指数分布的矩估计和极大似然估计

数理统计7：矩法估计（MM）、极⼤似然估计（MLE），定时截尾实验在上⼀篇⽂章的最后，我们指出，参数估计是不可能穷尽讨论的，要想对各种各样的参数作出估计，就需要⼀定的参数估计⽅法。

今天我们将讨论常⽤的点估计⽅法：矩估计、极⼤似然估计，它们各有优劣，但都很重要。

由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：矩法估计矩法估计的重点就在于“矩”字，我们知道矩是概率分布的⼀种数字特征，可以分为原点矩和中⼼矩两种。

对于随机变量X⽽⾔，其k阶原点矩和k阶中⼼矩为a_k=\mathbb{E}(X^k),\quad m_k=\mathbb{E}[X-\mathbb{E}(X)]^k,特别地，⼀阶原点矩就是随机变量的期望，⼆阶中⼼矩就是随机变量的⽅差，由于\mathbb{E}(X-\mathbb{E}(X))=0，所以我们不定义⼀阶中⼼矩。

实际⽣活中，我们不可能了解X的全貌，也就不可能通过积分来求X的矩，因⽽需要通过样本(X_1,\cdots,X_n)来估计总体矩。

⼀般地，由n个样本计算出的样本k阶原点矩和样本k阶中⼼矩分别是a_{n,k}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}X_j^k,\quad m_{n,k}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(X_j-\bar X)^k.显然，它们都是统计量，因为给出样本之后它们都是可计算的。

形式上，样本矩是对总体矩中元素的直接替换后求平均，因此总是⽐较容易计算的。

容易验证，a_{n,k}是a_k的⽆偏估计，但m_{n,k}则不是。

特别地，a_{n,1}=\bar X，m_{n,2}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(X_j-\bar X)^2=\frac{n-1}{n}S^2\xlongequal{def}S_n^2,⼀阶样本原点矩就是样本均值，⼆阶样本中⼼矩却不是样本⽅差，⽽需要经过⼀定的调整，这点务必注意。

关于矩估计与极大似然估计的典型例题例1，设总体X 具有分布律⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−22)1()1(2321~θθθθX 其中10<<θ为未知参数。

已经取得了样本值1,2,1321===x x x ，试求参数θ的矩估计与极大似然估计。

解：（i ）求矩估计量，列矩方程（只有一个未知参数）XX E =−=−×+−×+=θθθθθ23)1(3)1(22)(22得6523432x 32X 3=−=−=−=矩θ（ii ii）求极大似然估计，写出似然函数，即样本出现的概率）求极大似然估计，写出似然函数，即样本出现的概率),,()(332211x X x X x X P L ====θ)1,2,1(321====X X X P )1()2()1(321=×=×==X P X P X P )1(2)1(2522θθθθθθ−=×−×=对数似然)1ln(ln 52ln )(ln θθθ−++=L 0115)(ln =−−=θθθθd L d 得极大似然估计为65ˆ=极θ例2，某种电子元件的寿命某种电子元件的寿命（（以h 记）X 服从双参数指数分布服从双参数指数分布，，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥−−=其他,0],/)(exp[1)(µθµθx x x f 其中0>µθ，均为未知参数，自一批这种零件中随机抽取n 件进行寿命试验，设它们的失效时间分别为.,,2,1n x x x L （1）求µθ，的最大似然估计量；（2）求µθ，的矩估计量。

解：（1）似然函数，记样本的联合概率密度为∏===ni i n x f x x x f L 12,1)();,,()(µθµθ，，L ⎪⎩⎪⎨⎧≥−−=∏=其他,0,,,]/)(exp[12,11µθµθn n i i x x x x L ⎪⎩⎪⎨⎧>≤−−=∑=)1()1(1,0),/)(exp(1xx n x ni i n µµθµθ在求极大似然估计时在求极大似然估计时，，0)(=µθ，L 肯定不是最大值的似然函数值，不考虑这部分，只考虑另一部分。

一、概述矩估计和极大似然估计是统计学中常用的两种参数估计方法，它们在众多领域中都有着重要的应用。

本文将对均匀分布的矩估计和极大似然估计进行深入探讨，分析它们的特点和适用范围，并对两种方法的优缺点进行比较和总结。

二、均匀分布的矩估计1. 均匀分布的概念和特点均匀分布是概率论中常见的一种离散型随机变量分布，它具有概率密度函数f(x) = 1/(b-a)，其中a和b分别为分布的起始值和终止值。

均匀分布的特点是在[a, b]区间内各个数值出现的概率相等。

2. 均匀分布的矩估计方法均匀分布的参数估计通常采用矩估计方法。

矩估计是利用样本矩来估计总体矩，其基本思想是将样本矩与总体矩相等，通过方程求解得到参数的估计值。

对于均匀分布而言，可以通过样本均值和样本方差来进行参数估计，具体的计算过程可以通过数学推导来进行详细阐述。

三、均匀分布的极大似然估计1. 极大似然估计的基本原理极大似然估计是统计学中另一种常用的参数估计方法，其基本思想是在给定样本条件下，寻找最大化似然函数的参数值作为估计值。

对于均匀分布而言，可以通过求解似然函数的一阶导数为0的方程来得到参数的极大似然估计值，具体的推导过程也需要进行详细的分析和阐述。

2. 极大似然估计与矩估计的比较极大似然估计与矩估计在参数估计的方法和理论基础上存在着一定的差异，它们在不同情况下各有优劣。

通过比较两种方法在均匀分布参数估计中的应用，可以得出它们在精确度、稳定性和有效性等方面的优缺点，为使用者提供更多的参考依据。

四、实例分析通过实际的数据样本和模拟实验，可以对均匀分布的矩估计和极大似然估计进行对比分析。

选择适当的参数和样本规模，比较两种方法得到的参数估计值与真实值之间的偏差情况，从而验证两种方法的可靠性和有效性。

五、结论通过对均匀分布的矩估计和极大似然估计的深入研究和分析，可以得出它们在不同情况下各有优劣，适用范围也有所不同。

在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的参数估计方法，以保证估计结果的准确性和可靠性。

极大似然估计和矩估计
极大似然估计和矩估计是统计学中常用的参数估计方法。

极大似然估计是指在给定一组观测数据的情况下，寻找最能解释这些数据的模型参数值的方法。

具体而言，我们需要在模型的参数空间中找到一个使得观测数据的似然函数最大的参数值。

似然函数是参数的函数，描述了给定参数下观测数据出现的概率。

极大似然估计的优点是它是渐进无偏的、有效的和一致的，但缺点是它需要知道分布函数的形式，并且在计算中可能会受到样本量的限制。

矩估计是指通过样本矩来估计未知参数的方法。

这些样本矩可以看作是从总体矩中抽取的矩的估计，因此矩估计也称为矩法。

矩估计的优点是它不需要知道分布函数的形式，可以使用有限的样本数据进行估计，并且可以用于多维参数的估计。

但矩估计的缺点是它可能会受到样本量的限制，且估计结果通常比极大似然估计的结果更不精确。

总的来说，极大似然估计和矩估计都是重要的参数估计方法，具有各自的优缺点和适用范围。

在实际应用中，我们可以根据数据的特点和需要进行选择。

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矩估计和极大似然估计
统计学研究中估计参数是最基本的技术。

它是推断未知参数值的重要方法，它可以应用于任何分布，而无论它是均衡的还是不均衡的。

本文将介绍两种最常用的而且最有效的估计方法，即矩估计和极大似然估计。

矩估计是一种无偏估计。

它用平均方差作为估计的标准，以期获得无偏估计量。

它的思想是找到一组参数，使得它与观测数据的总平方和达到最小。

最小二乘法把参数的估计量分解为一系列不受体系误差影响的估计量，以便更加准确地估计。

极大似然估计也是无偏估计，但它是通过最大似然函数来求参数估计量的。

这个函数的思想是，根据观测数据，计算出参数的估计量，使得似然性最大。

极大似然估计就是使用给定观测数据和某个参数模型，来求出使这个参数模型似然函数最大的参数估计量。

矩估计和极大似然估计都有许多优点，如无偏性、处理简单，可以使用不同的统计模型以及可以计算准确率等等。

然而，它们也有一定的弊端。

矩估计假设数据服从正态分布，而实际数据常常不会服从正态分布，这时估计值可能会出现误差。

极大似然估计也存在类似的问题，因为它依赖于正确假设分布模型，它在模型类别选择和设定参数上可能会出现错误。

总的来说，矩估计和极大似然估计是统计学中重要的估计参数技术，它们都具有优点和缺点，但由于它们的效率和准确性，它们仍然是统计学的基础。

在选择估计方法时，应考虑到参数类别、数据分布
和分析技术，以选择最适宜的估计方法。

极大似然估计计算公式极大似然估计呀，这可是统计学里一个挺重要的概念。

咱先来说说啥是极大似然估计。

简单来讲，就是在一堆可能的情况里，挑那个最有可能产生咱们观察到的数据的情况。

比如说，咱抛硬币，抛了 10 次，有 7 次正面，3 次反面。

那按照极大似然估计的思路，就会认为这枚硬币正面朝上的概率大概是 0.7 。

那极大似然估计的计算公式是啥呢？一般来说，如果咱们有一个随机变量 X ，它的概率密度函数或者概率质量函数是f(x;θ) ，这里的θ就是咱们要估计的参数。

然后咱们有一组观察值 x₁, x₂,..., xₙ 。

那极大似然函数L(θ) 就是这几个观察值的概率的乘积，也就是L(θ) = ∏[i=1 to n] f(xᵢ;θ) 。

为了找到让这个极大似然函数最大的那个θ 值，咱们通常会对L(θ) 取对数，变成对数似然函数 l(θ) = ∑[i=1 to n] log(f(xᵢ;θ)) 。

这样做能让计算简单点儿，因为乘积变求和嘛。

然后呢，通过对这个对数似然函数求导，令导数等于 0 ，就能解出那个最有可能的θ 值啦。

我给您举个例子哈。

比如说，咱有一个正态分布的随机变量 X ，它的均值是μ ，方差是σ² 。

现在咱们观察到了一组数据 10, 12, 15, 18,20 。

那它的概率密度函数就是f(x;μ, σ²) = 1/√(2πσ²) * exp(-(x -μ)²/(2σ²)) 。

咱把这几个观察值带进去，得到极大似然函数L(μ, σ²) ，然后取对数变成l(μ, σ²) 。

对l(μ, σ²) 分别关于μ 和σ² 求导，令导数等于 0 ，就能算出μ 和σ² 的估计值啦。

您可能会问，这在实际生活中有啥用呢？其实用处可大啦！比如说，在质量检测里，工厂生产了一批零件，咱们想知道这批零件的尺寸是不是符合标准。

通过测量一些零件的尺寸，用极大似然估计就能估计出这批零件尺寸的分布参数，看看是不是在合格范围内。

极大似然估计极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）是Fisher提出的一种点估计方法，在很多场合都有应用。

根据字面意思理解，极大似然估计就是最大可能的一个估计，我们获得了样本数据后，根据已知的样本结果反推找到一个估计值，使得出现这种样本结果的可能性最大，这就是极大似然估计的基本思想。

极大似然估计的实际计算比较复杂，本文简单介绍其基本原理。

1. 似然函数要理解极大似然估计的基本原理，先要理解似然函数的概念。

例1 一家公司每次从供应商送来的一个批次的零件中随机抽取20件进行检验，以确定是否接收这批零件。

假定这批零件的批量很大，我们希望推断这批零件的不良率p。

抽取20件产品，可能的不良品件数是0~20的整数。

由于样本量与批量相比很小，可以近似认为抽到x件不良品的概率服从二项分布，计算公式为：式中x是随机变量的取值，p是该批产品的不良品率，是未知的，我们希望估计这个数值。

如果抽取20件产品中2件不良品，则这批产品的不良率是多少呢？20件产品中有2件不良品，不良率为10%，这个不良率是样本不良率，我们关心的是整个这批产品的不良率。

假定总体不良率为p，则抽取20件产品，抽到2件不良品的概率用下式计算：当总体不良率p取不同数值时，抽到2件不良品的概率是变化的，现在我们以总体不良品率p为横轴，以P(X=2)为纵轴画出二者之间的关系图，图中的函数称为似然函数。

可以看出当总体不良品率为0.1时，P(X=2)的值最大，大约是0.285。

2. 对数似然函数例2 一条生产线生产瓷砖，每100块瓷砖的瑕疵点数服从均值为λ的Poisson分布，λ未知。

抽取了两个随机样本，经过检查发现分别有10个和12个瑕疵点，求平均瑕疵点数λ。

我们知道，Poisson分布的概率计算公式是：似然函数是P(10)和P(12)二者的乘积：上式可以通过取自然对数简化：同样画出对数似然函数如下图：可以看出，当λ=11时对数似然函数最大，所以可以确定λ=DPU=11。

指数分布的矩估计和极大似然估计指数分布是概率统计中一个重要的分布类型，它被广泛用于时间，距离，速率等方面的计算。

在实际应用中，我们需要对指数分布的参数进行估计，以便更好地对数据进行分析和预测。

本文将针对指数分布的矩估计和极大似然估计进行介绍。

一、矩估计矩估计是一种基于数据的估计方法。

首先，我们通过实际观测数据计算出样本的一阶矩和二阶矩，然后将其代入概率分布函数，得到参数估计值。

对于指数分布而言，其概率密度函数为：f(x|θ) = θe^-θx其中，θ为指数分布的参数。

我们可以通过计算样本的一阶矩和二阶矩来估计θ的值。

样本的一阶矩为：E(X) = 1/θ样本的二阶矩为：E(X^2) = 2/θ^2将计算出的一阶矩和二阶矩代入上述概率密度函数中，得到θ的矩估计值为：θ = 1/（2E(X^2) - E(X)^2）二、极大似然估计极大似然估计是一种基于概率的估计方法。

它假设已知观测数据的分布类型，通过最大化似然函数来估计参数值。

对于指数分布而言，其似然函数为：L(θ|x) = ∏ i=1^n θe^-θxi其中，n为样本个数，x1，x2，...，xn为样本数据。

我们可以通过计算该似然函数的对数，将乘积转换为求和。

即：ln(L(θ|x)) = nln(θ) - θ∑ xi通过求导，令导数等于0，求出使似然函数最大的θ，即为θ的极大似然估计值：θ = n/∑ xi三、矩估计和极大似然估计的比较矩估计和极大似然估计都是常见的参数估计方法。

它们的区别在于矩估计基于统计量而极大似然估计基于似然函数。

从估计结果的准确性和稳定性来看，极大似然估计更加优越，因为它是最大化整个概率函数，利用了全部的数据信息。

而矩估计则只是利用了一阶和二阶矩作为参数的估计依据，忽略了其他高阶矩的信息。

但是，在样本容量较小的情况下，矩估计可能更为可靠，因为极大似然估计会受到极端值和样本大小的影响，而矩估计则更加稳定。

因此，在不同的数据分析和预测应用中，需要根据实际情况选择适合的参数估计方法。

通俗理解“极大似然估计”之前总是没能理解啥叫极大似然估计，一直似是而非，似懂非懂。

结果越是搞不懂，偏偏越是哪都见着它，着实让人郁闷。

索性花些工夫，搞懂它，写个博客做记录，分享出来，以教为学，尽可能通俗易懂。

本文同时发布于以下站点：1. 似然估计1.1 下定义理解极大似然估计之前，必须知道何为似然、何为估计。

先来热热身，看看维基百科关于“似然函数”的定义：在数理统计学中，似然函数是一种关于统计模型中的参数的函数，表示模型参数中的似然性。

似然函数在统计推断中有重大作用，如在最大似然估计和费雪信息之中的应用等等。

“似然性”与“或然性”或“概率”意思相近，都是指某种事件发生的可能性，但是在统计学中，“似然性”和“概率”（或然性）又有明确的区分：概率，用于在已知一些参数的情況下，预测接下来在观测上所得到的结果；似然性，则是用于在已知某些观测所得到的结果时，对有关事物之性质的参数进行估值。

在这种意义上，似然函数可以理解为条件概率的逆反。

在已知某个参数B时，事件A会发生的概率写作：P(A|B)=\cfrac{P(A, B)}{P(B)}利用贝叶斯定理，P(B|A)=\cfrac{P(A|B)P(B)}{P(A)}因此，我们可以反过来构造表示似然性的方法：已知有事件A发生，运用似然函数L(B|A)，我们估计参数B的可能性。

形式上，似然函数也是一种条件概率函数，但我们关注的变量改变了：b\mapsto P(A|B=b)注意到这里并不要求似然函数满足归一性：\displaystyle\sum_{b \in B} P(A|B=b)=1。

一个似然函数乘以一个正的常数之后仍然是似然函数。

对所有\alpha>0，都可以有似然函数：L(b|A)=\alphaP(A|B=b)是不是看到后面就有些晕晕乎乎的，没关系，举个例子，就好理解了。

1.2 举例子假设我们手上有一枚硬币，已知它是一枚普通的硬币（正面朝上和反面朝上的概率都为0.5），抛出10次，请问正面朝上和反面朝上的次数各是多少？你说这也太小儿科了，当然是各5次，哪怕实际不是，再将抛出10次这个动作重复很多次，平均结果也一定是正反面各5次。

求矩估计量和最大似然估计量例题一、设从某正态分布总体中随机抽取样本X1, X2, ..., Xn，其样本均值为X拔，样本方差为S2。

则该正态分布总体的矩估计量μ为？A. X拔的平方B. X拔C. S2D. 1/S2（答案：B）二、对于参数为λ的泊松分布，若从该总体中随机抽取样本X1, X2, ..., Xn，其样本均值为3，则λ的矩估计量为？A. 1/3B. 2/3C. 3D. 9（答案：C）三、设总体X的分布函数为F(x;θ)，其中θ为未知参数。

现从该总体中随机抽取样本X1, X2, ..., Xn，若θ的矩估计量满足E(X)=θ，且样本均值为5，则θ的矩估计量为？A. 1/5B. 5C. 25D. 无法确定（答案：B）四、对于参数为p的二项分布B(n,p)，若从该总体中随机抽取样本X1, X2, ..., Xn，且样本中成功的次数为k，则p的最大似然估计量为？A. k/nB. n/kC. kD. n（答案：A）五、设总体X的密度函数为f(x;θ)=θx(θ-1)，其中0<x<1，θ>0为未知参数。

现从该总体中随机抽取样本X1, X2, ..., Xn，则θ的最大似然估计量为？A. -1/n求和(ln Xi)B. 1/n求和(ln Xi)C. n/求和(ln Xi)D. 求和(Xi)/n（答案：C）六、对于均匀分布U(a,b)，若从该总体中随机抽取样本X1, X2, ..., Xn，且样本最小值为Xmin，样本最大值为Xmax，则(b-a)的最大似然估计量为？A. (Xmax-Xmin)/nB. Xmax-XminC. n*(Xmax-Xmin)D. (Xmax+Xmin)/2（答案：B）七、设总体X的密度函数为f(x;μ,σ2)=(1/2πσ)*exp[-(x-μ)2/2σ2]，其中μ和σ2均为未知参数。

现从该总体中随机抽取样本X1, X2, ..., Xn，则μ的最大似然估计量为？A. 样本均值B. 样本方差C. 样本中位数D. 样本极差（答案：A）八、对于参数为λ的指数分布，若从该总体中随机抽取样本X1, X2, ..., Xn，且样本均值为1/λ拔，则λ的最大似然估计量为？A. 1/λ拔B. λ拔C. 1/n*求和(1/Xi)D. n/求和(Xi)（答案：D，但注意这里题目中的“样本均值为1/λ拔”表述有误，应为“样本均值的倒数为λ拔的估计”，因此严格来说没有正确答案，但按题意最接近的是D，如果修正题目，则D应为“1/样本均值”）。