2021年中考数学二轮专题复习《动点问题》精选练习(含答案)

中考专题训练 动点问题例1. 如图， 在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，10BC cm =，8AD cm =． 点P 从点B 出发， 在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动， 与此同时， 垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发， 以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移， 分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时， 点P 与直线m 同时停止运动， 设运动时间为t 秒(0)t >．（1） 当2t =时， 连接DE 、DF ，求证： 四边形AEDF 为菱形；（2） 在整个运动过程中， 所形成的PEF ∆的面积存在最大值， 当PEF ∆的面积最大时， 求线段BP 的长；（3） 是否存在某一时刻t ，使PEF ∆为直角三角形？若存在， 请求出此时刻t 的值；若不存在， 请说明理由 ．【解答】（1） 证明： 当2t =时，4DH AH ==，则H 为AD 的中点， 如答图 1 所示 ． 又EF AD ⊥ ，EF ∴为AD 的垂直平分线，AE DE ∴=，AF DF =．AB AC = ，AD BC ⊥于点D ，AD BC ∴⊥，B C ∠=∠．//EF BC ∴，AEF B ∴∠=∠，AFE C ∠=∠，AEF AFE ∴∠=∠，AE AF ∴=，AE AF DE DF ∴===，即四边形AEDF 为菱形 ．（2） 解： 如答图 2 所示， 由 （1） 知//EF BC ，AEF ABC ∴∆∆∽， ∴EF AH BC AD =，即82108EF t -=，解得：5102EF t =-． 221155510(10)210(2)10(0)222223PEF S EF DH t t t t t t ∆==-=-+=--+<< ， ∴当2t =秒时，PEF S ∆存在最大值， 最大值为210cm ，此时36BP t cm ==．（3） 解： 存在 ． 理由如下：①若点E 为直角顶点， 如答图 3①所示，此时//PE AD ，2PE DH t ==，3BP t =．//PE AD ，∴PE BP AD BD =，即2385t t =，此比例式不成立， 故此种情形不存在； ②若点F 为直角顶点如答图 3②所示，此时//PF AD ，2PF DH t ==，3BP t =，103CP t =-．//PF AD ，∴PF CP AD CD =，即210385t t -=，解得4017t =；③若点P 为直角顶点，如答图③所示 ．过点E 作EM BC ⊥于点M ，过点F 作FN BC ⊥于点N ，则2EM FN DH t ===，////EM FN AD ．//EM AD ，∴EM BM AD BD =，即285t BM =，解得54BM t =， 57344PM BP BM t t t ∴=-=-=． 在Rt EMP ∆中， 由勾股定理得：2222227113(2)()416PE EM PM t t t =+=+=． //FN AD ，∴FN CN AD CD =，即285t CN =，解得54CN t =， 5171031044PN BC BP CN t t t ∴=--=--=-． 在Rt FNP ∆中， 由勾股定理得：22222217353(2)(10)85100416PF FN PN t t t t =+=+-=-+． 在Rt PEF ∆中， 由勾股定理得：222EF PE PF =+， 即：2225113353(10)()(85100)21616t t t t -=+-+ 化简得：21833508t t -=， 解得：280183t =或0t =（舍 去） 280183t ∴=． 综上所述， 当4017t =秒或280183t =秒时，PEF ∆为直角三角形 ．例2. 如图， 在同一平面上， 两块斜边相等的直角三角板Rt ABC ∆和Rt ADC ∆拼在一起，使斜边AC 完全重合， 且顶点B ，D 分别在AC 的两旁，90ABC ADC ∠=∠=︒，30CAD ∠=︒，4AB BC cm ==（1） 填空：AD =　)cm ，DC = ()cm（2） 点M ，N 分别从A 点，C 点同时以每秒1cm 的速度等速出发， 且分别在AD ，CB 上沿A D →，C B →方向运动， 当N 点运动到B 点时，M 、N 两点同时停止运动， 连接MN ，求当M 、N 点运动了x 秒时， 点N 到AD 的距离 （用 含x 的式子表示）（3） 在 （2） 的条件下， 取DC 中点P ，连接MP ，NP ，设PMN ∆的面积为2()y cm ，在整个运动过程中，PMN ∆的面积y 存在最大值， 请求出y 的最大值 ．（参考数据sin 75︒=sin15︒=【解答】解： （1）90ABC ∠=︒ ，4AB BC cm ==，AC ∴===，90ADC ∠=︒ ，30CAD ∠=︒，12DC AC ∴==，AD ∴==；故答案为：，；（2） 过点N 作NE AD ⊥于E ，作NF DC ⊥，交DC 的延长线于F ，如图所示：则NE DF =，90ABC ADC ∠=∠=︒ ，AB BC =，30CAD ∠=︒，45ACB ∴∠=︒，60ACD ∠=︒，180456075NCF ∴∠=︒-︒-︒=︒，15FNC ∠=︒，sinFC FNCNC ∠=，NC x=，FC x∴=，NE DF x∴==+，∴点N到ADx+；（3）sinFN NCFNC ∠=，FN x∴=，P为DC的中点，PD CP∴==PF x∴=PMN∴∆的面积y=梯形MDFN的面积PMD-∆的面积PNF-∆的面积111)) 222x x x x=+-+--+2x x=+，即y是x的二次函数，0<，y∴有最大值，当x==时，y=．例3. 如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，2BC =，边BC 在其所在的直线上平移， 将通过平移得到的线段记为PQ ，连接PA 、QD ，并过点Q 作QO BD ⊥，垂足为O ，连接OA 、OP ．（1） 请直接写出线段BC 在平移过程中， 四边形APQD 是什么四边形？（2） 请判断OA 、OP 之间的数量关系和位置关系， 并加以证明；（3） 在平移变换过程中， 设OPB y S ∆=，(02)BP x x =……，求y 与x 之间的函数关系式，并求出y 的最大值 ．【解答】（1） 四边形APQD 为平行四边形；（2）OA OP =，OA OP ⊥，理由如下：四边形ABCD 是正方形，AB BC PQ ∴==，45ABO OBQ ∠=∠=︒，OQ BD ⊥ ，45PQO ∴∠=︒，45ABO OBQ PQO ∴∠=∠=∠=︒，OB OQ ∴=，在AOB ∆和OPQ ∆中，AB PQABO PQO BO QO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AOB POQ SAS ∴∆≅∆，OA OP ∴=，AOB POQ ∠=∠，90AOP BOQ ∴∠=∠=︒，OA OP ∴⊥；（3） 如图， 过O 作OE BC ⊥于E ．①如图 1 ，当P 点在B 点右侧时，则2BQ x =+，22x OE +=， 1222x y x +∴=⨯，即211(1)44y x =+-， 又02x ……，∴当2x =时，y 有最大值为 2 ；②如图 2 ，当P 点在B 点左侧时，则2BQ x =-，22x OE -=， 1222x y x -∴=⨯ ，即211(1)44y x =--+， 又02x ……，∴当1x =时，y 有最大值为14； 综上所述，∴当2x =时，y 有最大值为 2 ．例4. 如图， 在平面直角坐标系中，O 为原点， 四边形ABCO 是矩形， 点A ，C 的坐标分别是(0,2)A 和C ，0)，点D 是对角线AC 上一动点 （不 与A ，C 重合） ，连结BD ，作DE DB ⊥，交x 轴于点E ，以线段DE ，DB 为邻边作矩形BDEF ．（1） 填空： 点B 的坐标为 ；（2） 是否存在这样的点D ，使得DEC ∆是等腰三角形？若存在， 请求出AD 的长度；若不存在， 请说明理由；（3）①求证：DE DB =； ②设AD x =，矩形BDEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式 （可 利用①的结论） ，并求出y 的最小值 ．【解答】解： （1） 四边形AOCB 是矩形，2BC OA ∴==，OC AB ==90BCO BAO ∠=∠=︒，B ∴2)．故答案为2)．（2） 存在 ． 理由如下：2OA = ，OC =，tan AO ACO OC ∠== ， 30ACO ∴∠=︒，60ACB ∠=︒①如图 1 中， 当E 在线段CO 上时，DEC ∆是等腰三角形， 观察图象可知， 只有ED EC =，30DCE EDC ∴∠=∠=︒，60DBC BCD ∴∠=∠=︒，DBC ∴∆是等边三角形，2DC BC ∴==，在Rt AOC ∆中，30ACO ∠=︒ ，2OA =，24AC AO ∴==，422AD AC CD ∴=-=-=．∴当2AD =时，DEC ∆是等腰三角形 ．②如图 2 中， 当E 在OC 的延长线上时，DCE ∆是等腰三角形， 只有CD CE =，15DBC DEC CDE ∠=∠=∠=︒，75ABD ADB ∴∠=∠=︒，AB AD ∴==，综上所述， 满足条件的AD 的值为 2 或（3）①如图 1 ，过点D 作MN AB ⊥交AB 于M ，交OC 于N ，(0,2)A 和C ，0)，∴直线AC 的解析式为2y x =+，设(,2)D a +，2DN ∴=+，BM a =90BDE ∠=︒ ，90BDM NDE ∴∠+∠=︒，90BDM DBM ∠+∠=︒，DBM EDN ∴∠=∠，90BMD DNE ∠=∠=︒ ，BMD DNE ∴∆∆∽，∴DE DN BD BM ===②如图 2 中， 作DH AB ⊥于H ．在Rt ADH ∆中，AD x = ，30DAH ACO ∠=∠=︒，1122DH AD x ∴==，AH x ==，BH x ∴=， 在Rt BDH ∆中，BD ==，DE ∴==， ∴矩形BDEF的面积为22612)y x x ==-+，即2y x =-+，23)y x ∴=-+，0>，3x ∴=时，y ．例5. 已知Rt OAB ∆，90OAB ∠=︒，30ABO ∠=︒，斜边4OB =，将Rt OAB ∆绕点O 顺时针旋转60︒，如图 1 ，连接BC ．（1） 填空：OBC ∠= 60 ︒；（2） 如图 1 ，连接AC ，作OP AC ⊥，垂足为P ，求OP 的长度；（3） 如图 2 ，点M ，N 同时从点O 出发， 在OCB ∆边上运动，M 沿O C B →→路径匀速运动，N 沿O B C →→路径匀速运动， 当两点相遇时运动停止， 已知点M 的运动速度为 1.5 单位/秒， 点N 的运动速度为 1 单位/秒， 设运动时间为x 秒，OMN ∆的面积为y ，求当x 为何值时y 取得最大值？最大值为多少？【解答】解： （1） 由旋转性质可知：OB OC =，60BOC ∠=︒，OBC ∴∆是等边三角形，60OBC ∴∠=︒．故答案为 60 ．（2） 如图 1 中，4OB = ，30ABO ∠=︒，122OA OB ∴==，AB ==11222AOC S OA AB ∆∴==⨯⨯=BOC ∆ 是等边三角形，60OBC ∴∠=︒，90ABC ABO OBC ∠=∠+∠=︒，AC ∴==2AOC S OP AC ∆∴===．（3）①当803x <…时，M 在OC 上运动，N 在OB 上运动，此时过点N 作NE OC ⊥且交OC 于点E ．则sin 60NE ON x =︒= ，11 1.522OMN S OM NE x x ∆∴==⨯ ，2y x ∴=．83x ∴=时，y 有最大值， 最大值=． ②当843x <…时，M 在BC 上运动，N 在OB 上运动 ．作MH OB ⊥于H ． 则8 1.5BM x =-，sin 60 1.5)MH BM x =︒=- ，212y ON MH x ∴=⨯⨯=+．当83x =时，y 取最大值，y < ③当4 4.8x <…时，M 、N 都在BC 上运动， 作OG BC ⊥于G ．12 2.5MN x =-，OG AB ==，12y MN OG ∴== ，当4x =时，y 有最大值， 最大值=，综上所述，y 有最大值， ．。

函数图象解题思路起点：动点从何处出发，何时出发，何速度运动，运动方向是什么，形成的是何图形？起点有没有意义？点运动的路程（边长）中间点：分阶段运动，中间的位置是什么？终点：何时何地结束运动，停止时是否有先后？特殊点：运动过程中特殊的位置。

类型一、实际问题【经典例题1】已知A ，B 两地相距120千米，甲、乙两人沿同一条公路从A 地出发到B 地，乙骑自行车，甲骑摩托车，图中DE ，OC 分别表示甲、乙离开A 地的路程s （单位：千米）与时间t （单位：小时）的函数关系的图象，设在这个过程中，甲、乙两人相距y （单位：千米），则y 关于t 的函数图象是（ ）A.B. C. D.【解析】 由题意和图象可得，乙到达B 地时甲距A 地120km ，开始时两人的距离为0； 甲的速度是：120÷(3−1)=60km/h ，乙的速度是：80÷3=380km/h ，即乙出发1小时后两人距离为380km ；设乙出发后被甲追上的时间为x h ，则60(x −1)=380x ，得x =1.8，即乙出发后被甲追上的时间为1.8h.所以符合题意的函数图象只有选项B.故选：B.练习1-1甲、乙两位同学进行长跑训练，甲和乙所跑的路程S （单位：米）与所用时间t （单位：秒）之间的函数图象分别为线段OA 和折线OBCD ，则下列说法正确的是（ ）A.两人从起跑线同时出发，同时到达终点B.跑步过程中，两人相遇一次C.起跑后160秒时，甲、乙两人相距最远D.乙在跑前300米时，速度最慢练习1-2小明在书上看到了一个实验：如图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动．小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t 以及容器内水面的高度h ，并画出表示h 与t 的函数关系的大致图象，如下图所示．小明选择的物体可能是（ ）A．B．C．D．练习1-3如图，在一个盛水的圆柱形容器的水面以下，有一个用细线吊着的下端开了一个很小的孔的充满水的薄壁小球，当慢慢地匀速将小球从水下向水面上拉动时，圆柱形容器内水面的高度与时间的函数图象大致是（）类型二：几何动态①动点图形面积【经典例题2】如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm，△B=30°，点P从点B 出发，以3cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（）A. B. C. D.【解析】作AH ⊥BC 于H ，∵AB=AC=4cm ，∴BH=CH ，∵∠B=30°，∴AH=12AB=2，BH=3AH=23，∴BC=2BH=43，∵点P 运动的速度为3m/s ，Q 点运动的速度为1cm/s ，∴点P 从B 点运动到C 需4s ，Q 点运动到C 需8s ，当0△x △4时，作QD ⊥BC 于D ，如图1，BQ=x ，BP=3x ，在Rt △BDQ 中，DQ=21BQ=21x ， ∴y=21⋅21x ⋅3x =43x 2，当4<x △8时，作QD ⊥BC 于D ，如图2，CQ=8−x ，BP=43在Rt △BDQ 中，DQ=21CQ=21(8−x )，∴y=21⋅21(8−x )⋅43=−3+83， 综上所述，⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤=)84(383)40(432x x x x y ，，，.故选D.练习2-1四边形ABCD 为直角梯形，CD△AB ，CB△AB 且CD=BC=21AB ，若直线l △AB ，直线l 截这个梯形所得的位于此直线左方的图形面积为y ，点A 到直线L 的距离为x ，则y 与x 关系的大致图象为（ ）A.B. C. D.练习2-2如图，四边形ABCD 是矩形，AB=8，BC=4，动点P 以每秒2个单位的速度从点A 沿线段AB 向B 点运动，同时动点Q 以每秒3个单位的速度从点B 出发沿B −C −D 的方向运动，当点Q 到达点D 时P 、Q 同时停止运动，若记△PQA 的面积为y ，运动时间为x ，则下列图象中能大致表示y 与x 之间函数关系图象的是( )练习2-3如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C．设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（）A. B. C. D.练习2-4如图，四边形ABCD为正方形，若AB=4，E是AD边上一点（点E与点A、D不重合），BE的中垂线交AB于M，交DC于N，设AE=x，则图中阴影部分的面积S与x的大致图象是（）A. B. C. D.练习2-5如图，正方形ABCD中，AB=4cm，点E、F同时从C点出发，以1cm/s 的速度分别沿CB﹣BA、CD﹣DA运动，到点A时停止运动．设运动时间为t （s），△AEF的面积为S（cm2），则S（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）练习2-6如图，在△ABCD中，AB=6，BC=10，AB△AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（）A．B．C．D．练习2-7如图，在平面直角坐标系x Oy中，A(2，0)，B(0，2)，点M在线段AB 上，记MO+MP最小值的平方为s，当点P沿x轴正向从点O运动到点A时(设点P的横坐标为x)，s关于x的函数图象大致为（）A. B. C. D.练习2-8木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）A. B. C. D.练习2-9数学课上，老师提出一个问题：如图△，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，1)，点B是x轴正半轴上一动点，以AB为边作等腰直角三角形ABC，使△BAC=90°，点C在第一象限，设点B的横坐标为x，设……为y，y与x之间的函数图象如图△所示，题中用“……”表示的缺失的条件应补为( )A. 点C的横坐标B. 点C的纵坐标C. △ABC的周长D. △ABC的面积练习2-10如图，在平面直角坐标系x Oy中，以点A(2，3)为顶点作一直角∠PAQ，使其两边分别与x轴，y轴的正半轴交于点P，Q.连接PQ，过点A作AH⊥PQ 于点H.设点P的横坐标为x，AH的长为y，则下列图象中，能表示y与x函数关系的图象大致是（）.②动点图形边长【经典例题3】如图△，在矩形ABCD中，AB<AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动.设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图△所示，则AD边的长为( )A. 3B. 4C. 5D. 6【解析】当P 点在AB 上运动时，△AOP 面积逐渐增大，当P 点到达B 点时，△AOP 面积最大为3． ∴21AB •21=3，即AB •BC=12． 当P 点在BC 上运动时，△AOP 面积逐渐减小，当P 点到达C 点时，△AOP 面积为0，此时结合图象可知P 点运动路径长为7，∴AB+BC=7．则BC=7-AB ，代入AB •BC=12，得AB 2-7AB+12=0，解得AB=4或3， 因为AB<AD ，即AB<BC ，所以AB=3，BC=4．故选：B ．练习3-1如图1，动点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿以1cm/s 的速度运动到点D ，设点P 的运动时间为x （s ），△PAB 的面积为y(cm 2)，表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则a 的值为（ ） A.25 B.5 C. 2 D.52练习3-2如如图△，菱形ABCD中，∠B=60°，动点P以每秒1个单位的速度自点A出发沿线段AB运动到点B，同时动点Q以每秒2个单位的速度自点B--运动到点D.图△是点P、Q运动时，△BPQ的面积S随时出发沿折线B C D间t变化关系图象，则a的值是（）A.2B.2.5C.3D.练习3-3如如图1，四边形ABCD中，AB△CD，△B＝90°，AC＝AD．动点P从点B出发沿折线B﹣A﹣D﹣C方向以1单位/秒的速度运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则AD等于（）A．10B．C．8D．练习3-4如如图1，点P 从ABC △的顶点B 出发，沿B C A →→匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线部分的最低点，则ABC △的面积是______．练习3-5如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从A 出发，沿AB →BC 方向运动，当点E 到达点C 时停止运动，过点E 做FE ⊥AE ，交CD 于F 点，设点E 运动路程为x ，FC=y ，如图2所表示的是y 与x 的函数关系的大致图象，当点E 在BC 上运动时，FC 的最大长度是52，则矩形ABCD 的面积是() A.523 B. 5 C. 6 D. 425【经典例题4——圆】如图，在平面直角坐标系x Oy中，以(3，0)为圆心作△P，△P与x轴交于A. B，与y轴交于点C(0，2)，Q为△P上不同于A. B的任意一点，连接QA、QB，过P点分别作PE△QA于E，PF△QB于F. 设点Q的横坐标为x，PE2+PF2=y.当Q 点在△P上顺时针从点A运动到点B的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的部分图象是( )【解析】△P(3，0)，C(0，2)，△PC2=13.△AC是直径，△△Q=90°.又PE△QA于E，PF△QB于F，△四边形PEQF是矩形。

中考二次函数动点(Dian)问题(含答案)1.如(Ru)图(Tu)①，正(Zheng)方形的(De)顶点的坐标(Biao)分别为，顶(Ding)点在(Zai)第一象限．点从点出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动．当点P到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒．（1）求正方形ABCD的边长．（2）当点P在边上运动时，的面积（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P Q，两点的运动速度．（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积S取最大值时点P 的坐标．（4）若点P Q，保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，的大小随着时间t的增大而增大；沿着边运动时，OPQ∠的大小随着时间t的增大而减小．当点P沿着这两边运动时，使的点P有个．（抛物线的顶点坐标是．[解] （1）作轴于．，．．（2）由图②可知，点P从点A运动到点用了10秒．又．两点的运动速度均为每秒1个单位．（3）方法一：作轴于，则．，即．．． ，．即(Ji)．，且(Qie)，当(Dang)时(Shi)，S 有最(Zui)大值．此(Ci)时， ∴点(Dian)P 的坐(Zuo)标为．（8分）方法二：当时，．设所求函数关系式为．抛物线过点，．19195323210b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，且190103≤≤， ∴当193t =时，S 有最大值．此时，∴点P 的坐标为7631155⎛⎫⎪⎝⎭，．（4）．[点(Dian)评(Ping)]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试(Shi)题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。

． 2. 如(Ru)图(Tu)①，中(Zhong)，，．它的(De)顶点A 的坐(Zuo)标为，顶点B 的坐标为，，点P 从点A 出发，沿的方向匀速运动，同时点Q 从点出发，沿轴正方向以相同速度运动，当点P 到达点C 时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒． （1）求的度数．（2）当点P 在AB 上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P 的运动速度．（3）求（2）中面积S 与时间t 之间的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标． （4）如果点P Q ，保持（2）中的速度不变，那么点P 沿AB 边运动时，的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小，当点P 沿这两边运动时，使的点P 有几个？请说明理由．解: （1）．（2）点P 的运动速度为2个单位/秒． （3）（）．∴当时，S 有最大值为，此时．（4）当点P 沿这两边运动时，90OPQ =∠的点P 有2个． ①当点P 与点A 重合时，， 当点P 运动到与点B 重合时，的长是12单位长度， 作交y 轴于点，作轴于点，由得：，所以，从而． 所以当点P 在AB 边上运动时，90OPQ =∠的点P 有1个． ②同理当点P 在BC 边上运动时，可算得．而构成直角时交y 轴于，，所以，从而90OPQ =∠的点P 也有1个．所以当(Dang)点P 沿这两边运动(Dong)时，90OPQ =∠的(De)点P 有(You)2个(Ge)．3. （本(Ben)题满分(Fen)14分(Fen)）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点.（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为，求四边形的面积；（3）有两动点、同时从点出发，其中点D 以每秒个单位长度的速度沿折线按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒个单位长度的速度沿折线按O →C →A 的路线运动，当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发秒时，的面积为S .①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在∥，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；③设是②中函数S 的最大值，那么0S = .解：（1）令，则； 令则．∴．∵二次函数的图象过点()04C ，， ∴可设二次函数的关系式为 又∵该函数图象过点．∴解之，得，．∴所求二次函数的关系式为（2）∵438342++-=x x y =∴顶(Ding)点M 的坐标(Biao)为过(Guo)点M 作(Zuo)MF轴(Zhou)于F ∴=∴四边(Bian)形AOCM 的面(Mian)积为(Wei)10 （3）①不存在DE ∥OC∵若DE ∥OC ，则点D ，E 应分别在线段OA ，CA 上，此时，在中，． 设点E 的坐标为∴，∴ ∵，∴∴∵38=t >2，不满足12t <<．∴不存在DE OC ∥．②根据题意得D ，E 两点相遇的时间为（秒）现分情况讨论如下： ⅰ）当时，；ⅱ）当时，设点E 的坐标为∴，∴∴ⅲ）当2 <<时，设点E 的坐标为，类似ⅱ可得设点D 的坐标为∴，∴∴=③47.关(Guan)于x的(De)二次函数以(Yi)y轴为(Wei)对称轴，且与y 轴(Zhou)的交点在x轴(Zhou)上方．（1）求此抛物线的解析式(Shi)，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；（2）设(She)A是y轴右侧抛物线上的一个动点，过点A作AB垂直于x轴于点B，再过点A作x轴的平行线交抛物线于点，过点D作垂直于x轴于点C，得到矩形ABCD．设矩形ABCD的周长为，点A的横坐标为x，试求l关于x的函数关系式；（3）当点A在y轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．参考资料：抛物线的顶点坐标是2424b ac ba a⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，对称轴是直线．解：（1）据题意得：，．当时，．当时，．又抛物线与y轴的交点在x轴上方，．∴抛物线的解析式为：．函数的草图如图所示．（只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可）（2）解：令，得．不时，，，．当时，， ．．关于x 的函数关系是： 当02x <<时，；当2x >时，．（3）解法一：当02x <<时，令，得．解(Jie)得（舍(She)），或．将(Jiang)13x =-+代(Dai)入2244l x x =-++， 得(De)．当(Dang)2x >时(Shi)，令，得(De)．解得（舍），或．将13x =+代入2244l x x =+-，得．综上，矩形ABCD 能成为正方形，且当时正方形的周长为；当时，正方形的周长为．解法二：当02x <<时，同“解法一”可得13x =-+． ∴正方形的周长． 当2x >时，同“解法一”可得13x =+．∴正方形的周长．综上，矩形ABCD 能成为正方形，且当31x =-时正方形的周长为838-；当31x =+时，正方形的周长为838+．解法三：点A 在y 轴右侧的抛物线上，，且点A 的坐标为．令，则．∴，①或②由①解得13x =--（舍），或13x =-+； 由②解得13x =-（舍），或13x =+． 又，∴当13x =-+838l =；当13x =838l =．综上，矩形ABCD 能成为正方形，且当31x =时正方形的周长为838；当31x =时，正方形的周长为838．5.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB <OC ）是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．解：（1）解方程x 2－10x ＋16＝0得x 1＝2，x 2＝8∵点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，且OB ＜OC ∴点B 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，8） 又∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（－6，0）（2）∵点(Dian)C （0，8）在(Zai)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的(De)图象上 ∴c ＝8，将(Jiang)A （－6，0）、B （2，0）代入(Ru)表达式，得⎩⎨⎧0＝36a －6b ＋80＝4a ＋2b ＋8解(Jie)得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23b ＝－83∴所求抛物线的表达式(Shi)为y ＝－23x 2－83x ＋8（3）依(Yi)题意，AE ＝m ，则BE ＝8－m ， ∵OA ＝6，OC ＝8，∴AC ＝10 ∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC ∴EF AC ＝BE AB 即EF 10＝8－m8 ∴EF ＝40－5m 4过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝45∴FG EF ＝45 ∴FG ＝45·40－5m 4＝8－m ∴S ＝S △BCE －S △BFE ＝12（8－m ）×8－12（8－m ）（8－m ）＝12（8－m ）（8－8＋m ）＝12（8－m ）m ＝－12m 2＋4m 自变量m 的取值范围是0＜m ＜8（4）存在．理由：∵S ＝－12m 2＋4m ＝－12（m －4）2＋8 且－12＜0，∴当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8∵m ＝4，∴点E 的坐标为（－2，0） ∴△BCE 为等腰三角形．6.（14分）如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点. （1） 求抛物线的解析式.（2）已知AD = AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC 的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

2021中考数学 压轴专题训练之动点问题1. 如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC 各顶点的坐标分别为O (0，0)，A (3，33)，B (9，53)，C (14，0)．动点P 与Q 同时从O 点出发，运动时间为t 秒，点P 沿OC 方向以1单位长度/秒的速度向点C 运动，点Q 沿折线OA －AB－BC 运动，在OA ，AB ，BC 上运动的速度分别为3，3，52(单位长度/秒)．当P ，Q 中的一点到达C 点时，两点同时停止运动． (1)求AB 所在直线的函数表达式．(2)如图2，当点Q 在AB 上运动时，求△CPQ 的面积S 关于t 的函数表达式及S 的最大值．(3)在P ，Q 的运动过程中，若线段PQ 的垂直平分线经过四边形OABC 的顶点，求相应的t 值．图1 图22. 如图，抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧)，与y 轴交于点N ，过A 点的直线l :y=kx+n 与y 轴交于点C ，与抛物线y=-x 2+bx+c 的另一个交点为D ，已知A (-1，0)，D (5，-6)，P 点为抛物线y=-x 2+bx+c 上一动点(不与A ，D 重合).(1)求抛物线和直线l 的解析式;(2)当点P 在直线l 上方的抛物线上时，过P 点作PE ∥x 轴交直线l 于点E ，作PF ∥y 轴交直线l 于点F ，求PE+PF 的最大值;(3)设M 为直线l 上的点，探究是否存在点M ，使得以点N ，C ，M ，P 为顶点的四边形为平行四边形.若存在，求出点M 的坐标;若不存在，请说明理由.3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－2, －4 )、O (0, 0)、B (2, 0)三点．（1）求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM ＋OM 的最小值．4. 设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．（1）已知直线①122y x =-+；②2y x =+；③22y x =+；④24y x =+和点C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，0)、B (2，7)、C (0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求直线l 1与l 2的解析式．5. 如图①，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=ax 2-2ax -8a 与x 轴相交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C (0，-4).(1)点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ，线段AC 的长为 ，抛物线的解析式为 .(2)点P 是线段BC 下方抛物线上的一个动点.如果在x 轴上存在点Q ，使得以点B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点Q 的坐标.①6. 如图，已知抛物线211(1)444by x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．7. 如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，，，．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设． （1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？4=MN 1=MA 1>MB x AB=8. 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点．（1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．9. 在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．10. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的对称轴为直线x＝3，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，已知B点的坐标为(8，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)点M为线段BC上方抛物线上的一点，点N为线段BC上的一点，若MN∥y 轴，求MN的最大值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．11. 如图，直线y＝2x＋6与反比例函数y＝kx(k＞0)的图象交于点A(m，8)，与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n(0＜n＜6)交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM.(1)求m的值和反比例函数的解析式；(2)观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x＋6－kx＞0的解集；(3)直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．13. 在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．14. 如图，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．15. 如图，二次函数y ＝a (x 2－2mx －3m 2)（其中a 、m 是常数，且a ＞0，m ＞0）的图像与x 轴分别交于A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C (0,－3)，点D 在二次函数的图像上，CD //AB ，联结AD ．过点A 作射线AE 交二次函数的图像于点E ，AB 平分∠DAE ． （1）用含m 的式子表示a ； （2）求证：ADAE为定值； （3）设该二次函数的图像的顶点为F ．探索：在x 轴的负半轴上是否存在点G ，联结GF ，以线段GF 、AD 、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G 即可，并用含m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．16. 如图，二次函数y=-x2+4x+5的图象的顶点为D，对称轴是直线l，一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B.(1)点D的坐标是.(2)直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点(不与点D，C重合)，点N 的纵坐标为n.过点N作直线与线段DA，DB分别交于点P，Q，使得∥DPQ与∥DAB 相似.①当n=时，求DP的长;②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个∥DPQ与∥DAB相似，请直接写出n的取值范围.17. 已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A，B．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y 轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形．∥求点D的坐标；∥将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y＝3x－3交于点E ，若73tan =∠DPE ，求四边形BDEP 的面积．18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝－x 2＋2x ＋8的图象与一次函数y ＝－x ＋b 的图象交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为－7.点P 是二次函数图象上A 、B 两点之间的一个动点(不与点A 、B 重合)，设点P 的横坐标为m ，过点P 作x 轴的垂线交AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D . (1)求b 及sin ∠ACP 的值；(2)用含m 的代数式表示线段PD 的长；(3)连接PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 值，使这两个三角形的面积之比为1∶2？如果存在，直接写出m 的值；如果不存在，请说明理由．19. 如图，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．20. 已知平面直角坐标系中两定点A (－1, 0)、B (4, 0)，抛物线y ＝ax 2＋bx －2（a≠0）过点A 、B ，顶点为C ，点P (m , n )（n ＜0）为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标； （2）当∠APB 为钝角时，求m 的取值范围；（3）若m ＞32，当∠APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移t （0＜t ＜52）个单位，点C 、P 平移后对应的点分别记为C ′、P ′，是否存在t ，使得顺次首尾连接A 、B 、P ′、C ′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．2021中考数学 压轴专题训练之动点问题-答案一、解答题（本大题共20道小题）1. 【答案】【思维教练】(1)设一次函数解析式，将已知点A 、B 的坐标值代入求解即可；(2)S △CPQ ＝12·CP·Q y ，CP ＝14－t ，点Q 在AB 上，Q y 即为当x ＝t 时的y 值，代入化简得出S 与t 的函数关系式，化为顶点式得出最值；(3)垂直平分线过顶点需以时间为临界点分情况讨论，当Q 在OA 上时，过点C ；当Q 在AB 上时，过点A ；当Q 在BC 上时，过点C 和点B ，再列方程并求解．解图1解：(1)把A(3，33)，B(9，53)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧3k ＋b ＝33，9k ＋b ＝53，解得⎩⎨⎧k ＝33，b ＝23，∴y ＝33x ＋23；(3分)(2)在△PQC 中，PC ＝14－t ，∵OA ＝32＋（33）2＝6且Q 在OA 上速度为3单位长度/s ， AB ＝62＋（23）2＝43且Q 点在AB 上的速度为3单位长度/s ， ∴Q 在OA 上时的横坐标为t ，Q 在AB 上时的横坐标为32t ， PC 边上的高线长为33t ＋2 3.(6分)所以S ＝12(14－t )(32t ＋23)＝－34t 2＋532t ＋143(2≤t ≤6)．当t ＝5时，S 有最大值为8134.(7分)解图2(3)①当0＜t ≤2时，线段PQ 的中垂线经过点C(如解图1)．可得方程(332t )2＋(14－32t )2＝(14－t )2.解得t 1＝74，t 2＝0(舍去)，此时t ＝74.(8分)解图3②当2＜t ≤6时，线段PQ 的中垂线经过点A(如解图2)． 可得方程(33)2＋(t －3)2＝[3(t －2)]2.解得t 1＝3＋572，∵t 2＝3－572(舍去)，此时t ＝3＋572. ③当6＜t ≤10时，(1)线段PQ 的中垂线经过点C(如解图3)．可得方程14－t ＝25－52t ，解得t ＝223.(10分)解图4(2)线段PQ 的中垂线经过点B(如解图4)．可得方程(53)2＋(t －9)2＝[52(t －6)]2. 解得t 1＝38＋2027，t 2＝38－2027(舍去)． 此时t ＝38＋2027.(11分) 综上所述，t 的值为74，3＋572，223，38＋2027.(12分)【难点突破】解决本题的关键点在于对PQ 的垂直平分线过四边形顶点的情况进行分类讨论，在不同阶段列方程求解．2. 【答案】[分析] (1)将点A ，D 的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解; (2)设出P 点坐标，用参数表示PE ，PF 的长，利用二次函数求最值的方法.求解; (3)分NC 是平行四边形的一条边或NC 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可.解:(1)将点A ，D 的坐标代入y=kx +n 得:解得:故直线l 的表达式为y=-x -1.将点A ，D 的坐标代入抛物线表达式， 得解得故抛物线的表达式为:y=-x 2+3x +4. (2)∵直线l 的表达式为y=-x -1，∴C (0，-1)，则直线l 与x 轴的夹角为45°，即∠OAC=45°， ∵PE ∥x 轴，∴∠PEF=∠OAC=45°.又∵PF ∥y 轴，∴∠EPF=90°，∴∠EFP=45°.则PE=PF .设点P 坐标为(x ，-x 2+3x +4)， 则点F (x ，-x -1)，∴PE +PF=2PF=2(-x 2+3x +4+x +1)=-2(x -2)2+18，∵-2<0，∴当x=2时，PE +PF 有最大值，其最大值为18. (3)由题意知N (0，4)，C (0，-1)，∴NC=5，①当NC 是平行四边形的一条边时，有NC ∥PM ，NC=PM. 设点P 坐标为(x ，-x 2+3x +4)，则点M 的坐标为(x ，-x -1)， ∴|y M -y P |=5，即|-x 2+3x +4+x +1|=5， 解得x=2±或x=0或x=4(舍去x=0)，则点M 坐标为(2+，-3-)或(2-，-3+)或(4，-5);②当NC 是平行四边形的对角线时，线段NC 与PM 互相平分. 由题意，NC 的中点坐标为0，，设点P 坐标为(m ，-m 2+3m +4)， 则点M (n'，-n'-1)， ∴0==，解得:n'=0或-4(舍去n'=0)， 故点M (-4，3).综上所述，存在点M ，使得以N ，C ，M ，P 为顶点的四边形为平行四边形，点M 的坐标分别为: (2+，-3-)，(2-，-3+)，(4，-5)，(-4，3).3. 【答案】（1）212y x x =-+。

动点专题一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB 的弧ＡB 上,有一个动点P,ＰH ⊥O Ａ,垂足为H,△OPH 的重心为G ．（1)当点Ｐ在弧AB 上运动时，线段ＧO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度．(２)设P Ｈx =,GP y =，求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围)．(3）如果△PG Ｈ是等腰三角形,试求出线段PH 的长．二、应用比例式建立函数解析式例2(2006年·山东)如图2,在△ＡBC 中,ＡＢ=AC ＝1,点D,Ｅ在直线B Ｃ上运动.设BD=,x ＣＥ=y . (1)如果∠B ＡC=3０°,∠DA Ｅ=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式;(２)如果∠B ＡＣ的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α，β满足怎样的关系式时,（1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.AEDCB 图2H M NG PO A B 图1 x yC三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4(２0０4年·上海）如图,在△A ＢＣ中,∠BAC ＝９0°,AB=AC ＝22,⊙A 的半径为1.若点Ｏ在BC 边上运动(与点B 、C 不重合)，设ＢO=x ,△AOC 的面积为y .（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域．(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆Ｏ，求当⊙O 与⊙Ａ相切时， △AO Ｃ的面积．一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题．１.(09年徐汇区)如图，ABC ∆中，10==AC AB ,12=BC ，点D 在边BC 上,且4=BD ,以点D 为顶点作B EDF ∠=∠,分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F . (1)当6=AE 时，求AF 的长；（２)当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时,求BE 的长; （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时,求BE的长．AB C O 图8HAB CDEOlA ′(二）线动问题2,在矩形A ＢＣD 中,AB ＝3,点O 在对角线A Ｃ上，直线ｌ过点O ，且与AC 垂直交ＡＤ于点E ．（1)若直线l 过点B,把△ABE 沿直线l 翻折,点A 与矩形A ＢＣＤ的对称中心A ＇重合，求BC 的长; （2)若直线l 与AB 相交于点F,且ＡＯ=41AC,设AD 的长为x ,五边形ＢＣDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围;②探索:是否存在这样的x ,以A 为圆心,以-x 43长为半径的圆与直线l 相切,若存在，请求出x 的值;若不存在,请说明理由．(三)面动问题３.如图，在ABC ∆中,6,5===BC AC AB ,D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合),且保持BC DE ∥,以DE 为边,在点A 的异侧作正方形DEFG .(１）试求ABC ∆的面积；(２)当边FG 与BC 重合时,求正方形DEFG 的边长; (3)设x AD =，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ,试求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域;(4）当BDG ∆是等腰三角形时,请直接写出AD 的长.解决动态几何问题的常见方法有:C一、 特殊探路,一般推证例２:（２00４年广州市中考题第11题)如图,⊙O １和⊙Ｏ2内切于A,⊙O1的半径为３，⊙O2的半径为2，点Ｐ为⊙O1上的任一点（与点A 不重合)，直线ＰA 交⊙O2于点Ｃ,PB 切⊙O2于点B ，则PCBP的值为(A)2 (Ｂ）3 （C)23（Ｄ)26二、 动手实践,操作确认例４(２003年广州市中考试题）在⊙Ｏ中，C 为弧AB 的中点,D 为弧A Ｃ上任一点(与A 、C 不重合）,则(A)A Ｃ+CB=AD+ＤB (B) A Ｃ＋C Ｂ<AD+DB（Ｃ） AC+CB ＞A Ｄ＋D Ｂ （D) ＡＣ+C Ｂ与AD+ＤB 的大小关系不确定例５:如图，过两同心圆的小圆上任一点C 分别作小圆的直径CA 和非直径的弦CD ，延长CA 和C Ｄ与大圆分别交于点B 、Ｅ，则下列结论中正确的是( ＊ ) （A)AB DE = (B ）AB DE >(Ｃ）AB DE <(D ）AB DE ,的大小不确定三、 建立联系，计算说明例6:如图,正方形ABCD 的边长为4,点Ｍ在边DC 上,且ＤM=１,Ｎ为对角线A Ｃ上任意一点,则ＤN ＋ＭN 的最小值为 .BMND CBA以圆为载体的动点问题中,AC＝５，ＢC=12，∠ＡCＢ＝90°,P是ＡB边上的动点（与点A、B不重例1．在Rt ABC合）,Q是BC边上的动点（与点B、C不重合),当PQ与ＡＣ不平行时，△CPＱ可能为直角三角形吗?若有可能，请求出线段CＱ的长的取值范围；若不可能,请说明理由。

2021年春中考数学二轮复习专题突破训练：函数图象的动点问题（附答案）1．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．2．如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．3．如图所示，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，正方形DEFG边长也为2，且AC与DE在同一直线上，△ABC从C点与D点重合开始，沿直线DE向右平移，直到点A与点E重合为止，设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，动点P从点B出发，沿路线B→C→D作匀速运动，那么△ABP的面积y与点P运动的路程x之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．5．如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（）A．B．2C．D．26．如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△P AD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．7．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD ﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．8．如图1，在矩形ABCD中，点E在CD上，∠AEB＝90°，点P从点A出发，沿A→E →B的路径匀速运动到点B停止，作PQ⊥CD于点Q，设点P运动的路程为x，PQ长为y，若y与x之间的函数关系图象如图2所示，当x＝6时，PQ的值是（）A．2B．C．D．19．如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A 和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3cm，动点P从点A出发，以cm/s的速度沿AB方向运动到点B，动点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AC→CB方向运动到点B．设△APQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列图象能反映y与x之间关系的是（）A．B．C．D．11．如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan ∠DCE＝．设AB＝x，△ABF的面积为y，则y与x的函数图象大致为（）A．B．C．D．12．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是．13．如图①，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度，按A→B→C→D的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为t秒，△P AD 的面积为S，S关于t的函数图象如图②所示，当P运动到BC中点时，△P AD的面积为．14．如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC﹣CD﹣DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y．如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC 的面积是．15．在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，则矩形ABCD的面积是．16．如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点P、点Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t 之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当0＜t≤10时，△BPQ是等腰三角形；②S△ABE＝48cm2；③当14＜t＜22时，y＝110﹣5t；④在运动过程中，使得△ABP是等腰三角形的P点一共有3个；⑤△BPQ与△ABE相似时，t＝14.5．其中正确结论的序号是．17．如图1，长方形ABCD中，动点P从B出发，沿B→C→D→A路径匀速运动至点A处停止，设点P运动的路程为x，△P AB的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则长方形ABCD的面积等于．18．如图①，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，动点P从点A出发，沿AB匀速运动，到达点B时停止，设点P所走的路程为x，线段OP的长为y，若y与x之间的函数图象如图②所示，则矩形ABCD的周长为．19．如图（a），在直角坐标系中，将平行四边形ABCD放置在第一象限，且AB∥x轴，直线y＝﹣x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图（b）所示，那么AD的长为．20．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC上一点，过点D作DE⊥AC交AB于点E．动点P从D点出发，以每秒1个单位长度的速度，按D→E→B→C的路径匀速运动，设P点的运动时间为t秒，△PCD的面积为S，S关于t的函数图象如图所示，则△ABC 的周长为．21．已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，CA与MN在同一条直线上，点A从点M开始向右移动，设点A的移动距离为xcm（0≤x≤20），重叠部分的面积为S（cm2）．（1）当点A向右移动4cm时，重叠部分的面积S＝cm2；（2）当10cm＜x≤20cm时，则S与x的函数关系式为．22．如图，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿A→B→C运动，设P A＝x，点D到直线P A的距离为y，且y关于x的函数图象如图所示，则当△PCD和△P AB的面积相等时，y的值为．23．如图1，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP 的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图2所示，当线段BP最短时，△BCP与△ABP的周长的差为．24．如图（1），矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠BOC＝120°，AB＝3，一动点P 以均匀的速度沿折线OB﹣BA运动，若点P的运动时间x（s）与点C、O、P围成的三角形的面积y之间的函数图象如图（2），那么P点运动的速度为．25．周末的一天，小明和他爷爷从家出发沿笔直的滨江大道散步，要走到距家1440米的公园再返回，途中要经过音乐喷泉广场．爷爷先出发4分钟，小明再出发追赶，两人各自的速度均保持不变，在到达公园之前，小明追上了爷爷，然后小明陪同爷爷以爷爷的速度走到公园再返回家里．如图反映了在到达公园之前，两人与音乐广场的距离之和y（米）与爷爷行走的时间t（分钟）之间的函数关系，则整个散步过程一共用了分钟．26．如图①，在平行四边形ABCD中，∠B＝120°，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA 运动至点A停止．设点P运动的路程为xcm，△P AB的面积为ycm2，y关于x的函数的图象如图②所示，则图②中H点的横坐标为．27．如图1，在平面直角坐标系中，将▱ABCD放置在第一象限，且AB∥x轴．直线y＝﹣x 从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，则▱ABCD的面积为．28．如图1，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从A点出发，沿A→B→C→D 路线运动，到D点停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A运动，到A点停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒b（cm），点Q的速度变为每秒c（cm）．如图2是点P出发x秒后△APD的面积S1（cm2）与x（秒）的函数关系图象；图3是点Q出发x秒后△AQD的面积S2（cm2）与x（秒）的函数关系图象．根据图象：（1）求a、b、c的值；（2）设点P离开点A的路程为y1（cm），点Q到点A还需要走的路程为y2（cm），请分别写出改变速度后y1、y2与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式，并求出P与Q相遇时x的值．29．如图1，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，点P从A出发，沿A→B→C→D 的路线运动，到D停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A路线运动，到A点停止．若P、Q两点同时出发，速度分别为每秒1cm、2cm，a秒时P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒2cm、cm（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是△APD的面积s（cm2）和运动时间x（秒）的图象．（1）求出a值；（2）设点P已行的路程为y1（cm），点Q还剩的路程为y2（cm），请分别求出改变速度后，y1、y2和运动时间x（秒）的关系式；（3）求P、Q两点都在BC边上，x为何值时P、Q两点相距3cm？30．某校机器人兴趣小组在如图①所示的矩形场地上开展训练．机器人从点A出发，在矩形ABCD边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，到达点D时停止移动．已知机器人的速度为1个单位长度/s，移动至拐角处调整方向需要1s（即在B、C处拐弯时分别用时1s）．设机器人所用时间为t（s）时，其所在位置用点P表示，P到对角线BD的距离（即垂线段PQ的长）为d个单位长度，其中d与t的函数图象如图②所示．（1）求AB、BC的长；（2）如图②，点M、N分别在线段EF、GH上，线段MN平行于横轴，M、N的横坐标分别为t1、t2．设机器人用了t1（s）到达点P1处，用了t2（s）到达点P2处（见图①）．若CP1+CP2＝7，求t1、t2的值．31．如图①，在长方形ABCD中，AB＝10 cm，BC＝8 cm，点P从A出发，沿A、B、C、D路线运动，到D停止，点P的速度为每秒1 cm，a秒时点P的速度变为每秒bcm，图②是点P出发x秒后，△APD的面积S1（cm2）与x（秒）的函数关系图象：（1）根据图②中提供的信息，a＝，b＝，c＝．（2）点P出发后几秒，△APD的面积S1是长方形ABCD面积的四分之一？32．如图①，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6m，点P从A点出发，沿A→B→C→D 路线运动，到D点停止：点Q从D点出发，沿D→C→B→A运动，到A点停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒b（cm），点Q的速度变为每秒c（cm），如图②是△APD的面积S1（cm2）与点P出发时间x（秒）之间的关系：图③是△AQD的面积S2（cm2）与Q点出发时间x（秒）之间的关系，根据图象回答下列问题：（1）则a＝；b＝；c＝．（2）设点P出发x（秒）后离开点A的路程为y（cm），请写出y与x的关系式，并求出点P与Q相遇时x的值．33．如图，Q是与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上一动点，连接PQ 并延长交于点C，连接AC．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；x/cm0123456y1/cm 5.62 4.67 3.76 2.65 3.18 4.37y2/cm 5.62 5.59 5.53 5.42 5.19 4.73 4.11（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为cm．34．如图①，在矩形ABCD中，AB＝30cm，BC＝60cm．点P从点A出发，沿A→B→C→D路线向点D匀速运动，到达点D后停止；点Q从点D出发，沿D→C→B→A路线向点A匀速运动，到达点A后停止．若点P、Q同时出发，在运动过程中，Q点停留了1s，图②是P、Q两点在折线AB﹣BC﹣CD上相距的路程s（cm）与时间t（s）之间的函数关系图象．（1）请解释图中点H的实际意义？（2）求P、Q两点的运动速度；（3）将图②补充完整；（4）当时间t为何值时，△PCQ为等腰三角形？请直接写出t的值．35．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝8cm，点D为BC的中点，BE＝DE，将∠BDE 绕点D顺时针旋转α度（0≤α≤83°），角的两边分别交直线AB于M、N两点，设B、M两点间的距离为xcm，M，N两点间的距离为ycm．小涛根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小涛的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是B，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：x/cm00.300.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.10y/cm 2.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.15 3.85 5.24 6.01 6.717.277.448.87请你通过计算，补全表格；（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象．（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：．（4）解决问题：当MN＝2BM时，BM的长度大约是cm．（保留两位小数）．参考答案1．解：由题意知，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，则当0＜x≤2，s＝，当2＜x≤3，s＝1，由以上分析可知，这个分段函数的图象开始是直线一部分，最后为水平直线的一部分．故选：C．2．解：当F在PD上运动时，△AEF的面积为y＝AE•AD＝2x（0≤x≤2），当F在AD上运动时，△AEF的面积为y＝AE•AF＝x（6﹣x）＝﹣x2+3x（2＜x≤4），图象为：故选：A．3．解：设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，当C从D点运动到E点时，即0≤x≤2时，y＝×2×2﹣（2﹣x）×（2﹣x）＝﹣x2+2x．当A从D点运动到E点时，即2＜x≤4时，y＝×[2﹣（x﹣2）]×[2﹣（x﹣2）]＝x2﹣4x+8，∴y与x之间的函数关系由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应．故选：A．4．解：从点B到点C，△ABP的面积y与点P运动的路程x之间的函数关系是：y＝x（0≤x≤1）；因为从点C到点D，△ABP的面积一定：2×1÷2＝1，所以y与点P运动的路程x之间的函数关系是：y＝1（1≤x≤3），所以△ABP的面积y与点P运动的路程x之间的函数图象大致是：．故选：C．5．解：过点D作DE⊥BC于点E由图象可知，点F由点A到点D用时为as，△FBC的面积为acm2．∴AD＝a∴∴DE＝2当点F从D到B时，用s∴BD＝Rt△DBE中，BE＝＝＝1∵ABCD是菱形∴EC＝a﹣1，DC＝aRt△DEC中，a2＝22+（a﹣1）2解得a＝故选：C．6．解：分三种情况：①当P在AB边上时，如图1，设菱形的高为h，y＝AP•h，∵AP随x的增大而增大，h不变，∴y随x的增大而增大，故选项C和D不正确；②当P在边BC上时，如图2，y＝AD•h，AD和h都不变，∴在这个过程中，y不变，故选项A不正确；③当P在边CD上时，如图3，y＝PD•h，∵PD随x的增大而减小，h不变，∴y随x的增大而减小，∵P点从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，∴P在三条线段上运动的时间相同，故选项B正确；故选：B．7．解：由题意可得BQ＝x．①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP＝3x，则△BPQ的面积＝BP•BQ，解y＝•3x•x＝x2；故A选项错误；②1＜x≤2时，P点在CD边上，则△BPQ的面积＝BQ•BC，解y＝•x•3＝x；故B选项错误；③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP＝9﹣3x，则△BPQ的面积＝AP•BQ，解y＝•（9﹣3x）•x＝x﹣x2；故D选项错误．故选：C．8．解：由图象可知：AE＝3，BE＝4，∠DAE＝∠CEB＝α，设：AD＝BC＝a，在Rt△ADE中，cosα＝＝，在Rt△BCE中，sinα＝＝，由（sinα）2+（cosα）2＝1，解得：a＝，当x＝6时，即：EN＝3，则y＝MN＝EN sinα＝．故选：B．9．解：当点P在AD上时，△ABP的底AB不变，高增大，所以△ABP的面积S随着时间t的增大而增大；当点P在DE上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；当点P在EF上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的增大而减小；当点P在FG上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；当点P在GB上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的增大而减小．故选：D．10．解：（1）过点Q作QD⊥AB于点D，①如图1，当点Q在AC上运动时，即0≤x≤3，由题意知AQ＝x、AP＝x，∵∠A＝45°，∴QD＝AQ＝x，则y＝•x•x＝x2；②如图2，当点Q在CB上运动时，即3＜x≤6，此时点P与点B重合，由题意知BQ＝6﹣x、AP＝AB＝3，∵∠B＝45°，∴QD＝BQ＝（6﹣x），则y＝×3×（6﹣x）＝﹣x+9；故选：D．11．解：设AB＝x，则AE＝EB＝由折叠，FE＝EB＝则∠AFB＝90°由tan∠DCE＝∴BC＝，EC＝∵F、B关于EC对称∴∠FBA＝∠BCE∴△AFB∽△EBC∴∴y＝故选：D．12．解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为5，即BC＝5，由于M是曲线部分的最低点，∴此时BP最小，即BP⊥AC，BP＝4，∴由勾股定理可知：PC＝3，由于图象的曲线部分是轴对称图形，∵图象右端点函数值为5，∴AB＝BC＝5∴P A＝3，AP＝PC＝3，∴AC＝6，∴△ABC的面积为：×4×6＝12故答案为：1213．解：由图象可知，AB+BC＝6，AB+BC+CD＝10，∴CD＝4，根据题意可知，当P点运动到C点时，△P AD的面积最大，S△P AD＝×AD×DC＝8，∴AD＝4，又∵S△ABD＝×AB×AD＝2，∴AB＝1，当P点运动到BC中点时，BP＝PC，如图，作PQ⊥AD于点Q，∴AB∥PQ∥CD，∴PQ为梯形ABCD的中位线，则PQ＝（AB+CD），∴△P AD的面积＝×（AB+CD）×AD＝5，故答案为：5．14．解：∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变，函数图象上横轴表示点P运动的路程，x＝4时，y开始不变，说明BC＝4，x＝9时，接着变化，说明CD＝9﹣4＝5，∴AB＝5，BC＝4，∴△ABC的面积是：×4×5＝10．故答案为：10．15．解：当点P在BC上时，y＝S△ABP＝AB•BP，∵AB是定值，∴点P从点B到C的过程中，y逐渐增加，增加到点P到点C时，增加到最大，从图（2）知，x＝4时增加到最大，∴BC＝4，当点P在CD上时，y＝S△ABP＝AB•BC，∵BC，AB是定值，所以y始终保持不变，从（2）知，x从4到9时，y保持不变，∴CD＝9﹣4＝5，所以矩形ABCD的面积为：4×5＝20．故答案为：2016．解：由图象可以判定：BE＝BC＝10 cm．DE＝4 cm，当点P在ED上运动时，S△BPQ＝BC•AB＝40cm2，∴AB＝8 cm，∴AE＝6 cm，∴当0＜t≤10时，点P在BE上运动，BP＝BQ，∴△BPQ是等腰三角形，故①正确；S△ABE＝AB•AE＝24 cm2，故②错误；当14＜t＜22时，点P在CD上运动，该段函数图象经过（14，40）和（22，0）两点，解析式为y＝110﹣5t，故③正确；△ABP为等腰三角形需要分类讨论：当AB＝AP时，DE上存在一个符号题意的P点，当AB＝BP时，BE上存在一个符合同意的P点，当AP＝BP时，点P在AB垂直平分线上，所以BE和CD上各存在一个符号题意的P点，共有4个点满足题意，⑤△BPQ与△ABE相似时，只有；△BPQ∽△BEA这种情况，此时点Q与点C重合，即＝＝，∴PC＝7.5，即t＝14.5．故⑤正确．综上所述，正确的结论的序号是①③⑤．故答案是：①③⑤．17．当点P在BC段时，对应图2，x≤3的部分，故BC＝3；当点P在CD段时，对应图2，3＜x≤8的部分，故DC＝5；故长方形ABCD的面积等于CB×CD＝3×5＝15，故答案为15．18．解：∵当OP⊥AB时，OP最小，且此时AP＝4，OP＝3，∴AB＝2AP＝8，AD＝2OP＝6，∴C矩形ABCD＝2（AB+AD）＝2×（8+6）＝28．故答案为：28．19．解：设当直线y＝﹣x平移到C时，与直线AB交于点E，过点C作CF⊥AE于F 由题意，直线y＝﹣x从A平移到D时，平移距离为7﹣4＝3则BE＝3，设直线平移到D时交AB于M，此时直线被平行四边形所截线段最长DM＝2由平移可知CE＝DM＝∵∠CEF＝45°则BF＝1∴AD＝BC＝故答案为：20．解：∵当t＝6秒时，S有最大值8，当t＝10秒时，S＝0∴BC＝10﹣6＝4∵当t＝6时，S＝8∴×CD×4＝8∴CD＝4∵CD×DE＝2∴×4×DE＝2∴DE＝1∴BE＝6﹣1＝5∵DE⊥AC∴∠ADE＝90°∵∠ACB＝90°∴DE∥BC∴△ADE∽△ACB∴＝＝∴＝＝解得：AD＝，AE＝∴AC＝+4＝，AB＝+5＝∴△ABC的周长为++4＝16故答案为：16．21．解：（1）当x＝4cm时，AM＝4，重叠部分的面积S＝AM2＝×4×4＝8（cm2）．（2）当10cm＜x≤20cm时，如图所示．AN＝x﹣MN＝x﹣10，∴S＝S△ABC﹣S△ANE＝AC2﹣AN2＝×102﹣（x﹣10）2＝﹣x2+10x（10＜x≤20）．故答案为：S＝﹣x2+10x（10＜x≤20）．22．解：当P点在AB上运动时，D点到AP的距离不变始终是AD长，从图象可以看出AD ＝4，当P点到达B点时，从图象看出x＝3，即AB＝3．当△PCD和△P AB的面积相等时，P点在BC中点处，此时△ADP面积为×4×3＝6．在Rt△ABP中，AP＝，则×AP×y＝6，解得y＝．故答案为．23．解：当线段BP最短时，BP⊥AC，从图2可以看出：AB＝2，AP＝1，PC＝5﹣1＝4，BC＝4.5，此时，BP＝＝，△BCP的周长＝BC+PC+BP＝4.5+4+，△ABP的周长＝AB+AP+BP＝2+1+，故：BCP与△ABP的周长的差为5.5，故答案为5.5．24．解：根据题意得：OB＝AB＝3，x＝6，∴OB+AB＝6，∴P点运动的速度＝6÷6＝1；故答案为：1．25．解：如图：A表示两人在家，E表示小明追上了爷爷，这两个点表示二人距离广场的和都是960米，说明广场在家与追上地之间的正中间，即家到广场480米，广场到追上地480米．B表示小明出发，C表示爷爷经过广场，D表示小明经过广场，小明6分钟走完这480米，所以小明的速度是80米/分．小明追上爷爷时间为960÷80＝12分钟，所以爷爷从家出发到被追上用了4+12＝16分钟，所以爷爷的速度为60米/分．所以整个散步过程一共用了分钟．故答案为：48．26．解：由图象可知，当x＝4时，点P到达C点，此时△P AB的面积为6，∵∠B＝120°，BC＝4，∴×2×AB＝6，解得AB＝6，H点表示点P到达A时运动的路程为4+6+4＝14，故答案为：14．27．解：根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A，当移动距离是7时，直线经过D，在移动距离是8时经过B，则AB＝8﹣3＝5，当直线经过D点，设交AB与N，则DN＝2，如图，作DM⊥AB于点M．∵y＝﹣x与x轴形成的角是45°，又∵AB∥x轴，∴∠DNM＝45°，∴DM＝DN•sin45°＝2×＝2，则平行四边形的面积是：AB•DM＝5×2＝10，故答案为：10．28．解：（1）观察图象得，S△APQ＝P A•AD＝×（1×a）×6＝24，解得a＝8（秒）b＝＝2（厘米/秒）（22﹣8）c＝（12×2+6）﹣2×8解得c＝1（厘米/秒）（2）依题意得：y1＝1×8+2（x﹣8），即：y1＝2x﹣8（x＞8），y2＝（30﹣2×8）﹣1×（x﹣8）＝22﹣x（x＞8）又据题意，当y1＝y2，P与Q相遇，即即2x﹣8＝（22﹣x），解得x＝10．故出发10s时P、Q相遇．29．解：（1）由图象可知，当点P在BC上运动时，△APD的面积保持不变，则a秒时，点P在AB上．∴AP＝6则a＝6（2）由（1）6秒后点P变速，则点P已行的路程为y1＝6+2（x﹣6）＝2x﹣6∵Q点路程总长为34cm，第6秒时已经走12cm，点Q还剩的路程为y2＝34﹣12﹣＝（3）当P、Q两点相遇前相距3cm时，﹣（2x﹣6）＝3解得x＝10当P、Q两点相遇后相距3cm时（2x﹣6）﹣（）＝3解得x＝∴当x＝10或时，P、Q两点相距3cm30．解：（1）作AT⊥BD，垂足为T，由题意得，AB＝8，AT＝，在Rt△ABT中，AB2＝BT2+AT2，∴BT＝，∵tan∠ABD＝，∴AD＝6，即BC＝6；（2）在图①中，连接P1P2．过P1，P2分别作BD的垂线，垂足为Q1，Q2．则P1Q1∥P2Q2．∵在图②中，线段MN平行于横轴，∴d1＝d2，即P1Q1＝P2Q2．∴P1P2∥BD．∴．即．又∵CP1+CP2＝7，∴CP1＝3，CP2＝4．设M，N的横坐标分别为t1，t2，由题意得，CP1＝14+1﹣t1，CP2＝t2﹣14﹣2，∴t1＝12，t2＝20．31．解：（1）依函数图象可知：当0≤x≤a时，S1＝×8a＝24 即：a＝6当a＜x≤8时，S1＝×8×[6×1+b（8﹣6）]＝40 即：b＝2当8＜x≤c时，①当点P从B点运动到C点三角形APD的面积S1＝×8×10＝40（cm2）一定，所需时间是：8÷2＝4（秒）②当点P从C点运动到D点：所需时间是：10÷2＝5（秒）所以c＝8+4+5＝17（秒）故答案为：a＝6，b＝2，c＝17．（2）∵长方形ABCD面积是：10×8＝80（cm2）∴当0≤x≤a时，×8x＝80×即：x＝5；当12≤x≤17时，×8×2（17﹣x）＝80×即：x＝14.5．∴点P出发后5秒或14.5秒，△APD的面积S1是长方形ABCD面积的四分之一32．解：（1）由图象可得，S△APQ＝P A•AD＝×（1×a）×6＝24解得：a＝8∴b＝＝2∴（22﹣8）c＝（12×2+6）﹣2×8解得：c＝1故答案为：8；2；1．（2）依题意得：y1＝1×8+2（x﹣8）∴y1＝2x﹣8 （x＞8）y2＝（30﹣2×8）﹣1×（x﹣8）＝22﹣x（x＞8）∵点P与Q相遇时，y1＝y2∴2x﹣8＝22﹣x∴x＝10∴点P与Q相遇时x的值为10．33．解：（1）∵P A＝6时，AB＝6，BC＝4.37，AC＝4.11，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠ACB＝90°，∴AB是直径．当x＝3时，P A＝PB＝PC＝3，∴y1＝3，故答案为3．（2）函数图象如图所示：（3）观察图象可知：当x＝y，即当P A＝PC或P A＝AC时，x＝3或4.91，当y1＝y2时，即PC＝AC时，x＝5.77，综上所述，满足条件的x的值为3或4.91或5.77．故答案为3或4.91或5.77．34．解：（1）图中点H的实际意义：P、Q两点相遇；（2）由函数图象得出，当两点在F点到G点两点路程随时间变化减慢得出此时Q点停留1秒，只有P点运动，此时纵坐标的值由75下降到45，故P点运动速度为：30cm/s，再根据E点到F点s的值由120变为75，根据P点速度，得出Q点速度为120﹣75﹣30＝15（cm/s），即P点速度为30cm/s，Q点速度为15cm/s；（3）如图所示：根据4秒后，P点到达D点，只有Q点运动，根据运动速度为15cm/s，还需要运动120﹣45＝75（cm），则运动时间为：75÷15＝5（s），画出图象即可；（4）如图1所示，当QP＝PC，此时QC＝BP，即30﹣30t＝（30﹣15t），解得：t＝，故当时间t＝s时，△PCQ为等腰三角形，如图2所示，当D，P重合，QD＝QC时，当Q在BA上时，应该为AB的中点，此时AQ＝120﹣15（t﹣1）＝15，解得：t＝8．故当时间t＝8s时，△PCQ为等腰三角形．若如图3，PC＝CQ故30＝15（t﹣1）﹣30解得：t＝5综上所述：t＝或t＝5或t＝8秒时，△PCQ为等腰三角形．35．解：（1）①当x＝BM＝0时，ED是三角形ABC的中位线，则ED＝AC＝3＝BE＝MN；②x＝BM＝，在△MBD中，BD＝4，BM＝，cos∠B＝＝，设cos B＝cosβ，tanβ＝，过点M作MH⊥BD于点H，则BH＝BM cosβ＝，则MH＝，MD2＝HD2+MH2＝，则BD2＝BM2+MD2，故∠BMD＝90°，则y＝MN＝MD tanβ＝（DB sinβ）tanβ＝；故：答案为3，；（2）描点出如下图象，（3）从图象可以看出：0≤x≤1.65时，y随x增大而减小，当1.65＜x≤4.10时，y随x增大而增大（数值是估值，不唯一）；（4）方法一：MN＝2BM，即y＝2x，在上图中作直线y＝2x，直线与曲线交点的横坐标1.33和4.00，故答案为：1.33或4.00．方法二：如图3，DN与CA的延长线交于点H．设BM＝x，MN＝2xEN＝3x﹣3，AN＝6﹣3x∵∠NDB＝∠H+∠C（外角的性质）∠NDB＝∠MDB+∠NDM∴∠MDB+∠NDM＝∠H+∠C∴∠MDB＝∠H，∠B＝∠C∴△MDB∽△DHC∴＝∴，CH＝，HA＝HC﹣AC＝﹣6又∵△HAN∽△DEN∴＝∴＝解得x1＝4，x2＝．故答案为：1.33或4.00。

2021年九年级数学中考二轮复习《动态几何问题》专题突破训练（附答案）1．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AB =5cm ，BC =4cm ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 向终点B 以5cm /s 的速度运动，同时动点Q 从点A 出发沿射线AC 以5cm /s 的速度运动，当点P 到达终点时，点Q 也随之停止运动；连接PQ ，设△APQ 与△ABC 重叠部分图形的面积为S （cm 2），点P 运动的时间为t （s ）（t ＞0）．（1）直接写出AC = cm ；（2）当点A 关于直线PQ 的对称点A '落在线段BC 上时，求t 的值；（3）求S 与t 之间的函数关系式；（4）若M 是PQ 的中点，N 是AB 的中点，当MN 与BC 平行时，t = ；当MN 与AB 垂直时，t = ．2．如图，矩形ABCD 中，P 是边AD 上的一动点，联结BP 、CP ，过点B 作射线交线段CP 的延长线于点E ，交边AD 于点M ，且使得ABE CBP =∠∠，如果2AB =，5BC =，AP x =，PM y =（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当4AP =时，求 tan EBP ∠；（3）如果EBC ∆是以EBC ∠为底角的等腰三角形，求AP 的长3．如图，平行四边形ABCO 位于直角坐标系中，O 为坐标原点，点(8,0)A -，点()3,4C BC 交y 轴于点.D 动点E 从点D 出发，沿DB 方向以每秒1个单位长度的速度终点B 运动，同时动点F 从点O 出发，沿射线OA 的方向以每秒2个单位长度的速度运动，当点E 运动到点B 时，点F 随之停止运动，运动时间为 t （秒）．（1）用t 的代数式表示： BE = ________， OF = ________（2）若以A ，B ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．（3）当BEF 恰好是等腰三角形时，求t 的值．4．在△ABC 中，AB =AC ，点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作△ADE ，使AD =AE ，∠DAE =∠BAC ，连接CE ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果∠BAC =90°，则∠BCE 为多少？说明理由； （2）设∠BAC =α，∠BCE =β．①如图2，当点D 在线段BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D 在直线BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不需证明．5．问题情境：如图1，已知正方形ABCD与正方形CEFG，B、C、G在一条直线上，M是AF 的中点，连接DM，EM．探究DM，EM的数量关系与位置关系．小明的思路是：小明发现AD//EF，所以通过延长ME交AD于点H，构造△EFM和△HAM全等，进而可得△DEH是等腰直角三角形，从而使问题得到解决，请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：（1）猜想图1中DM、EM的数量关系，位置关系．（2）如图2，把图1中的正方形CEFG绕点C旋转180°，此时点E在线段DC的延长线上，点G落在线段BC上，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由；（3）我们可以猜想，把图1中的正方形CEFG绕点C旋转任意角度，如图3，（1）中的结论（“成立”或“不成立”）拓展应用：将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，请画出图形，并直接写出MF的长．6．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，点P 是抛物线上一动点，连接PB，PC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD上x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求△PBC的面积；（3）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．7．如图，已知ABC 和ADE 均为等腰三角形，AC ＝BC ，DE ＝AE ，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现：如图①，当60ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，则CEB ∠＝ °，线段BD 、CE 之间的数量关系是 ；（2）拓展探究：如图②，当90ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，请判断CEB ∠的度数及线段BD 、CE 之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图③，90ACB AED ∠∠︒＝＝，25AC ＝，AE ＝2，连接CE 、BD ，在AED 绕点A 旋转的过程中，当DE BD ⊥时，请直接写出EC 的长．8．如图，⊙O 的半径为5，弦BC ＝6，A 为BC 所对优弧上一动点，△ABC 的外角平分线AP 交⊙O 于点P ，直线AP 与直线BC 交于点E ．（1）如图1，①求证：点P 为BAC 的中点；②求sin ∠BAC 的值；（2）如图2，若点A 为PC 的中点，求CE 的长；（3）若△ABC 为非锐角三角形，求PA •AE 的最大值．9．如图1，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝6，点D 在AB 边的延长线上，且CD ＝AB ．（1）求BD 的长度；（2）如图2，将△ACD 绕点C 逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'．①若α＝30°，A'D'与CD 相交于点E ，求DE 的长度；②连接A'D 、BD'，若旋转过程中A'D ＝BD'时，求满足条件的α的度数．（3）如图3，将△ACD 绕点C 逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'，若点M 为AC 的中点，点N 为线段A'D'上任意一点，直接写出旋转过程中线段MN 长度的取值范围．10．如图，P 是等边ABC 内的一点，且5PA =，4PB =，3PC =，将APB △绕点B 逆时针旋转，得到CQB △．（1）求点P 与点Q 之间的距离；（2）求BPC ∠的度数；（3）求ABC 的面积ABC S．11．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，8BC cm =，如果点E 由点B 出发沿BC 方向向点C 匀速运动，同时点F 由点D 出发沿DA 方向向点A 匀速运动，它们的速度分别为2/cm s 和1/cm s ，FQ BC ⊥，分别交AC ，BC 于点P 和Q ，设运动时间为()04ts t <<．（1）连接EF ，若运动时间t =_______s 时，62EF cm =；（2）连接EP ，当EPC 的面积为23cm 时，求t 的值；（3）若EQP ADC ∽△△，求t 的值．12．如图，边长为32的正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动点（点P 与A 、C不重合），连接BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转90°得到BQ ，连接QP ，QP 与BC 交于点E ，其延长线与AD （或AD 延长线）交于点F ．（1）连接CQ ，证明：CQ AP =；（2）设AP x =，CE y =，试写出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）试问当P 点运动到何处时，PB PE +的值最小，并求出此时CE 的长．（画出图形，直接写出答案即可）13．已知：O 是ABC ∆的外接圆，且,60,AB BC ABC D =∠=︒为O 上一动点． （1）如图1，若点D 是AB 的中点，求DBA ∠的度数．（2）过点B 作直线AD 的垂线，垂足为点E ．①如图2，若点D 在AB 上．求证CD DE AE =+．②若点D 在AC 上，当它从点A 向点C 运动且满足CD DE AE =+时，求ABD ∠的最大值．14．抛物线239344y x x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．线段OA 上有一动点P (不与O A 、重合)，过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，交抛物线于点M （1）求直线AB 的解析式；（2）点N 为线段AB 下方抛物线上一动点，点D 是线段AB 上一动点；①若四边形CMND 是平行四边形，证明：点M N 、横坐标之和为定值；②在点P N D 、、运动过程中，平行四边形CMND 的周长是否存在最大值？若存在，求出此时点D 的坐标，若不存在，说明理由15．如图，在平面直角坐标系中，点C 在x 轴上，90,10cm,6cm OCD D AO OC CD ︒∠=∠====．（1）请求出点A 的坐标．（2）如图（2），动点P Q 、以每秒1cm 的速度分别从点O 和点C 同时出发，点P 沿OA AD DC 、、运动到点C 停止，点Q 沿CO 运动到点O 停止，设P Q 、同时出发t 秒． ①是否存在某个时间t （秒），使得OPQ △为直角三角形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．②若记POQ △的面积为()2cm y ，求()2cm y 关于t （秒）的函数关系式． 16．已知，点O 是等边ABC 内的任一点，连接OA ，OB ，OC ．（Ⅰ）如图1所示，已知150AOB ∠=︒，120BOC ∠=︒，将BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60︒得ADC ．①求DAO ∠的度数：②用等式表示线段OA ，OB ，OC 之间的数量关系，并证明；（Ⅱ）设AOB α∠=，BOC β∠=．①当α，β满足什么关系时，OA OB OC ++有最小值？并说明理由；②若等边ABC 的边长为1，请你直接写出OA OB OC ++的最小值．17．如图，在正方形ABCD 中，AB =4，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度，沿线段AB 方向匀速运动，到达点B 停止．连接DP 交AC 于点E ，以DP 为直径作⊙O 交AC 于点F ，连接DF 、PF ．（1）则△DPF 是 三角形；（2）若点P 的运动时间t 秒．①当t 为何值时，点E 恰好为AC 的一个三等分点；②将△EFP 沿PF 翻折，得到△QFP ，当点Q 恰好落在BC 上时，求t 的值．18．已知四边形ABCD 为矩形，对角线AC 、BD 相交于点O ，AD AO =．点E 、F 为矩形边上的两个动点，且60EOF ∠=︒．（1）如图1，当点E 、F 分别位于AB 、AD 边上时，若75OEB ∠=︒，求证：AD BE =；（2）如图2，当点E 、F 同时位于AB 边上时，若75OFB ∠=︒，试说明AF 与BE 的数量关系；（3）如图3，当点E 、F 同时在AB 边上运动时，将OEF 沿OE 所在直线翻折至OEP ，取线段CB 的中点Q ．连接PQ ，若()20AD a a =>，则当PQ 最短时，求PF 之长．19．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，点D为AB上的点，且BD＝34AB，如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向终点C运动，同时，点Q在线段CA上由C点向终点A运动．当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．（1）如（图一）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP 是否全等，请说明理由．（2）如（图二）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等（点P不与点B和点C重合），连接点A与点P，连接点B与点Q，并且线段AP，BQ相交于点F，求∠AFQ的度数．（3）若点Q的运动速度为6cm/s，当点Q运动几秒后，可得到等边△CQP？20．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）试探究t为何值时，△BPQ是等腰三角形；（3）试探究t为何值时，CP＝CQ；（4）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．21．如图1，在正方形ABCD 中，4AB m =，点P 从点D 出发，沿DA 向点A 匀速运动，速度是1/cm s ，同时，点Q 从点A 出发，沿AB 方向，向点B 匀速运动，速度是2/cm s ，连接PQ 、CP 、CQ ，设运动时间为()(02)t s t <<．()1是否存在某一时刻，使得//PQ BD 若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由； ()2设PQC △的面积为()2S cm ，求S 与t 之间的函数关系式；()3如图2，连接AC ，与线段PQ 相交于点M ，是否存在某一时刻t ，使QCM S ：4PCM S =：5？若存在，直接写t 的值；若不存在，说明理由．22．如图，在 RtΔABC 中，∠C=90°，BC=5cm ，tanA 512=．点 M 在边 AB 上，以 2 cm/s 的速度 由点B 出发沿BA 向点A 匀速运动；同时点N 在边AC 上，以1 cm/s 的速度由A 出发沿AC 向点C 匀速运动．当点M 到达A 点时，点M ，N 同时停止运动．连接MN ，设点M 运动的时间为t (单位：s)．（1）求AB 的长；（2）当t 为何值时，ΔAMN 的面积为△ABC 面积的326； （3）是否存在时间t ，使得以A ，M ，N 为顶点的三角形与ΔABC 相似？若存在，求出时间t 的值；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+3与x 轴交于A ，B 两点，且点B 的坐标为(2，0)，与y 轴交于点C ，抛物线对称轴为直线x 12=-．连接AC ，BC ，点P 是抛物线上在第二象限内的一个动点．过点P 作x 轴的垂线PH ，垂足为点H ，交AC 于点Q ．过点P 作PG ⊥AC 于点G ． （1）求抛物线的解析式．（2）求PQG 周长的最大值及此时点P 的坐标．（3）在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以B ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，直线1:1l y kx =+与x 轴交于点D ，直线2:l y x b =-+与x 轴交于点A ，且经过定点(1,5)B -，直线1l 与2l 交于点(2,)C m ．（1）求k 、b 和m 的值；（2）求ADC ∆的面积；（3）在x 轴上是否存在一点E ，使BCE ∆的周长最短？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）若动点P 在线段DA 上从点D 开始以每秒1个单位的速度向点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒．是否存在t 的值，使ACP ∆为等腰三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，清说明理由．25．如图，已知抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使CMP ∆为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）作直线BC ，若点(,0)D d 是线段BM 上的一个动点（不与B 、M 重合），过点D 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，交BC 于点E ，当BDE CEF S S ∆∆=时，求d 的值．26．正方形ABCD 和等腰Rt DEF △共顶点D ，90DEF ∠=︒，DE EF =，将DEF 绕点D 逆时针旋转一周．（1）如图1，当点F 与点C 重合时，若2AD =，求AE 的长；（2）如图2，M 为BF 中点，连接AM 、ME ，探究AM 、ME 的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）条件下，连接DM 并延长交BC 于点Q ，若22AD DE ==，在旋转过程中，CQ 的最小值为_________．27．综合与探究 如图，抛物线245y x bx c =++经过点()0,4A ，()10B ,，与x 轴交于另一点C （点C 在点B 的右侧），点()P m n ,是第四象限内抛物线上的动点．（1）求抛物线的函数解析式及点C 的坐标；（2）若APC △的面积为S ，请直接写出S 关于m 的函数关系表达式，并求出当m 的值为多少时，S 的值最大？最大值为多少？（3）是否存在点P ，使得PCO ACB ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．28．某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： 操作发现：（1）如图1，分别以AB 和AC 为边向△ABC 外侧作等边△ABD 和等边△ACE ，连接BE ､CD ，请你完成作图并证明BE =CD ．（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）类比探究：（2）如图2，分别以AB 和AC 为边向△ABC 外侧作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接CE ､BG ，则线段CE ､BG 有什么关系？说明理由．灵活运用：（3）如图3，在四边形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，AB =BC ，∠ABC =60°，∠ADC =30°，AD =3，BD =5，求CD 的长．参考答案1．（1）3；（2）38t =；（3）当305t <≤时，210S t =；当315t <≤时，215309S t t =-+-；（4）38；58．2．（1）4y x x =-．定义域为25x <≤；（2）34；（3）4或53+ 3．（1）5－t ，2t ；（2）3t =或133t =；（3）53t =或910t = 4．（1）90°；（2）①α＋β＝180°；②点D 在直线BC 上移动，α＋β＝180°或α＝β．5．（1）DM ⊥EM ，DM ＝ME ；（2）结论成立；（3）成立；拓展应用： 6．（1）y ＝﹣x 2+2x +3；（2）3；（3）点P 的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）7．（1）60BD CE ，＝；（2）45CEB BD ∠︒＝，；（3）CE 的长为或8．（1）①证明；②3sin 5BAC ∠=；（2）CE =；（3）80.9．（1）﹣（2）﹣；②45°或225°；（3）﹣＋310．（1）4PQ =；（2）150BPC ∠=︒；（3）9ABC S=． 11．（1）23；（2）2；（3）212．（1）见解析；（2）2(06)6y x x =-+<<；（3）P 位置如图所示，此时PB PE +的值最小，6CE =-13．（1）30DBA ∠=；（2）①；②当点D 运动到点I 时ABI ∠取得最大值，此时30ABD ∠=．14．（1）334y x =-；（2）①证明；②存在；点D 的坐标为111111,,3434⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；． 15．（1）(8,6)A ．（2）①存在，40 s 9t =或者50 s 9t =．②233(010)10S t t t =-+<<． 16．（1）①90°；②线段OA ，OB ，OC 之间的数量关系是OA 2+OB 2=OC 2，证明；（2）①当α=β=120°时，OA+OB+OC 有最小值．证明；②线段OA+OB+OC ．17．(1)等腰直角;(2)①当t 为1时，点E 恰好为AC 的一个三等分点；．18．（1）证明；（2）2AF BE =；（3）.FP =19．（1）BPD CQP ≌；（2）60︒（3）4320．（1）1或3241；（2）23或89或6457；（3；（4）78． 21．()1存在，43t =；()2228(02)S t t t =-+<<；()3存在，1t = 22．（1）13cm ；（2）t=2或92s ；（3）存在，15637t =或16938t =s23．（1）y 12=-x 212-x+3；（2）)9108，P(32-，218)；（3）存在，Q 1(，+3)，Q 2(﹣1，2)24．（1）12k =，4b =，2m =；（2）6；（3存在，8(7E ，0)；（4）存在，6-4或2．25．（1）223y x x =--+；（2）存在，P (-或(1,-或(1,6)-或5(1,)3-；（3）12d -=26．（1）AE =（2）AM ME =，AM ME ⊥；（3）227．（1）2424455x x y -+=；点C 的坐标为（5，0）；（2）当m ＝52时，S 的值最大，最大值为252；（3）存在点P ，使得使得∠PCO ＝∠ACB ．点P 的坐标为（2，－125）. 28．（1）；（2）CE=BG ；（3）CD=4。

2021年中考数学复习：《二次函数动点综合》专项练习题1．已知，如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为（1，0）、C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式．（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？如存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．已知：如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．（1）求抛物线的解析式；．（2）求△MCB的面积S△MCB（3）在坐标轴上，是否存在点N，满足△BCN为直角三角形？如存在，请直接写出所有满足条件的点N．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和点B（2，3），过点A的直线与y轴的负半轴相交于点C，且tan∠CAO＝．（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；（2）联结AB 、BC ，求∠ABC 的正切值；（3）若点D 在x 轴下方的对称轴上，当S △DBC ＝S △ADC 时，求点D 的坐标．4．如图，抛物线y ＝﹣x 2+x +2与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A ，点B ，点C 的坐标；（2）求直线BD 的解析式；（3）在点P 的运动过程中，是否存在点Q ，使△BDQ 是以BD 为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣2，0），交y 轴于点B （0，﹣），直线y ＝kx +过点A 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一交点是D（1）求抛物线y ＝x 2+bx +c 与直线y ＝kx +的解析式；。

中考二轮专题复习《动点问题》精选练习一、选择题1.如图所示，直角三角形AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3.设直线l：x=t截此三角形所得的阴影部分面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为(如选项所示)( )2.如图,正方形ABCD的边长为4，将长为4的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动.如果Q点从A点出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从B点出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为( )A.16B.C.D.3.如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD 交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（）4.如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）A.3≤OM≤5B.4≤OM≤5C.3＜OM＜5D.4＜OM＜55.如图,正方形ABCD的边长为2cm,动点P从点A出发,在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止,设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（）A. B. C. D.6.如图,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小,则这个最小值为（）7.如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP 的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）8.如图,已知直线y=0.75x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点,P是以C（0,1）为圆心,1为半径的圆上一动点,连结PA、PB.则△PAB面积的最大值是（）A.8B.12C.10.5D.8.5二、填空题9.如图，半径为1的⊙P的圆心在（﹣4，0）处．若⊙P以每秒1个单位长度，沿x轴向右匀速运动．设运动时间为t秒，当⊙P上有且只有2个点到y轴的距离为2，则t的取值范围是．10.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（6，0）、（0，4），点P是线段BC上的动点，当△OPA是等腰三角形时，则P点的坐标是.11.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D 是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 .12.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E从点A出发，以1个单位/秒的速度向B移动，同时，点F 从点B出发,以2个单位/秒的速度向C移动，当点F到达C点时均停止运动，则秒后△EBF的面积为5个平方单位.13.如图,已知⊙C半径为2,OA=OB=4,P在⊙C上为一动点,连接PA,交y轴于E点,则ABE面积的最大值为；最小值为 .14.如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第2015次相遇在边上．15.如图,定点A(-2,0),动点B在直线y=x上运动,当线段AB最短时,点B的坐标为．16.如图,已知正方形ABCD的边长为2,E是边BC上的动点,BF⊥AE交CD于点F,垂足为G,连结CG.下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值为．其中正确的说法是（把你认为正确的说法的序号都填上）参考答案1.D.2.C3.C4.B5.A6.B7.B8.C9.答案为：1＜t ＜3或5＜t ＜7．解：①⊙P 位于y 轴左侧时，当t=1时，⊙P 的圆心在（﹣3，0）处，此时⊙P 到y 轴距离为2的点只有1个； 当t=3时，⊙P 的圆心在（﹣2，0）处，此时⊙P 到y 轴的距离为2的点只有垂直于x 轴的直径的两端点；∴当1＜t ＜3时，⊙P 上有且只有2个点到y 轴的距离为2；②⊙P 位于y 轴右侧时，当t=5时，⊙P 的圆心在（1，0）处，此时⊙P 到y 轴距离为2的点只有（2，0）这1个； 当t=7时，⊙P 的圆心在（﹣2，0）处，此时⊙P 到y 轴的距离为2的点只有（2，0）这1个；∴当5＜t ＜7时，⊙P 上有且只有2个点到y 轴的距离为2；综上，1＜t ＜3或5＜t ＜7，10.答案为：（3，4）或（2，4）或（6﹣2，4）.11.答案为：(2,4),(3,4),(8,4).12.答案为：1;13.答案为：228 ；14.答案为：AB ．15.答案为：（﹣1,﹣1）．16.。

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动点问题专题训练1、如图，已知ABC△中，10AB AC==厘米,8BC=厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD△与CQP△是否全等,请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD△与CQP△全等?(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC△三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC△的哪条边上相遇？2、直线364y x=-+与坐标轴分别交于点,运位长（1）直(2）设t之间(3）当485S=时,求出点P的坐标，并个顶点M的坐标．3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P(0，k)是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P。

(1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2)当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形?4 如图1，在平面直角坐标系中,点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为(－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交 (1）求直线AC的解析式；（2）连接BM,如图2,动点P从终点C匀速运动，设△PMB的面积为的函数关系式（要求写出自变量t的 (3）在（2）的条件下，当 t为OP与直线AC所夹锐角的正切值．5在Rt △ABC 中，∠C =90°,AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回;点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB —BC —CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒(t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ,点Q 到AC 的距离是 ； （2)在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；(不必写出t 的取值范围）(3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能,请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．6如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°,2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC重合的位置开始,绕点O 作逆时针旋E ，设直线l 的旋转角为α．（1)①当α= 度时，四边形②当α= 为 ; （2）当90α=°7如图，在梯ACB PQ ED图16OE CDAlOCA（备用图）A DCBN3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动;动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．8如图1，在等腰梯形ABCD 中,AD BC ∥,E 是AB 的中点,过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，,60B =︒∠.（1）求点E 到BC 的距离;(2)点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ,过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ,连结PN ,设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2)，周长；若改变,请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3）,求出所有满足要求的x 的值；若不存A E B图4（备用）A D E BF C图19如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为(0,10），（8，4),点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上,从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标;（3）在（1)中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标;(4）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能,请说明理由．10数学课上，张老师出示了问中点．90AEF∠=，且EF交正方形外经过思考,小明展示了一种正确易证AME ECF△≌△，所以AE EF=．在此基础上，同学们作了进一步（1）小颖提出：如图2，如果把B,C外）的任意一点"，其它条件不点正确吗？如果正确，写出证明过程 (2)小华提出:如图3,点E是BC的结论“AE=EF”仍然成立．你认为小正确,请说明理由．A DFC GB图111已知一个直角三角形纸片OAB ,其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ． (Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；(Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B ',设OB x '=,OC y =,试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围;（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点12问题解决如图(1），将正图（1）A BCDEFMN与点C ,D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AMBN的值．类比归纳在图（1)中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若14CE CD =，则AMBN的值等于 ；若1CE CD n =（n 为整数）,则AM BN的值等于 ．（用含n 的式子表示） 联系拓广如图(2）,将矩形纸片ABCD 折叠,使点B 落在CD 边上一点E (不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AMBN 的值等于 ．（用含m n ，的式子表示）1。

类型二与动点有关的探究题【典例1】【问题情境】已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E是线段AC上的一个动点(不与A、C重合)，以CE为一边作Rt△DCE，使∠DCE＝90°，且CD＝CA.沿CA方向平移△CDE，使点C移动到点A，得到△ABF.过点F作FG⊥BC，交线段BC于点G，连接DG、EG.【深入探究】(1)如图①，当点E在线段AC上时，小文猜想GC＝GF，请你帮他证明这一结论；(2)如图②，当点E在线段AC的延长线上，且CE＜CA时，猜想线段DG与EG的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；【拓展应用】(3)如图③，将(2)中的“CE＜CA”改为“CE＞CA”，若设∠CDE＝α，请用含α的式子表示∠CGE的度数(直接回答即可，不必证明)．第1题图【典例2】综合与探究 如图，抛物线2134y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．直线l 与抛物线交于A ，D 两点，与y 轴交于点E ，点D 的坐标为()4,3-．（1）请直接写出A ，B 两点的坐标及直线l 的函数表达式；（2）若点P 是抛物线上的点，点P 的横坐标为m ()0m ≥，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M ．PM 与直线l 交于点N ，当点N 是线段PM 的三等分点时，求点P 的坐标； （3）若点Q 是y 轴上的点，且45ADQ ∠=︒，求点Q 的坐标．【典例3】如图，△ABC 中，AB ＝BC ，BD ⊥AC 于点D ，∠FAC ＝12∠ABC ，且∠FAC 在AC 下方，点P ，Q 分别是射线BD ，射线AF 上的动点，且点P 不与点B 重合，点Q 不与点A 重合，连接CQ ，过点P 作PE ⊥CQ 于点E ，连接DE .(1)若∠ABC ＝60°，BP ＝AQ .①如图①，当点P 在线段BD 上运动时，请直接写出线段DE 和线段AQ 的数量关系和位置关系；②如图②，当点P 运动到线段BD 的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；(2)若∠ABC ＝2α≠60°，请直接写出当线段BP 和线段AQ 满足什么数量关系时，能使(1)中①的结论仍然成立(用含α的三角函数表示)．【典例4】如图，等边△ABC 中，点D ，E ，F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，M 为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形．(1)如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？(2)如图②，当点M在线段BC上时，其他条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；(3)若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断(1)的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，若不成立请说明理由．【典例5】已知，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点M为AD边的中点，连接BD，点P是对角线BD上的动点，连接AP，以点P为顶点作∠EPF＝90°，PE交AB边于点E，PF交AD边于点F.(1)发现问题如图①，当点P运动过程中∠PBA与∠PAB互余时，线段BE、MF与AB的数量关系为__________；(2)解决问题如图②，当点P运动过程中∠PBA与∠PAB相等时，请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展延伸在(2)的条件下，连接EF并延长EF，交直线BD于点G，若BE∶AF＝2∶3，EF＝85，求DG的长．【典例6】已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连接DE交AC于F，点H是线段AF上一点．(1)初步尝试如图①，若△ABC 是等边三角形，DH ⊥AC ，且点D ，E 的运动速度相等，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，则GH 与AH 的数量关系是________，GF 与FC 的数量关系是________，ACHF的值是________；(2)类比探究如图②，若在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ADH ＝∠A ＝30°，且点D ，E 的运动速度之比是3∶1，求AC HF的值；(3)延伸拓展如图③，若在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ADH ＝∠A ＝36°，记BC AB＝m ，且点D ，E 的运动速度相等，试用含m 的代数式表示AC HF.(直接写出结果，不必写出解答过程)【典例7】已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒．（1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．CPQB A M N【典例8】如图，在梯形中，厘米，厘米，的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为秒．（1）求边的长；（2）当为何值时，与相互平分；（3）连结设的面积为探求与的函数关系式，求为何值时，有最大值？最大值是多少？【典例9】如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的ABCD 906DC AB A AD ∠==∥，°，4DC =BC 34i =∶，P A AB B Q B B C D →→D t BC t PC BQ PQ ，PBQ △y ，y t t y 图CDABQP E中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？【典例10】在梯形ABCD 中，354245AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，，∠．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从AQ CDB PA ODPC 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长． （2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．【典例11】如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90o ，AB ＝12cm ，AD ＝8cm ，BC ＝22cm ，AB 为⊙O 的直径，动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度运动，P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t(s)．(1)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？(2)当t为何值时，PQ与⊙O相切？【典例12】如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运x )，则AP=2x cm，CM=3x cm，DN=x2cm．动即停止．已知在相同时间内，若BQ=x cm(0（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个（2）当x 为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．A BDC PQ MN类型二与动点有关的探究题【典例1】【问题情境】已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E是线段AC上的一个动点(不与A、C重合)，以CE为一边作Rt△DCE，使∠DCE＝90°，且CD＝CA.沿CA方向平移△CDE，使点C移动到点A，得到△ABF.过点F作FG⊥BC，交线段BC于点G，连接DG、EG.【深入探究】(1)如图①，当点E在线段AC上时，小文猜想GC＝GF，请你帮他证明这一结论；(2)如图②，当点E在线段AC的延长线上，且CE＜CA时，猜想线段DG与EG的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；【拓展应用】(3)如图③，将(2)中的“CE＜CA”改为“CE＞CA”，若设∠CDE＝α，请用含α的式子表示∠CGE的度数(直接回答即可，不必证明)．第1题图【答案】(1)证明：∵在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠BCA＝∠ABC＝45°，∵FG⊥BC，∴∠FGC＝90°，∴∠GFC＝90°－∠GCF＝45°，∴∠GFC＝∠GCF，∴GC＝GF；(2)解：DG＝EG，DG⊥EG；证明：同(1)可证GC＝GF，∵∠DCE＝90°，∠BCA＝45°，∴∠DCG＝45°，∵∠GFC＝45°，∴∠DCG＝∠EFG，∵△CDE 平移得到△ABF ，∴CE ＝AF ，∴CE ＋CF ＝AF ＋CF ，即EF ＝AC ， ∵AC ＝CD ，∴EF ＝CD ，∴△DCG ≌△EFG (SAS)， ∴DG ＝EG ，∠DGC ＝∠EGF ， ∴∠DGC －∠EGC ＝∠EGF －∠EGC ， 即∠DGE ＝∠CGF ＝90°， ∴DG ⊥EG ；(3)解：∠CGE ＝180°－α. 【典例2】综合与探究 如图，抛物线2134y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．直线l 与抛物线交于A ，D 两点，与y 轴交于点E ，点D 的坐标为()4,3-．（1）请直接写出A ，B 两点的坐标及直线l 的函数表达式；（2）若点P 是抛物线上的点，点P 的横坐标为m ()0m ≥，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M ．PM 与直线l 交于点N ，当点N 是线段PM 的三等分点时，求点P 的坐标； （3）若点Q 是y 轴上的点，且45ADQ ∠=︒，求点Q 的坐标． 【答案】（1）()2,0A -，()6,0B ，直线l 的函数表达式为：112y x =--；（2）当点N 是线段PM 的三等分点时，点P 的坐标为()0,3-或153,4⎛⎫-⎪⎝⎭；（3）点Q 的坐标为()0,9或130,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】 【分析】 （1）令2130,4x x --=可得,A B 两点的坐标，把,A D 的坐标代入一次函数解析式可得l 的解析式；（2）根据题意画出图形，分别表示,,P M N 三点的坐标，求解,,PM PN MN 的长度，分两种情况讨论即可得到答案；（3）根据题意画出图形，分情况讨论：①如图，当点Q 在y 轴正半轴上时，记为点1Q ．过点1Q 作1Q H ⊥直线l ，垂足为H ．再利用相似三角形与等腰直角三角形的性质，结合勾股定理可得答案，②如图，当点Q 在y 轴负半轴上时，记为点2Q ．过点2Q 作2Q G ⊥直线l ，垂足为G ，再利用相似三角形与等腰直角三角形的性质，结合勾股定理可得答案． 【详解】 解：（1）令2130,4x x --= 24120,x x ∴--=()()620,x x ∴-+=122, 6.x x ∴=-= ∴ ()2,0A -，()6,0B ，设直线l 的函数表达式为：y kx b =+， 把()()2,0,4,3A D --代入得：2043k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得：121k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩直线l 的函数表达式为：112y x =--． （2）解：如图，根据题意可知，点P 与点N 的坐标分别为21,34P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，1,12N m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．22113344PM m m m m =--=-++ 111122MN m m =--=+，2211111322442NP m m m m m ⎛⎫⎛⎫=-----=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分两种情况：①当3PM MN =时，得21133142m m m ⎛⎫-++=+ ⎪⎝⎭． 解得：10m =，22m =-（舍去） 当0m =时，21334m m --=-． ∴点P 的坐标为()0,3-②当3PM NP =时，得22111332442m m m m ⎛⎫-++=-++ ⎪⎝⎭． 解得：13m =，22m =-（舍去） 当3m =时，2115344m m --=- ∴点P 的坐标为153,4⎛⎫-⎪⎝⎭． ∴当点N 是线段PM 的三等分点时，点P 的坐标为()0,3-或153,4⎛⎫-⎪⎝⎭（3）解：直线112y x =--与y 轴交于点E ， ∴点E 坐标为()0,1-．分两种情况：①如图，当点Q 在y 轴正半轴上时，记为点1Q ．过点1Q 作1Q H ⊥直线l ，垂足为H ．则190Q HE AOE ∠=∠=︒，1Q EH AEO ∠=∠，1Q HEAOE ∴．1Q H HEAO OE ∴= 即121Q H HE= 12Q H HE ∴=．又145Q DH ∠=︒，190Q HD ∠=︒，1145HQ D Q DH ∴∠=∠=︒ 12DH Q H HE ∴==．HE ED ∴=连接CD ，点C 的坐标为()0,3-，点D 的坐标为()4,3-，CD y ∴⊥轴ED ∴===．HE =1Q H =．110Q E ∴===． 111019OQ Q E OE ∴=-=-=． ∴点1Q 的坐标为()0,9．②如图，当点Q 在y 轴负半轴上时，记为点2Q ．过点2Q 作2Q G ⊥直线l ，垂足为G ， 则290Q GE AOE ∠=∠=︒，2Q EG AEO ∠=∠，2~Q GE AOE ∴．2Q G EGAO OE ∴=． 即221Q G EG= 22Q G EG ∴=．又245Q DG ∠=︒，290Q GD ∠=︒，2245DQ G Q DG ∴∠=∠=︒22DG Q G EG ∴==．3ED EG DG EG ∴=+=．由①可知，ED =3EG ∴=EG ∴=．2Q G ∴=2103EQ ∴===． 221013133OQ OE EQ ∴=+=+= ∴点2Q 的坐标为130,3⎛⎫-⎪⎝⎭∴点Q 的坐标为()0,9或130,3⎛⎫-⎪⎝⎭．【点睛】本题考查的是二次函数与x 轴的交点坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中线段的长度的计算，同时考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，特别是分类讨论的数学思想，掌握以上知识是解题的关键．【典例3】如图，△ABC 中，AB ＝BC ，BD ⊥AC 于点D ，∠FAC ＝12∠ABC ，且∠FAC 在AC 下方，点P ，Q 分别是射线BD ，射线AF 上的动点，且点P 不与点B 重合，点Q 不与点A 重合，连接CQ ，过点P 作PE ⊥CQ 于点E ，连接DE .(1)若∠ABC ＝60°，BP ＝AQ .①如图①，当点P 在线段BD 上运动时，请直接写出线段DE 和线段AQ 的数量关系和位置关系；②如图②，当点P 运动到线段BD 的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；(2)若∠ABC ＝2α≠60°，请直接写出当线段BP 和线段AQ 满足什么数量关系时，能使(1)中①的结论仍然成立(用含α的三角函数表示)．【答案】解：(1)①DE ＝12AQ ，DE ∥AQ ；②成立；【解法提示】如解图①，连接PC 、PQ ，∵BA ＝BC ，∠ABC ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴BC ＝AC ，∵BC ＝AC ，∠FAC ＝∠PBC ＝30°，AQ ＝BP ， ∴△AQC ≌△BPC (SAS)， ∴QC ＝PC ，∠ACQ ＝∠BCP ，∴∠ACQ ＋∠ACP ＝∠BCP ＋∠ACP ＝60°， ∴△PCQ 是等边三角形， 又PE ⊥QC ，∴E 为QC 的中点， ∵AB ＝BC ，BD ⊥AC ， ∴D 为AC 的中点， ∴DE ＝12AQ ，DE ∥AQ ；②成立．理由如下： 如解图②，连接PC 、PQ .∵BA ＝BC ，∠ABC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴BC ＝AC ， ∵BC ＝AC ，∠FAC ＝∠PBC ＝30°，AQ ＝BP ， ∴△AQC ≌△BPC (SAS)， ∴QC ＝PC ，∠ACQ ＝∠BCP ， ∴∠PCQ ＝∠BCA ＝60°， ∴△PCQ 是等边三角形， 又∵PE ⊥QC ，∴E 为QC 的中点， ∵AB ＝BC ，BD ⊥AC ，∴D 为AC 的中点， ∴DE ＝12AQ ，DE ∥AQ ；(2)如解图③，连接PC ，取PC 中点M ，连接MD 、ME ，设PE 与AC 交点为N ， ∵∠PDC ＝90°， ∴MD ＝12PC ，同理ME ＝12PC ，即MP ＝MC ＝MD ＝ME ，∴P 、D 、E 、C 四点共圆， ∴∠NCE ＝∠NPD ，∠EDC ＝∠NPC ， ∵DE ∥AQ ，∴∠QAC ＝∠EDC ， 又∠QAC ＝∠PBC ，∴∠NPC＝∠PBC，∵∠EPD＋∠NPC＝∠PBC＋∠BCP，∴∠EPD＝∠BCP，∴∠NCE＝∠BCP.由∠NCE＝∠BCP，∠QAC＝∠PBC，得△QAC∽△PBC，∴AQBP＝ACBC＝2DCBC＝2sin∠DBC＝2sin∠ABC2，即AQBP＝2sinα.【典例4】如图，等边△ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC 上一动点，△DMN为等边三角形．(1)如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？(2)如图②，当点M在线段BC上时，其他条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；(3)若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断(1)的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，若不成立请说明理由．【答案】解：(1)EN＝MF；【解法提示】如解图①，连接DE、DF，∵D、E、F是等边△ABC三边中点，∴△DEF是等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝60°，∵△DMN为等边三角形，∴DM＝DN，∠MDN＝60°，∴∠MDF＝∠NDE＝60°＋∠NDF，∴△DMF≌△DNE(SAS)，∴EN＝MF.图① 图②(2)成立．证明：如解图②，连接DE 、DF 和EF ， ∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC . 又∵D ，E ，F 是三边的中点， ∴DE ，DF ，EF 为三角形的中位线， ∴DE ＝DF ＝EF ，∠FDE ＝60°.又∵∠MDF ＋∠FDN ＝60°， ∠NDE ＋∠FDN ＝60°， ∴∠MDF ＝∠NDE .在△DMF 和△DNE 中，⎩⎪⎨⎪⎧DF ＝DE ，∠MDF ＝∠NDE ，DM ＝DN ，∴△DMF ≌△DNE (SAS)，∴EN ＝FM ； (3)画出图形如解图③，③MF 与EN 相等的结论仍然成立(或EN ＝MF 成立)．【解法提示】如解图④，连接DE 、EF 、DF .④∵D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 的中点，且△ABC 是等边三角形，∴△DEF 是等边三角形，∴DE ＝DF ，∠EDF ＝60°. ∵△DMN 是等边三角形， ∴DM ＝DN ，∠MDN ＝60°， ∴∠MDF ＋∠MDE ＝∠MDE ＋∠NDE ， ∴∠MDF ＝∠NDE ， ∴△MDF ≌△NDE (SAS)， ∴MF ＝NE .【典例5】已知，在矩形ABCD 中，BC ＝2AB ，点M 为AD 边的中点，连接BD ，点P 是对角线BD 上的动点，连接AP ，以点P 为顶点作∠EPF ＝90°，PE 交AB 边于点E ，PF 交AD 边于点F .(1)发现问题如图①，当点P 运动过程中∠PBA 与∠PAB 互余时，线段BE 、MF 与AB 的数量关系为__________；(2)解决问题如图②，当点P 运动过程中∠PBA 与∠PAB 相等时，请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展延伸在(2)的条件下，连接EF 并延长EF ，交直线BD 于点G ，若BE ∶AF ＝2∶3，EF ＝85，求DG 的长．【答案】解：(1)BE －12MF ＝12AB ；【解法提示】如解图①，取AB 的中点N ，连接PN 、PM .∵∠PBA 与∠PAB 互余，∴∠PBA ＋∠PAB ＝90°， ∴∠APB ＝90°， ∴∠APD ＝90°，∵N 是AB 的中点，M 是AD 的中点， ∴PN ＝BN ＝AN ＝12AB ，AM ＝DM ＝PM ＝12AD ，∴∠NAP ＝∠NPA ，∠MAP ＝∠MPA . ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°，AB ＝CD ，AD ＝BC . ∵BC ＝2AB ， ∴AD ＝2AB ，∴AB AD ＝12， 而∠NAP ＋∠MAP ＝∠BAD ＝90°， ∴∠NPA ＋∠MPA ＝90°，即∠NPM ＝90°. ∵∠EPF ＝90°， ∴∠NPM ＝∠EPF ，∴∠NPM －∠EPM ＝∠EPF －∠EPM ， ∴∠NPE ＝∠MPF .∵∠ABP ＋∠BAP ＝90°，∠BAP ＋∠DAP ＝90°， ∴∠ABP ＝∠DAP . ∵PN ＝BN ，AM ＝PM ，∴∠ABP ＝∠BPN ，∠DAP ＝∠MPA ， ∴∠ENP ＝∠FMP ， ∴△PNE ∽△PMF ， ∴NE MF ＝PN PM ＝12AB12AD ＝12.∴NE ＝12MF ，∵BE －NE ＝BN ，∴BE －12MF ＝BN ，又∵BN ＝12AB ，∴BE －12MF ＝12AB .(2)不成立；理由如下：如解图②，取AB 的中点N ，连接PN 、PM ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝∠ABC ＝90°，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AD ∥BC ， ∴∠ADB ＝∠CBD ， ∵∠PBA ＝∠PAB ， ∴PA ＝PB ， ∵N 是AB 的中点， ∴PN ⊥AB ， ∴∠ANP ＝90°，∵∠PAB ＋∠PAD ＝90°，∠PBA ＋∠PBC ＝90°， ∴∠PAD ＝∠PBC ， ∴∠PAD ＝∠PDA ， ∴PA ＝PD . ∵M 是AD 的中点， ∴PM ⊥AD ， ∴∠PMA ＝90°， ∴四边形PMAN 是矩形，∴∠NPM ＝90°，AN ＝PM ，PN ＝AM . ∵∠EPF ＝90°， ∴∠NPM ＝∠EPF ，∴∠NPM －∠EPM ＝∠EPF －∠EPM ，∴∠NPE ＝∠MPF . ∵∠PNE ＝∠PMF ＝90°， ∴△PNE ∽△PMF ， ∴NE MF ＝PN PM ＝12AD12AB . ∵AD ＝2AB ， ∴NE ＝2MF . ∵BE －NE ＝BN ， ∴BE －2MF ＝BN ， ∵N 是AB 的中点， ∴BN ＝12AB ，∴BE －2MF ＝12AB ，故(1)中结论不成立；(3) 如解图③，延长CD 交FG 于点H ，设BE ＝2a ，则AF ＝3a .∵BE －2MF ＝12AB ，∴BE －2(AF －AM )＝12AB .∵AM ＝AB ，∴2a －2(3a －AB )＝12AB ，∴AB ＝83a ，∴AD ＝163a ，AE ＝23a ，FD ＝73a .∵AE 2＋AF 2＝EF 2， ∴(23a )2＋(3a )2＝(85)2， 解得a 1＝3，a 2＝－3(舍去)．∴AE ＝2，BE ＝6，AF ＝9，DF ＝7，BD ＝85.∵HD ∥AB ， ∴△AEF ∽△DHF ， ∴DH AE ＝DF AF，∴DH 2＝79， ∴DH ＝149.∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，即HD ∥BE . ∴△GDH ∽△GBE ， ∴DG BG ＝DH BE， ∴DGDG ＋85＝1496， ∴DG ＝1455.【典例6】已知在△ABC 中，AB 边上的动点D 由A 向B 运动(与A ，B 不重合)，点E 与点D 同时出发，由点C 沿BC 的延长线方向运动(E 不与C 重合)，连接DE 交AC 于F ，点H 是线段AF 上一点．(1)初步尝试如图①，若△ABC 是等边三角形，DH ⊥AC ，且点D ，E 的运动速度相等，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，则GH 与AH 的数量关系是________，GF 与FC 的数量关系是________，ACHF的值是________；(2)类比探究如图②，若在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ADH ＝∠A ＝30°，且点D ，E 的运动速度之比是3∶1，求AC HF的值；(3)延伸拓展如图③，若在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ADH ＝∠A ＝36°，记BC AB＝m ，且点D ，E 的运动速度相等，试用含m 的代数式表示AC HF.(直接写出结果，不必写出解答过程)【答案】解：(1)GH ＝AH ，GF ＝FC ，2； 【解法提示】∵DG ∥BC ， ∴∠ADG ＝∠B ，∠AGD ＝∠ACB ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝∠ACB ＝60°， ∴∠ADG ＝∠AGD ＝∠A ，∴△ADG 是等边三角形，∴GD ＝AD ＝CE ， ∵DH ⊥AC ，∴GH ＝AH ， ∵DG ∥BC ，∴∠GDF ＝∠CEF ，∠DGF ＝∠ECF ， 在△GDF 和△CEF 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠GDF ＝∠CEF GD ＝CE ∠DGF ＝∠ECF ， ∴△GDF ≌△CEF (ASA)， ∴GF ＝CF ，∴GH ＋GF ＝AH ＋CF ，即HF ＝12AC ，∴AC HF＝2.(2)如解图①，过点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ，则∠ADG ＝∠B ＝90°，∵∠A ＝∠ADH ＝30°，∴∠HGD ＝∠HDG ＝60°， ∴△DHG 是等边三角形， ∴AH ＝GH ＝GD ，AD ＝3GD ， 根据题意得AD ＝3CE ，∴GD ＝CE ，∵DG ∥BC ，∴∠GDF ＝∠CEF ，∠DGF ＝∠ECF ， 在△GDF 和△CEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠GDF ＝∠CEF GD ＝CE ∠DGF ＝∠ECF，∴△GDF ≌△CEF (ASA)， ∴GF ＝CF ，∴GH ＋GF ＝AH ＋CF ， 即HF ＝12AC ，∴ACHF ＝2；(3)AC HF ＝m ＋1m.【解法提示】如解图②，过点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ，则∠ADG ＝∠B ，∠AGD ＝∠ACB ，AD ＝EC ， ∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ACB ＝∠B ＝∠ADG ＝∠AGD ＝72°， ∵∠ADH ＝∠A ＝36°，∴AH ＝DH ，∠DHG ＝72°＝∠AGD ， ∴DG ＝DH ＝AH ，∴△ADG ∽△ABC ，△ADG ∽△DGH ， ∴△DGH ∽△ABC ，∴GH DG ＝BC AB ＝DG AD ＝m ，∴GHAH＝m ，∵DG ∥BC ，∴△DFG ∽△EFC ，∴GF FC ＝DGCE，又∵CE ＝AD ，∴DG CE ＝DG AD ＝m ，∴GF FC ＝DGCE＝m ，∴GH ＋GF AH ＋FC ＝HF AH ＋FC ＝m ，∴AH ＋FC HF ＝1m ， ∴AC HF ＝AH ＋FC ＋HF HF ＝1m ＋1＝m ＋1m.【典例7】已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒．（1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．【解析】：（1）过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ．则2AD =， 当MN 运动到被CD 垂直平分时，四边形MNQP 是矩形，即32AM =时， 四边形MNQP 是矩形，32t ∴=秒时，四边形MNQP 是矩形． 3tan 6032PM AM =°=，332MNQP S ∴=四边形（2）1°当01t <<时，1()2MNQP S PM QN MN =+四边形·332t =+2°当12t ≤≤时，1()2MNQPS PM QN MN =+四边形·332= 3°当23t <<时，1()2MNQP S PM QN MN =+四边形·7332t =-+ 点评：此题关键也是对P 、Q 两点的不同位置进行分类。

二轮复习真题演练动点型问题一、选择题1．(2021•新疆)如图,Rt△ABC中,∠ACB =90° ,∠ABC =60° ,BC =2cm ,D为BC的中点,假设动点E以1cm/s的速度从A点出发,沿着A→B→A的方向运动,设E点的运动时间为t秒(0≤t＜6 ) ,连接DE ,当△BDE是直角三角形时,t的值为()1．D2．(2021•安徽)图1所示矩形ABCD中,BC =x ,CD =y ,y与x满足的反比例函数关系如图2所示,等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点,M为EF的中点,那么以下结论正确的选项是()A．当x =3时,EC＜EMB．当y =9时,EC＞EMC．当x增大时,EC•CF的值增大D．当y增大时,BE•DF的值不变2．D3．(2021•盘锦)如图,将边长为4的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是2和4的Rt△GEF的一边GF重合．正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动,当点A和点E重合时正方形停止运动．设正方形的运动时间为t秒,正方形ABCD与Rt△GEF重叠局部面积为s ,那么s关于t的函数图象为()A．B．C．D．3．B4．(2021•龙岩)如图,在平面直角坐标系xOy中,A (0 ,2 ) ,B (0 ,6 ) ,动点C在直线y =x 上．假设以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形,那么点C的个数是() A．2 B．3 C．4 D．54．B5．(2021•武汉)如图,E ,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE =DF．连接CF 交BD于点G ,连接BE交AG于点H．假设正方形的边长为2 ,那么线段DH长度的最|小值是．5516．(2021•连云港)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A、B的坐标分别为(8 ,0 )、(0 ,6 )．动点Q从点O、动点P从点A同时出发,分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动,运动时间为t (秒) (0＜t≤5 )．以P为圆心,PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D ,连接CD、QC．(1 )求当t为何值时,点Q与点D重合?(2 )设△QCD的面积为S ,试求S与t之间的函数关系式,并求S的最|大值；(3 )假设⊙P与线段QC只有一个交点,请直接写出t的取值范围．6．解： (1 )∵A (8 ,0 ) ,B (0 ,6 ) , ∴OA =8 ,OB =6 ,∴222286OA OB ++=10 , ∴cos ∠BAO =45OA AB = ,sin ∠BAO =35OB AB =． ∵AC 为⊙P 的直径 ,∴△ACD 为直角三角形． ∴AD =AC•cos ∠BAO =2t×45 =85t ． 当点Q 与点D 重合时 ,OQ +AD =OA ,即：t +85t =8 , 解得：t =4013．∴t =4013(秒 )时 ,点Q 与点D 重合．(2 )在Rt △ACD 中 ,CD =AC•sin ∠BAO =2t×3655=t ． ①当0＜t≤4013时 , DQ =OA -OQ -AD =8 -t -85t =8 -135t ． ∴S =12DQ•CD =12 (8 -135t )•65t = -3925t 2 +245t∵ -2b a =2013 ,0＜2013＜4013 , ∴当t =2013时 ,S 有最|大值为4813；②当4013＜t≤5时 ,DQ =OQ +AD -OA =t +85t -8 =135t -8．∴S =12DQ•CD =12 (135t -8 )•65t =3925t 2 -245t ．∵ -2b a =2013 ,2013＜4013,所以S 随t 的增大而增大 , ∴当t =5时 ,S 有最|大值为15＞4813．综上所述 ,S 的最|大值为15．(3 )当CQ 与⊙P 相切时 ,有CQ ⊥AB , ∵∠BAO =∠QAC ,∠AOB =∠ACQ =90° , ∴△ACQ ∽△AOB ,∴AC AC OA AB = ,28810t t-= , 解得t =167．所以 ,⊙P 与线段QC 只有一个交点 ,t 的取值范围为0＜t≤167或4013＜t≤5．7． (2021•宜昌 )半径为2cm 的与⊙O 边长为2cm 的正方形ABCD 在水平直线l 的同侧 ,⊙O 与l 相切于点F ,DC 在l 上．(1 )过点B 作的一条切线BE ,E 为切点．①填空：如图1 ,当点A 在⊙O 上时 ,∠EBA 的度数是 ； ②如图2 ,当E ,A ,D 三点在同一直线上时 ,求线段OA 的长；(2 )以正方形ABCD 的边AD 与OF 重合的位置为初始位置 ,向左移动正方形 (图3 ) ,至|边BC 与OF 重合时结束移动 ,M ,N 分别是边BC ,AD 与⊙O 的公共点 ,求扇形MON 的面积的范围．7．解： (1 )①∵半径为2cm 的与⊙O 边长为2cm 的正方形ABCD 在水平直线l 的同侧 ,当点A 在⊙O 上时 ,过点B 作的一条切线BE ,E 为切点 , ∴OB =4 ,EO =2 ,∠OEB =90° , ∴∠EBA 的度数是：30°；②如图2 ,∵直线l 与⊙O 相切于点F , ∴∠OFD =90° ,∵正方形ADCB 中 ,∠ADC =90° , ∴OF ∥AD , ∵OF =AD =2 ,∴四边形OFDA 为平行四边形 , ∵∠OFD =90° ,∴平行四边形OFDA 为矩形 , ∴DA ⊥AO ,∵正方形ABCD 中 ,DA ⊥AB , ∴O ,A ,B 三点在同一条直线上； ∴EA ⊥OB ,∵∠OEB =∠AOE , ∴△EOA ∽△BOE , ∴OA OEOE OB= , ∴OE 2 =OA•OB , ∴OA (2 +OA ) =4 ,解得：,∵OA ＞0 ,∴-1； 方法二：在Rt △OAE 中 ,cos ∠EOA =2OA OAOE = , 在Rt △EOB 中 ,cos ∠EOB =22OE OB OA =+ , ∴222OA OA =+ ,解得：,∵OA ＞0 ,∴-1； 方法三：∵OE ⊥EB ,EA ⊥OB ,∴由射影定理 ,得OE 2 =OA•OB , ∴OA (2 +OA ) =4 ,解得：, ∵OA ＞0 ,∴-1；(2 )如图3 ,设∠MON =n° ,S 扇形MON =360n π×22 =90πn (cm 2 ) , S 随n 的增大而增大 ,∠MON 取最|大值时 ,S 扇形MON 最|大 ,当∠MON 取最|小值时 ,S 扇形MON 最|小 , 如图 ,过O 点作OK ⊥MN 于K ,∴∠MON =2∠NOK ,MN =2NK , 在Rt △ONK 中 ,sin ∠NOK =2NK NKON , ∴∠NOK 随NK 的增大而增大 ,∴∠MON 随MN 的增大而增大 ,∴当MN 最|大时∠MON 最|大 ,当MN 最|小时∠MON 最|小 , ①当N ,M ,A 分别与D ,B ,O 重合时 ,MN 最|大 ,MN =BD , ∠MON =∠BOD =90° ,S 扇形MON 最|大 =π (cm 2 ) , ②当MN =DC =2时 ,MN 最|小 , ∴ON =MN =OM , S 扇形MON 最|小 =23π (cm 2 ) , ∴23π≤S 扇形MON ≤π． 故答案为：30°．8． (2021•重庆 )：如图① ,在平行四边形ABCD 中 ,AB =12 ,BC =6 ,AD ⊥BD ．以AD 为斜边在平行四边形ABCD 的内部作Rt △AED ,∠EAD =30° ,∠AED =90°． (1 )求△AED 的周长；(2 )假设△AED 以每秒2个单位长度的速度沿DC 向右平行移动 ,得到△A 0E 0D 0 ,当A 0D 0与BC 重合时停止移动 ,设运动时间为t 秒 ,△A 0E 0D 0与△BDC 重叠的面积为S ,请直接写出S 与t 之间的函数关系式 ,并写出t 的取值范围；(3 )如图② ,在 (2 )中 ,当△AED 停止移动后得到△BEC ,将△BEC 绕点C 按顺时针方向旋转α (0°＜α＜180° ) ,在旋转过程中 ,B 的对应点为B 1 ,E 的对应点为E 1 ,设直线B 1E 1与直线BE 交于点P 、与直线CB 交于点Q ．是否存在这样的α ,使△BPQ 为等腰三角形 ?假设存在 ,求出α的度数；假设不存在 ,请说明理由．8．解： (1 )∵四边形ABCD 是平行四边形 , ∴AD =BC =6．在Rt △ADE 中 ,AD =6 ,∠EAD =30° , ∴3,DE =AD•sin30° =3 , ∴△AED 的周长为：3+3 =9 +33(2 )在△AED向右平移的过程中：(I )当0≤t≤1.5时,如答图1所示,此时重叠局部为△D0NK．∵DD0 =2t ,∴ND0 =DD0•sin30° =t ,NK =ND0•tan30° =3t ,∴S =S△D0NK =12ND0•NK =12t•3t =32t2；(II )当1.5＜t≤4.5时,如答图2所示,此时重叠局部为四边形D0E0KN．∵AA0 =2t ,∴A0B =AB -AA0 =12 -2t ,∴A0N =12A0B =6 -t ,NK =A0N•tan30° =33(6 -t )．∴S =S四边形D0E0KN =S△ADE -S△A0NK =12×3×33-12× (6 -t )×33(6 -t ) = -36t2 +23t-332；(III )当4.5＜t≤6时,如答图3所示,此时重叠局部为五边形D0IJKN．∵AA0 =2t ,∴A0B =AB -AA0 =12 -2t =D0C ,∴A0N =12A0B =6 -t ,D0N =6 - (6 -t ) =t ,BN =A03(6 -t )；易知CI =BJ =A0B =D0C =12 -2t ,∴BI =BC -CI =2t -6 ,S =S梯形BND0I -S△BKJ =12[t + (2t -6 )]• 3(6 -t ) -12• (12 -2t )•33(12 -2t ) =-1336t2+203t -423．综上所述,S与t之间的函数关系式为：S =2223(0 1.5)2333-23-(1.5 4.5)62133-203-423(4.56)6t tS t t tt t t⎧≤≤⎪⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪⎪+<≤⎪⎪⎩．(3 )存在α ,使△BPQ为等腰三角形．理由如下：经探究,得△BPQ∽△B1QC ,故当△BPQ为等腰三角形时,△B1QC也为等腰三角形．(I )当QB =QP时(如答图4 ) ,那么QB1 =QC ,∴∠B1CQ =∠B1 =30° ,即∠BCB1 =30° ,∴α =30°；(II )当BQ =BP时,那么B1Q =B1C ,假设点Q在线段B1E1的延长线上时(如答图5 ) ,∵∠B1 =30° ,∴∠B1CQ =∠B1QC =75° ,即∠BCB1 =75° ,∴α =75°．9．(2021•遵义)如图,在Rt△ABC中,∠C =90° ,AC =4cm ,BC =3cm．动点M ,N从点C 同时出发,均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A ,B移动,同时动点P从点B出发,以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动,连接PM ,PN ,设移动时间为t (单位：秒,0＜t＜2.5 )．(1 )当t 为何值时 ,以A ,P ,M 为顶点的三角形与△ABC 相似 ?(2 )是否存在某一时刻t ,使四边形APNC 的面积S 有最|小值 ?假设存在 ,求S 的最|小值；假设不存在 ,请说明理由．9．解：如图 ,∵在Rt △ABC 中 ,∠C =90° ,AC =4cm ,BC =3cm ． ∴根据勾股定理 ,22AC BC +=5cm ．（1） 以A ,P ,M 为顶点的三角形与△ABC 相似 ,分两种情况： （2） ①当△AMP ∽△ABC 时 ,AP AM AC AB = ,即52445t t--= , 解得t =32； ②当△APM ∽△ABC 时 ,AM AP AC AB = ,即45245t t--= , 解得t =0 (不合题意 ,舍去 )； 综上所述 ,当t =32时 ,以A 、P 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似；(2 )存在某一时刻t ,使四边形APNC 的面积S 有最|小值．理由如下： 假设存在某一时刻t ,使四边形APNC 的面积S 有最|小值． 如图 ,过点P 作PH ⊥BC 于点H ．那么PH ∥AC ,∴PH BP AC BA = ,即245PH t= , ∴PH =85t ,∴S =S △ABC -S △BPH , =12×3×4 -12× (3 -t )•85t ,=45(t -32)2 +215(0＜t＜2.5 )．∵45＞0 ,∴S有最|小值．当t =32时,S最|小值=215．答：当t =32时,四边形APNC的面积S有最|小值,其最|小值是215．10．(2021•苏州)如图,点O为矩形ABCD的对称中|心,AB =10cm ,BC =12cm ,点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向匀速运动,点E的运动速度为1cm/s ,点F的运动速度为3cm/s ,点G的运动速度为/s ,当点F到达点C (即点F与点C重合)时,三个点随之停止运动．在运动过程中,△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t (单位：s )．(1 )当t = s时,四边形EBFB′为正方形；(2 )假设以点E、B、F为顶点的三角形与以点F ,C ,G为顶点的三角形相似,求t的值；(3 )是否存在实数t ,使得点B′与点O重合?假设存在,求出t的值；假设不存在,请说明理由．10．解：(1 )假设四边形EBFB′为正方形,那么BE =BF ,即：10 -t =3t ,解得t =2.5；(2 )分两种情况,讨论如下：①假设△EBF∽△FCG ,那么有EB BFFC CG=,即103123 1.5t tt t-=-,解得：t =2.8；②假设△EBF∽△GCF ,那么有EB BFCG FC=,即1031.5123t tt t-=-,解得：69(不合题意,舍去)或69∴当t =2.8s或t = ( -14 +269)s时,以点E、B、F为顶点的三角形与以点F ,C ,G为顶点的三角形相似．(3 )假设存在实数t ,使得点B′与点O重合．如图,过点O作OM⊥BC于点M ,那么在Rt△OFM中,OF =BF =3t ,FM =12BC -BF =6-3t ,OM =5 ,由勾股定理得：OM2 +FM2 =OF2 , 即：52 + (6 -3t )2 = (3t )2解得：t =61 36；过点O作ON⊥AB于点N ,那么在Rt△OEN中,OE =BE =10 -t ,EN =BE -BN =10 -t -5 =5 -t ,ON =6 ,由勾股定理得：ON2 +EN2 =OE2 ,即：62 + (5 -t )2 = (10 -t )2解得：t =3.9．∵6136≠3.9 ,∴不存在实数t ,使得点B′与点O重合．11．(2021•吉林)如图,在Rt△ABC中,∠ACB =90° ,AC =6cm ,BC =8cm．点D、E、F 分别是边AB、BC、AC的中点,连接DE、DF ,动点P ,Q分别从点A、B同时出发,运动速度均为1cm/s ,点P沿A F D的方向运动到点D停止；点Q沿BC的方向运动,当点P 停止运动时,点Q也停止运动．在运动过程中,过点Q作BC的垂线交AB于点M ,以点P ,M ,Q为顶点作平行四边形PMQN．设平行四边形边形PMQN与矩形FDEC重叠局部的面积为y (cm2 ) (这里规定线段是面积为0有几何图形) ,点P运动的时间为x (s )(1 )当点P运动到点F时,CQ = cm；(2 )在点P从点F运动到点D的过程中,某一时刻,点P落在MQ上,求此时BQ的长度；(3 )当点P在线段FD上运动时,求y与x之间的函数关系式．11．解：(1 )当点P运动到点F时,∵F 为AC 的中点 ,AC =6cm ,∴AF =FC =3cm ,∵P 和Q 的运动速度都是1cm/s ,∴BQ =AF =3cm ,∴CQ =8cm-3cm =5cm ,故答案为：5．(2 )设在点P 从点F 运动到点D 的过程中 ,点P 落在MQ 上 ,如图1 ,那么t +t -3 =8 , t =112 , BQ 的长度为112×1 =112 (cm )；(3 )∵D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点 ,∴DE =12AC =12×6 =3 , DF =12BC =12×8 =4 , ∵MQ ⊥BC,C =90° ,∵∠QBM =∠CBA ,∴△MBQ ∽△ABC ,∴BQ MQ BC AC= , ∴86x MQ = , MQ =34x , 分为三种情况：①当3≤x ＜4时 ,重叠局部图形为平行四边形 ,如图2 ,y =PN•PD=34x (7 -x )即y = -34x2 +214x；②当4≤x＜112时,重叠局部为矩形,如图3 , y =3[ (8 -X ) - (X -3 ) )]即y = -6x +33；③当112≤x≤7时,重叠局部图形为矩形,如图4 ,y =3[ (x -3 ) - (8 -x )]即y =6x -33．12．(2021•宁波)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(0 ,4 ) ,点B 的坐标为(4 ,0 ) ,点C的坐标为( -4 ,0 ) ,点P在射线AB上运动,连结CP与y轴交于点D ,连结BD．过P ,D ,B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E ,延长DQ交⊙Q于点F ,连结EF ,BF．(1 )求直线AB的函数解析式；(2 )当点P在线段AB (不包括A ,B两点)上时．①求证：∠BDE =∠ADP；②设DE =x ,DF =y．请求出y关于x的函数解析式；(3 )请你探究：点P在运动过程中,是否存在以B ,D ,F为顶点的直角三角形,满足两条直角边之比为2：1 ?如果存在,求出此时点P的坐标：如果不存在,请说明理由．12．解：(1 )设直线AB的函数解析式为y =kx +4 ,代入(4 ,0 )得：4k +4 =0 ,解得：k = -1 ,那么直线AB的函数解析式为y = -x +4；(2 )①由得：OB =OC ,∠BOD =∠COD =90° ,又∵OD =OD ,∴△BDO≌△COD ,∴∠BDO =∠CDO ,∵∠CDO =∠ADP ,∴∠BDE =∠ADP ,②如图 ,连结PE ,∵∠ADP是△DPE的一个外角,∴∠ADP =∠DEP +∠DPE ,∵∠BDE是△ABD的一个外角,∴∠BDE =∠ABD +∠OAB ,∵∠ADP =∠BDE ,∠DEP =∠ABD ,∴∠DPE =∠OAB ,∵OA =OB =4 ,∠AOB =90° ,∴∠OAB =45° ,∴∠DPE =45° ,∴∠DFE =∠DPE =45°∴∠DEF =90° ,∴△DEF是等腰直角三角形,∴2即2；(3 )当BD：BF =2：1时,如图,过点F作FH⊥OB于点H ,∵∠DBO +∠OBF =90° ,∠OBF +∠BFH =90° , ∴∠DBO =∠BFH , F =90° ,∴△BOD∽△FHB ,∴OB OD BDHF HB FB===2 ,∴FH =2 ,OD =2BH ,∵∠FHO =∠EOH =∠OEF =90° , ∴四边形OEFH是矩形,∴OE =FH =2 ,∴EF =OH =4 -12OD ,∵DE =EF ,∴2 +OD =4 -12OD ,解得：OD =43,∴点D的坐标为(0 ,43) ,∴直线CD的解析式为y =13x +43,由14334y xy x⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩,得：22xy=⎧⎨=⎩,那么点P的坐标为(2 ,2 )；当12BDBF=时,连结EB ,同(2 )①可得：∠ADB =∠EDP ,而∠ADB =∠DEB +∠DBE ,∠EDP =∠DAP +∠DPA , ∵∠DEP =∠DPA ,∴∠DBE =∠DAP =45° ,∴△DEF是等腰直角三角形,如图,过点F作FG⊥OB于点G ,同理可得：△BOD∽△FGB ,∴12 OB OD BDGF GB FB===,∴FG =8 ,OD =12BG ,∵∠FGO =∠GOE =∠OEF =90° , ∴四边形OEFG是矩形,∴OE =FG =8 ,∴EF =OG =4 +2OD ,∵DE =EF ,∴8 -OD =4 +2OD ,OD =43,∴点D的坐标为(0 , -43) ,直线CD的解析式为：1433y x=--,由14334y xy x⎧=--⎪⎨⎪=-+⎩,得：84xy=⎧⎨=-⎩,∴点P的坐标为(8 , -4 ) ,综上所述,点P的坐标为(2 ,2 )或(8 , -4 )．13．(2021•遵义)如图,抛物线y =ax2+bx +c (a≠0 )的顶点坐标为(4 , -23) ,且与y轴交于点C (0 ,2 ) ,与x轴交于A ,B两点(点A在点B的左边)．(1 )求抛物线的解析式及A ,B两点的坐标；(2 )在(1 )中抛物线的对称轴l上是否存在一点P ,使AP +CP的值最|小?假设存在,求AP +CP的最|小值,假设不存在,请说明理由；(3 )在以AB为直径的⊙M相切于点E ,CE交x轴于点D ,求直线CE的解析式．13．解：(1 )如图,由题意,设抛物线的解析式为y =a (x -4 )2 -23(a≠0 )∵抛物线经过(0 ,2 )∴a (0 -4 )2 -23=2解得：a =16,∴y =16(x -4 )2 -23,即：y =16x2 -43x +2当y =0时,16x2 -43x +2 =0解得：x =2或x =6∴A (2 ,0 ) ,B (6 ,0 )；(2 )存在,如图2 ,由(1 )知：抛物线的对称轴l为x =4 ,因为A 、B 两点关于l 对称 ,连接CB 交l 于点P ,那么AP =BP ,所以AP +CP =BC 的值最|小∵B (6 ,0 ) ,C (0 ,2 )∴OB =6 ,OC =2∴BC =210 ,∴AP +CP =BC =210 ,∴AP +CP 的最|小值为210；(3 )如图3 ,连接ME ,∵CE 是⊙M 的切线∴ME ⊥CE ,∠CEM =90°由题意 ,得OC =ME =2 ,∠ODC =∠MDE∵在△COD 与△MED 中COA DEM ODC MD EOC ME ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△COD ≌△MED (AAS ) ,∴OD =DE ,DC =DM设OD =x 那么CD =DM =OM -OD =4 -x那么RT △COD 中 ,OD 2 +OC 2 =CD 2 ,∴x2 +22 = (4 -x )2∴x =32,∴D (32,0 )设直线CE的解析式为y =kx +b∵直线CE过C (0 ,2 ) ,D (32,0 )两点,那么30 22k bb⎧+=⎪⎨⎪=⎩,解得：432kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩.∴直线CE的解析式为y = -43x +2 .。

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初中数学动点问题及练习题附参考答案所谓“动点型问题"是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静。

数学思想:分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查。

从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动"等研究手段和方法,来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；(3）数形结合思想；(4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样,才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律，是初中数学的重要内容。