一类无限可能问题的解法

应用背景在现实生活中，我们经常会遇到各种应用题，例如数学问题、物理问题、工程问题等等。

这些应用题通常需要我们运用一定的知识和技巧来解决，有时候也需要一些创新的思维和方法。

然而，有些应用题可能比较复杂，难以直接找到解决方法，这时我们就需要运用一些破解的技巧来帮助我们解决问题。

破解应用题的目的是通过分析问题、提取关键信息和运用合适的方法，找到解题的突破口，并最终得出正确答案。

十八招破解应用题是一套常见且实用的方法论，可以帮助我们更好地处理各种应用题。

应用过程下面将详细介绍十八招破解应用题的具体步骤和方法：1. 阅读理解首先要仔细阅读应用题中所给出的所有信息和条件，并理清思路。

明确所求问题是什么，确定需要使用哪些知识和技巧来解决。

2. 分析关键信息将所给信息进行分类整理，找出其中与所求问题相关的关键信息。

有时候关键信息可能被隐藏在条件中，需要通过推理和逻辑来找出。

3. 抽象问题将具体的应用题抽象成数学模型或者其他形式的问题描述。

这样可以更好地理解问题的本质，并便于运用数学方法进行求解。

4. 列出已知量和未知量根据抽象后的问题描述，列出已知量和未知量。

已知量是指在应用题中已经给出的信息，未知量是需要我们求解的答案。

5. 运用合适的公式和定理根据问题所涉及的领域，运用相应的公式和定理来建立方程或者不等式。

将已知量和未知量代入公式中，并进行计算。

6. 考虑边界条件在使用公式计算时，要考虑边界条件。

有些情况下，特殊情况可能会导致公式不适用或者产生异常结果，需要特别注意。

7. 运用逻辑推理在一些复杂的应用题中，可能需要运用逻辑推理来得到答案。

通过分析条件之间的关系、排除不可能的情况等等，找到正确答案所满足的条件。

8. 引入辅助变量有时候为了简化问题或者寻找突破口，可以引入一些辅助变量。

这些辅助变量可以帮助我们更好地理解问题，或者提供新的思路和方法。

9. 运用类比思维有时候我们可以将应用题中的问题与已知的类似问题进行类比，运用已有的解决方法来解决新问题。

几何概率是概率问题的中一个常见分类，但是这一类问题不太好解决，难点在于如何利用几何度量进行求解。

那么接下来中公教育专家就带考生一起来学习一下几何概率的常见解法，从而在考试中取得高分。

一、定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率为几何概率。

二、特征
1、无限性：即一次试验中，所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个。

2、等可能性：每个基本事件发生的可能性相同。

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数学奇思妙想探索数学中的奇异问题与解法数学奇思妙想：探索数学中的奇异问题与解法数学作为一门精密而古老的学科，蕴含着许多令人感到兴奋和好奇的奇思妙想。

在数学的广袤世界里，我们可以发现一些看似不可思议、独特而又具有挑战性的问题。

本文将带你走进数学的奇异问题与解法中，探索其中蕴含的魅力。

一、哥德巴赫猜想：素数的神秘性哥德巴赫猜想是数论领域中的一道难题，提出于1742年。

它声称任一大于2的偶数可以分解成两个素数之和。

这一问题至今没有得到证明，尽管有大量的尝试和验证，但依然没有找到一般的解决方法。

在解法上出现了一些奇异的现象。

2002年，俄罗斯数学家克里尼科夫提出了一种奇特的解法，他使用了大约4000个复杂的数学题和几乎1000个定理，通过计算机辅助找到了一个满足哥德巴赫猜想的大偶数。

这个解法非常复杂，暂时没有得到广泛的认可。

不管怎样，哥德巴赫猜想的探索过程中，数学家们提出了许多创新的思路和方法，推动了数论理论的发展。

二、费马大定理：浩瀚证明的背后费马大定理是数论领域的另一个著名奇异问题。

该定理主张对任意大于2的自然数n，都不存在使得 a^n + b^n = c^n 成立的正整数解a、b、c。

这个问题贯穿了整个数学领域的发展历程，并在世界范围内激发了数学家们的激烈讨论。

数百年来，尽管许多数学家付出了巨大的努力，但费马大定理一直未能得到证明。

直到1995年，英国数学家安德鲁·怀尔斯提出了一种惊人的证明方法，用尽了250年来的数学知识和方法，最终成功地证明了费马大定理。

这个证明的背后充满了无数艰辛的努力和智慧的结晶，同时也展示了数学研究的奇思妙想与无限可能。

三、无限阶多重处理技术：数学的无限魅力无限阶多重处理技术是现代数学领域中的一种发展趋势，用于处理不光滑的解，并且在某些奇异问题的解决中发挥着关键作用。

其基本思想是通过合理地选取处理参数，将问题转化为更容易处理的形式。

这种技术的应用领域广泛，包括物理、工程、经济等。

一类常见问题的几种解法恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。

恒成立问题有以下几种解法：①一次函数法；②二次函数法；③变量分离法；④奇偶性、周期性等函数性质法；⑤图象法。

一、一次函数法给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于ⅰ） 或ⅱ） 亦可合并定成同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有例1.对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>p+2x 恒成立的x 的取值范围。

分析：在不等式中出现了两个字母：x 及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。

显然可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题。

略解：不等式即(x-1)p+x 2-2x+1>0,设f(p)= (x-1)p+x 2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或∴x<-1或x>3.二、二次函数法若二次函数y=a x 2+b x+c =0(a ≠0)大于0恒成立，则有 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分⎩⎨⎧>>0)(0m f a ⎩⎨⎧><0)(0n f a ⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f ⎩⎨⎧<<0)(0)(n f m f ⎩⎨⎧<∆>0a布知识求解。

例2.设f(x)=x 2-2a x+2,当x ∈[-1,+∞)时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。

“三招”破解概率难点作者：苗鑫来源：《初中生世界·九年级》2016年第02期概率在日常生活、科学实践中应用非常广泛.在同学们的知识经验中虽然有了一些对事件发生的可能性大小的体验，但那些都是感性的、粗线条的.现在遇到用具体的数——概率来刻画事件发生的可能性，要用数字“说话”，一时难适应，计算也感到没有头绪.为了帮助同学们学好这一章，下面教同学们“三招”，用来破解概率学习中的难点.第一招辨析概念事件发生的“等可能性”这一概念要加强辨析概念：如果一次试验由n个基本事件组成，而且所有的基本事件出现的可能性都相等，那么这个事件叫做等可能性事件.辨析1：这里的n可以是有限个也可以是无限个.例如：抛掷一个质地均匀的骰子出现的可能性是有限的；转动一个均匀的转盘，当转盘停止转动时指针位置出现的可能性是无限的.辨析2：等可能性包含两层含义：①所有可能发生的结果为有限个或无限个，每次试验有且只有一个结果出现；②每个结果出现的机会均等.例1 判断下列试验的结果哪些具有等可能性.（1）抛掷一枚质地均匀的骰子，面朝上的点数是奇数与面朝上的点数是偶数的结果；（2）抛掷一枚图钉，钉尖朝上朝下的结果；（3）一只不透明的袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中摸出一个球，出现红球和白球的结果.【错解】（1）（2）（3）的试验结果都具有等可能性.【错解辨析】抛掷一枚质地均匀的骰子，面朝上的点数是奇数或是偶数各有3种等可能的结果，所以（1）的试验结果具有等可能性；图钉不均匀，抛掷中钉尖朝上朝下的机会不均等，所以（2）的试验结果不具有等可能性；在一只不透明的袋中装有3个红球和4个白球，从中任意摸出一个球有7种等可能的结果，而从中摸出红球和白球的结果出现的机会不均等，所以（3）的试验结果不具有等可能性.【正解】（1）的试验结果具有等可能性，（2）（3）的试验结果不具有等可能性.第二招学好“列表”与“画图”如果每次试验包含两步，每一步可能产生的结果数比较多，这时可以用一种较简便的列举方法——列表法，这种方法适合在两步试验中每一步出现的结果较多的情况.例2 一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（）.A. B. C. D.【解析】列表如下：由表格可知，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球所得的结果有9种，两次摸出的球都是黑球的结果有1种，所以两次摸出的球都是黑球的概率是■.故答案选D.【点评】列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能发生的结果，适合于两步完成的事件.当事件要经过多个步骤（三步或三步以上）完成时，用树状图列出事件所有可能出现的结果，脉络清晰，一目了然.例3 为了参加中考体育测试，甲，乙，丙三位同学进行足球传球训练.球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传球给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传三次.（1）请用树状图列举出三次传球的所有可能情况；（2）求传球三次后，球回到甲脚下的概率；（3）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？【解析】（1）三次传球所有可能的情况如图：（2）由图知：三次传球后，球回到甲的概率为P（甲）（3）由图知：三次传球后，球回到乙的概率为P（乙）P（乙）>P（甲），所以是传到乙脚下的概率要大.【点评】用树状图求概率时，最关键的是画树状图时横行与竖列的确定.确定时掌握一个原则，横行是试验中的元素，如本题的甲、乙、丙等，竖列是试验的步骤，如本题的第一次、第二次、第三次等.试验的结果总数为树状图最末端的总个数，如本例中可能的结果共有8种.第三招细心审题破解“放回”与“不放回”型概率问题例4 一个不透明的袋子中装着标号为1，2，3，4的4个小球，这些球除颜色外都相同. 甲乙两人共同协商了一个游戏规则：将球搅匀后，每人从中摸出一个球，其中摸出的球上的标号大的一方获胜.（1）若甲先摸球且摸出的球不放回，乙再摸球，求乙获胜的概率；（2）若甲摸出的球放回后乙再摸球，此时制订的游戏规则公平吗？为什么？【解析】第（1）小题中，要求乙获胜的概率，相信同学们应该能轻松解决.对了，通过列表或者画树状图的方法，列出所有可能的情况共12种，其中乙胜的情况数为6种，因此乙获胜的概率为0.5.关于第（2）小题，要判断游戏规则是否公平，同学们想想看，应该根据什么来判断呢？不错，就是看在该规则下甲乙两人获胜的概率是否相同！因此，只需算出甲乙两人的获胜概率，就可以作出判断. 同样列出表格或者树状图，可以看到，现在的所有可能的情况是16种了，不过其中有四种是平局，另外甲胜有6种，乙胜也有6种，因此甲乙两人获胜的概率都是0.375，因此这个游戏规则是公平的.同学们，这一类问题的解决方法应该清楚了吧？不妨再挑战难度大点的：如果把游戏规则改为甲先摸球，记下标号后放回，然后乙再摸球，把两人摸到的球的标号相加，如果和为偶数，则甲胜，否则乙胜. 请问这个游戏规则公平吗？在学习概率时，我们要充分利用已有的生活经验和认知基础，用身边感兴趣的、鲜活生动的问题情境作为学习素材，让自己亲身经历，自己总结、分析，试着用自己的语言表述，理解、辨析概念，对典型的问题，要在相互交流、讨论甚至争议中澄清认识，逐渐积累解题经验.对于复杂情形的问题，要重视课堂中老师的点拨和解题后的检查，减少失误的机会，增强自己的学习信心.（作者单位：江苏省宿迁市湖滨新区晓店中学）。

初二数学难题破解宝典初二数学难题往往涉及多个知识点的综合运用，解决这些难题不仅能提升解题技巧，还能培养学生的数学思维能力。

以下是一些破解初二数学难题的有效方法，帮助学生轻松应对各种复杂题目。

首先，准确分析题目是破解难题的第一步。

在面对难题时，首先要认真阅读题目，明确题目的已知条件和要求解决的问题。

可以尝试将题目中的信息整理成表格或图示，这有助于清晰地把握题目中的关键因素。

通过分析题目的结构和条件，能够找到合适的解题思路。

其次，善用已知知识，把握题目中的关键点。

初二数学涉及许多重要的知识点，如代数公式、几何定理等。

在解决难题时，尝试将题目中的信息与已知的公式或定理相结合，有时难题的解法就在于对基本知识的巧妙应用。

例如，在解决几何题时，可以运用平行线性质、三角形相似性等知识来简化问题。

分解问题也是破解难题的有效方法。

将复杂的题目分解为若干个小问题，逐步解决每个小问题，从而找到整体问题的解答。

比如，解决一个综合性题目时，可以先将题目分解为几个步骤，逐步完成每一步的解答，最终得到整个问题的解决方案。

尝试多种解法也是解决难题的重要策略。

当面对一个复杂问题时，可以尝试不同的解题方法，如代入法、图解法、逻辑推理等。

不同的方法可能会带来不同的解题思路，帮助找到最优的解法。

例如，对于代数方程，可以尝试图形法和代数法两种不同的解题方式，从中找出最简洁的解决方案。

利用数学工具也可以大大提高解题效率。

数学工具如几何软件、计算器等可以帮助进行复杂计算和图形绘制。

在解答涉及复杂计算或图形分析的难题时，合理使用这些工具，可以减少计算错误，提升解题速度。

总结与反思在解决难题后也非常重要。

无论问题是否解决，都应对解题过程进行总结和反思。

总结所使用的方法和技巧，分析解决问题的思路，以及遇到的困难和错误。

通过总结经验，能够在以后的学习中避免类似问题，提高解题能力。

最后，保持良好的学习习惯，不断提高自己的数学素养。

定期进行难题训练，不断挑战自我，通过多做题目和不断总结，逐步提升自己的数学水平。

几种有限可重组合的公式型解法
1. 枚举法：采用枚举方法对特定问题进行深入分析，试图枚举出可行解。

2. 数学归纳法：该方法是一种凭借一定规律、性质，建立适当的数学模型，运用数学归纳法研究问题的解法。

3. 贪心法：贪心法以局部最优的模式构建整体最优的解决方案，对最优化问题的求解是有益的，尽管其可能未能抵达最优解。

4. 分支定界法：该法利用最优性原理和子问题本质，把未知数确定范围缩小、求解可行性剪枝，以穷举到最优解的有效方法。

5. 动态规划法：这是一种解决复杂最优化问题的数学方法，它利用数学归纳法对问题进行分析、模拟和穷举，并对子问题进行重复解决，最后建立描述最优解的数学模型。

6. 分治法：该方法是将问题划分为若干子问题来求解，可以比较容易地求解出各个子问题，并将解决子问题的解综合起来，得到原问题的解。

7. 回溯法：这是一种非常有效的对搜索问题进行多步决定搜索解的算法。

它有时可被称作"试探优化法"或"逐步减枝算法"，它可以搜索解空间，找出最佳解，回溯法根据当前步已经完成的解，搜索最佳解。

无限趋近与极限高中数学极限问题的解题方法高中数学中极限问题是一种比较常见的问题类型，也是比较基础的数学概念之一。

在解决极限问题时，可以采用无限趋近的方法，即通过取近似值的方法来得到更加精确的结果。

下面将介绍几种常见的无限趋近的解题方法。

一、夹逼准则夹逼定理也叫夹逼准则，是指如果一个函数f(x)处处满足$$g(x) \leq f(x) \leq h(x)$$且$$\lim_{x \to a}g(x)=\lim_{x \to a}h(x)=L$$(L为常数)，那么$$\lim_{x \to a}f(x)=L$$。

这个定理可以用来解决一些复杂的极限问题，利用其夹逼的形式，我们可以通过弱化问题的难度，从而分解一个比较难的极限问题。

例如，求$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$$我们可以构造一个函数$f(x)=\cos x$，并且显然有$$f(x)=\cos x \leq\frac{\sin x}{x} \leq 1$$然后我们再分别计算$$\lim_{x \to 0} \cosx=1$$和$$\lim_{x \to 0} 1=1$$通过夹逼准则，我们可以得到$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$$二、分子有理化在一些复杂的极限问题中，分子分母不方便直接计算，这时我们可以采用分子有理化的方法来简化问题。

分子有理化是指将极限式子分子或分母有理分解，并消去分子或分母中的无理项，将有理项进行合并化简，从而得到较为简单的极限式。

例如，求$$\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$$我们可以采用分子有理化的方法，将式子变形为$$\lim_{x \to\infty}\frac{(x+1)^x}{x^x}$$再将它化简为$$\lim_{x \to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1}$$然后我们再将这个式子做一下变形，得到$$\lim_{x \to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\left(1+\frac{1}{x}\right)=e$$从而得到了最终的结果。

利用必要条件巧解一类参数问题在解决问题时，有时候我们会遇到一类常见的参数问题，即给定一些条件，需要找出满足这些条件的值。

这类问题通常需要使用必要条件来解决。

必要条件是指能够满足问题条件的必备条件。

在解决参数问题时，必要条件能够帮助我们减少解空间的范围，使问题更容易解决。

为了更好地理解这个概念，让我们以一个实际的例子来说明。

假设有一道数学问题：找出所有满足条件x+y=10的正整数解(x,y)。

首先，我们可以列出一些可能的解，并检查它们是否满足给定条件：(1,9)：1+9=10✔️(2,8)：2+8=10✔️(3,7)：3+7=10✔️...(9,1)：9+1=10✔️我们可以看到，满足条件的解有许多个，但是我们能否找到一个通解来表示它们呢？这里就可以运用必要条件的概念来辅助解决这个问题。

首先，我们观察到任意满足条件的解(x,y)都满足x+y=10。

这是明显的，因为这是给定的条件。

然后，我们将思考反向问题：如果x+y!=10，那么(x,y)一定不满足给定条件。

通过观察，我们可以得到取不满足条件的解的特点：要么x大于10，要么y大于10，要么二者都大于10。

根据这个特点，我们可以得出必要条件：x<=10且y<=10。

现在我们可以使用这个必要条件来解决原始问题。

我们只需遍历x和y的所有可能取值，并检查它们是否满足必要条件和给定条件。

伪代码如下所示：solutions = [] # 用于存储满足条件的解for x in range(1, 11):for y in range(1, 11):if x + y == 10:solutions.append((x, y))print(solutions)运行这段代码，我们得到的输出将是所有满足条件x+y=10的正整数解的列表。

通过使用必要条件，我们可以减少解空间的范围，使问题变得更容易解决。

这个方法不仅适用于参数问题，还适用于其他类型的问题，只要我们能够找到相应的必要条件。

一类求参数范围问题的解决求参数范围问题是指在一些数学模型或计算问题中，根据一定的条件和限制，确定一些或一些参数的取值范围。

这种问题在实际生活中广泛存在，并且在科学研究、工程设计、经济分析等领域中都有重要的应用价值。

为了解决这类问题，我们可以采用数学建模和优化算法等方法。

在实际应用中，求参数范围问题可以分为两种情况：一种是已知条件和限制，需要确定参数的最大或最小取值范围；另一种是已知条件和限制，需要确定参数的可行取值范围。

对于第一种情况，我们需要解决的问题是确定参数的最大或最小取值范围。

通常情况下，我们可以通过对条件和限制进行分析和推导，将问题转化为一个数学表达式或方程组，并通过数学建模的方法求解。

例如，在工程设计中，我们需要确定一些结构材料的最大承载能力。

可以通过分析材料的强度和设计的载荷等条件，建立数学模型，并通过优化算法求解最大承载能力所对应的参数取值。

对于第二种情况，我们需要解决的问题是确定参数的可行取值范围。

这种问题常见于经济分析、资源分配和决策等领域。

通过对问题的条件和限制进行分析，我们可以得到参数之间的关系，并通过数学模型将问题转化为一个优化问题。

例如，在生产调度问题中，我们需要确定各个生产任务的开始时间和结束时间，以最大化产量和最小化成本。

可以通过建立优化模型，将任务之间的先后顺序、资源约束等条件纳入考虑，并通过优化算法求解可行解的参数取值范围。

在求解参数范围问题时，我们需要注意以下几点：首先，要充分理解问题的背景和条件，对各个参数的物理含义和约束进行准确描述；其次，要建立合适的数学模型，将问题转化为一个优化问题，以便用现有的优化算法进行求解；最后，要选择合适的算法进行求解，并根据实际情况对算法进行调试和优化。

综上所述，求参数范围问题是实际生活中广泛存在的问题，通过数学建模和优化算法等方法，可以确定参数的最大或最小取值范围，或者确定参数的可行取值范围。

这种问题在科学研究、工程设计、经济分析等领域中都有重要的应用价值，因此对于这类问题的解决方法的研究具有重要意义。

一种方法有几百种解法引言在生活和工作中，我们经常面临各种问题和挑战。

为了解决这些问题，我们通常会采用不同的方法和策略。

然而，有些问题可能会有多个解决方案，每个方案都有其独特的特点和适用情况。

这篇文章将探讨一种方法有几百种解法的现象，并讨论其中的原因和影响。

方法的多样性每个问题都有不同的背景、条件和要求，因此解决问题的方法也可能有所不同。

一个问题可以有多种角度和层面的解决方案。

例如，解决一个复杂的数学问题可以采用代数、几何或统计学的方法；解决一个技术难题可以通过编程、系统设计或工程创新来实现。

这种多样性使得一个方法可以有多个解法。

原因分析一种方法有多种解法的现象源于以下几个原因：1. 多样的思维方式人们有不同的思维方式和观点，这导致了人们对问题的理解和解决方法的选择有所不同。

一些人更倾向于逻辑思维，而另一些人则更倾向于直觉和创造性思维。

这种多样性使得同一个问题可以有多个不同的解决方案。

2. 多元的知识背景每个人的知识背景和经验不同，这决定了他们可以运用的解决问题的方法和技巧。

例如，一个具有经济学背景的人可能更倾向于采用经济学模型来解决一个商业问题，而一个具有心理学背景的人可能更倾向于采用心理学的研究方法来解决一个心理问题。

这种多元的知识背景使得一个方法可以有多种可能的解法。

3. 需求的多样性同一个问题可能会有不同的需求和目标。

根据不同的需求，解决问题的方法也会有所不同。

例如，一个人可能更关注问题的时间效率，而另一个人可能更关注解决方案的成本效益。

这种需求的多样性使得一个方法可以有多个不同的解法。

影响和启示一种方法有多种解法的现象对于问题解决和创新有着重要的影响和启示。

首先，它鼓励我们保持开放的思维态度，尊重不同的观点和方法。

通过与他人分享和交流，我们可以从中学习，并找到更好的解决方案。

其次，它提醒我们在选择解决方案时需要考虑问题的背景、条件和需求。

只有充分理解和分析问题，才能选择最适合的方法。

最后，它激发我们去探索和尝试新的方法和思维方式。

经典的数学理论中如何处理有限与无限人类认识有限与无限实际上很早就开始了。

一般都不会将有限个体说成是无限个体，也不会认为自然数的个数有限，更不会认为欧几里得几何中直线或平面上点的个数有限。

人们也早有智慧用有限的方式处理一些涉及到无限的问题。

例如证明平面几何命题：所有的等腰三角形顶角的平分线一定与底边垂直。

一个很普通的方法是：假设ABC是任意给定的等腰三角形，AB=AC，AD是顶角平分线，点D是AD 与底边BC的交点。

（图1）图1因为AB=AC，AD=AD，角BAD=角CAD，所以BAD与CAD全等（边角边定理）。

所以角BDA等于角CDA（对应角）。

又因为角BDA与角CDA的合角是平角，所以角BDA与角CDA 都是直角。

因此，AD垂直于BC。

由于ABC是任意给定的，所以命题得证。

该命题是针对所有等腰三角形的，等腰三角形的个数有无穷多个。

而证明的方式确是有限的，人类很早就学会了使用“任意给定”这一词，用有限的方式处理无穷。

这种证明方法绝不能理解为“逐个试过”。

的确，我们在初中学习平面几何时，理解“任意给定”的妙处需要一个过程。

但经过一段时间的学习与训练，一般都能掌握。

在分析学的发展中，数学家针对无穷集合上的数学对象，例如函数、映像等创造出极限、连续、微分、积分等复杂概念，尽管早期的定义不严格，但发展到18世纪已对人类的文明做出了极大的贡献。

19世纪柯西建立了严格的极限理论，使得分析学有了坚实的基础。

下面是维基百科对柯西极限理论的简单介绍：对于任意的正实数，存在自然数，使得当时，有-，用符号来表示，即，，,, 则称数列收敛于, 记作不难看出，柯西的高明之处，恰恰是使用了“对于任意的正实数，存在自然数，使得当…”这样的语言，再次显示了“对于任意”的妙用。

数学家或数学系学生在具体证明一个这类极限时，就是对任意的正实数，求出具体对应的自然数，使,。

这就是一种用有限方式处理无限的高明技巧。

这决不是对每个正实数“逐一试过”。

形容青年干警的词句1. 青年干警就像初升的太阳，朝气蓬勃。

比如说，在社区普法活动中，他们热情满满地给大爷大妈们讲解法律知识，那股子活力就像早上八九点钟的太阳散发的光芒，让人看着就充满希望。

2. 他们是正义的小猎豹，迅猛而敏锐。

有次抓小偷的时候，那速度和反应，就像猎豹发现猎物一样，瞬间就冲出去了，小偷还没反应过来就被拿下了，真的是又快又准。

3. 青年干警是法律界的新鲜血液，充满无限可能。

就像一群怀揣着梦想的探险家，在法律的大丛林里探索前行。

在处理复杂案件时，他们会想出各种新奇的思路，为老问题找到新的解法。

4. 这些青年干警好似明亮的灯塔，在黑暗中给人指引方向。

我有个朋友遇到纠纷很迷茫，找到一位青年干警，他耐心地分析情况，那清晰的思路就像灯塔的光，一下就让我朋友知道该怎么做了。

5. 青年干警简直是法律战场上的热血战士，勇往直前。

他们在面对危险的罪犯时，没有丝毫退缩，那股子冲劲就像战士冲向敌人的阵地一样，毫不畏惧，坚决守护正义。

6. 他们就像一群智慧的小诸葛，聪明机智。

上次有个案件线索错综复杂，那些青年干警就像诸葛亮一样，抽丝剥茧，从一点点小细节里找出关键证据，成功破案。

7. 青年干警是充满干劲的小火车，动力十足。

在执行任务的时候，不管路途多远多艰难，他们就像小火车沿着轨道坚定地前行，不会因为一点小阻碍就停滞不前。

8. 他们如同黑夜中的星星，闪耀着希望之光。

有个社区治安不太好，居民们都很担心，青年干警们来了之后，他们的努力就像星星点点的星光，逐渐让社区恢复了安宁。

9. 青年干警是热情的小火苗，感染力极强。

在警队里，他们总是充满激情地讨论案件，这种热情就像小火苗一样，很快就会点燃周围人的斗志，大家都变得干劲十足。

10. 这些青年干警是法律天空中的矫健雄鹰，俯瞰全局。

在调查一个大型诈骗案时，他们站得高看得远，像雄鹰一样能够从整体把握案件的走向，不被局部的假象所迷惑，最终将罪犯一网打尽。

在我看来，青年干警有着无限的活力、勇气、智慧和热情，他们就像社会中的多面手，在维护正义、保障安全等各个方面发挥着不可替代的作用，他们是我们值得骄傲和信赖的一群人。

数学学习的奇技淫巧解决数学难题的技巧分享数学学习一直以来都是让人头疼的问题，尤其是面对那些复杂的数学难题时，更是令人望而生畏。

然而，正因为数学的复杂性，也促使了人们不断探索各种技巧和方法，以便更好地解决数学难题。

本文将分享一些奇技淫巧，帮助你更有效地解决数学难题。

一、抽象化思维在解决数学难题时，抽象化思维是非常重要的一步。

抽象化思维指的是将问题中的具体概念和实体抽象化，找到问题背后的本质规律。

例如，在解决代数方程时，可以将未知数用字母代替，从而将问题抽象化为一个方程，更加便于分析和求解。

二、利用模式数学中存在许多模式和规律，善于利用这些模式可以帮助我们更快地解决难题。

例如，在解决数列问题时，可以观察数列中的数值之间的关系，寻找规律并推断下一个数的值。

又如，在解决几何问题时，可以利用图形的对称性、相似性等特点，简化问题的求解过程。

三、分解与归纳将复杂的问题分解为更简单的子问题，然后逐步解决这些子问题，最终达到解决整个问题的目标。

这种分解与归纳的思维方式有助于我们理清问题的思路，避免陷入思维的混乱。

例如，在解决数论问题时，可以将问题分解为证明某个命题的多个步骤，然后逐个证明每个步骤的正确性，最终得到整个问题的解答。

四、假设与推导在解决一些复杂的数学难题时，可以通过假设和推导的方式来分析和求解。

假设一个条件成立，然后根据已知条件进行推导，最终得出结论。

如果得出的结论与问题相符，则假设成立；如果不符，则进行修正并重新假设。

通过不断的假设与推导，最终可以得到解决问题的答案。

五、与他人合作数学并不是个人的修炼，与他人的合作与交流对于解决数学难题非常重要。

和同学或老师进行讨论，分享彼此的思路和方法，相互帮助和启发。

在合作中，我们可以从其他人的角度和思维方式中汲取灵感，从而提高解题的效率和准确性。

六、勤于实践数学学习需要不断的实践和训练，只有通过大量的练习才能熟练掌握解题技巧。

每日坚持做一些数学习题，通过实际操作来加深对数学知识的理解和掌握。

盘点高考数学选择题万能解题方法为2021年高考生支招，查字典数学网介绍几种高考数学选择题万能解题方法：1.特值检验法：关于具有一样性的数学问题，我们在解题过程中，能够将问题专门化，利用问题在某一专门情形下不真，则它在一样情形下不真这一原理，达到去伪存确实目的。

2.极端性原则：将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。

极端性多数应用在求极值、取值范畴、解析几何上面，专门多运算步骤繁琐、运算量大的题，一但采纳极端性去分析，那么就能瞬时解决问题。

3.剔除法：利用已知条件和选择支所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。

这是一种常用的方法，专门是答案为定值，或者有数值范畴时，取专门点代入验证即可排除。

4.数形结合法：由题目条件，作出符合题意的图形或图象，借助图形或图象的直观性，通过简单的推理或运算，从而得出答案的方法。

数形结合的好处确实是直观，甚至能够用量角尺直截了当量出结果来。

5.递推归纳法：通过题目条件进行推理，查找规律，从而归纳出正确答案的方法。

6.顺推破解法：利用数学定理、公式、法则、定义和题意，通过直截了当演算推理得出结果的方法。

7.逆推验证法(代答案入题干验证法)：将选择支代入题干进行验证，从而否定错误选择支而得出正确选择支的方法。

8.正难则反法：从题的正面解决比较难时，可从选择支动身逐步逆推找出符合条件的结论，或从反面动身得出结论。

与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。

金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟专门貌，属句有夙性，说字惊老师。

”因此看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。

清代称主考官也为“老师”，而一样学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。

可见，“教师”一说是比较晚的事了。

现在体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。

辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。

一类范围问题探究的思维方法 问题：设,4)1(2,2)1(1)(2≤≤≤-≤+=f f bx ax x f 且如何求)2(-f 的取值范围？ 【错解】⎩⎨⎧≤≤≤-≤4)1(22)1(1f f 由 ， 即⎩⎨⎧≤+≤≤-≤4221b a b a ， 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤230223b a 12)2(3,24)2(≤-≤∴-=-f b a f .【错因辨析】以上解法多次运用同向不等式相加这一性质，忽略了a 与b 的相互制约关系，从而导致)2(-f 取值范围的扩大。

如下图正确的几何解释是（a ，b ）是线性规划中的可行域为平行四边形，而不等式相加解出的（a ，b ）扩大为矩形区域，从而导致)2(-f 取值范围的扩大。

【思维展示】a 与b 是相互制约，不可分割，如何沟通关系？用待定系数法，将所求范围的整体用已知范围的整体的 “一次线性”表示或利用线性规划中的可行域求解，这是求不等关系下二元范围的通法，也是避免错误的一条最有效的途径。

[正解一]线性表示，待定系数法设)1()1()2(nf mf f =-=-，（m 、n 为待定系数） ，则)()(24b a n b a m b a ++-=- 即b m n a n m b a )()(24-++=- 于是得 ⎩⎨⎧-=-=+24m n n m ，解得⎩⎨⎧==13n m ， 所以)1()1(3)2(f f f +-=- ， 又因为 2)1(1≤-≤f ，4)1(2≤≤f 所以 故,10)1()1(35≤+-≤f f 10)2(5≤-≤f 。

[正解二]线性表示，化参数为主元，待定系数法。

⎩⎨⎧+=-=-b a f b a f )1()1( [][]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=)1()1(21)1()1(21f f b f f a )1()1(324)2(f f b a f +-=-=-， 2)1(1≤-≤f ，4)1(2≤≤f ，10)1()1(35≤+-≤f f ， 则 10)2(5≤-≤f 。

奥数可能性问题：可能性解题方法引言在奥数竞赛中，可能性问题是一类常见的问题类型。

这类问题需要求解某个事件发生的可能性或确定性。

在解决可能性问题时，我们可以使用各种解题方法，包括排列组合、概率统计等方法。

本文将介绍几种常用的可能性解题方法，并提供一些例题进行讲解。

排列组合问题排列组合是解决可能性问题常用的方法之一。

在排列组合问题中，我们关注的是对一组元素进行排列或组合，以求解不同的可能性。

下面我们将介绍几个基本的排列组合概念：排列排列是指从给定的元素集合中选取若干个元素，按照一定的顺序进行排列。

假设我们有n个元素，要从中选取r个元素进行排列，那么排列的数目可以用以下公式表示：nPr = n! / (n-r)!组合组合是指从给定的元素集合中选取若干个元素，不考虑顺序的排列。

假设我们有n个元素，要从中选取r个元素进行组合，那么组合的数目可以用以下公式表示：nCr = n! / (r! * (n-r)!)例题：小明家中有10本书，他想从中选取3本放在书包里，求不同的排列和组合的可能性数目。

对于这个问题，我们可以使用排列和组合的公式来求解。

根据排列的公式：10P3 = 10! / (10-3)! = 10! / 7! = 720，所以小明可以有720种不同的排列方式。

根据组合的公式：10C3 = 10! / (3! * (10-3)!) = 10! / (3! * 7!) = 120，所以小明可以有120种不同的组合方式。

概率统计问题概率统计是解决可能性问题另一种常用的方法。

在概率统计问题中，我们关注的是事件发生的概率。

下面我们将介绍一些基本的概率统计概念：事件概率事件概率是指某个事件发生的可能性大小。

事件的概率通常用0到1之间的数值表示，其中0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。

独立事件独立事件是指一个事件的发生不受其他事件的影响。

对于两个独立事件A和B，它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积。

破解高中数学题目的技巧破解高中数学题目，不仅仅是对计算能力的挑战，更是对思维灵活性和问题解决能力的考验。

在面对复杂的数学题目时，掌握一些破解技巧可以帮助学生更高效、更准确地找到解决方案。

以下是几个从教育角度出发的实用技巧，可以帮助学生更好地应对高中数学题目。

首先，理解题目是破解数学题目的第一步。

每一道数学题目都包含了一定的信息和要求，理解这些信息和要求是找到解决方案的关键。

在阅读题目时，学生需要仔细分析题目中的每一个细节，确保自己完全理解了题目所给出的条件和所求的问题。

通过将题目中的关键信息提取出来，并将其用自己的话重新表述，学生可以更清楚地把握题目的核心内容。

其次，学会将复杂的问题分解成简单的部分。

这种方法被称为“问题分解法”。

面对一个复杂的数学题目时，将其分解成若干个较小、更易解决的子问题，可以使问题变得更加易于处理。

例如，在解决一个复杂的几何问题时，可以将其分解为若干个简单的几何图形进行分析，逐步找到解决方案。

这种方法不仅可以帮助学生理清思路，还能提高解决问题的效率。

第三，建立数学模型是破解数学题目的有效方法。

在解决一些实际问题或应用题时，学生需要将实际问题转化为数学问题，通过建立数学模型来找到解决方案。

例如，在解决一个关于运动的题目时，学生可以将运动的情况转化为方程，通过解方程来找到答案。

建立数学模型的能力不仅依赖于学生对数学知识的掌握，还需要对实际问题有深入的理解。

此外，掌握常用的数学技巧和公式也是破解数学题目的重要部分。

在高中数学中，许多问题的解决都需要使用一些基本的数学技巧和公式，例如代数公式、几何定理等。

熟练掌握这些技巧和公式，可以帮助学生更快速地找到问题的解决办法。

因此，学生在学习过程中应注重对这些技巧和公式的记忆和应用，并通过大量的练习来提高自己的运用能力。

培养良好的解题习惯也是破解数学题目的关键。

良好的解题习惯包括规范书写解题过程、细致检查每一步计算、及时总结归纳题目类型等。

一阶归纳推理算法
1.首先，收集现有的数据，了解当前问题的状态。

2.根据已知的数据，找出所有可能的解决方案集合。

3.对于每个可能的解决方案，计算它所涉及的最大收益或最小损失。

4.最后，比较所有可能的解决方案，选择那些对当前问题有最大收益，或最小损失的方案，作为最终的解决方案。

1.迭代过程可以简单，代价低，容易理解和实现。

2.它能识别出当前问题的可行解决方案，因此能够有效地解决未知问题。

3.它只能解决有限解空间的问题，而具有无穷多解空间的问题不能得
到解决。

4.它不能保证求解出的解决方案是最优的，因此它只能作为一种方法，用在一些比较简单的问题上。

因此，一阶归纳推理算法适用于比较简单的解空间的问题，它既能够
快速求解出一个可行解，又能满足一些比较简单的约束问题，如求解最大
收益或最小损失等。