2015高考语文一轮配套特训:4-2平面向量的基本定理及坐标表示(带解析)A
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2015年高考数学一轮复习 真题模拟汇编 4-2 平面向量的基本定理及坐标表示 理1. [2014·广州调研]已知向量a =(2,1),b =(x ,-2),若a ∥b ,则a +b 等于( )A. (-2,-1)B. (2,1)C. (3,-1)D. (-3,1)解析:由a ∥b 可得2×(-2)-1×x =0,所以x =-4,所以a +b =(-2,-1),故选A.答案:A2. [2014·北京东城区综合练习]已知向量a =(2,3),b =(-1,2),若m a +n b 与a -2b 共线,则m n=( )A. -2B. 2C. -12D. 12 解析:由向量a =(2,3),b =(-1,2)得m a +n b =(2m -n,3m +2n ),a -2b =(4,-1),因为m a +n b 与a -2b 共线,所以(2m -n )×(-1)-(3m +2n )×4=0,整理得m n =-12. 答案:C3. [2014·湖北省沙市中学期末]在四边形ABCD 中,AB →=a +2b ,BC →=-4a -b ,CD →=-5a -3b ,其中a ,b 不共线,则四边形ABCD 为( )A. 平行四边形B. 矩形C. 梯形D. 菱形解析:∵AD →=AB →+BC →+CD →=-8a -2b =2BC →,AB →与CD →不平行,∴四边形ABCD 为梯形. 答案:C4. [2013·梅州模拟]在▱ABCD 中,A D →=(3,7),A B →=(-2,3),对角线交点为O ,则C O →等于________.答案:(-12,-5) 5. [2014·广东佛山三模]设OA →=(1,-2),OB →=(a ,-1),OC →=(-b,0),a >0,b >0,O 为坐标原点,若A 、B 、C 三点共线,则1a +2b的最小值是________.解析:k AB =-1+2a -1,k AC =2-b -1,∵A 、B 、C 三点共线,∴k AB =k AC ,即-1+2a -1=2-b -1,∴2a +b =1,∴1a +2b =2a +b a +4a +2b b =4+b a +4a b ≥4+2b a ·4a b=8, ∴1a +2b的最小值是8. 答案:8。
必修Ⅳ-07 平面向量的基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理:如果12,e e 是同一平面内的两个 ,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数12,λλ,使 ,不共线的向量12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组 .2.向量的夹角与垂直:已知两个 a b 和,作,O A aO B b A O B θ==∠=,则叫做向量a b与的 .向量a b 与的夹角的范围是 .当0θ=时,向量a b 与 ,当θπ=时,向量a b 与 ,当2πθ=时,向量a b 与 .3.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量 .4.向量的坐标表示:在平面直角坐标系内,分别取与x 轴,y 轴同方向的两个单位向量,i j 作为基底,对于平面内的一个向量a ,有且只有一对实数,x y 使得 ,我们把有序实数对(,)x y 叫做a 的坐标,记作 , 叫做向量的坐标表示.5.向量的坐标运算:已知1122(,),(,)a x y b x y ==则a b += ,a b -= ;若实数λ,则a λ= .一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 的坐标减去 的坐标,即:若1122(,),(,)A x y B x y ,则AB = .6.向量相等的坐标关系:若1122(,),(,)a x y b x y ==且a b =,则有 .7.向量共线的坐标表示:若1122(,),(,)a x y b x y ==,且0b ≠,那么当且仅当 时,向量a b 与共线,即12210a b x y x y ⇔-=.8.设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ===只要证明向量 (答案不唯一),即可判断,,A B C 三点共线.例1.设12,e e 是平面内所有向量的一组基底,则下面四组向量中,不能作为基底的是( )A 1212e e e e +-和B 1221326e e e e --和4C 122122e e e e ++和D 212e e e +和例2.(2008,安徽)若(2,4),(1,3),AB AC ==则BC = ( )A (1,1)B (1,1)--C (3,7)D (3,7)--例7.设O 为ABC ∆内一点,且满足0AO BO CO ++=,则O 为ABC ∆的( )A 外心B 内心C 重心D 垂心例3.(2004,浙江)已知向量(3,4),(sin ,cos ),a b αα==且a b ,则tan α= . 例4.若向量(1,2),(,1),2,2,a b x u a b v a b u v ===+=-且,则x = .例5.已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-,且,,A B C 三点共线,求实数k 的值.例6.设向量(2,3),(1,2),(9,4)a b c =-==,若c ma nb =+,则求实数,m n 的值.。
课后课时作业[A 组·基础达标练]1.[2015·长沙模拟]已知向量a =(1,2),b =(1,0),c =(3,4).若λ为实数,(a +λb )∥c ,则λ等于( )A.14 B.12 C .1 D .2答案 B解析 a +λb =(1,2)+(λ,0)=(1+λ,2).又∵(a +λb )∥c ,∴(1+λ)×4=2×3,即1+λ=32,∴λ=12.2.已知向量OA →=(1,-3),OB →=(2,-1),OC →=(k +1,k -2),若A 、B 、C 三点不能构成三角形,则实数k 应满足的条件是( )A .k =-2B .k =12 C .k =1 D .k =-1 答案 C解析 若点A 、B 、C 不能构成三角形,则向量AB →,AC →共线,∵AB →=OB →-OA →=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),AC →=OC →-OA →=(k +1,k -2)-(1,-3)=(k ,k +1),∴1×(k +1)-2k =0,解得k =1.3.[2015·洛阳期末]若平面向量a =(-1,2)与b 的夹角是180°,且|b |=35,则b 的坐标为( )A .(3,-6)B .(-3,6)C .(6,-3)D .(-6,3) 答案 A解析 由题意设b =λa =(-λ,2λ)(λ<0),而|b |=35,则λ2+4λ2=35,所以λ=-3,b =(3,-6),故选A.4.[2015·日照一模]在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F ,若AC →=a ,BD →=b ,则AF →等于( )A.14a +12bB.23a +13bC.12a +14bD.13a +23b答案 B解析如图,∵△DEF ∽△BEA ,∴DF ∶BA =DE ∶BE =1∶3,过点F 作FG ∥BD 交AC 于点G ,∴FG ∶DO =2∶3,CG ∶CO =2∶3,∴GF →=13b ,∵AG →=AO →+OG →=23AC →=23a ,∴AF →=AG →+GF →=23a +13b .故选B.5.[2016·郑州一检]已知a ,b 是两个互相垂直的单位向量,且c ·a =c ·b =1,则对任意的正实数t ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪c +t a +1t b 的最小值是( )A .2B .2 2C .4D .4 2答案 B解析 设a =(1,0),b =(0,1),c =(x ,y ),则由c ·a =c ·b =1,得c=(1,1),c +t a +1t b =(1,1)+t (1,0)+1t (0,1)=⎝ ⎛⎭⎪⎫t +1,1+1t ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪c +t a +1t b =(t +1)2+⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1t 2=t 2+1t 2+2t +2t +2≥22,当且仅当t =1时等号成立.6.[2016·山西四校联考]在△ABC 中,点D 在线段BC 的延长线上,且BC →=3CD →,点O 在线段CD 上(与点C ,D 不重合),若AO →=xAB →+(1-x )AC →,则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,13 C.⎝⎛⎭⎪⎫-12,0 D.⎝⎛⎭⎪⎫-13,0 答案 D解析 依题意,设BO →=λBC →,其中1<λ<43,则有AO →=AB →+BO →=AB →+λBC →=AB →+λ(AC →-AB →)=(1-λ)AB →+λAC →.又AO →=xAB →+(1-x )AC →,且AB →,AC →不共线,于是有x =1-λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,0,即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,0. 7.设e 1,e 2是平面内一组基向量,且a =e 1+2e 2,b =-e 1+e 2,则向量e 1+e 2可以表示为另一组基向量a ,b 的线性组合,即e 1+e 2=________a +________b .答案 23 -13解析 由题意,设e 1+e 2=m a +n b . 因为a =e 1+2e 2,b =-e 1+e 2,所以e 1+e 2=m (e 1+2e 2)+n (-e 1+e 2)=(m -n )e 1+(2m +n )e 2.由平面向量基本定理,得⎩⎨⎧m -n =1,2m +n =1,所以⎩⎪⎨⎪⎧m =23,n =-13.8.[2015·九江模拟]P ={a |a =(-1,1)+m (1,2),m ∈R },Q ={b |b =(1,-2)+n (2,3),n ∈R }是两个向量集合,则P ∩Q 等于________.答案 {(-13,-23)}解析 P 中,a =(-1+m,1+2m ),Q 中,b =(1+2n ,-2+3n ).则⎩⎨⎧-1+m =1+2n ,1+2m =-2+3n .得⎩⎨⎧m =-12,n =-7.此时a =b =(-13,-23).9.[2016·开封月考]平面直角坐标系xOy 中,已知A (1,0),B (0,1),C (-1,c )(c >0),且|OC |=2,若OC →=λOA →+μOB →,则实数λ,μ的值分别是________.答案 -1, 3解析 ∵|OC →|=2,∴|OC →|2=1+c 2=4, c >0,∴c = 3. ∵OC →=λOA →+μOB →,∴(-1,3)=λ(1,0)+μ(0,1), ∴λ=-1,μ= 3.10.已知点A (4,0),B (4,4),C (2,6),则AC 与OB 的交点P 的坐标为________.答案 (3,3)解析 解法一:由O ,P ,B 三点共线,可设OP →=λOB →=(4λ,4λ),则AP →=OP →-OA →=(4λ-4,4λ).又AC →=OC →-OA →=(-2,6),由AP →与AC →共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,解得λ=34,所以OP →=34OB →=(3,3),所以点P 的坐标为(3,3).解法二:设点P (x ,y ),则OP →=(x ,y ),因为OB →=(4,4),且OP →与OB →共线,所以x 4=y4,即x =y .又AP →=(x -4,y ),AC →=(-2,6),且AP →与AC →共线, 所以(x -4)×6-y ×(-2)=0,解得x =y =3, 所以点P 的坐标为(3,3).11.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →,它们的夹角为2π3.如图所示,点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上运动.若OC →=xOA →+yOB →,其中x ,y ∈R ,求x +y 的最大值.解以O 为坐标原点,OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A (1,0),B ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,32,设∠AOC =α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,2π3,则C (cos α,sin α),由OC →=xOA →+yOB →,得⎩⎨⎧cos α=x -12y ,sin α=32y ,所以x =cos α+33sin α,y =233sin α,所以x +y =cos α+3sin α=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6,又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,2π3, 所以当α=π3时,x +y 取得最大值2.12.已知O (0,0),A (1,2),B (4,5)及OP →=OA →+tAB →,求: (1)t 为何值时,P 在x 轴上?P 在y 轴上?P 在第二象限? (2)四边形OABP 能否成为平行四边形?若能,求出相应的t 值;若不能,请说明理由.解 (1)OP →=OA →+tAB →=(1,2)+t (3,3)=(1+3t,2+3t ). 若P 在x 轴上,则2+3t =0,∴t =-23;若P 在y 轴上,则1+3t =0,∴t =-13;若P 在第二象限,则⎩⎨⎧1+3t <0,2+3t >0,∴-23<t <-13.(2)∵OA →=(1,2),PB →=(4,5)-(1+3t,2+3t )=(3-3t,3-3t ). 若OABP 为平行四边形,则OA →=PB →.∵⎩⎨⎧3-3t =1,3-3t =2无解,∴四边形OABP 不能成为平行四边形.[B 组·能力提升练]1.[2016·江西联考]如图所示,四边形OABC 是边长为1的正方形,OD =3,点P 为△BCD 内(含边界)的动点,设OP →=αOC →+βOD →(α,β∈R ),则α+β的最大值等于( )A.14 B .1 C.13 D.43答案 D解析以O 为原点,以OD 所在直线为x 轴建立直角坐标系,设点P (x ,y ),∵OP →=αOC →+βOD →,则(x ,y )=α(0,1)+β(3,0)=(3β,α),所以x =3β,y =α,α+β=y +x3.由于点P 在△BCD 内(包含边界),目标函数为α+β=y +x 3,如图所示,当点P 与点B (1,1)重合时,α+β=y +x3取得最大值,其最大值为1+13=43.2.[2015·贵阳模拟]在平面直角坐标系中,若O 为坐标原点,则A ,B ,C 三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数λ,使得OC →=λOA →+(1-λ)OB →成立,此时称实数λ为“向量OC →关于OA →和OB →的终点共线分解系数”.若已知P 1(3,1),P 2(-1,3),P 1,P 2,P 3三点共线且向量OP 3→与向量a =(1,-1)共线,则“向量OP 3→关于OP 1→和OP 2→的终点共线分解系数”为( )A .-3B .3C .1D .-1答案 D解析 设P 3(x ,y ),由条件易得P 1P 2→=(-4,2),P 2P 3→=(x +1,y -3),又P 1,P 2,P 3三点共线得12-4y =2x +2,又OP 3→与向量a =(1,-1)平行,得x +y =0.联立方程组解得x =-5,y =5.OP 3→=λOP 1→+(1-λ)OP 2→,解得λ=-1,故选D.3.[2015·临汾模拟]如图,△ABC 中,GA →+GB →+GC →=0,CA →=a ,CB →=b .若CP →=m a ,CQ →=n b ,CG ∩PQ =H ,CG →=2CH →,则1m +1n =________.答案 6解析 由GA →+GB →+GC →=0,知G 为△ABC 的重心,取AB 的中点D ,则CH →=12CG →=13CD →=16(CA →+CB →)=16m CP →+16n CQ →,由P ,H ,Q 三点共线,得16m +16n =1,则1m +1n =6.4.已知A (-2,4),B (3,-1),C (-3,-4),设AB →=a ,BC →=b ,CA →=c ,且CM →=3c ,CN →=-2b .(1)求3a +b -3c ;(2)求满足a =m b +n c 的实数m ,n ; (3)求M ,N 的坐标及向量MN →的坐标.解 (1)由已知得a =(5,-5),b =(-6,-3),c =(1,8).3a +b -3c =3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)∵m b +n c =(-6m +n ,-3m +8n )=(5,-5),∴⎩⎨⎧-6m +n =5,-3m +8n =-5,解得⎩⎨⎧m =-1,n =-1.(3)设O 为坐标原点,∵CM →=OM →-OC →=3c , ∴OM →=3c +OC →=(3,24)+(-3,-4)=(0,20), ∴M 的坐标为(0,20).又CN →=ON →-OC →=-2b , ∴ON →=-2b +OC →=(12,6)+(-3,-4)=(9,2), ∴N 的坐标为(9,2),∴MN →=(9-0,2-20)=(9,-18).。
[A 组 基础演练·能力提升]一、选择题1.(2014年福州质检)已知向量a =(m 2,4),b =(1,1),则“m =-2”是“a ∥b ”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:依题意,当m =-2时,a =(4,4),b =(1,1),所以a =4b ,a ∥b ,即由m =-2可以推出a ∥b ;当a ∥b 时,m 2=4,得m =±2,所以不能推得m =-2,即“m =-2”是“a ∥b ”的充分而不必要条件.答案:A2.如图,在平行四边形ABCD 中,E 为DC 边的中点,且AB →=a , AD →=b ,则BE →=( )A .b -12aB .b +12aC .a +12bD .a -12b解析:BE →=BA →+AD →+DE →=-a +b +12a =b -12a .答案:A3.(2014年大同模拟)已知向量a =(1,2),b =(-2,m ),若a ∥b ,则|2a +3b |=( ) A.70 B .4 5 C .3 5D .2 5解析:依题意得,m 2=-21,故m =-4,2a +3b =2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8),故|2a +3b |=-42+-82=45,选B.答案:B4.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是三个内角A , B ,C 的对边,设向量p =(b -c ,a -c ),q =(c +a ,b ),若p ∥q ,则角A 的大小是( )A .30°B .45°C .60°D .90°解析:∵p∥q ,∴b ·(b -c )=(a -c )·(a +c ),整理得b 2+c 2-a 2=bc ,故cos A =b 2+c 2-a 22bc =12,故A =60°. 答案:C5.(2014年北京东城区综合练习)已知向量a =(2,3),b =(-1,2),若m a +n b 与a -2b共线,则m n=( )A .-2B .2C .-12D.12解析:由向量a =(2,3),b =(-1,2)得m a +n b =(2m -n,3m +2n ),a -2b =(4,-1),因为m a +n b 与a -2b 共线,所以(2m -n )×(-1)-(3m +2n )×4=0,整理得m n =-12.答案:C6.(2014年郑州模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量a =(1,2),b =(m,3m -2),且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c =λa +μb (λ,μ为实数),则m 的取值范围是( )A .(-∞,2)B .(2,+∞)C .(-∞,+∞)D .(-∞,2)∪(2,+∞)解析:由题意知向量a ,b 不共线,故m ≠3m -22,解得m ≠2.答案:D 二、填空题7.(2014年衡阳六校联考)已知向量a =(2,-1),b =(-1,m ),c =(-1,2),若(a +b )∥c ,则m =________.解析:由题意知a +b =(1,m -1),c =(-1,2),由(a +b )∥c ,得1×2-(m -1)×(-1)=m +1=0,所以m =-1.答案:-18.在△ABC 中,点P 在BC 上,且BP →=2PC →,点Q 是AC 的中点,若PA →=(4,3),PQ →=(1,5),则BC →=________.解析:AQ →=PQ →-PA →=(-3,2), ∴AC →=2AQ →=(-6,4). PC →=PA →+AC →=(-2,7), ∴BC →=3PC →=(-6,21). 答案:(-6,21)9.已知直线x +y =a 与圆x 2+y 2=4交于A 、B 两点,且|OA →+OB →|=|OA →-OB →|,其中O 为坐标原点,则实数a 的值为________.解析:如图所示,以OA 、OB 为边作平行四边形OACB ,则由|OA →+OB →|=|OA →-OB →|得,平行四边形OACB 是矩形,OA →⊥OB →.由图象得,直线y =-x +a 在y 轴上的截距为±2.答案:±2 三、解答题10.已知A (-2,4),B (3,-1),C (-3,-4).设AB →=a ,BC →=b ,CA →=c ,且CM →=3c ,CN →=-2b .(1)求3a +b -3c ;(2)求满足a =m b +n c 的实数m ,n ; (3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标.解析:由已知得a =(5,-5),b =(-6,-3),c =(1,8). (1)3a +b -3c =3×(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)∵m b +n c =(-6m +n ,-3m +8n ),∴⎩⎪⎨⎪⎧-6m +n =5,-3m +8n =-5,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =-1,n =-1.(3)设O 为坐标原点,∵CM →=OM →-OC →=3c , ∴OM →=3c +OC →=(3,24)+(-3,-4)=(0,20). ∴M (0,20).又∵CN →=ON →-OC →=-2b ,∴ON →=-2b +OC →=(12,6)+(-3,-4)=(9,2), ∴N (9,2).∴MN →=(9,-18). 11.已知a =(1,0),b =(2,1). (1)求|a +3b |;(2)当k 为何实数时,k a -b 与a +3b 平行,平行时它们是同向还是反向? 解析:(1)因为a =(1,0),b =(2,1),所以a +3b =(7,3),∴|a +3b |= 72+32=58. (2)k a -b =(k -2,-1),a +3b =(7,3), 因为k a -b 与a +3b 平行,所以3(k -2)+7=0, 即k =-13.此时k a -b =(k -2,-1)=⎝ ⎛⎭⎪⎫-73,-1,a +3b =(7,3), 则a +3b =-3(k a -b ),即此时向量a +3b 与k a -b 方向相反.12.(能力提升)在△ABC 中,点P 是AB 上一点,且CP →=23CA →+13CB →,Q 是BC 的中点,AQ 与CP 的交点为M ,又CM →=tCP →,试求t 的值.解析:∵CP →=23CA →+13CB →,∴3CP →=2CA →+CB →, 即2CP →-2CA →=CB →-CP →, ∴2AP →=PB →,即P 为AB 的一个三等分点(靠近点A ),如图所示. ∵A ,M ,Q 三点共线,∴设CM →=xCQ →+(1-x )CA →=x 2CB →+(x -1)AC →,而CB →=AB →-AC →,∴CM →=x 2AB →+⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-1AC →.又CP →=AP →-AC →=13AB →-AC →,由已知CM →=tCP →可得,x 2AB →+⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-1AC →=t ⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →-AC →,∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2=t 3x 2-1=-t,解得t =34.。
配餐作业(二十六) 平面向量基本定理及坐标表示一、选择题1.已知向量a =(2,4),b =(-1,1),则2a -b =()A .(5,7)B .(5,9)C .(3,7)D .(3,9) 解析:因为a =(2,4),b =(-1,1),所以2a -b =(2×2-(-1),2×4-1)=(5,7),选A 。
答案:A2.(2016・广州模拟)若向量BA→=(2,3),CA →=(4,7),则BC →等于()A .(-2,-4)B .(2,4)C .(6,10)D .(-6,-10) 解析:因为CA →=(4,7),所以AC →=(-4,-7)。
又BC →=BA →+AC →=(2,3)+(-4,-7)=(-2,-4),故BC →=(-2,-4)。
答案:A3.(2016・丽江模拟)已知向量a =(1,-2),b =(m,4),且a ∥b ,则2a -b =() A .(4,0)B .(0,4)C .(4,-8)D .(-4,8) 解析:因为向量a =(1,-2),b =(m,4),且a ∥b ,所以1×4+2m =0,即m =-2,2a -b =2×(1,-2)-(-2,4)=(4,-8)。
答案:C4.(2016・兰州模拟)在△ABC 中,M 为边BC 上任意一点,N 为AM 中点,AN→=λAB →+μAC →,则λ+μ的值为() A.12B.13C.14D .1解析:因为M 为BC 上任意一点,所以设AM →=xAB →+yAC →(x +y =1)。
又N 为AM 中点,所以AN →=12AM →=12xAB →+12yAC →,故λ=x 2,μ=y 2,所以λ+μ=x +y 2=12。
答案:A5.(2016・河北三市二联)已知e 1,e 2是不共线向量,a =m e 1+2e 2,b =n e 1-e 2,且mn≠0,若a ∥b ,则m n 等于() A .-12B.12C .-2 D .2解析:∵a ∥b ,∴a =λb ,即m e 1+2e 2=λ(n e 1-e 2),则λn=m-λ=2,得m n =-2,故选C 。
05限时规范特训A 级 基础达标1.[2014·重庆模拟]已知向量a =(1,k ),b =(2,2),且a +b 与a 共线,那么a ·b 的值为( )A .1B .2C .3D .4解析:a +b =(3,k +2),由共线知3k -(k +2)=0,k =1, ∴a ·b =4,选D 项. 答案:D2.已知向量a =(1-t ,t ),b =(2,3),则|a -b |的最小值为( ) A. 2 B .2 3 C .2 2D .4 2解析:|a -b |=(t +1)2+(t -3)2=2(t -1)2+8≥22,当t =1时,|a -b |取得最小值2 2.答案:C3.已知△ABC 的顶点分别为A (2,1),B (3,2),C (-3,-1),BC 边上的高为AD ,则点D 的坐标为( )A .(-95,75)B .(92,-75)C .(95,75)D .(-92,-75)解析:设点D 的坐标为(x ,y ),∵AD 是边BC 上的高, ∴AD ⊥BC ,∴AD →⊥BC →,又C ,B ,D 三点共线,∴BC →∥BD →.又AD →=(x -2,y -1),BC →=(-6,-3),BD →=(x -3,y -2),∴⎩⎪⎨⎪⎧-6(x -2)-3(y -1)=0-6(y -2)+3(x -3)=0,解方程组得x =95,y =75,∴点D 的坐标为(95,75).答案:C4.已知点A (1,-2),若向量AB →与向量a =(2,3)同向,且|AB →|=13,则点B 的坐标为( )A .(2,3)B .(-2,3)C .(3,1)D .(3,-1)解析:设AB →=(x ,y ),则AB →=k a (k >0),即⎩⎪⎨⎪⎧x =2k y =3k ,由|AB →|=13得k =1,故OB →=OA →+AB →=(1,-2)+(2,3)=(3,1).故选C.答案:C5.在平面直角坐标系xOy 中,点A (-1,-2),B (2,3),C (-2,-1),若实数t 满足(AB →-tOC →)·OC →=0,则t 的值为( )A.95 B .-95 C.115D .-115解析:由题设知AB →=(3,5),OC →=(-2,-1),则AB →-tOC →=(3+2t,5+t ).由(AB →-tOC →)·OC →=0得(3+2t,5+t )·(-2,-1)=0,从而5t =-11,所以t =-115.答案:D6.[2014·遵义模拟]已知向量a =(2,1),b =(1,k ),且a 与b 的夹角为锐角,则实数k 的取值范围是( )A .(-2,+∞)B .(-2,12)∪(12,+∞) C .(-∞,-2)D .(-2,2)解析:当a ,b 共线时,2k -1=0,k =12,此时a ,b 方向相同夹角为0,∴要使a 与b 的夹角为锐角,则有a ·b >0且a ,b 不共线.由a ·b =2+k >0得k >-2,且k ≠12,即实数k 的取值范围是(-2,12)∪(12,+∞).答案:B7.已知向量OA →=(k,12),OB →=(4,5),OC →=(-k,10)且A ,B ,C 三点共线,则k =________.解析:AB →=(4-k ,-7),AC →=(-2k ,-2),又A ,B ,C 三点共线,即AB →=λAC →,因此,⎩⎪⎨⎪⎧4-k =-2λk -7=-2λ⇒λ=72且k =-23. 答案:-238.已知向量a =(1,n ),b =(-1,n ),若2a -b 与a +2b 垂直,则|a |=________.解析:∵2a -b 与a +2b 垂直,∴(2a -b )·(a +2b )=0,(3,n )·(-1,3n )=0,∴-3+3n 2=0,n 2=1,∴|a |=1+n 2= 2.答案: 29.[2014·宜宾诊断]已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≥2x ≤1y ≤2给定,若M (x ,y )为D 上的动点,A 的坐标为(-1,1),则OA →·OM →的取值范围是________.解析:依题意,OA →·OM →=-x +y ,根据不等式组作出可行域,如图中阴影部分所示,平移目标函数直线,可知OA →·OM →的取值范围是[0,2].答案:[0,2]10.已知向量a =(1,2),b =(2,-2). (1)设c =4a +b ,求(b ·c )a ; (2)若a +λb 与a 垂直,求λ的值; (3)求向量a 在b 方向上的投影. 解:(1)∵a =(1,2),b =(2,-2), ∴c =4a +b =(4,8)+(2,-2)=(6,6). ∴b ·c =2×6-2×6=0, ∴(b ·c )a =0a =0.(2)a +λb =(1,2)+λ(2,-2)=(2λ+1,2-2λ), 由于a +λb 与a 垂直,∴2λ+1+2(2-2λ)=0,∴λ=52. ∴λ的值为52.(3)设向量a 与b 的夹角为θ,向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ. ∴|a |cos θ=a ·b |b |=1×2+2×(-2)22+(-2)2=-222=-22. 11.[2014·武夷月考]已知点O (0,0)、A (1,2)、B (4,5)及OP →=OA →+tAB →,试问:(1)t 为何值时,P 在x 轴上?在y 轴上?P 在第三象限? (2)四边形OABP 能否成为平行四边形?若能,求出相应的t 值;若不能,请说明理由.解:(1)∵AB →=(3,3),∴OP →=(1,2)+(3t,3t )=(3t +1,3t +2), 若点P 在x 轴上,则3t +2=0,则t =-23; 若点P 在y 轴上,则1+3t =0,解得t =-13;若点P 在第三象限,则⎩⎪⎨⎪⎧1+3t <0,2+3t <0.解得t <-23. (2)不能,若四边形OABP 成为平行四边形, 则OP →=AB →,∴⎩⎪⎨⎪⎧1+3t =3,2+3t =3.∵该方程组无解,∴四边形OABP 不能成为平行四边形.12.[2014·济宁模拟]已知向量a =(cos θ,sin θ),θ∈[0,π],向量b =(3,-1).(1)若a ⊥b ,求θ的值;(2)若|2a -b |<m 恒成立,求实数m 的取值范围. 解:(1)∵a ⊥b ,∴3cos θ-sin θ=0,得tan θ=3, 又θ∈[0,π],∴θ=π3.(2)∵2a -b =(2cos θ-3,2sin θ+1),∴|2a -b |2=(2cos θ-3)2+(2sin θ+1)2=8+8(12sin θ-32cos θ)=8+8sin(θ-π3),又θ∈[0,π],∴θ-π3∈[-π3,2π3], ∴sin(θ-π3)∈[-32,1], ∴|2a -b |2的最大值为16, ∴|2a -b |的最大值为4, 又|2a -b |<m 恒成立,∴m >4. 故m 的取值范围为(4,+∞). B 级 知能提升1.如图,AB →=(6,1),BC →=(x ,y ),CD →=(-2,-3),若BC →∥DA →且AC →⊥BD →,则四边形ABCD 的面积S 为( )A .16 B.295 C.195D.395解析:由AD →=(4+x ,y -2),BC →∥DA →, 得x (y -2)-y (4+x )=0⇒x +2y =0.① 由AC →⊥BD →,得(x -2)(6+x )+(y -3)(y +1)=0⇒x 2+y 2+4x -2y -15=0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x =-6y =3或⎩⎪⎨⎪⎧x =2y =-1.于是AC →=(0,4),BD →=(-8,0), 此时,S =12|AC →|·|BD →|=16; 或AC →=(8,0),BD →=(0,-4), 此时,S =12|AC →|·|BD →|=16. 答案:A2.[2014·苏锡常镇二调]在平面直角坐标系xOy 中,A (1,0),函数y =e x 的图象与y 轴的交点为B ,P 为函数y =e x 图象上的任意一点,则OP →·AB →的最小值为________.解析:由题意可知B (0,1),设P (x ,e x),则OP →·AB →=(x ,e x )·(-1,1)=e x -x ,令f (x )=e x -x ,则f ′(x )=e x -1,由f ′(x )=0得x =0,且x <0时,f ′(x )<0;x >0时,f ′(x )>0,所以x =0是函数的极小值点,也为最小值点,故OP →·AB →的最小值是1.答案:13.若等边三角形ABC 的边长为23,平面内一点M 满足CM →=16CB →+23CA →,则MA →·MB →=________. 解析:以AB 所在的直线为x 轴,AB 的垂直平分线为y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A ,B ,C 三点的坐标分别为(-3,0),(3,0),(0,3).设M 点的坐标为(x ,y ),则CM →=(x ,y -3),CB →=(3,-3),CA →=(-3,-3), 又CM →=16CB →+23CA →, 即(x ,y -3)=(-32,-52), 可得M (-32,12),所以MA →·MB →=-2. 答案:-24.[2014·东营模拟]在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知向量m =(cos 3A 2,sin 3A 2),n =(cos A 2,sin A2),且满足|m +n |= 3.(1)求角A 的大小;(2)若|AC →|+|AB →|=3|BC →|,试判断△ABC 的形状.解:(1)由|m +n |=3, 得m 2+n 2+2m ·n =3,即1+1+2(cos 3A 2cos A 2+sin 3A 2sin A2)=3, ∴cos A =12. ∵0<A <π,∴A =π3. (2)∵|AC →|+|AB →|=3|BC →|, ∴sin B +sin C =3sin A , ∴sin B +sin(2π3-B )=3×32, 即32sin B +12cos B =32, ∴sin(B +π6)=32.∵0<B <2π3,∴π6<B +π6<5π6,∴B+π6=π3或2π3,故B=π6或π2.当B=π6时,C=π2;当B=π2时,C=π6.故△ABC是直角三角形.。
"【优化探究】2015高考数学 4-2 平面向量基本定理及坐标表示提素能高效训练 新人教A 版 理 "[A 组 基础演练·能力提升]一、选择题1.(2014年福州质检)已知向量a =(m 2,4),b =(1,1),则“m =-2”是“a ∥b ”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:依题意,当m =-2时,a =(4,4),b =(1,1),所以a =4b ,a ∥b ,即由m =-2可以推出a ∥b ;当a ∥b 时,m 2=4,得m =±2,所以不能推得m =-2,即“m =-2”是“a ∥b ”的充分而不必要条件.答案:A2.如图,在平行四边形ABCD 中,E 为DC 边的中点,且AB →=a ,AD →=b ,则BE →=( )A .b -12aB .b +12aC .a +12bD .a -12b解析:BE →=BA →+AD →+DE →=-a +b +12a =b -12a.答案:A3.(2014年大同模拟)已知向量a =(1,2),b =(-2,m),若a ∥b ,则|2a +3b|=( ) A.70 B .4 5 C .3 5D .2 5解析:依题意得,m 2=-21,故m =-4,2a +3b =2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8),故|2a +3b|=(-4)2+(-8)2=45,选B.答案:B4.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是三个内角A ,B ,C 的对边,设向量p =(b -c ,a -c),q =(c +a ,b),若p ∥q ,则角A 的大小是( )A .30°B .45°C .60°D .90°解析:∵p ∥q ,∴b ·(b -c)=(a -c)·(a +c),整理得b 2+c 2-a 2=bc ,故cos A =b 2+c 2-a22bc=12,故A =60°. 答案:C5.(2014年北京东城区综合练习)已知向量a =(2,3),b =(-1,2),若ma +nb 与a -2b 共线,则mn=( )A .-2B .2C .-12D.12解析:由向量a =(2,3),b =(-1,2)得ma +nb =(2m -n,3m +2n),a -2b =(4,-1),因为ma +nb 与a -2b 共线,所以(2m -n)×(-1)-(3m +2n)×4=0,整理得m n =-12.答案:C6.(2014年郑州模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量a =(1,2),b =(m,3m -2),且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c =λa +μb(λ,μ为实数),则m 的取值范围是( )A .(-∞,2)B .(2,+∞)C .(-∞,+∞)D .(-∞,2)∪(2,+∞)解析:由题意知向量a ,b 不共线,故m ≠3m -22,解得m ≠2.答案:D 二、填空题7.(2014年衡阳六校联考)已知向量a =(2,-1),b =(-1,m),c =(-1,2),若(a +b)∥c ,则m =________.解析:由题意知a +b =(1,m -1),c =(-1,2),由(a +b)∥c ,得1×2-(m -1)×(-1)=m +1=0,所以m =-1.答案:-18.在△ABC 中,点P 在BC 上,且BP →=2PC →,点Q 是AC 的中点,若PA →=(4,3),PQ →=(1,5),则BC →=________.解析:AQ →=PQ →-PA →=(-3,2), ∴AC →=2AQ →=(-6,4). PC →=PA →+AC →=(-2,7),∴BC →=3PC →=(-6,21). 答案:(-6,21)9.已知直线x +y =a 与圆x 2+y 2=4交于A 、B 两点,且|OA →+OB →|=|OA →-OB →|,其中O 为坐标原点,则实数a 的值为________.解析:如图所示,以OA 、OB 为边作平行四边形OACB ,则由|OA →+OB →|=|OA →-OB →|得,平行四边形OACB 是矩形,OA →⊥OB →.由图象得,直线y =-x +a 在y 轴上的截距为±2.答案:±2 三、解答题10.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB →=a ,BC →=b ,CA →=c ,且CM →=3c ,CN →=-2b.(1)求3a +b -3c ;(2)求满足a =mb +nc 的实数m ,n ; (3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标.解析:由已知得a =(5,-5),b =(-6,-3),c =(1,8). (1)3a +b -3c =3×(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)∵mb +nc =(-6m +n ,-3m +8n),∴⎩⎪⎨⎪⎧-6m +n =5,-3m +8n =-5,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =-1,n =-1.(3)设O 为坐标原点,∵CM →=OM →-OC →=3c , ∴OM →=3c +OC →=(3,24)+(-3,-4)=(0,20). ∴M(0,20).又∵CN →=ON →-OC →=-2b ,∴ON →=-2b +OC →=(12,6)+(-3,-4)=(9,2), ∴N(9,2).∴MN →=(9,-18).11.已知a =(1,0),b =(2,1). (1)求|a +3b|;(2)当k 为何实数时,ka -b 与a +3b 平行,平行时它们是同向还是反向? 解析:(1)因为a =(1,0),b =(2,1),所以a +3b =(7,3),∴|a +3b|= 72+32=58. (2)ka -b =(k -2,-1),a +3b =(7,3), 因为ka -b 与a +3b 平行,所以3(k -2)+7=0, 即k =-13.此时ka -b =(k -2,-1)=⎝ ⎛⎭⎪⎫-73,-1,a +3b =(7,3), 则a +3b =-3(ka -b),即此时向量a +3b 与ka -b 方向相反.12.(能力提升)在△ABC 中,点P 是AB 上一点,且CP →=23CA →+13CB →,Q 是BC 的中点,AQ与CP 的交点为M ,又CM →=tCP →,试求t 的值.解析:∵CP →=23CA →+13CB →,∴3CP →=2CA →+CB →, 即2CP →-2CA →=CB →-CP →, ∴2AP →=PB →,即P 为AB 的一个三等分点(靠近点A),如图所示. ∵A ,M ,Q 三点共线,∴设CM →=xCQ →+(1-x)CA →=x 2CB →+(x -1)AC →,而CB →=AB →-AC →,∴CM →=x 2AB →+⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-1AC →.又CP →=AP →-AC →=13AB →-AC →,由已知CM →=tCP →可得,x 2AB →+⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-1AC →=t ⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →-AC →, ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2=t 3x 2-1=-t,解得t =34.[B 组 因材施教·备选练习]1.(2014年沈阳模拟)设O 在△ABC 的内部,且有OA →+2OB →+3OC →=0,则△ABC 的面积和△AOC 的面积之比为( )A .3 B.53 C .2 D.32解析:设AC 、BC 的中点分别为M ,N ,则已知条件可化为(OA →+OC →)+2(OB →+OC →)=0,即OM →+2ON →=0,所以OM →=-2ON →,说明M 、O 、N 共线,即O 为中位线MN 上的三等分点,S △AOC =23S △ANC =23·12S △ABC =13S △ABC ,所以S △ABC S △AOC=3. 答案:A2.(2014年福州质检)在矩形ABCD 中,AB =1,AD =3,P 为矩形内一点,且AP =32,若AP →=λAB →+μAD →(λ,μ∈R),则λ+3μ的最大值为( )A.32B.62C.3+34D.6+324解析:因为AP →=λAB →+μAD →,所以|AP →|2=|λAB →+μAD →|2,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫322=λ2|AB →|2+μ2|AD →|2+2λμAB →·AD →,因为AB =1,AD =3,AB ⊥AD ,所以34=λ2+3μ2.又34=λ2+3μ2≥2 3 λμ,所以(λ+3μ)2=34+23λμ≤34+34=32,所以λ+ 3 μ的最大值为62,当且仅当λ=64,μ=24时取等号.答案:B3.对向量a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2)定义一种运算“⊗”:a ⊗b =(a 1,a 2)⊗(b 1,b 2)=(a 1b 1,a 2b 2).已知动点P ,Q 分别在曲线y =sin x 和y =f(x)上运动,且OQ →=m ⊗OP →+n(其中O 为坐标原点),若向量m =⎝ ⎛⎭⎪⎫12,3,n =⎝⎛⎭⎫π6,0,则y =f(x)的最大值为( )A.12 B .2 C .3D. 3解析:设P =(x 1,y 1),Q =(x ,y),∵m =⎝ ⎛⎭⎪⎫12,3,∴m ⊗OP →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,3⊗(x 1,y 1)=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12,3y 1,∵OQ →=m ⊗OP →+n ,n =⎝⎛⎭⎫π6,0,∴(x ,y)=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12,3y 1+⎝⎛⎭⎫π6,0,∴x =x 12+π6,y =3y 1,∴x 1=2x -π3,y 1=y 3,又y 1=sin x 1,∴y3=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3,∴y =3sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3,显然当sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3=1时,y =f(x)取得最大值3.答案:C。
第2讲 平面向量基本定理及坐标表示基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1.(2014·华东师大附中模拟)如图,设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC ,BD 的交点,下列向量组:①AD →与AB →;②DA →与BC →;③CA →与DC →;④OD →与OB →,其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( ).A .①②B .③④C .①③D .①④解析 ①中AD →与AB →不共线,可作为基底;②中DA →与BC →为共线向量,不可作为基底;③中CA →与DC →是两个不共线的向量,可作为基底;④中OD →与OB →在同一条直线上,是共线向量,不可作为基底.综上,只有①③中的向量可以作为基底,故选C. 答案 C2.(2014·揭阳二模)已知点A (-1,5)和向量a =(2,3),若AB →=3a ,则点B 的坐标为( ). A .(7,4) B .(7,14) C .(5,4)D .(5,14)解析 设点B 的坐标为(x ,y ),则AB →=(x +1,y -5). 由AB →=3a ,得⎩⎪⎨⎪⎧ x +1=6,y -5=9,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =5,y =14.答案 D3. 如图,在△OAB 中,P 为线段AB 上的一点,OP →=x OA →+y OB →,且BP →=2 P A →,则 ( ).A .x =23,y =13B .x =13,y =23C .x =14,y =34D .x =34,y =14解析 由题意知OP →=OB →+BP →,又BP →=2 P A →,所以OP →=OB →+23BA →=OB →+23(OA →-OB →)=23OA →+13OB →,所以x =23,y =13.答案 A4.(2013·惠州模拟)已知向量a =(-1,1),b =(3,m ),a ∥(a +b ),则m =( ).A .2B .-2C .-3D .3解析 a +b =(2,m +1),由a ∥(a +b ),得(-1)×(m +1)-2×1=0,解得m =-3. 答案 C5.(2014·许昌模拟)在△ABC 中,点P 在BC 上,且BP →=2PC →,点Q 是AC 的中点,若P A →=(4,3),PQ →=(1,5),则BC →等于 ( ). A .(-2,7) B .(-6,21) C .(2,-7)D .(6,-21)解析 BC →=3 PC →=3(2 PQ →-P A →)=6 PQ →-3 P A →=(6,30)-(12,9)=(-6,21). 答案 B 二、填空题6.若三点A (2,2),B (a,0),C (0,b )(ab ≠0)共线,则1a +1b的值为________.解析 AB →=(a -2,-2),AC →=(-2,b -2), 依题意,有(a -2)(b -2)-4=0,即ab -2a -2b =0,所以1a +1b =12.答案 127.已知向量OA →=(3,-4),OB →=(0,-3),OC →=(5-m ,-3-m ),若点A ,B ,C 能构成三角形,则实数m 满足的条件是________.解析 由题意得AB →=(-3,1),AC →=(2-m,1-m ),若A ,B ,C 能构成三角形,则AB →,AC →不共线,则-3×(1-m )≠1×(2-m ),解得m ≠54.答案 m ≠548.(2013·江苏卷)设D ,E 分别是△ABC 的边AB ,BC 上的点,AD =12AB ,BE =23BC .若DE →=λ1 AB →+λ2 AC →(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.解析 DE →=DB →+BE →=12AB →+23BC →=12AB →+23(BA →+AC →)=-16AB →+23AC →,所以λ1=-16,λ2=23, 即λ1+λ2=12.答案 12三、解答题9.已知a =(1,2),b =(-3,2),当k 为何值时,k a +b 与a -3b 平行?平行时它们是同向还是反向?解 k a +b =k (1,2)+(-3,2)=(k -3,2k +2), a -3b =(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),法一 当k a +b 与a -3b 平行时,存在唯一实数λ使k a +b =λ(a -3b ),由(k -3,2k +2)=λ(10,-4)得,⎩⎪⎨⎪⎧k -3=10λ,2k +2=-4λ.解得k =λ=-13,∴当k =-13时,k a +b 与a -3b 平行,这时k a +b =-13a +b =-13(a -3b ).∵λ=-13<0,∴k a +b 与a -3b 反向.法二 ∵k a +b 与a -3b 平行,∴(k -3)×(-4)-10×(2k +2)=0,解得k =-13,此时k a +b =⎝⎛⎭⎫-13-3,-23+2=-13(a -3b ). ∴当k =-13时,k a +b 与a -3b 平行,并且反向.10.已知点O 为坐标原点,A (0,2),B (4,6),OM →=t 1 OA →+t 2 AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件;(2)求证:当t 1=1时,不论t 2为何实数,A ,B ,M 三点都共线.(1)解 OM →=t 1OA →+t 2AB →=t 1(0,2)+t 2(4,4)=(4t 2,2t 1+4t 2).当点M 在第二或第三象限时,有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0,2t 1+4t 2≠0, 故所求的充要条件为t 2<0且t 1+2t 2≠0, (2)证明 当t 1=1时,由(1)知OM →=(4t 2,4t 2+2). ∵AB →=OB →-OA →=(4,4),AM →=OM →-OA →=(4t 2,4t 2)=t 2(4,4)=t 2 AB →, ∴AM →与AB →共线,又它们有公共点A , ∴A ,B ,M 三点共线.能力提升题组 (建议用时:25分钟)一、选择题1.(2013·保定模拟)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,设向量p =(a +c ,b ),q =(b -a ,c -a ),若p ∥q ,则角C的大小为( ). A .30° B .60° C .90°D .120°解析 由p ∥q ,得(a +c )(c -a )=b (b -a ),整理得b 2+a 2-c 2=ab ,由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab =12,又0°<C <180°,∴C =60°. 答案 B2. (2014·中山模拟)如图所示,A ,B ,C 是圆O 上的三点,CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点D ,若OC →=m OA →+n OB →,则m +n 的取值范围是( ).A .(0,1)B .(1,+∞)C .(-∞,-1)D .(-1,0)解析 由点D 是圆O 外一点,可设BD →=λ BA →(λ>1),则 OD →=OB →+λ BA →=λ OA →+(1-λ)OB →.又C ,O ,D 三点共线,令OD →=-μ OC →(μ>1),则OC →=-λμOA →-1-λμOB →(λ>1,μ>1),所以m =-λμ,n =-1-λμ,且m +n =-λμ-1-λμ=-1μ∈(-1,0).答案 D 二、填空题3.(2014·南京质检)设OA →=(1,-2),OB →=(a ,-1),OC →=(-b,0),a >0,b >0,O 为坐标原点,若A ,B ,C 三点共线,则1a +2b的最小值为________.解析 AB →=OB →-OA →=(a -1,1),AC →=OC →-OA →=(-b -1,2).∵A ,B ,C 三点共线, ∴AB →∥AC →.∴2(a -1)-(-b -1)=0, ∴2a +b =1.∴1a +2b =⎝⎛⎭⎫1a +2b (2a +b ) =4+b a +4ab≥4+2b a ·4a b=8. 当且仅当b a =4a b ,即b =12,a =14时取等号.∴1a +2b 的最小值是8. 答案 8 三、解答题4. 如图,已知点A (1,0),B (0,2),C (-1,-2),求以A ,B ,C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标.解 以A ,B ,C 为顶点的平行四边形可以有三种情况: ①▱ABCD ;②▱ADBC ;③▱ABDC . 设D 的坐标为(x ,y ),①若是▱ABCD ,则由AB →=DC →,得 (0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x ,y ), 即(-1,2)=(-1-x ,-2-y ),∴⎩⎪⎨⎪⎧-1-x =-1,-2-y =2,∴x =0,y =-4. ∴D 点的坐标为(0,-4)(如题图中所示的D 1). ②若是▱ADBC ,由CB →=AD →,得 (0,2)-(-1,-2)=(x ,y )-(1,0), 即(1,4)=(x -1,y ),解得x =2,y =4.∴D 点的坐标为(2,4)(如题图中所示的D 2). ③若是▱ABDC ,则由AB →=CD →,得 (0,2)-(1,0)=(x ,y )-(-1,-2),即(-1,2)=(x +1,y +2).解得x =-2,y =0. ∴D 点的坐标为(-2,0)(如题图中所示的D 3),∴以A ,B ,C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标为(0,-4)或(2,4)或(-2,0).。
"【优化探究】2015高考数学 4-2 平面向量基本定理及坐标表示提素能高效训练 新人教A 版 理 "[A 组 基础演练·能力提升]一、选择题1.(2014年福州质检)已知向量a =(m 2,4),b =(1,1),则“m =-2”是“a ∥b ”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:依题意,当m =-2时,a =(4,4),b =(1,1),所以a =4b ,a ∥b ,即由m =-2可以推出a ∥b ;当a ∥b 时,m 2=4,得m =±2,所以不能推得m =-2,即“m =-2”是“a ∥b ”的充分而不必要条件.答案:A2.如图,在平行四边形ABCD 中,E 为DC 边的中点,且AB →=a ,AD →=b ,则BE →=( )A .b -12aB .b +12aC .a +12bD .a -12b解析:BE →=BA →+AD →+DE →=-a +b +12a =b -12a.答案:A3.(2014年大同模拟)已知向量a =(1,2),b =(-2,m),若a ∥b ,则|2a +3b|=( ) A.70 B .4 5 C .3 5D .2 5解析:依题意得,m 2=-21,故m =-4,2a +3b =2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8),故|2a +3b|=(-4)2+(-8)2=45,选B.答案:B4.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是三个内角A ,B ,C 的对边,设向量p =(b -c ,a -c),q =(c +a ,b),若p ∥q ,则角A 的大小是( )A .30°B .45°C .60°D .90°解析:∵p ∥q ,∴b ·(b -c)=(a -c)·(a +c),整理得b 2+c 2-a 2=bc ,故cos A =b 2+c 2-a 22bc=12,故A =60°. 答案:C5.(2014年北京东城区综合练习)已知向量a =(2,3),b =(-1,2),若ma +nb 与a -2b 共线,则mn=( )A .-2B .2C .-12D.12解析:由向量a =(2,3),b =(-1,2)得ma +nb =(2m -n,3m +2n),a -2b =(4,-1),因为ma +nb 与a -2b 共线,所以(2m -n)×(-1)-(3m +2n)×4=0,整理得m n =-12.答案:C6.(2014年郑州模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量a =(1,2),b =(m,3m -2),且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c =λa +μb(λ,μ为实数),则m 的取值范围是( )A .(-∞,2)B .(2,+∞)C .(-∞,+∞)D .(-∞,2)∪(2,+∞)解析:由题意知向量a ,b 不共线,故m ≠3m -22,解得m ≠2.答案:D 二、填空题7.(2014年衡阳六校联考)已知向量a =(2,-1),b =(-1,m),c =(-1,2),若(a +b)∥c ,则m =________.解析:由题意知a +b =(1,m -1),c =(-1,2),由(a +b)∥c ,得1×2-(m -1)×(-1)=m +1=0,所以m =-1.答案:-18.在△ABC 中,点P 在BC 上,且BP →=2PC →,点Q 是AC 的中点,若PA →=(4,3),PQ →=(1,5),则BC →=________.解析:AQ →=PQ →-PA →=(-3,2), ∴AC →=2AQ →=(-6,4). PC →=PA →+AC →=(-2,7), ∴BC →=3PC →=(-6,21).答案:(-6,21)9.已知直线x +y =a 与圆x 2+y 2=4交于A 、B 两点,且|OA →+OB →|=|OA →-OB →|,其中O为坐标原点,则实数a 的值为________.解析:如图所示,以OA 、OB 为边作平行四边形OACB ,则由|OA →+OB →|=|OA →-OB →|得,平行四边形OACB 是矩形,OA →⊥OB →.由图象得,直线y =-x +a 在y 轴上的截距为±2.答案:±2 三、解答题10.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB →=a ,BC →=b ,CA →=c ,且CM →=3c ,CN →=-2b.(1)求3a +b -3c ;(2)求满足a =mb +nc 的实数m ,n ; (3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标.解析:由已知得a =(5,-5),b =(-6,-3),c =(1,8). (1)3a +b -3c =3×(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)∵mb +nc =(-6m +n ,-3m +8n),∴⎩⎪⎨⎪⎧-6m +n =5,-3m +8n =-5,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =-1,n =-1.(3)设O 为坐标原点,∵CM →=OM →-OC →=3c , ∴OM →=3c +OC →=(3,24)+(-3,-4)=(0,20). ∴M(0,20).又∵CN →=ON →-OC →=-2b ,∴ON →=-2b +OC →=(12,6)+(-3,-4)=(9,2), ∴N(9,2).∴MN →=(9,-18). 11.已知a =(1,0),b =(2,1). (1)求|a +3b|;(2)当k 为何实数时,ka -b 与a +3b 平行,平行时它们是同向还是反向? 解析:(1)因为a =(1,0),b =(2,1),所以a +3b =(7,3),∴|a +3b|= 72+32=58. (2)ka -b =(k -2,-1),a +3b =(7,3), 因为ka -b 与a +3b 平行,所以3(k -2)+7=0, 即k =-13.此时ka -b =(k -2,-1)=⎝ ⎛⎭⎪⎫-73,-1,a +3b =(7,3), 则a +3b =-3(ka -b),即此时向量a +3b 与ka -b 方向相反.12.(能力提升)在△ABC 中,点P 是AB 上一点,且CP →=23CA →+13CB →,Q 是BC 的中点,AQ与CP 的交点为M ,又CM →=tCP →,试求t 的值.解析:∵CP →=23CA →+13CB →,∴3CP →=2CA →+CB →, 即2CP →-2CA →=CB →-CP →, ∴2AP →=PB →,即P 为AB 的一个三等分点(靠近点A),如图所示. ∵A ,M ,Q 三点共线,∴设CM →=xCQ →+(1-x)CA →=x 2CB →+(x -1)AC →,而CB →=AB →-AC →,∴CM →=x 2AB →+⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-1AC →.又CP →=AP →-AC →=13AB →-AC →,由已知CM →=tCP →可得,x 2AB →+⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-1AC →=t ⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →-AC →, ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2=t 3x 2-1=-t,解得t =34.[B 组 因材施教·备选练习]1.(2014年沈阳模拟)设O 在△ABC 的内部,且有OA →+2OB →+3OC →=0,则△ABC 的面积和△AOC 的面积之比为( )A .3 B.53 C .2 D.32解析:设AC 、BC 的中点分别为M ,N ,则已知条件可化为(OA →+OC →)+2(OB →+OC →)=0,即OM →+2ON →=0,所以OM →=-2ON →,说明M 、O 、N 共线,即O 为中位线MN 上的三等分点,S △AOC =23S △ANC =23·12S △ABC =13S △ABC ,所以S △ABC S △AOC=3. 答案:A2.(2014年福州质检)在矩形ABCD 中,AB =1,AD =3,P 为矩形内一点,且AP =32,若AP →=λAB →+μAD →(λ,μ∈R),则λ+3μ的最大值为( )A.32B.62C.3+34D.6+324解析:因为AP →=λAB →+μAD →,所以|AP →|2=|λAB →+μAD →|2,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫322=λ2|AB →|2+μ2|AD →|2+2λμAB →·AD →,因为AB =1,AD =3,AB ⊥AD ,所以34=λ2+3μ2.又34=λ2+3μ2≥2 3 λμ,所以(λ+3μ)2=34+23λμ≤34+34=32,所以λ+ 3 μ的最大值为62,当且仅当λ=64,μ=24时取等号.答案:B3.对向量a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2)定义一种运算“⊗”:a ⊗b =(a 1,a 2)⊗(b 1,b 2)=(a 1b 1,a 2b 2).已知动点P ,Q 分别在曲线y =sin x 和y =f(x)上运动,且OQ →=m ⊗OP →+n(其中O 为坐标原点),若向量m =⎝ ⎛⎭⎪⎫12,3,n =⎝⎛⎭⎫π6,0,则y =f(x)的最大值为( )A.12 B .2 C .3D. 3解析:设P =(x 1,y 1),Q =(x ,y),∵m =⎝ ⎛⎭⎪⎫12,3,∴m ⊗OP →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,3⊗(x 1,y 1)=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12,3y 1,∵OQ →=m ⊗OP →+n ,n =⎝⎛⎭⎫π6,0,∴(x ,y)=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12,3y 1+⎝⎛⎭⎫π6,0,∴x =x 12+π6,y =3y 1,∴x 1=2x -π3,y 1=y 3,又y 1=sin x 1,∴y3=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3,∴y =3sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3,显然当sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3=1时,y =f(x)取得最大值3.答案:C。
4.2 平面向量基本定理及坐标表示[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1.已知向量a ,b 不共线,c =k a +b (k ∈R ),d =a -b .如果c ∥d ,那么( ) A .k =1且c 与d 同向 B .k =1且c 与d 反向 C .k =-1且c 与d 同向 D .k =-1且c 与d 反向答案 D解析 ∵c ∥d ,∴(k a +b )∥(a -b ),∴存在λ使k a +b =λ(a -b ),∴⎩⎪⎨⎪⎧k =λ,1=-λ⇒⎩⎪⎨⎪⎧k =-1,λ=-1.∴c =-a +b ,∴c 与d 反向.故选D.2.(2018·襄樊一模)已知OA →=(1,-3),OB →=(2,-1),OC →=(k +1,k -2),若A ,B ,C 三点不能构成三角形,则实数k 应满足的条件是( )A .k =-2B .k =12 C .k =1 D .k =-1答案 C解析 若点A ,B ,C 不能构成三角形,则向量AB →与AC →共线.因为AB →=OB →-OA →=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),AC →=OC →-OA →=(k +1,k -2)-(1,-3)=(k ,k +1).所以1×(k +1)-2k =0,解得k =1,故选C.3.(2018·怀化一模)设向量a =(1,-3),b =(-2,4),c =(-1,-2),若表示向量4a,4b -2c,2(a -c ),d 的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量d =( )A .(2,6)B .(-2,6)C .(2,-6)D .(-2,-6)答案 D解析 设d =(x ,y ),由题意知4a =(4,-12),4b -2c =(-6,20),2(a -c )=(4,-2),又4a +4b -2c +2(a -c )+d =0,所以(4,-12)+(-6,20)+(4,-2)+(x ,y )=(0,0),解得x =-2,y =-6,所以d =(-2,-6).故选D.4.(2017·河南高三质检)在△ABC 中,∠BAC =60°,AB =5,AC =4,D 是AB 上一点,且AB →·CD →=5,则|BD →|等于( )A .6B .4C .2D .1 答案 C解析 设AD →=λAB →,∵CD →=AD →-AC →,∴AB →·CD →=AB →·(AD →-AC →)=λAB →2-AB →·AC →=5,可得25λ=15,∴λ=35,∴|BD →|=25|AB →|=2,故选C.5.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,设向量OA →=a ,OB →=b ,其中a =(3,1),b =(1,3).若OC →=λa +μb ,且0≤λ≤μ≤1,则C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )答案 A解析 由题意知OC →=(3λ+μ,λ+3μ),取特殊值,λ=0,μ=0,知所求区域包含原点,排除B ;取λ=0,μ=1,知所求区域包含(1,3),排除C ,D ,故选A.6.(2018·茂名检测)已知向量a =(3,-2),b =(x ,y -1)且a ∥b ,若x ,y 均为正数,则3x +2y的最小值是( )A .24B .8 C.83 D.53答案 B解析 ∵a ∥b ,∴-2x -3(y -1)=0,即2x +3y =3,又x ,y >0,∴3x +2y =⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +2y ×13(2x+3y )=13⎝ ⎛⎭⎪⎫6+9y x +4x y +6≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫12+29y x ·4x y =8,当且仅当2x =3y =32时,等号成立.∴3x +2y的最小值是8.故选B.7.(2017·济南二模)如图所示,两个非共线向量OA →、OB →的夹角为θ,N 为OB 中点,M为OA 上靠近A 的三等分点,点C 在直线MN 上,且OC →=xOA →+yOB →(x ,y ∈R ),则x 2+y 2的最小值为( )A.425B.25C.49D.23 答案 A解析 因为点C ,M ,N 共线,则OC →=λOM →+μON →=23λOA →+12μOB →,λ+μ=1,由OC →=xOA →+yOB →,x =23λ,y =12μ=12(1-λ),x 2+y 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ2+14(1-λ)2=2536λ2-λ2+14,设g (λ)=2536λ2-λ2+14,由二次函数的性质可知:当λ=925时,g (λ)取最小值,最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫925=425,所以x 2+y 2的最小值为425,故选A.8.(2017·河南中原名校联考)如图所示,矩形ABCD 的对角线相交于点O ,E 为AO 的中点,若DE →=λAB →+μAD →(λ,μ为实数),则λ2+μ2=( )A.58B.14 C .1 D.516 答案 A解析 DE →=12DA →+12DO →=12DA →+14DB →=12DA →+14(DA →+AB →)=14AB →-34AD →,所以λ=14,μ=-34,故λ2+μ2=58.故选A.9.(2018·安徽十校联考)已知A ,B ,C 三点不共线,且AD →=-13AB →+2AC →,则S △ABDS △ACD =( )A.23B.32 C .6 D.16 答案 C解析 如图,取AM →=-13AB →,AN →=2AC →,以AM ,AN 为邻边作平行四边形AMDN ,此时AD →=-13AB →+2AC →.由图可知S △ABD =3S △AMD ,S △ACD =12S △AND ,而S △AMD =S △AND ,∴S △ABDS △ACD=6.故选C. 10.如图所示,在四边形ABCD 中,AB =BC =CD =1,且∠B =90°,∠BCD =135°,记向量AB →=a ,AC →=b ,则AD →=( )A.2a -⎝ ⎛⎭⎪⎫1+22b B .-2a +⎝ ⎛⎭⎪⎫1+22b C .-2a +⎝⎛⎭⎪⎫1-22b D.2a +⎝ ⎛⎭⎪⎫1-22b 答案 B解析 根据题意可得△ABC 为等腰直角三角形,由∠BCD =135°,得∠ACD =135°-45°=90°.以B 为原点,AB 所在直线为x 轴,BC 所在直线为y 轴建立如图所示的直角坐标系,并作DE ⊥y 轴于点E ,则△CDE 也为等腰直角三角形.由CD =1,得CE =ED =22,则A (1,0),B (0,0),C (0,1),D ⎝ ⎛⎭⎪⎫22,1+22,∴AB →=(-1,0),AC →=(-1,1),AD →=⎝ ⎛⎭⎪⎫22-1,1+22.令AD →=λAB →+μAC →,则有⎩⎪⎨⎪⎧-λ-μ=22-1,μ=1+22,得⎩⎪⎨⎪⎧λ=-2,μ=1+22,∴AD →=-2a +⎝⎛⎭⎪⎫1+22b .故选B.二、填空题11.在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,且DC =2AB ,三个顶点A (1,2),B (2,1),C (4,2),则点D 的坐标为________.答案 (2,4)解析 ∵在梯形ABCD 中,DC =2AB ,AB ∥CD ,∴DC →=2AB →.设点D 的坐标为(x ,y ),则DC →=(4-x,2-y ),AB →=(1,-1),∴(4-x,2-y )=2(1,-1), 即(4-x,2-y )=(2,-2),∴⎩⎪⎨⎪⎧4-x =2,2-y =-2,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =4,故点D 的坐标为(2,4).12.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,设向量p =(a +c ,b ),q =(b -a ,c -a ),若p ∥q ,则角C 的大小为________.答案 60°解析 由p ∥q ,得(a +c )(c -a )=b (b -a ),整理, 得b 2+a 2-c 2=ab .由余弦定理,得cos C =a 2+b 2-c 22ab =12.又0°<C <180°,∴C =60°.13.(2017·太原三模)在△ABC 中,AB =3,AC =2,∠BAC =60°,点P 是△ABC 内一点(含边界),若AP →=23AB →+λAC →,则|AP →|的最大值为________.答案2133 解析 以A 为原点,以AB 所在的直线为x 轴,建立如图所示的坐标系,∵AB =3,AC =2,∠BAC =60°, ∴A (0,0),B (3,0),C (1,3), 设点P 为(x ,y ),0≤x ≤3,0≤y ≤3,∵AP →=23AB →+λAC →,∴(x ,y )=23(3,0)+λ(1,3)=(2+λ,3λ),∴⎩⎨⎧x =2+λ,y =3λ∴y =3(x -2),① 直线BC 的方程为y =-32(x -3),② 联立①②,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =73,y =33,此时|AP →|最大,∴|AP |=499+13=2133. 14.(2018·江西南昌一模)已知三角形ABC 中,AB =AC ,BC =4,∠BAC =120°,BE →=3EC →,若点P 是BC 边上的动点,则AP →·AE →的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤-23,103解析 因为AB =AC ,BC =4,∠BAC =120°,所以∠ABC =30°,AB =433.因为BE →=3EC →,所以BE →=34BC →.设BP →=tBC →,则0≤t ≤1,所以AP →=AB →+BP →=AB →+tBC →,又AE →=AB →+BE →=AB →+34BC →,所以AP →·AE →=(AB →+tBC →)·⎝⎛⎭⎪⎫AB →+34BC →=AB →2+tBC →·AB →+34BC →·AB →+34tBC →2=163+t ×4×433cos150°+34×4×433·cos150°+34t ×42=4t -23, 因为0≤t ≤1,所以-23≤4t -23≤103,即AP →·AE →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-23,103.三、解答题15.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →,它们的夹角为2π3. 如图所示,点C 在以O 为圆心的上运动.若OC →=xOA →+yOB →,其中x ,y ∈R ,求x +y的最大值.解 以O 为坐标原点,OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A (1,0),B ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,32.设∠AOC =α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,2π3,则C (cos α,sin α),由OC →=xOA →+yOB →,得⎩⎪⎨⎪⎧cos α=x -12y ,sin α=32y ,所以x =cos α+33sin α,y =233sin α, 所以x +y =cos α+3sin α=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6,又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,2π3,所以当α=π3时,x +y 取得最大值2.16.(2018·湖北襄阳阶段测试)在如图所示的平面直角坐标系中,已知点A (1,0)和点B (-1,0),|OC →|=1,且∠AOC =x ,其中O 为坐标原点.(1)若x =34π,设点D 为线段OA 上的动点,求|OC →+OD →|的最小值;(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,向量m =BC →,n =(1-cos x ,sin x -2cos x ),求m ·n 的最小值及对应的x 值.解 (1)设D (t,0)(0≤t ≤1),由题易知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫-22,22, 所以OC →+OD →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-22+t ,22, 所以|OC →+OD →|2=12-2t +t 2+12=t 2-2t +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫t -222+12(0≤t ≤1),所以当t =22时,|OC →+OD →|2最小,最小值为22.(2)由题意得C (cos x ,sin x ),m =BC →=(cos x +1,sin x ), 则m ·n =1-cos 2x +sin 2x -2sin x cos x =1-cos2x -sin2x =1-2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,所以π4≤2x +π4≤5π4,所以当2x +π4=π2,即x =π8时,sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π4取得最大值1, 所以m ·n 的最小值为1-2,此时x =π8.。
1.根据课文默写(10分)(1)抽刀断水水更流,。
(李白《宣州谢朓楼饯别校书叔云》)(2)?怅望青田云水遥。
(白居易《池鹤》)(3)__________,欲上青天揽明月。
(李白《宣州谢朓楼饯别校书叔云》)(4)翅湿沾微雨,。
(葛天民《迎燕》)(5)无丝竹之乱耳,。
(刘禹锡《陋室铭》)(6)__________,小桥流水人家。
(马致远《天净沙秋思》)(7)只辱于奴隶人之手,。
(韩愈《马说》)(8)浊酒一杯家万里,。
(范仲淹《渔家傲》)(9)__________,高斋闻雁来。
(韦应物《闻雁》)(10)__________,草色入帘青。
(刘禹锡《陋室铭》)2.积累与应用(每空1分,共18分)1、《伤仲永》的作者是(朝代)的_________。
他是_____家、_____家。
2、课文《木兰诗》中,反映战争惨烈和持久的句子是____________,_________;反映木兰不贪图功名利禄的句子是___________,___________;3、《山中杂诗》中与“白云深处有人家”一句相似的诗句是__________,__________4、王维在《竹里馆》中描写夜静人寂,明月相伴的诗句是___________,____________。
5、《峨眉山月歌》中最能体现意境晴朗秀美,风致自然天成的诗句是______,_______。
6、_______一切都将会过去,而那过去了的,________________。
选自《假如生活欺骗了你》7、___________,光滑的石井栏,高大的皂荚树,_______________。
选自《从百草园到三味书屋》1.阅读选文,完成后面小题(共10分)让风为手机发电杨先碧①如今,我们可以利用智能手机做很多事情,除了传统的打电话、发短信外,还可以完成网络浏览、社交、游戏等任务。
人们每天使用手机的时间大大增加,电池电量不够用的问题越来越突出。
如何随时“来电”?美国科学家提出了一种新的设想,吹吹风就可以让手机充电。
②风力可以用来发电是众所周知的事情了,但是如何把这一技术用到手机上,则需要进行技术创新。
因为手机本身是一个便携式小电器,为它配备的风力发电机也要很小以便于携带,最好是能附着在手机上。
另外,为手机配备的风力发电机要随时放在包包里或衣袋里,因此要十分结实,不能和别的物体一撞就碎。
③要满足以上条件,就需要对手机上的风力发电设施进行创新。
美国德州大学阿灵顿分校的研究人员想出了一个好办法:他们在手机外壳上粘贴一些扁平化的微型风力发电机。
这些风力发电机很小,厚度只有几十微米,几乎不会增加手机的厚度和重量。
这些风力发电机直径只有1.8毫米,一个手机外壳上就可以粘贴上百个微型风力发电机。
这种微型发电机究竟有多小呢?研究人员说,一粒饱满的米上就可以贴10个这样的发电机。
④一个微型发电机产生的电量微不足道,但是几百个微型发电机一起启动,就可以为手机进行快速充电了。
在风力充足的地方,比如电风扇前、户外有风的地方,几分钟就可以为手机充满电。
在没有风的地方,也可以挥舞手机,因为挥动就可以产生“人工风”。
挥上几分钟,可以用上几小时,这样的劳动还是值得的。
⑤在微型风力发电机的材料选择上,研究人员也费了不少心思。
现在,市面上常见的微型风力发电机采用塑料制造扇叶,这在独立使用的情况下没有什么问题,若是贴在手机上用肯定不行,稍稍一挤压就成了碎片。
研究人员尝试了多种材料,最终采用了柔性镍合金。
这种材料制成的风力发电机强度和韧性都很好,不怕挤压,不会变形,也不怕强风吹。
⑥研究人员表示,假如此项研究真能成功,微型风力发电机将具有很好的应用前景,这种发电机可以安装在许多便携式电器上,使它们随时“来电”。
还可以安装在一些微型机器人上,方便保持机器人的电量。
甚至可以安装在电动汽车上。
想象一下,当汽车在道路上奔驰时,密布在汽车外壳上的成千上万个微型风力发电机迎风启动,产生的“涓涓电流”汇聚成“大电流”,这样汽车在行驶的过程中就可以自动充电了。
但目前,微型风力发电机还在研究之中,要投入日常使用还有一段路要走。
(选自科学网2015年2月“科普集锦”,有删改)【小题1】第④段说“这样的劳动还是值得的”,结合前文,说说“这样的劳动”具体指什么?(2分)【小题2】第③段画线句子运用了什么说明方法?作用是什么?(3分)【小题3】第⑤段“现在,市面上常见的微型风力发电机采用塑料制造扇叶”一句中,“常见的”一词能否删去?为什么?(2分)【小题4】科技改变生活,结合选文__________,试想有朝一日,微型风力发电机研发成功,可在哪些方面运用?(3分)2.阅读下面的文字,完成后面小题。
(15分)鞋中鞋张格娟①父亲刚一进门,就急忙脱掉皮鞋,旁若无人地抠起了脚心,嘴里还不住地大声说“痒,真痒啊!”家里人都清楚,他的脚气病又犯了。
父亲的脚气病折磨了他好几年了,四处求医问药,也只能是反反复复,不见有所好转的迹象。
②坐在沙发一旁的外婆发话了,她说,我有良方,保证药到病除。
③父亲哈哈大笑说:“我访遍了多少个名医了,都是于事无补,妈,您还是别开这个玩笑了。
”外婆从里屋拿出一双麻鞋交给了父亲说,试试吧。
父亲穿上那双笨重的麻鞋,在家里走了几圈说:“感觉还真是不一样啊!”④在我幼小的记忆中,父亲从来都不爱穿麻鞋。
⑤这还得源于他疼痛的读书时代。
那时候,爷爷去世的早,后来,奶奶不幸也走了。
北方的冬天,是五岁的父亲记忆最深刻的季节了。
那时候,一年四季穿着麻鞋。
冬天,赤着双脚穿麻鞋,冻得两只脚像猪蹄,红红肿肿的,一到晚上,睡在炕头,奇痒无比。
脚后跟上的裂纹,像一张张鱼嘴,密密地斜布着,时不时地还渗出血珠子。
⑥慢慢地,父亲也穿出了诀窍,将麦草秸秆揉软,用针线串起来,裹在脚上,再穿麻鞋就舒服多了。
他们把这种鞋中鞋,也叫套鞋。
父亲幼小的心里,就暗暗发誓,将来等他有了钱,他就穿最好的鞋。
父亲讲着他的故事时,我看到他眼睛里蓄满了泪水。
⑦皮鞋成了父亲最初奋斗的目标。
⑧当年,大学毕业后的父亲,入赘到我母亲家,我的外婆,能做好多麻鞋和布鞋,但父亲却一双也没有穿过。
后来,父亲也如愿以偿地当了县XX局的局长。
他每天穿着皮鞋出入于各种大会小会场,说这是工作需要。
⑨记不清从哪一天起,家里的客人突然间多了起来,隔三差五地提着大包小包出现在我们家的客厅里,那时候,只有四岁的我,总会从皮鞋里翻出厚厚的一沓钱,拿给外婆看,坐在灯下纳鞋底的外婆,长长地叹一口气说:“妞妞,将钱放回原处吧!看来,你爸爸得穿草鞋了。
”我总歪着脑袋,奇怪地问:“外婆,为什么呀?”外婆说,皮鞋不透气,穿着脚憋。
麻鞋穿着舒服,心里踏实。
⑩还真应了外婆的话,一到夏天,父亲的脚就出现许多大大小小的水泡,还溃烂,医生说那是脚气,这可恶的脚气让父亲受了不少罪。
后来,那些锃亮的皮鞋连同包裹被请出了我们家。
父亲说,这些鞋不可怕,可怕的是鞋中鞋呀,分明是一个个鞋套嘛!外婆笑逐颜开地对我说:“妞妞啊,外婆没看错你爸爸。
”11外婆就用她干瘦的双手,纳了厚厚的布鞋底,做了一双麻鞋给父亲穿。
说实在的,那双鞋丑极了,鞋底笨笨拙拙地厚实,加之,外婆眼神不好,针脚也歪歪扭扭。
和专卖店里那些精巧的皮凉鞋相比,真是一个天鹅,一个是十足的丑小鸭了。
12被脚气折磨得痛苦不堪的父亲,这次却破例穿起了外婆做的麻鞋。
说来也怪,从那以后,父亲的脚气,奇迹般地好了。
每到夏天,外婆都会给父亲做好几双麻鞋。
他们局机关的男同志都穿起了麻鞋。
父亲还引领了一阵麻鞋的时尚潮。
13外婆临终前对父亲说:“儿呀,麻鞋虽丑,但那是娘纳的千层底,结实啊!人活着,心正脚跟才稳。
不论什么时候都要管住自己的脚,不能伸太长了。
鞋子小了,脚会夹伤;鞋子大了,脚也会受伤。
更不要穿鞋中鞋啊!”父亲流着泪点了点头。
14在外婆的箱子里,父亲拿出了十多双崭新的麻鞋。
15后来,市场上兴起了一种机制的麻鞋,样子比外婆做的轻巧好看多了。
可父亲还是喜欢外婆给他做的麻鞋。
他说,穿着它,图得是一个心境敞亮!(选文有删改)【小题1】文章插叙了父亲读书时代穿麻鞋的经历,有何作用?(3分)【小题2】阅读文章,简要分析下面语句中父亲两次流泪的原因。
(2分)(1)父亲讲着他的故事时,我看到他眼睛里蓄满了泪水。
(2)父亲流着泪点了点头。
【小题3】赏析第11段画横线句子的表达效果。
(3分)【小题4】请结合文章具体分析外婆的性格特点。
(4分)【小题5】请结合文章内容说说标题“鞋中鞋”的含义。
(3分)1.阅读《宋史?杨时传》,完成后面问题。
(14分)杨时字中立,南剑将乐人。
幼颖异,能属文①,稍长,潜心经史。
熙宁九年,中进士第。
时河南程颢与弟颐讲孔、孟绝学②。
于熙、元之际,河、洛③之士翕然④师之。
时调官不赴,以师礼见颢于颍昌,相得甚欢。
其归也,颢目送之,曰:“吾道南矣。
”四年而颢死,时闻之,设位哭寝门⑤,而以书赴告同学者。
至是,又见程颐于洛,时盖年四十矣。
一日见颐,颐偶瞑坐,时与游酢⑥侍立不去,颐既觉,则门外雪一尺矣。
……德望日重,四方之士不远千里从之游,号曰龟山先生。
【注释】①属(zhǔ)文:写文章。
②绝学:宏伟独到的学术。
③河、洛:黄河与洛水,也指这两条河之间的地区。
④翕(xī)然:统一或协调的样子。
⑤寝门:内门。
⑥游酢:字定夫,建州建阳人。
程门四大弟子之一。
【小题1】根据要求,完成下列两小题。
(6分)⑪解释下列句中加点词的意思。
(4分)①河、洛之士翕然师之 ( )②时盖年四十 ( )③颐既觉 ( )④侍立不去( )⑫下列各句与例句中“以”的用法相同的一项是()(2分)例句:以师礼见颢于颍昌A.策之不以其道(《马说》)B.遂以名楼(《黄鹤楼》) C.一儿以日初远(《两小儿辩日》)D.以其境过清(《小石潭记》)【小题2】用“”标出下面句子的两处朗读停顿。
(2分)时河南程颢与弟颐讲孔、孟绝学【小题3】用现代汉语翻译下列句子。
(4 分)⑪时调官不赴,以师礼见颢于颖昌,相得甚欢。
⑫此印者才毕,则第二板已具。
(《活板》)【小题4】阅读下面的链接材料,回答问题。
(2 分)【链接】当余之从师也,负箧曳屣,行深山巨谷中,穷冬烈风,大雪深数尺,足肤皲裂而不知。
(——《送东阳马生序》)选文与链接材料都写到了“雪”,试分别回答写“雪”的作用。
_________________________________________________________________1.阅读下面这首古诗,完成(1)(2)两小题。
(5分)晚春唐·韩愈草木知春不久归,百般红紫斗芳菲。
杨花榆荚无才思,惟解漫天作雪飞。
【注】杨花:柳絮。
榆荚:榆钱,榆未生叶时,先在枝间生荚,荚小如钱,荚老呈白色,随风飘落。
【小题1】一、二句中的“不久归”和“斗芳菲”展示了怎样一幅春景图?(2分)【小题2】三、四句中,你读出了怎样的人生感悟?(3分)2.眼见客愁愁不醒,无赖春色到江亭。