +.19.(本小10分)已知等差数列{ a n}的公差大于0,且a3,a5是方程x2-14x+45= 0的两根,数列{ b n}的前n 和 S n,且 S n=1-b n.(1)求数列 { a n},{ b n} 的通公式 ;(2)c n=a n·b n,求 :c n+ 1≤c n.(1) 解 :∵a3,a5是方程 x2-14x+45= 0 的两根 ,且数列 { a n} 的公差 d> 0,∴a3= 5,a5 =9,公差 d== 2.∴a n=a 5+ ( n-5)d= 2n-1.由意得 ,当 n= 1,b1=S 1= 1-,∴b1=.当 n≥2 ,b n=S n-S n- 1= (b n- 1-b n),∴b n=b n-1(n≥ 2).∴数列 { b n} 是以首 ,公比的等比数列.∴b n=.(2) 明 :由 (1) 知 ,c n=a n·b n= ,c n+ 1= ,∴c n+ 1-c n= ≤0.∴c n+ 1≤c n.22222*20.(本小10分)用数学法明 1 + 3 + 5 + ⋯ +(2n- 1) =n (4n -1)(n∈N ).明 :(1)当 n= 1 ,左 = 12,右 =×1×(4 ×1-1)= 1,左 = 右 ,等式建立 .22222(2)假当 n=k ,等式建立 ,即 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k-1) =k (4k -1),当 n=k+ 1 ,12+ 32+ 52+ ⋯+ (2k-1)2+ (2k+1)2=k (4k2-1)+ (2k+ 1)22=k (2k+1)(2 k-1)+ (2k+ 1)2=(2k+ 1)(2 k + 5k+ 3)=(2k+ 1)(k+1)(2 k+3)=(k+ 1)(4k2+ 8k+3)=(k+ 1)[4( k+ 1)2-1],即当 n=k+ 1 ,等式成立 .由 (1)(2) 可知 ,全部 n∈N*等式建立 .。

章末检测一、选择题 1.由 1= 12,1 + 3 = 22,1 + 3+ 5= 32,1 + 3 + 5+ 7= 42,…，得到 1 + 3+ — + (2n — 1) = n 2 用的是（ ） A. 归纳推理 B.演绎推理 C.类比推理 D.特殊推理答案 A 2.在厶ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，则有EF // BC ,这个问题的大前提为（ ）A •三角形的中位线平行于第三边 B. 三角形的中位线等于第三边的一半 C. EF 为中位线 D.EF // BC答案 A解析 这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提： EF 为△ ABC 的中位线；结论： EF // BC. 3.用反证法证明命题“2 + . 3是无理数”时，假设正确的是 （）A. 假设,2是有理数 C.假设,2或，3是有理数 答案 DB. 假设.3是有理数D.假设.2+ 3是有理数解析应对结论进行否定，则 ,2+ 3不是无理数，即.2+ 3是有理数. 4•若A 是厶ABC 的一个内角,1cos A >2，则A 的取值范围是（n A. 0, 6n B. 0, 3n nc. 6, 2答案B1解析■/ A是厶ABC的一个内角，••• A € （0, n）又cos A> ?,且y= cos A在（0, n上是减函2f x5.已知f(x+ 1) = f x+ 2, f(1) = 1(x€ N*)，猜想f(x)的表达式为()4A.2x+ 2B. 2x+ 1a 》一2, • 解得—2 w a w 1. 1 + a w 2,8.对“ a , b , c 是不全相等的正数”，给出下列判断: ① (a — b)2 + (b — c)2+ (c — a)2* 0;② a = b 与b = c 及a = c 中至少有一个成立； ③ a 丰c , b * c , a * b 不能同时成立 . 其中判断正确的个数为() A.0B.1C.2D.31C.x+7答案 B2f 12 解析 当 x = 1 时，f(2) == -2+22当 x =3 时，f(4)=髡=1=占, 2故可猜想f(x) = -^，故选B.x + 16.设有两个命题:①关于x 的不等式x 2+ 2ax + 4>0对一切x € R 恒成立; ②函数f(x)=— (5 — 2a)x 是减函数. 若命题中有且只有一个是真命题，则实数 a 的取值范围是(A.( —a, — 2]B.( —a, 2)C.[2 ,+a )D.( — 2,2)答案 A解析 若①为真，则A= 4a 2— 16v 0•即—2v a v 2 ;若②为真，则5— 2a > 1,即a v 2•当①真 ②假时，无解；当①假②真时，a w — 2.X7.在R 上定义运算O ： x Oy =口若关于x 的不等式(x — a) O (x + 1 — a) > 0的解集是集合｛x|—2w x < 2, x € R ｝的子集，则实数 a 的取值范围是( A.[ — 2,2] B.[ — 1,2] C.[1,2) D.[ — 2,1]答案 Dx — ax — a x — a解析由定义知(x - a) O(x +1 - a)= 2 — x + 1 — a — 1 + a — x — 1 + a'•••不等式为—x ——>0，x ——v0 的解集为｛x|a v x v a + 1｝，也就是｛x|— 2w x w 2｝的子集,答案 B解析 若(a — b)2+ (b — c)2+ (c — a)2 = 0，则a = b = c ,与“a , b, c 是不全相等的正数”矛盾， 故①正确.a = b 与b = c 及a = c 中最多只能有一个成立，故 ②不正确.由于“a , b , c 是不全相 等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确.1a n +1 = 1 —一，贝U a 2 015等于(a n1A ・2 B. — 1 C.2 D.3答案 B1 彳 a5=1 —04=— 1, a6=1 —a n + 3k = a n (n € N , k € N ) • a 2 015= a 2 + 3X 671= a 2=— 1.10. 定义在 R 上的函数f(x)满足f(— x)=— f(x + 4)，且f(x)在(2,+s )上为增函数.已知X 1 + X 2<4 且(x 1— 2) •(— 2)<0，贝U f(x 1)+ f(x 2)的值( )A.恒小于0B.恒大于0C. 可能等于0D.可正也可负答案 A解析 不妨设 X 1 — 2<0 , X 2— 2>0 , 则 X 1<2 , x 2>2, • 2<X 2<4 — X 1 ,• f(X 2)<f(4 — X 1)，即一f(X 2)> — f(4 — X 1), 从而一f(X 2)> — f(4 — X 1)= f(X 1), f(X 1 ) + f(X 2)<0. 二、填空题 11. 观察下列等式： (1 + 1) = 2 X 1(2 + 1)(2 + 2)= 22X 1 X 3(3 + 1)(3 + 2)(3 + 3) = 23X 1 X 3 X 5 按此规律，第n 个等式可为 ___________ .答案 (n + 1)(n + 2)(n + 3) •- •(+ n) = 2n - 1 - 3•- -5•- 1)11 1 3 5 7 12. f(n)= 1 + + 3+-+ 卞n € N *)，经计算得 f(2)=?, f(4)>2 , f(8)>?, f(16)>3 , f(32)>-，推测9.数列｛a n ｝满足a i =1,解析1-a1 = 2’an + 1=1 1 —a n••• a2=a3=1-02=2,1 1a4=1—ar 2,a 5=2,当n》2时，有 __________________ .2 + n答案f(2n)>—^( n A 2)解析观测f(n)中n的规律为2k(k= 1,2,…),2 + k不等式右侧分别为2，k= 1,2 ,…，••• f(2n)>^( n A 2).13.用数学归纳法证明：1 1 1 2n1+ 1 + 2 + 1 + 2+ 3+…+ 1 + 2+ 3+・・・+ n—n +1 时，由 * k到* k+1左边需要添加的项是___________ 答案2k+ 1 k+ 2解析1 2由n—k到n—k+ 1时，左边需要添加的项是一.1 + 2+ 3+ …+ k+ 1 k+ 1 k+ 214.设S, V分别表示表面积和体积，如△ ABC的面积用S A ABC表示，二棱锥O —ABC的体积用V O —ABC表示，对于命题：如果0是线段AB上一点，则Q B|OA+ |<OA| OB= 0.将它类比到平面的情形时，应该有：若0是厶ABC内一点，有OBC 0A+ S SCA 0B + OBA OC = 0.将它类比到空间的情形时，应该有：若O是三棱锥A—BCD内一点，则有____________________ .答案V O-BCD 0A + V O—ACD OB+ V O—ABD OC + V O—ABC OD= 0三、解答题15. 设a, b, c三数依次成等比数列，而x, y分别为a, b和b, c的等差中项，试证：号+y = 2.证明依题意，a, b, c依次成等比数列，即a= b.b c由比例性质有—=—匚，又由题设x=旦乎,y=中,a+ b b + c 2 2a c 2a 2c 2b 2c 2 b+ c因而 + = = + = = 2.x y a+ b b + c b+ c b+ c b+ c116. 证明：对于任意实数x, y,都有x4+ y4A~xy(x + y)2.1 证明要证x4+ y4A?xy(x+ y)2,只需证2(x4+ y4) A xy(x+ y)2,即证2(x4+ y4) A x3y+ xy3+ 2x2y2.只需x4+ y4A x3y+ xy3与x4+ y4A 2x2y2同时成立即可.又知x4+ y4—2x2y2= (x2—y2)2A 0 显然成立，即x4+ y4A 2x2y2成立，只需再证x 4+ y 4>x 3y + xy 3即可. 而 x 4 + y 4- x 3y - xy 3= (x — y)(x 3- y 3),T x - y 与 x 3- y 3 同号，•- (x - y)(x 3- y 3) > 0,即卩 x 4 + y 4>x 3y + xy 3成立，1•对于任意实数x , y ,都有x 4 + y 4>2xy(x + y)2.17. 如图，在直三棱柱 ABC - A i B i C i 中，E,F 分别为 A i B,A i C 的中点，点D 在B i C i 上，A i D 丄B i C.求证：(1)EF //平面ABC ; (2)平面 A i FD 丄平面BB i C i C.证明 ⑴因为E , F 分别为A i B , A i C 的中点，所以 EF // BC,又EF?平面ABC , BC?平面 ABC ,所以EF //平面ABC.(2)因为三棱柱 ABC - A i B i C i 为直三棱柱， 所以BB i 丄平面A i B i C i , BB i 丄A i D , 又 A i D 丄 B i C ,所以 A i D 丄平面BB i C i C , 又A i D?平面A i FD ,所以平面A i FD 丄平面BB i C i C.I8.已知△ ABC 中，A : B : C = I : 2 : 6. a a + b求证：厂= -------b a + b + C只需证 a 2 + ab + ac = ab + b 2, 即证 a(a + c) = b 2.由正弦定理，只需证 sin A(sin A + sin C) = si n 2B. •/ A : B : C = i : 2 : 6,即卩 sin n sin f+sin§n)sin 29n证明 要证 a _ a + b b a +b +c ‘•-A =9，6 一9=c2 一9n n ・ 3 o2 即singling + sing n# sin2§n,n 2 n n ?2 即sin 9 • 2singcos g = sin2g n,n n 2即2si n geos g= sin g n,显然成立a+ b成立.a+ b+ e。

人教A 版选修2-2第二章推理与证明基础测试题一、单选题1．“一切金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”.此推理方法是（ ） A ．类比推理B ．演绎推理C ．归纳推理D ．以上都不对2．甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩3．在平面直角坐标系中，点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =，类比可得在空间直角坐标系中，点()2,3,4到平面2240x y z ++-=的距离为（ ）A ．4B ．5C ．163D ．2034．用数学归纳法证明等式()221*111,1n n a a a aa n N a++-++++=≠∈-时，当1n =时，左边等于（ ） A ．1B ．1a +C ．21a a ++D ．2a5．华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（ ）次检测．6．在一次数学测验后，甲､乙､丙三人对成绩进行预测 甲：我的成绩比丙高.乙：我的成绩比丙高. 丙：甲的成绩比我和乙的都高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ） A ．甲､乙､丙 B ．乙､丙､甲 C ．丙､乙､甲D ．甲､丙､乙7．某集团军接到抗洪命令，紧急抽调甲､乙､丙､丁四个专业抗洪小组去A ，B ，C ，D 四地参加抗洪抢险，每地仅去1人，其中甲不去A 地也不去B 地，乙与丙不去A 地也不去D 地，如果乙不去B 地，则去D 地的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60︒”时，假设正确的是（ ） A ．假设三内角都不大于60︒ B ．假设三内角都大于60︒C ．假设三内角至少有一个大于60︒D ．假设三内角至多有两个大于60︒9．甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛，决出了第一名到第四名的四个名次.甲说：“我不是第一名”；乙说：“丁是第一名”；丙说：“乙是第一名”；丁说：“我不是第一名”.成绩公布后，发现这四位同学中只有一位说的是正确的，则获得第一名的同学为（） A ．丙B ．甲C ．乙D ．丁10．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S =2⨯底高，可推知扇形面积公式S 扇等于（ ）A ．22rB ．22lC ．12lr D ．不可类比11．如图，观察①、②、③的变化规律，则第④张图形应为（ ）① ② ③ ④______A ．B ．C ．D ．12．“已知对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）是增函数，因为2log y x =是对数函数，所以2log y x =为增函数”，在以上三段论的推理中（ ） A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．结论错误二、填空题13．用反证法证明：存在x ∈R ，cos 1x ≥，应先假设：________.14．已知不等式213122+<，221151233++<，222111712344+++<，……均成立，照此规律，第五个不等式应为2222211111123456+++++<_______．15．已知甲、乙、丙三人恰好都去过北京、上海中的某一个城市，三人分别给出了以下说法：甲说：我去过北京，乙去过上海，丙去过北京；乙说：我去过上海，甲说的不完全对；丙说：我去过北京，乙说的对．若甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对，则去过北京的是_____．16．一个自然数的立方，可以分裂成若千个连续奇数的和.例如：32、33和34分别可以“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即3235=+，337911=++，3413151719=+++，…若3100也按照此规律来进行“分裂”，则3100“分裂”出的奇数中，最小的奇数是______.三、解答题17．已知数列{}n a 第一项12a =，且1(1,2,3,4)1n n na a n n +==+， （1）计算234,,a a a 的值．（2）试猜想这个数列的通项公式(不用写出推导过程)． 18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()2n n S a n N ++=∈. （1）求123,,a a a 的值，并写出数列{}n a 的通项公式；（2）写出用三段论证明数列{}n a 是等比数列的大提前、小前提、结论. 19．已知a 、b 、c +∈R ， （1）求证：()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭；（2）求证：()1119a b c a b c ⎛⎫++++≥⎪⎝⎭； （3）由（1）、（2），将命题推广到一般情形（不作证明）． 20．（1）已知a ，b 都是正数，并且ab ，求证：552332a b a b a b +>+；（2）若x ，y 都是正实数，且2x y =>，求证：12x y +<与12yx+<中至少有一个成立.21．设关于正整数n 的函数222()1223(1)f n n n =⋅+⋅++（1）求(1),(2),(3)f f f ； （2）是否存在常数,,a b c 使得()f n =2(1)()12n n an bn c +++对一切自然数n 都成立？并证明你的结论22．设函数()y f x =对任意实数x 、y 都有()()()2f x y f x f y xy +=++， （1）求(0)f 的值；（2）若(1)1f =，求(2)f 、(3)f 、(4)f 的值；（3）在（2）的条件下，猜想()f n ()n N +∈的表达式，并用数学归纳法加以证明．参考答案1．B 【分析】符合三段论：大前提，小前提，结论，所以是演绎推理. 【详解】在推理的过程中：一切金属都能导电，是大前提， 铁是金属，是小前提， 所以铁能导电，是结论， 故是演绎推理， 故选：B 2．D 【分析】根据题中条件，直接分析，即可得出结果. 【详解】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果. 故选：D ． 3．A 【分析】类比可得，点()000,,x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离为d =，即为即可得出结果.【详解】类比可得，点()000,,x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离为d =，故点()2,3,4到平面2240x y z ++-=的距离：4d ==，故选：A. 4．C 【分析】根据题意，将1n =直接代入，即可求出结果. 【详解】用数学归纳法证明：()2211111n n a a a aa a++-++++=≠-， 在验证1n =时，令1n =代入左边的代数式，得到左边11211+=++=++a a a a . 故选：C 5．B 【分析】利用优选法依次进行检测，写出4次检测的情况，得到最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测． 【详解】第一次：16人分两组，每组8人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；第二次：留下的8人分两组，每组4人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测； 第三次：留下的4人分两组，每组2人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测； 第四次：留下的2人分两组，每组1人，如果第一人检测结果为阳性，则第2人没有感染．如果第一组检测结果为阴性，则第2人感染．综上，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测． 故选：B 6．B 【分析】若甲预测正确，则乙和丙的预测都错误，此时甲>丙，乙<丙，甲<丙，产生矛盾；若乙预测正确，则甲和丙都错误，此时甲<丙，乙>丙，甲<丙，从而得甲<丙<乙；若丙预测正确，则甲和乙都错误，此时甲>丙，甲>乙，甲<丙，产生矛盾，由此可得结果【详解】解：若甲预测正确，则乙和丙的预测都错误，此时甲>丙，乙<丙，甲<丙，产生矛盾；若乙预测正确，则甲和丙都错误，此时甲<丙，乙>丙，甲<丙，从而得甲<丙<乙；若丙预测正确，则甲和乙都错误，此时甲>丙，甲>乙，甲<丙，产生矛盾，所以甲<丙<乙，故选：B7．A【分析】根据题意进行推理可得结果.【详解】因为甲、乙、丙都不去A地，所以只能是丁去A地，又甲、乙不去B地，所以只能是丙去B 地，又乙、丙不去D地，所以只能是甲去D地，乙去C地.故选：A【点睛】本题考查了演绎推理，属于基础题.8．B【分析】用反证法证明，需假设命题的否定.【详解】题设条件为至少有一个角不大于60，所以与之相反的条件为没有任何一个角不大于60，即三角形的内角均大于60.故选：B【点睛】本题考查反证法，重点考查命题的否定，属于基础题型.9．B【分析】分别假设甲是第一名，乙是第一名，丙是第一名，丁是第一名，四种情况，结合题中条件，进行判断，即可得出结果.若甲是第一名，则甲、乙、丙说的都不正确，丁说的正确，符合题意，故甲获得第一； 若乙是第一名，则只有乙说的正确，不符合题意；若丙为第一名，则乙丙说的不正确，甲丁说的正确，不满足题意； 若丁是第一名，则甲乙说的正确，丙丁说的不正确，不满足题意； 故选B 【点睛】本题主要考查逻辑推理，推理案例属于常考内容，属于基础题型. 10．C 【分析】将扇形的弧类比为三角形的底边，高类比为扇形的半径，问题得解． 【详解】将扇形的弧类比为三角形的底边，则高类比为扇形的半径r ，所以S 扇＝12lr ．故选C ． 【点睛】本题主要考查了类比推理知识，对比图形的特征即可解答，属于基础题． 11．C 【分析】根据逆时针旋转确定正确选项. 【详解】由①、②、③可知，图形是逆时针方向旋转，所以第④张图形应C. 故选：C 【点睛】本小题主要考查合情推理，属于基础题. 12．A 【分析】根据对数函数的单调性判断即可. 【详解】当01a <<时，函数log a y x =为减函数，所以，在这个推理中，大前提错误.故选：A.本题考查演绎推理，属于基础题. 13．任意x ∈R ，cos 1x < 【分析】由特称命题的否定可得解. 【详解】反证法即为先假设命题的否定成立，及应先假设：任意x ∈R ，cos 1x <. 故答案为：任意x ∈R ，cos 1x <. 14．116【分析】根据题中条件，归纳得到()()222221111111...21341n n n +++++⨯-+-+<，进而可得出结果. 【详解】 因为21321112211⨯++<=+，22115221123321⨯+++<=+，22211172311234431⨯++++<=+，… 因此()()222221111111...21341n n n +++++⨯-+-+<． 所以第五个不等式应为222221111112345625111516+++++⨯+=+<. 故答案为：11615．丙 【分析】若甲说得不对，则乙、丙说得对，若乙或丙说得不对，则得出与”甲、乙、丙三人中恰有1人说得不对“矛盾，从而得到去过北京的是丙． 【详解】若甲说得不对，则乙、丙说得对，即乙一定去过上海，丙一定去过北京，甲只去过上海， 若乙或丙说得不对，则得出与”甲、乙、丙三人中恰有1人说得不对“矛盾， 故去过北京的是丙． 故答案为：丙． 【点睛】本小题主要考查简单的合情推理，属于基础题. 16．9901 【分析】根据"3235=+，337911=++，3413151719=+++",得出3m “分裂”出的奇数中最小的奇数是1()1m m -+,把100m =代入计算求值即可． 【详解】解: 3235=+，337911=++，3413151719=+++;3211=⨯+,7321,=⨯+ 13431,=⨯+∴3m “分裂”出的奇数中最小的奇数是1()1m m -+, ∴3100 “分裂”出的奇数中最小的奇数是1009919901⨯+＝, 故选答案为: 9901． 【点睛】本题为中考数学题，考查学生找规律求通项的能力，属于基础题. 17．（1）21a =，323a =，412a =，（2）猜想2n a n=【分析】（1）由数列递推式运算即可得解；重点考查了归纳推理能力， （2）由前面有限项归纳通项公式即可得解. 【详解】解：（1）由数列{}n a 第一项12a =，且()11,2,3,41n n na a n n +==+，则21212a =⨯=，322133a =⨯=，4321432a =⨯=，即21a =，323a =，412a =，（2）由222a =，323a =，424a =，猜想这个数列的通项公式为2n a n=.【点睛】本题考查了数列递推式的运算，重点考查了归纳推理能力，属基础题.18．（1）11a =，212a =，314a =，112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，n N +∈；（2）见解析.【分析】 （1）先求出123,,a a a 的值，分析规律，再归纳出通项公式即可；（2）将等比数列的定义作为大前提，然后将归纳得通项公式作为小前提，数列{}n a 是等比数列则为结论.【详解】解：（1）由2n n S a +=，当1n =时，11122S a a +==，解得：11a =，当2n =时，222122S a a a +=+=，解得：212a =， 当3n =时，3332122S a a a a +=++=，解得：314a =， 由此归纳推理得：112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，n N +∈.（2）大前提：在数列{}n a 中，若1n na p a +=，p 是非零常数，则{}n a 是等比数列； 小前提：在数列{}n a 中，112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，112n n a a +=； 结论：数列{}n a 是等比数列.【点睛】 本题考查了归纳推理，重点考查了三段论，属基础题.19．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）()()21212111*n n a a a n n a a a ⎛⎫++⋅⋅⋅+⋅++⋅⋅⋅+≥∈ ⎪⎝⎭N . 【分析】（1）对不等式()11,a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭分别使用基本不等式即可证明出()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭； （2）对不等式()111,a b c a b c ⎛⎫++++⎪⎝⎭分别使用基本不等式即可证明出 ()1119a b c a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭； （3）根据（1）（2）不等式的结构特征直接写出一般推广结论.【详解】（1）()114a b a b ⎛⎫++≥= ⎪⎝⎭（当且仅当a b ==1时取等号）； （2）()1119a b c a b c ⎛⎫++⋅++≥= ⎪⎝⎭（当且仅当1a b c ===时取等号）； （3）推广：已知1a ，2a ，…，n a +∈R 则()()21212111*n n a a a n n a a a ⎛⎫++⋅⋅⋅+⋅++⋅⋅⋅+≥∈ ⎪⎝⎭N （当且仅当121n a a a ====时取等号）；【点睛】本题考查了基本不等式的应用与推广，考查了类比推理的能力.20．（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）利用综合法，将两式做差，化简整理，即可证明 （2）利用反证法，先假设原命题不成立，再推理证明，得出矛盾，即得原命题成立．【详解】（1）()()552332a b a ba b +-+ ()()532523a a b b a b =-+- ()()322322a a b b b a =-+- ()()2233a b a b =-- ()()()222a b a b a ab b =+-++因为a ，b 都是正数，所以0a b +>，220a ab b ++>又a b ≠，所以()20a b ->，所以()()()2220a b a b a ab b +-++>， 所以()()5523320a b a b a b +-+>，即552332a b a b a b +>+. （2）假设12x y +<和12y x +<都不成立，即12x y +≥和12y x+≥同时成立. 0x >且0y >，12x y ∴+≥，12y x +≥.两式相加得222x y x y ++≥+，即2x y +≤.此与已知条件2x y =>相矛盾，12x y +∴<和12y x+<中至少有一个成立. 【点睛】本题主要考查综合法和反证法证明，其中用反证法证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，得出矛盾，即假设不成立，原命题成立，进而得证．21．（1）(1)4f =，(2)22f =，(3)70f =（2）根据数学归纳法思想，先利用特殊值来得到参数的a,b,c 的值，然后对于解题的结果运用数学归纳法加以证明。

第二章综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，按此规律，则第100项为( ) A ．10 B ．14 C ．13 D ．100[答案] B[解析] 设n ∈N *，则数字n 共有n 个， 所以n (n ＋1)2≤100即n (n ＋1)≤200，又因为n ∈N *，所以n ＝13，到第13个13时共有13×142＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.2．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．不是以上错误[答案] C[解析] 大小前提都正确，其推理形式错误．故应选C.3．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4[答案] D[解析] 当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋3＋4，故应选D. 4．(2012·福建南安高二期末)下列说法正确的是( ) A ．“a <b ”是“am 2<bm 2”的充要条件B ．命题“∀x ∈R ，x 3－x 2－1≤0”的否定是“∃x ∈R ，x 3－x 2－1≤0”C ．“若a 、b 都是奇数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是“若a ＋b 不是偶数，则a 、b 不都是奇数”D ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题 [答案] C[解析] A 中“a <b ”是“am 2<bm 2”的必要不充分条件，故A 错；B 中“∀x ∈R ，x 3－x 2－1≤0”的否定是“∃x ∈R ，x 3－x 2－1>0”，故B 错；C 正确；D 中p ∧q 为假命题，则p 、q 中至少有一个为假命题，故D 错． 5．(2014·东北三校模拟) 下列代数式(其中k ∈N *)能被9整除的是( ) A ．6＋6·7k B ．2＋7k －1C ．2(2＋7k ＋1)D ．3(2＋7k )[答案] D[解析] 特值法：当k ＝1时，显然只有3(2＋7k )能被9整除，故选D. 证明如下：当k ＝1时，已验证结论成立，假设当k ＝n (n ∈N *)时，命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n )－36.∵3(2＋7n )能被9整除，36能被9整除， ∴21(2＋7n )－36能被9整除， 这就是说，k ＝n ＋1时命题也成立． 故命题对任何k ∈N *都成立．6．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14[答案] D[解析] 项数为n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1，故应选D. 7．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0 D ．不大于0[答案] D[解析] 解法1：∵a ＋b ＋c ＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.解法2：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a 、b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab ＜0，排除A 、B 、C ，选D.8．已知c ＞1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( ) A ．a ＞b B ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 、b 大小不定[答案] B[解析] a ＝c ＋1－c ＝1c ＋1＋c ，b ＝c －c －1＝1c ＋c －1，因为c ＋1>c >0，c >c －1>0， 所以c ＋1＋c >c ＋c －1>0，所以a <b .9．定义一种运算“*”；对于自然数n 满足以下运算性质：( ) (i)1]B.n ＋1 C ．n －1 D ．n 2[答案] A[解析] 令a n ＝n *1，则由(ii)得，a n ＋1＝a n ＋1，由(i)得，a 1＝1，∴{a n }是首项a 1＝1，公差为1的等差数列，∴a n ＝n ，即n *1＝n ，故选A. 10．(2013·济宁梁山一中高二期中)已知函数f (x )满足f (0)＝0，导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象与x 轴围成的封闭图形的面积为( )A ．13B ．43C ．2D ．83[答案] B[解析] 由f ′(x )的图象知，f ′(x )＝2x ＋2，设f (x )＝x 2＋2x ＋c ，由f (0)＝0知，c ＝0，∴f (x )＝x 2＋2x ， 由x 2＋2x ＝0得x ＝0或－2.故所求面积S ＝－⎠⎛0－2(x 2＋2x )dx ＝⎪⎪－(13x 3＋x 2)0－2＝43. 11．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a 、b 、c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c[答案] A[解析] 令n ＝1、2、3，得⎩⎪⎨⎪⎧3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34.所以a ＝12，b ＝c ＝14.12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2011＝( )A.1 C ．4 D ．5[答案] C[解析] x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2011＝x 3＝4，故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题： _____________________________________________________.[答案] 在四面体A －BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)14．(2013·安阳中学高二期末)设函数f (x )＝x x ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x 3x ＋4，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 7x ＋8，f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.[答案]x(2n－1)x ＋2n[解析] 观察f 1(x )、f 2(x )、f 3(x )、f 4(x )的表达式可见，f n (x )的分子为x ，分母中x 的系数比常数项小1，常数项依次为2,4,8,16……2n .故f n (x )＝x(2n－1)x ＋2n.14．(2014·厦门六中高二期中)在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1、S 2、S 3表示三个侧面面积，S 表示截面面积，那么类比得到的结论是________．[答案] S 2＝S 21＋S 22＋S 23[解析] 类比如下：正方形↔正方体；截下直角三角形↔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方↔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和↔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S 2＝S 21＋S 22＋S 23.证明如下：如图，作OE ⊥平面LMN ，垂足为E ，连接LE 并延长交MN 于F ，∵LO ⊥OM ，LO ⊥ON ，∴LO ⊥平面MON ， ∵MN ⊂平面MON ，∴LO ⊥MN ，∵OE ⊥MN ，∴MN ⊥平面OFL ，∴S △OMN ＝12MN ·OF ，S △MNE ＝12MN ·FE ，S △MNL ＝12MN ·LF ，OF 2＝FE ·FL ，∴S 2△OMN ＝(12MN ·OF )2＝(12MN ·FE )·(12MN ·FL )＝S △MNE ·S △MNL ，同理S 2△OML ＝S △MLE ·S △MNL ，S 2△ONL ＝S △NLE ·S △MNL ，∴S 2△OMN ＋S 2△OML ＋S 2△ONL ＝(S △MNE ＋S △MLE ＋S △NLE )·S △MNL ＝S 2△MNL ，即S 21＋S 22＋S 23＝S 2.16．(2014·洛阳部分重点中学教学检测)观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，……，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n (n ＋1)×12n ＝________. [答案] 1－1(n ＋1)·2n[解析] 由已知中的等式：31×2×12＝1－12231×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…， 所以对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n (n ＋1)×12n ＝1－1(n ＋1)2n.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)已知：a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[证明] 由a 2＋b 2≥2ab ，及b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . 三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca )＝(a ＋b ＋c )2. 由a ＋b ＋c ＝1，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥1， 即a 2＋b 2＋c 2≥13.18．(本题满分12分)设n ∈N ＋[解析] 记f (n ) 则f (1)＝11－2＝3，f (2)＝1111－22＝1089＝33，f (3)＝111111－222＝110889＝333.猜想f (n )＝333…3n个. [点评] f (n )＝333…3n个可证明如下： ∵111…12n 个＝19(102n －1)，222…2n 个2＝29(10n －1)，令10n ＝x >1，则f (n )＝19(x 2－1)－29(x －1)＝19(x 2－2x ＋1)＝13(x －1)＝13(10n －1)， 即f (n )＝33…3n个. 19．(本题满分12分)(2013·华池一中高二期中)在圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)中，AB 为直径，C 为圆上异于A 、B 的任意一点，则有k AC ·k BC ＝－1.你能用类比的方法得出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中有什么样的结论？并加以证明．[解析] 类比得到的结论是：在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，A 、B 分别是椭圆长轴的左右端点，点C (x ，y )是椭圆上不同于A 、B 的任意一点，则k AC ·k BC ＝－b 2a2证明如下：设A (x 0，y 0)为椭圆上的任意一点，则A 关于中心的对称点B 的坐标为B (－x 0，－y 0)，点P (x ，y )为椭圆上异于A ，B 两点的任意一点，则k AP ·k BP ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20.由于A 、B 、P 三点在椭圆上，∴⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 20a 2＋y20b 2＝1.两式相减得，x 2－x 20a 2＋y 2－y 20b 2＝0，∴y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2，即k AP ·k BP ＝－b 2a 2.故在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，长轴两个端点为A 、B 、P 为异于A 、B 的椭圆上的任意一点，则有k AB ·k BP ＝－b 2a2.20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．[解析] (1)证法1：任取x 1、x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1且ax 1>0，∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0， 又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1) ＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0， 故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．证法2：f ′(x )＝a x ln a ＋x ＋1－(x －2)(x ＋1)2＝a x ln a ＋3(x ＋1)2 ∵a >1，∴ln a >0，∴a x ln a ＋3(x ＋1)2>0， f ′(x )>0在(－1，＋∞)上恒成立， 即f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)解法1：设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0， 则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1.∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根． 解法2：设x 0<0(x 0≠－1)，①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2，ax 0<1，∴f (x 0)<－1.②若x 0<－1则x 0－2x 0＋1>0，ax 0>0，∴f (x 0)>0.综上，x <0(x ≠－1)时，f (x )<－1或f (x )>0，即方程f (x )＝0无负数根． 21．(本题满分12分)(2014·哈六中期中)已知函数f (x )＝(x －2)e x －12x 2＋x ＋2.(1)求函数f (x )的单调区间和极值； (2)证明：当x ≥1时，f (x )>16x 3－12x .[解析] (1)f ′(x )＝(x －1)(e x －1)，当x ＜0或x ＞1时，f ′(x )＞0，当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减， 当x ＝0时，f (x )有极大值f (0)＝0，当x ＝1时，f (x )有极小值f (1)＝52－e.(2)设g (x )＝f (x )－16x 3＋12x ，则g ′(x )＝(x －1)(e x －x 2－32)，令u (x )＝e x －x 2－32，则u ′(x )＝e x －12，当x ≥1时，u ′(x )＝e x －12>0，u (x )在[1，＋∞)上单调递增，u (x )≥u (1)＝e －2>0，所以g ′(x )＝(x －1)(e x －x 2－32)≥0，g (x )＝f (x )－16x 3＋12x 在[1，＋∞)上单调递增．g (x )＝f (x )－16x 3＋12x ≥g (1)＝176－e>0，所以f (x )>16x 3－12x .22．(本题满分14分)设数列a 1，a 2，…a n ，…中的每一项都不为0.证明{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ＋，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1. [分析] 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解题思路是利用裂项求和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性． [证明] 先证必要性．设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立．若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1 ＝1d ⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1 ＝1d ⎝⎛⎭⎫1a 1－1a n ＋1＝1d a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 再证充分性．证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切n ∈N ＋都成立．首先，在等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，所以a 1，a 2，a 3成等差数列，记公差为d ，则a 2＝a 1＋d .假设a k ＝a 1＋(k －1)d ，当n ＝k ＋1时，观察如下两个等式 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＝k －1a 1a k， ① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1②将①代入②，得k －1a 1a k ＋1a k a k ＋1＝k a 1a k ＋1，在该式两端同乘a 1a k a k ＋1，得(k －1)a k ＋1＋a 1＝ka k . 将a k ＝a 1＋(k －1)d 代入其中，整理后，得a k ＋1＝a 1＋kd .由数学归纳法原理知，对一切n ∈N ，都有a n ＝a 1＋(n －1)d ，所以{a n }是公差为d 的等差数列．证法2：(直接证法)依题意有 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＋1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2. ②②－①得1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2－n a 1a n ＋1，在上式两端同乘a 1a n ＋1a n ＋2，得a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2. ③ 同理可得a 1＝na n －(n －1)a n ＋1(n ≥2)④③－④得2na n ＋1＝n (a n ＋2＋a n ) 即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，由证法1知a 3－a 2＝a 2－a 1，故上式对任意n ∈N *均成立．所以{a n }是等差数列．1．已知数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第19项 D ．第11项[答案] B [解析]2，5，8，11，…，而25＝20，可见各根号内被开方数构成首项为2，公差为3的等差数列，由20＝2＋(n －1)×3得n ＝7.2．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是__________________．[答案] 丙[解析] 若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．3．(1)由“若a 、b 、c ∈R ，则(ab )c ＝a (bc )”类比“若a 、b 、c 为三个向量，则(a ·b )c ＝a (b ·c )”；(2)在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，猜想a n ＝2n －2；(3)“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；上述三个推理中结论正确的序号为________． [答案] ②③[解析] (a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立，其左边为平行于c 的向量，右边为平行于a 的向量，即命题(1)不正确；由a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2可得a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，则数列{a n ＋2}是首项为2，公比为2的等比数列，a n ＋2＝2n ，即a n ＝2n －2，命题(2)正确；(3)正确，可结合三个侧面在底面上的射影去证明； 综上可得正确的结论为(2)(3)．4．若x >0，y >0，用分析法证明：(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13.[证明] 要证(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13，只需证(x 2＋y 2)3>(x 3＋y 3)2，即证x 6＋3x 4y 2＋3x 2y 4＋y 6>x 6＋2x 3y 3＋y 6， 即证3x 4y 2＋3y 4x 2>2x 3y 3. 又因为x >0，y >0，所以x 2y 2>0， 故只需证3x 2＋3y 2>2xy .而3x 2＋3y 2>x 2＋y 2≥2xy 成立，所以(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13成立． 5．已知a 是正整数，且a 3是偶数，求证：a 也是偶数．[分析] 已知a 3的奇偶性研究a 的奇偶性，不易直接证明，但如果已知a 的奇偶性研究a 3的奇偶性则较容易证明，故可用反证法．[证明] 假设a 不是偶数，则a 必为奇数，设a ＝2k ＋1(k ∈N )，则a 3＝(2k ＋1)3＝8k 3＋12k 2＋6k ＋1＝2(4k 3＋6k 2＋3k )＋1，由于k ∈N ，所以4k 2＋6k 2＋3k ∈N ，故2(4k 3＋6k 2＋3k )是偶数，2(4k 3＋6k 2＋3k )＋1为奇数，即a 3为奇数，这与a 3是偶数相矛盾．故假设不正确，即a 也是偶数．6．我们知道，在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形．现在请你研究：若c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，问△ABC 为何种三角形？为什么？[解析] 锐角三角形 ∵c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，∴c ＞a, c ＞b ，由c 是△ABC 的最大边，所以要证△ABC 是锐角三角形，只需证角C 为锐角，即证cos C ＞0.∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， ∴要证cos C ＞0，只要证a 2＋b 2＞c 2，① 注意到条件：a n ＋b n ＝c n ，于是将①等价变形为：(a 2＋b 2)c n －2＞c n . ② ∵c ＞a ，c ＞b ，n ＞2，∴c n －2＞a n －2，c n －2＞b n －2，即c n －2－a n －2＞0，c n －2－b n －2＞0， 从而(a 2＋b 2)c n －2－c n ＝(a 2＋b 2)c n －2－a n －b n ＝a 2(c n －2－a n －2)＋b 2(c n －2－b n －2)＞0， 这说明②式成立，从而①式也成立．故cos C ＞0，C 是锐角，△ABC 为锐角三角形．。

《推理与证明》单元测试题考试时间120分钟 总分150分一．选择题（共50分）1.下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°2.(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．923. 观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72012的末两位数字为（ ）A ．01B ．43C ．07D ．49 4. 以下不等式（其中．．0a b >>）正确的个数是（ ）1> ②≥③> A ．0 B ．1 C ．2D ．35.如图，椭圆的中心在坐标原点，F 为左焦点，当AB FB ⊥时，有()()()22222c b b a c a +++=+，，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为（ ）A．12 B．12+ CD6.如图，在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成的正六边形，以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,依此推断第8件首饰上应有（ ）颗珠宝。

第二章一、选择题(每小题分，共分)．用数学归纳法证明“＋＋＋…＋＋＝(≠)”．在验证＝时，左端计算所得项为( ) ．＋．＋＋．＋＋＋．＋＋＋＋解析：将＝代入＋得，故选.答案：．用数学归纳法证明(＋)(＋)…(＋)＝···…·(－)(∈)，从＝推导到＝＋时，左边需要增乘的代数式为( )＋．(＋) ．＋．．解析：当＝时，等式左端为(＋)(＋)·…·(＋)，当＝＋时，等式左端为(＋＋)(＋＋)…(＋)(＋＋)(＋)，∴从＝推导到＝＋时，左边需增乘的式子为(＋)．答案：．若命题()(∈*)＝(∈*)时命题成立，则有＝＋时命题成立．现知命题对＝(∈*)时命题成立．则有( )．命题对所有正整数都成立．命题对小于的正整数不成立，对大于或等于的正整数都成立．命题对小于的正整数成立与否不能确定，对大于或等于的正整数都成立．以上说法都不正确解析：由题意知＝时命题成立能推出＝＋时命题成立，由＝＋时命题成立，又推出＝＋时命题也成立…，所以对大于或等于的正整数命题都成立，而对小于的正整数命题是否成立不确定．答案：．棱柱有()个对角面，则(＋)棱柱的对角面个数(＋)为(≥，∈*)( )．()＋－．()＋＋．()＋．()＋－解析：三棱柱有个对角面，四棱柱有个对角面(＋＝＋(－))；五棱柱有个对角面(＋＝＋(－))；六棱柱有个对角面(＋＝＋(－))．猜想：若棱柱有()个对角面，则(＋)棱柱有()＋－个对角面．答案：二、填空题(每小题分，共分)．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数，总有>”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值最小应当是．解析：∵＝>＝<，∴填.答案：．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋－＝－(∈*)的过程如下：()当＝时，左边＝，右边＝－＝，等式成立．()假设当＝(∈*)时等式成立，即＋＋＋…＋－＝－，则当＝＋时，＋＋＋…＋－＋＝＝＋－.所以当＝＋时等式也成立．由此可知对于任何∈*，等式都成立．上述证明的错误是．解析：本题在由＝成立，证＝＋成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．答案：未用归纳假设三、解答题(每小题分，共分)．用数学归纳法证明：－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(∈＋)．证明：()当＝时，左边＝－＝＝右边，等式成立．()假设当＝时等式成立，即－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.当＝＋时，－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋…＋＋＋，即当＝＋时等式也成立．由()和()，知等式对所有∈＋都成立．．用数学归纳法证明＋≤＋＋＋…＋≤＋(∈*)．证明：()当＝时，左式＝＋，右式＝＋，∴≤＋≤，命题成立．()假设当＝(∈*)时命题成立，即＋≤＋＋＋…＋≤＋，则当＝＋时，＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞＋＋·＝＋.又＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋＋·＝＋(＋)，即＝＋时，命题成立．由()和()可知，命题对所有∈*都成立．☆☆☆(分)是否存在一个等差数列{}，使得对任何自然数，等式＋＋＋…＋＝(＋)(＋)都成立，并证明你的结论．解析：将＝分别代入等式得方程组：。

选修第二章选择题．(·郑州市高二检测)用数学归纳法证明＋＋＋…＋＋＝(∈*，≠)，在验证＝时，左边所得的项为( )．．＋＋．＋．＋＋＋[答案][解析]因为当＝时，＋＝，所以此时式子左边＝＋＋.故应选.．用数学归纳法证明＋＋＋…＋(－)＝(－)过程中，由＝递推到＝＋时，不等式左边增加的项为( )．() ．(＋)．(＋) ．(＋)[答案][解析]用数学归纳法证明＋＋＋…＋(－)＝(－)的过程中，第二步，假设＝时等式成立，即＋＋＋…＋(－)＝(－)，那么，当＝＋时，＋＋＋…＋(－)＋(＋)＝(－)＋(＋)，等式左边增加的项是(＋)，故选.．对于不等式≤＋(∈＋)，某学生的证明过程如下：()当＝时，≤＋，不等式成立．()假设＝(∈＋)时，不等式成立，即<＋，则＝＋时，＝<＝＝(＋)＋，∴当＝＋时，不等式成立，上述证法( )．过程全都正确．＝验证不正确．归纳假设不正确．从＝到＝＋的推理不正确[答案][解析]＝的验证及归纳假设都正确，但从＝到＝＋的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选.．用数学归纳法证明命题“当是正奇数时，＋能被＋整除”，在第二步的证明时，正确的证法是( )．假设＝(∈*)时命题成立，证明＝＋时命题也成立．假设＝(是正奇数)时命题成立，证明＝＋时命题也成立．假设＝(是正奇数)时命题成立，证明＝＋时命题也成立．假设＝＋(∈)时命题成立，证明＝＋时命题也成立[答案][解析]∵为正奇数，当＝时，下面第一个正奇数应为＋，而非＋.故应选.．凸边形有()条对角线，则凸＋边形对角线的条数(＋)为( )．()＋＋．()＋．()＋－．()＋－[答案][解析]增加一个顶点，就增加＋－条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故(＋)＝()＋＋＋－＝()＋－.故应选.．观察下列各式：已知＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，…，则归纳猜测＋＝( ) ．．．．[答案][解析]观察发现，＋＝＋＝＋＝＋＝＋＝，∴＋＝.二、填空题．用数学归纳法证明“当为正偶数时，－能被＋整除”，第一步应验证＝时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成[答案]－能被＋整除[解析]因为为正偶数，故第一步取＝，第二步假设取第个正偶数成立，即＝，故应假设成－能被＋整除．．(·九江高二检测)观察下列等式，照此规律，第个等式为＝＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋＝…[答案]＋(＋)＋(＋)＋…＋(－)＝(－)[解析]将原等式变形如下：＝＝＋＋＝＝＋＋＋＋＝＝＋＋＋＋＋＋＝＝…由图知，第个等式的左边有－项，第一个数是，是－个连续整数的和，则最后一个数为＋(－)－＝－，右边是左边项数－的平方，。

高中数学选修2-2 第二章推理与证明（A卷）试卷一、选择题（共22题；共100分）1.下面几种推理过程是演绎推理的是( )A.在数列中，，由其归纳出的通项公式B.由平面三角形的性质，推测空间四面体性质C.两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则D.某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人【答案】C【考点】合情推理与演绎推理【解析】A选项，在数列中，，由其归纳出的通项公式，是归纳推理．B选项“由平面三角形的性质，推测空间四面体性质”是类比推理；C选项选项是演绎推理，大前提是“两条直线平行，同旁内角互补”，小前提是“与是两条平行直线的同旁内角”，结论是“”D选项中：某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人，是归纳推理；综上得，C选项正确.2.下面几种推理中是演绎推理的是（）A.由金，银，铜，铁可导电，猜想：金属都可以导电B.猜想数列的通项公式为C.由正三角形的性质得出正四面体的性质D.半径为r的圆的面积，则单位圆的面积【答案】D【考点】合情推理与演绎推理【解析】选项A是由特殊到一般的推理过程，为归纳推理；选项B是由特殊到一般的推理过程，为归纳推理；选项C是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，是类比推理；选项D中半径为r圆的面积，是大前提,单位圆的半径为1，是小前提,单位圆的面积为结论．故选D．3.三角形的面积a，b，c为其边长，r为内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为()A.V＝abc(a，b，c为底面边长)B.V＝sh(s为底面面积，h为四面体的高)C.V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r (S1，S2，S3，S4分别为四个面的面积，r为内切球的半径)D.V＝(ab＋bc＋ac)h (a，b，c为底面边长，h为四面体的高)【答案】C【考点】合情推理与演绎推理【解析】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，根据三角形面积的求解方法(分割法)，将O与四面体的四个顶点连起来，可得四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，∴V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r.4.顺次列出的规律相同的20个数中的前四个数依次是2×1－1，2×2－1，2×3－1，2×4－1，第15个数是()A.15B.29C.16D.31【答案】B【考点】合情推理与演绎推理【解析】前四个数依次是2×1－1，2×2－1，2×3－1，2×4－1，所以第15个数是2×15－1＝29.5.古希腊，毕达哥拉斯学派把1, 3, 6, 10, 15, 21, 28，… ，这些数叫做三角形数，因为这些数(除1外)对应的点可以排成一个正三角形，如图所示，则第n个三角形数为()A.nB.C.n2－1D.【答案】B【考点】合情推理与演绎推理【解析】观察图形可知，这些三角形数的特点是第n个三角形数是在前一个三角形数的基础上加上n，于是第n个三角形数为6.有一段演绎推理：“直线平行于平面，则这条直线平行于平面内所有直线；已知直线b平面α，直线a平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论是错误的，这是因为（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误【答案】A【考点】合情推理与演绎推理,直接证明与间接证明【解析】该演绎推理的大前提是：若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；小前提是：已知直线平面，直线a平面；结论是：直线直线a；该结论是错误的，因为大前提是错误的，正确叙述是“若直线平行于平面，过该直线作平面与已知平面相交，则交线与该直线平行”．故选：A．7.用数学归纳法证明当n为正奇数时，能被x+y整除，第二步是（）A.设n=2k+1时正确，再推n=2k+3正确B.设n=2k-1时正确，再推n=2k+1时正确C.设n=k时正确，再推n=k+2时正确D.设正确，再推n=k+2时正确【答案】B【考点】数学归纳法【解析】【解析】根据证明的结论，n为正奇数，故第二步的假设应写成：假设时命题正确，即当时，能被x+y整除，再推n=2k+1正确；故选B．8.仔细观察下面○和●的排列规律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是()A.12B.13C.14D.15【答案】C【考点】合情推理与演绎推理【解析】进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|则前n组两种圈的总数是2+3+4(n+1)=，易知故n＝14．9.用数学归纳法证明“”．在验证n＝1时，左端计算所得项为()A.1＋aB.1＋a＋a2C.1＋a＋a2＋a3D.1＋a＋a2＋a3＋a4【答案】C【考点】数学归纳法【解析】将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C.10.分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：”最终的索因应是()A.a－b＞0B.a－c＞0C.(a－b)(a－c)＞0D.(a－b)(a－c)＜0【答案】D【考点】直接证明与间接证明【解析】要证只需证b2－ac＜3a2.∵a＋b＋c＝0，∴b＝－a－c，只需证(－a－c)2－ac＜3a2，只需证(c－a)(c＋2a)＜0，只需证(c－a)(c＋a－b－c)＜0，只需证(c－a)(a－b)＞0，故选C.11.若，则下面四个式子中恒成立的是()A.B.C.D.【答案】B【考点】直接证明与间接证明【解析】在A中，时，,因此不成立；在B中，因为恒成立；在C中，时不成立；在D中，取，可知不成立.12.用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A.a，b都能被5整除B.a，b都不能被5整除C.a，b不都能被5整除D.a不能被5整除【答案】B【考点】直接证明与间接证明【解析】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．13.用数学归纳法证明,则当时，左端应在n=k的基础上加( ) A.B.C.D.【答案】D【考点】数学归纳法【解析】当n=k时，左边=，当n=k时，左边=，所以观察可知，增加的项为.14.对于不等式，某学生的证明过程如下：（1）当n=1时，，不等式成立．（2）假设时，不等式成立，即，则n=k+1时，，∴当n=k+1时，不等式成立，上述证法（）A.过程全都正确B.n=1验证不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确【答案】D【考点】数学归纳法【解析】15.已知a，b，c∈(0，1)．则在(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a中()A.不能同时大于B.都大于C.至少有一个大于D.至多有一个大于【答案】A【考点】直接证明与间接证明【解析】方法一假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于∵a，b，c都是小于1的正数，∴1－a，1－b，1－c都是正数．，同理，.三式相加，得，即，矛盾．所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.方法二假设三个式子同时大于，即，，，三式相乘得(1－a)b(1－b)c(1－c)a>()3.①因为0<a<1，所以0<a(1－a)≤＝.同理0<b(1－b)≤，0<c(1－c)≤.所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤()3.②因为①与②矛盾，所以假设不成立．16.在平面直角坐标系中，方程表示x，y轴上的截距分别为a，b的直线，类比到空间直角坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为()A.B.C.D.【答案】A【考点】合情推理与演绎推理【解析】在平面直角坐标系中，方程表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x轴，y轴上的截距分别为a，b”．类比到空间坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为.故选A.17.将所有正偶数按如图方式进行排列，则2016位于( )A.第30行B.第31行C.第32行D.第33行【答案】C【考点】合情推理与演绎推理【解析】由于题意可得：第n行的最后一个数为．令，最后一个数为1984令，最后一个数为2112．∴2016位于第32行．18.用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除时，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形()A.56×34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)B.34k＋1＋52k＋1C.34×34k＋1＋52×52k＋1D.25(34k＋1＋52k＋1)【答案】A【考点】数学归纳法【解析】当n＝k＋1时，34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34×34k＋1＋25×52k＋1＝56×34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)，两个表达式都能被8整除．19.在平面几何里，有勾股定理：“设的两边AB，AC互相垂直，则|AB|2＋|AC|2＝|BC|2”．拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A－BCD的三个侧面两两相互垂直，则可得”()A.|AB|2＋|AC|2＋|AD|2＝|BC|2＋|CD|2＋|BD|2B.C.D.|AB|2×|AC|2×|AD|2＝|BC|2×|CD|2×|BD|2【答案】C【考点】合情推理与演绎推理【解析】由边对应着面，边长对应着面积，如图所示．由类比可得.20.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和，则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值我们知道，若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为（）A.B.C.D.【答案】A【考点】合情推理与演绎推理【解析】第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即；第二次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即；第三次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，第四次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，21.当x∈(0，＋∞)时，可得到不等式，由此可以推广为取值p等于()[A.n nB.n2第 11 页 共 11 页 C.nD.n ＋1【答案】A【考点】合情推理与演绎推理【解析】由不等式，不等式左边是两项的和，第二项是利用此规律观察所给不等式，从而归纳出一般性结论：，即p ＝n n . 故选A. 22.有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误【答案】C【考点】合情推理与演绎推理【解析】演绎推理的一般模式是三段论，大前提是已知的一般性原理，小前提是研究的特殊情况，结论是得出的判断．本题中并非所有的有理数都是真分数，所以推理形式错误．。

推理与证实一、核心知识1.合情推理〔1〕归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论,像这样的推理通常称为归纳推理.归纳推理是由局部到整体,由个别到一般的推理.〔2〕类比推理的定义：根据两个〔或两类〕对象之间在某些方面的相似或相同, 推演出它们在其他方面也相似或相同,这样的推理称为类比推理.类比推理是由特殊到特殊的推理.2.演绎推理〔1〕定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论〔包括定义、公理、定理等〕根据严格的逻辑法那么得到新结论的推理过程.演绎推理是由一般到特殊的推理. 〔2〕演绎推理的主要形式：三段论“三段论〞可以表示为：①大前题：M是P②小前提：S是M③结论：S是Po 其中①是大前提,它提供了一个一般性的原理；②是小前提,它指出了一个特殊对象；③是结论,它是根据一般性原理,对特殊情况做出的判断.3.直接证实直接证实是从命题的条件或结论出发,根据的定义、公理、定理,直接推证结论的真实性.直接证实包括综合法和分析法.〔1〕综合法就是“由因导果〞,从条件出发,不断用必要条件代替前面的条件,直至推出要证的结论.〔2〕分析法就是从所要证实的结论出发,不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子,可称为“由果索因〞.要注意表达的形式：要证A,只要证B, B应是A 成立的充分条件.分析法和综合法常结合使用,不要将它们割裂开.4反证法〔1〕定义：是指从否认的结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否认是错误的,从而肯定原结论是正确的证实方法.（2）一般步骤：〔1〕假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立；②从假设出发,经过推理论证,得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确,即所求证命题正确.(3)反证法的思维方法：正难那么反....5.数学归纳法(只能证实与正整数有关的数学命题)的步骤 (1)证实：当n 取第一个值nO (nOGN*)时命题成立；⑵假设当n=k (k€N*,且kNnO)时命题成立,证实当n=k+l 时命题也成立 由(1), (2)可知,命题对于从nO 开始的所有正整数n 都正确. 二、典型例题 例1.+ =⑴=1 (RE N*),猜测/(x)的表达式为(B )J(x) + 2A- /W = Tr-;; B- /W = T ；c. /(x) =； D. /(x)= —2―,2+2 x + \x + \2x + \例 2./(〃)= 1 + L + 1 +…+ ! (〃eN ), 2 3 n57/(8) > - , /(16)>3 , /(32) > -,由此推测：当〃 2 2 时,有 22(〃 e Nr _______________33例 3.：sin 1 2 3 4 5 300 +sin 290° +sin 21500 = - ； sin 250+sin 265°+sin 21250 =-2 2通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题：=-(* )并给出(* )式的证实.例 4.假设“,8c 均为实数,且 n = X 2 -2y + —= y 2 -2z + —,c = z 2 -2x + — 0 2 3 6求证：中至少有一个大于0.答案：(用反证法)假设“也c 都不大于0,即4«0.〃40.c«0 ,那么有a+b+cKO,23解：一般形式：sin 2sin2(a+ 60') +sin 二.+ 120°)=—22 - cos 2a 1 - cos(2a +120°) 1 - cos(2a + 240 °)3 + 2 + 23 1=---[cos2a + cos(2a +120°) + cos (2a + 240°)] 2 2 4 I . =---[cos2a + cos2acosl 20s - sin 2asin 120e +cos2cos240fl- sin 2asiii240 ] 3 1 r 1 八 6 .、 1 c二 一——[cos la — — cos 2a — ——sin 2a --cos 2a + ——sin 2a] = — = 3a计算得/(2) = $, /(4) > 2 ,证实：左边而r/ + Z? + c = (x2 -2y + —) + (y2 -2z + ^-) + (z2 -2x + —) = (x-l)2+(y-l)2 +(z-l)2 +(— + —+ —)-3 2 3 6 2 3 6=(.r-l)2+(y-I)2 +(-1)2 +"3,.-1)2,(),一1产,(〞1)2 均大于或等于o, *3>o,,4+〃+c>0,这与假设“+b+cKO矛盾,故“力,c中至少有一个大于0.例5.求证：1+3+5+…+ (2n+l) =n2 (nGN*)三、课后练习1.数列1,3,6,10,15,…的递推公式可能是(B )a = 1, a】=1,A. B. ,a+i = 3+〃(〃£N') 〔&=品一1+ 〃(〃£'*, 〃力2)Zi = l, fa】=l,C・ J D. ,〔&+］ = 3+(〃—1) (〃£N,) =品-1+(〃- 1) 〃N2)［解析］记数列为{a},由观察规律：及比a多2, 必比国多3, &比&多= 1,4,…,可知当〃三2时比a-多〃,可得递推关系' _ (〃22,〃£“).a-&-1=〃2.用数学归纳法证实等式1+2 + 3 +…+(〃+3)=上±"U(〃WN・)时,验证〃=1,左边应取的项是(D )A. 1B. 1+2C. 1+2 + 3D. 1+2 + 3+4［解析］当〃=1时,左=1+2 +…+ (1+3) = 1+2+…+ 4,故应选D.3.F(〃) —nA,那么(D )n n-v 1 〃十2 nA.f(〃)中共有〃项,当〃=2 时,f(2)=:+( 乙JB.F(〃)中共有〃+1 项,当〃=2 时,f(2)=S+；+； 4 0 c lC.f(〃)中共有〃2—〃项,当〃 =2 时,f(2)=；+14 UD.f(〃)中共有〃2—〃+1 项,当〃=2 时,/•(2)=；+}+；乙 W X［解析］项数为5— 1)=6—〃+1,故应选D.4.a+,+c=0,那么aZ?+bc+ca 的值(D )A.大于0B.小于0C.不小于0D.不大于0［解析］解法1： ,.,a+6+.=0,# +万+ / + 2aS+2ac+26c=0,WO.5.c>l, <3=e+1-b=y［c—ylc—l,那么正确的结论是(B )A. a>bB. a<bC. a=bD. a、0大小不定［解析］=尸一&=*+&,〞—产=&+m,由于正+1>正>0, y［c>y［c—i>0,所以c+1 c— 1〉0,所以水上.sin/ cosB cosC …, 、6.假设丁丁=丁那么△月勿是〔C 〕A.等边三角形B.有一个角是30°的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一个角是30.的等腰三角形-—sin力cosB cosC t［解析］.丁=丁=丁,由正弦定理得,sin力sin/ sinC . sin4 cos4 cosc sinC解析：用n=2代入选项判断.8.设人⑶二^^尤力⑶二力⑴,f2(x) = //(x),..., f n+[M = f n M, nGN,那么/2OO8(X)= _______解：cosx,由归纳推理可知其周期是49.函数/(x)由下表定义：X 2 5 3 1 41 2 3 4 5假设 4 = 5, 〞 = 0,1,2,…,那么4O()7=4.10.在数列1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4,……中,第25 项为—7_.11.同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的假设干图案,那么按此规律第〃个图案中需用黑色得砖4〃 + 8 块.(用含〃的代数式表示),由f…⑵(3) . ⑸12. 2XABC的三个角A、B、C成等差数列,求证：—^ + ―---- ;-oa +b b + c答案：证实：要证_L+_L = <_,即需证半上+『£=3.即证」_ +」L = i0 a+b b^c又需证.(8+c) + "(" + Z?) = (a + 〃X〃 + c), 需证 +(厂=uc + h"「△ABC三个角A、B、C成等差数列.AB=60°.由余弦定理,有序+『-加,8s 60.,b2 -c2 + a2 -ac o成立,命题得证.13.用分析法证实：假设a>0,那么,『+十-a2“ +!-2.答案：证实：要证•+只需证+4+22“ + •!■ +无. v cr .V a>0, ...两边均大于零,因此只需证(L2 + -4 + 2)2 >(« + -!- +V2)2只需证“2+4 + 4 + 4、“2 + 晨“2 +」+ 2+2 + 2及(“ + 3, a~ \ u- u~ “只需证「+拚斗,+?,只需证/+*2?/+ * + 2),即证M+,22,它显然成立.,原不等式成立. 0-14. AA3C中,3Z? = 2、行asinB ,且cosA = cosC,求证：AABC为等边三角形.解：分析：由3〃 = 2yf3a sin B = 3sin B = 2-73 sin Asin B = sin A = — = A =—2 3 3由cos A = cosC ^>A = C.\A = C = — = B3所以A48C为等边三角形15.：a、b、c£R,且a+b+c=L 求证：a +1)+c2^" J［证实］由3+Z/22a8,及力2 + c?22历,c' + a,e2ca 三式相加得a~+b~ + c~^ab+ bc+ ca.1.3 (a' + 6 + /) 2 (力 + 厅 + d) + 2 (aZ?+ Z?c+ ca) = (a+ /?+ c)~. 由a+ b+ c= 1,得 3 (a' + 斤 + /) 21,即,J2 2 2 2 2 2 23(将一般形式写成sin2(a-60 ) + sin2a + sin2(a + 60 )=」,2sin2(or-240") + sin2(a-120°) +sin2a =-等均正确o )2a b c ' . • 6 b c c.\sinB=cosB, sinC=cosC, /. ZB= ZC=^° , ,△力比是等腰直角三角形.7.观察式子…系拉"不沁99/9…,那么可归纳出式子为〔c〕D. 1 1 1 12* 2 32〃- 2〃 + 1n f 1 1 1 InD、1 ― ------------------- + —7 + …<22 32/2〃 + 1。

高二数学选修2-2第二章推理与证明1、 下列表述正确的是（ ）.①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A ．①②③； B ．②③④； C ．②④⑤； D ．①③⑤.2、下面使用类比推理正确的是 （ ）. A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a bc c c+=+ （c ≠0）” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n（b ）”3、 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线 b ⊆/平面α，直线a ≠⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误 4、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。

(A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度；(C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。

5、在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 6、利用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1=aa n --+112， (a ≠1，n ∈N)”时，在验证n=1成立时，左边应该是 （ ）(A)1 (B)1＋a (C)1＋a ＋a 2 (D)1＋a ＋a 2＋a 37、某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时命题也成立. 现已知当7=n 时该命题不成立，那么可推得（ ）A ．当n=6时该命题不成立B ．当n=6时该命题成立C ．当n=8时该命题不成立D ．当n=8时该命题成立8、用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n nΛΛ”（+∈N n ）时，从 “1+==k n k n 到”时，左边应增添的式子是 （ ）A ．12+kB ．)12(2+kC ．112++k k D ．122++k k 9、已知n 为正偶数，用数学归纳法证明)214121(2114131211nn n n +++++=-++-+-ΛΛ时，若已假设2(≥=k k n 为偶 数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）A ．1+=k n 时等式成立B ．2+=k n 时等式成立C ．22+=k n 时等式成立D ．)2(2+=k n 时等式成立10、数列{}n a 中，a 1=1，S n 表示前n 项和，且S n ，S n+1，2S 1成等差数列，通过计算S 1，S 2， S 3，猜想当n ≥1时，S n = （ ）A ．1212-+n nB ．1212--n nC ．nn n 2)1(+ D ．1－121-n11、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是 。

下一个呈现出来的图形是（高中数学选修2-2第二章《推理与证明》测试题A 卷考试时间：100分钟，满分：150分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）1•如图（1）是某年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，2.下面几种推理是合情推理的是（）①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°； ③ 某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④ 三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360。

,五边形的内角和是540。

，由此得出凸多边形的内角和是（n —2）・180°.A. ①②B.①③C.①②④D.②④3.已知△ABC 中，Z A =30°,Z B =60。

，求证：a <b . 证明：•.•Z A =30°,Z B =60°,・・・Z A VZ B .••・a <b ,其中，画线部分是演绎推理的（）A.大前提B.小前提C.结论D.三段论4•用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为（）A. a ，b ，c 中至少有两个偶数B. a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C. a ，b ，c 都是奇数D. a ，b ，c 都是偶数5•观察下列各式:72=49,73=343,74=2401,…，则72011的末两位数字为（）A.01B.43C.07D.496•用数学归纳法证明不等式1+1+1+...+丄>竺（n W N *）成立，其初始值最小242n 164。