11.3角平分线的性质(一)

11．3．1角的平分线的性质执笔人：王金梅审核人：董介文孙秀云【学习内容】教材P19－20【学习目标】1.掌握作已知角的平分线的方法，并掌握角平分线的性质。

2.在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉。

3.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力。

4.初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用。

5.在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。

【学习重点】利用尺规作已知角的平分线，角的平分线的性质的证明及运用。

【学习难点】角的平分线性质的探究；运用角平分线的性质解决相关的实际问题。

【教学准备】平分角的仪器（自制）、三角尺、圆规、多媒体课件。

【学习过程】[知识回顾]1、全等三角形的性质：若△ABC≌△DEF，则有。

2、三角形全等的判定方法有：。

3、如图，AB＝AD，BC＝DC，求证AC是∠DAB的平分线[自主探究]【活动1】问题：在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法，如何确定角的平分线？学生实验：通过折纸的方法作角的平分线。

教师展示课件，并展示学生作品。

[设计意图]回忆角的平分线的定义，掌握角的平分线的简易作法。

让学生体验成功。

【活动2】 ( 体会平分角的仪器道理)议一议：如何将一个角平分是一个有趣的实验课题，有一个简易平分角的仪器，如图，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？（教师演示，并介绍“平分角的仪器”的特点。

学生将实物图抽象出数学图形，思考后组内交流.）本次活动中，教师重点关注：(1)学生是否能从简易角平分仪器中抽象出两个三角形；(2)学生能否运用三角形全等的条件证明两个三角形全等，从而说明线段AE 是∠BAD 的平分线。

（师生共同分析讨论，探究问题的解答.）分析：要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB 。

A
E O
B
D
C
练习与拓展
1、判断正误，并说明理由。 如图1，P在射线OC上，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，则 PE=PF. （ ）
如图2，P是∠AOB的平分线上任一点，E、F分别在OA、OB 上，则PE=PF （ ）
如图3，在∠AOB的平分线上取点P，若点P到OA的距离为
3cm，则点P到OB的距离也为3cm。 （ ）
B F
C
B
F
C
B C
P P
P
O
E AO
图1
图2 E A O
图3
A
练习与拓展
选择题
2. 如图，OC平分∠AOB，CA⊥OA于A，CB⊥OB
于B，下列结论一定成立的是（ ）
A . AC=BC
B. AO=BO
A
C. OC平分∠ACB
D. 以上都成立
C
O
B
练习与拓展
3、已知如图△ABC中，∠C=90°， A
B
N
C O
A
O
M
探究角平分线的性质
已知：如图，OP平分∠MON, C为OP上任一点， (1)若OA=OB,则AC与BC相等吗？
N B
CP O
A M
探究角平分线的性质
已知：如图，OP平分∠MON, C为OP上任一点， ((12))若若OCAA=⊥OOBM,则于AAC，与CBBC⊥相O等N吗于？B，则AC与BC相等吗？ 你能得出什么结论？
B O
B C
C
A
O
A
A
如 图 ： 在 △ ABC 中 ，
∠C=90° AD是∠BAC的平分
线，DE⊥AB于E，F在AC上，

为什么 AE一定是 ∠A的角平分线,你能 说明它的道理吗?
D C E
B
证明：在△ACD和△ACB中 ∵ AD=AB DC=BC AC=AC ∴ △ACD≌ △ACB（SSS） ∴∠CAD=∠CAB D ∴AC是∠A的角平分线
A
B C
？
E
如何用尺规作角平分线？
动动手，你也可以做到
2、尺规作角的平分线
练习：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平
分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于 点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ 所在直线的距离相等． Ｄ
Ｃ F H
Ｐ
Ｂ G
Ｅ
Ａ
例2 如图，已知CD⊥AB于D， BE⊥AC于E，∠1＝∠2， 求证：OB＝OC.
C
E
1 2
O D B 《目检》练习P13 6
A
例3、已知BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E， BD、CE交点F，CF＝BF， 求证：点F在∠A的平分线上．
C D F A E B N
《目检》练习P16 4
M
例5、已知：如图，在四边形ABCD中， BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC. 求证：∠A＋∠C＝180°
A D
B
C
《目检》练习P14 8
1：画一个已知角的角平分线； 及画一条已知直线的垂线；
2：角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 3：角平分线的判定结论： 到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
1：画一个已知角的角平分线；
画法：①量角器；②平分角的仪器；③尺规作图 并会画一条已知直线的垂线；
2：角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
3：角平分线的判定： 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

B D A E C A D E C
A
E B D
F C
当堂训练 暗线:课本P22 第2 、3题
1、《全品》P13-14课时作业（七） 2、预习P19
4．如图，已知：E是∠AOB的平分 线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA， 求证:OD=OC
D O
C A
E B
应用与提高
例：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是 △ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在 AC上，BD=DF， A 求证CF=EB.
课堂练习:
1.如图,P是∠ACB平分线cM上的一点, 则利用角平分线的性质要使PD=PE,需 满足的条件是_____________.
E C D A
M P B
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC 如果AB=10cm， EC=4cm，那么S△ABE=（ ） A.20cm2 B.30cm2 C.40cm2 D.无法确定 B
s
解： 作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm , 点D即为所求。 O
D
s
C
探究P20.动手做一做,画一画.
画∠AOB的平分线OC,在OC上找一点P,过 点P作PD⊥OA, PE⊥OB,垂足分别为D、E. 比较折纸过程, PD和PE有什么数量关系?
你能得出什么结论?
角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
得到_____=_____。
1
C
3 4
A
2 2
B
D
例题选讲一
例1、已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD、BE交于点O， 且AO平分∠BAC，求证：OB=OC
A D O E C
课本P22【练习】
B