2019届高三数学(理)二轮专题复习文档：考前冲刺四 溯源回扣三 三角函数与平面向量 含解析

3.三角函数、解三角形、平面向量1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2＞0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)，三角函数值只与角的终边位置有关，而与终边上点P 的位置无关．[回扣问题1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________． 答案 －152．同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限－α π－α π＋α 2π－απ2－α sin －sin α sin α－sin α －sin αcos α coscos α －cos α －cos α cos αsin α[回扣问题2] 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋α＝5，则sin α的值为( )A.15 B ．－15C ．±265D.256 答案 C3．三角函数的图象与性质 (1)五点法作图；(2)对称轴：y ＝sin x ，x ＝k π＋π2，k ∈Z ；y ＝cos x ，x ＝k π，k ∈Z ；对称中心：y ＝sin x ，(k π，0)，k ∈Z ；y ＝cos x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ；y ＝tan x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z .(3)单调区间：y ＝sin x 的增区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )，减区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )；y ＝cos x 的增区间：[]－π＋2k π，2k π(k ∈Z )，减区间：[2k π，π＋2k π](k ∈Z )；y ＝tan x 的增区间：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )．(4)周期性与奇偶性：y ＝sin x 的最小正周期为2π，为奇函数；y ＝cos x 的最小正周期为2π，为偶函数；y ＝tan x 的最小正周期为π，为奇函数．易错警示 求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，容易出现以下错误： (1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反； (2)忘掉写＋2k π，或＋k π等，忘掉写k ∈Z ；(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起，如[0，90°]应写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.[回扣问题3] (1)把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π4(2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的递减区间是________．答案 (1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )[回扣问题4] (1)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，17π12＜x ＜7π4，则sin 2x ＋2sin 2x1－tan x ＝________．答案 (1)1 (2)－28755．在三角恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如：α＝(α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β)； α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4，α＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4.[回扣问题5] 已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝________． 解析 法一 因为tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，所以tan α－tan5π41＋tan αtan5π4＝15，即tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32.法二 因为tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，所以tan α＝ tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＋5π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＋tan 5π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4tan5π4＝15＋11－15×1＝32.答案 326．解三角形(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(ⅱ)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(ⅲ)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．(2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状．[回扣问题6] (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π6，a ＝1，b＝3，则B ＝________．(2)在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝________，sin A ＝________．答案 (1)π3或2π3 (2)21587．有关三角形的常见结论(1)面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B .(2)三个等价关系：△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 对边，则a ＞b sin A ＞sin B A ＞B .[回扣问题7] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3 B.932C.332D ．3 3答案 C8．平面向量的基本概念及线性运算(1)加、减法的平行四边形与三角形法则：AB →＋BC →＝AC →；AB →－AC →＝CB →. (2)向量满足三角不等式：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.(3)实数λ与向量a 的积是一个向量，记为λa ，其长度和方向规定如下：①|λa |＝|λ||a |；②λ＞0，λa 与a 同向；λ＜0，λa 与a 反向；λ＝0，或a ＝0时，λa ＝0.(4)平面向量的两个重要定理①向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . ②平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底． [回扣问题8] 设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.BC → B.12AD →C.AD →D.12BC → 答案 C9．向量的平行与垂直设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ≠0，则a ∥b b ＝λa x 1y 2－x 2y 1＝0.a ⊥b (a ≠0，b ≠0)a ·b ＝0x 1x 2＋y 1y 2＝0.0看成与任意向量平行，特别在书写时要注意，否则有质的不同．[回扣问题9] 已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(2，0)，c ＝(1，－1)，若向量(λa ＋b )∥c ，则实数λ＝________． 答案 －2 10．向量的数量积设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则|a |2＝a 2＝a ·a ，a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2， cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22，a 在b 上的投影＝|a |cos 〈a ，b 〉＝a ·b |b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 22＋y 22， 注意 〈a ，b 〉为锐角a ·b ＞0且a 、b 不同向； 〈a ，b 〉为直角a ·b ＝0且a 、b ≠0； 〈a ，b 〉为钝角a ·b ＜0且a 、b 不反向．易错警示 投影不是“影”，投影是一个实数，可以是正数、负数或零．[回扣问题10] (1)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3B. 3C ．0D ．－ 3(2)已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________． 答案 (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞11．几个向量常用结论：①PA →＋PB →＋PC →＝0P 为△ABC 的重心；②PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →P 为△ABC 的垂心；③向量λ(AB |AB |＋AC→|AC →|)(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心；④|PA →|＝|PB →|＝|PC →|P 为△ABC 的外心．[回扣问题11] 若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为______． 答案 直角三角形。

((这是边文，请据需要手工删加)专题三三角函数图象与性质第6讲三角函数图象与性质知识网络【p23】考情分析【p23】备考建议【p23】三角函数的图象与性质的研究要充分运用数形结合的思想，把图象与性质紧密结合起来，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，其试题难度属中档题．在复习过程中既要注重三角函数知识的基础性，突出三角函数的图象、性质以及化简、求值、最值等重点内容的复习，又要注重三角函数知识的工具性，突出三角函数与代数、几何、向量的综合联系以及三角函数知识的实际应用意识.典例剖析【p23】探究一三角函数图象变换例1已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝ cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π8个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π4个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π8个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π4个单位长度，得到曲线C 2【解析】选C .把C 1各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝cos 2x 的图象，再把得到的曲线向右平移3π8个单位长度后，得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π8＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的图象，故选C .【点评】对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x ，如果x 的系数不是1，则需把x 的系数提取后再确定平移的单位和方向．另外，当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次要把ωx ＋φ变成ω⎝⎛⎭⎫x ＋φω，最后确定平移的单位并根据φω的符号确定平移的方向． 探究二 由三角函数图象求解析式例2 已知奇函数f(x)＝A cos ()ωx ＋φ(A>0，ω>0，0<φ<π)的导函数的部分图象如图所示，E 是最高点，且△MNE 是边长为1的正三角形，那么f ⎝⎛⎭⎫13＝( )A ．－32πB ．－12C .14D ．－34π 【解析】选D .由奇函数f(0)＝0⇒φ＝π2，△MNE 是边长为1的正三角形，可得T2＝1⇒T ＝2⇒ω＝π，E是最高点且y E ＝32，f ′(x)＝－Aωcos ωx 得A ＝32π，所以f(x)＝32πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π2⇒f ⎝⎛⎭⎫13＝－34π. 【点评】已知函数图象求y ＝A sin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式时，常用的方法是待定系数法．由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．探究三 讨论三角函数的单调性例3 已知ω＞0，函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A .⎣⎡⎦⎤12，54B .⎣⎡⎦⎤12，34 C .⎝⎛⎤0，12 D ．(0，2] 【解析】选A .解法一：(淘汰法)取ω＝54，f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π(k ∈Z )．由⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π(k ∈Z )排除B 、C ，取ω＝2.同理排除D ，故选A.解法二：由题设x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，f ′(x )＝ωcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4≤0，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4≤0恒成立．又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，ωx ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4，则⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )．当k ＝0时，由⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，求得12≤ω≤54，故选A.【点评】分析研究函数的周期性或单调性，应将题设三角函数解析式恒等变形为y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0)型(或y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)型)，然后再应用相关方法求解．例4 设函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π2.若f ⎝⎛⎭⎫π2＝1，f ⎝⎛⎭⎫－π4＝0，且f (x )的最小正周期大于2π.(1)求函数f (x )的解析表达式；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，3π4内的单调性．【解析】(1)由f (x )的最小正周期大于2π，得T 4>π2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝0得T 4＝π2＋π4＝3π4，∴T ＝3π，则2πω＝3π，ω＝23.∴f (x )＝sin(ωx ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋φ，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×π2＋φ＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1.∴π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .取k ＝0，得φ＝π6<π2，满足题意． ∴ω＝23，φ＝π6.∴函数解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π6.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π4时，23x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3，∴由－π6≤23x ＋π6≤π2，得－π2≤x ≤π2；由π2≤23x ＋π6≤2π3，得π2≤x ≤3π4， ∴ 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π4时，f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2；单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4.【点评】研究函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质的“两种”意识(1)转化意识：利用三角恒等变换把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式． (2)团体意识：类比研究y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”代入求解便可．提醒：在求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，必要时通过诱导公式先将ω的符号化为正的．探究四 求三角函数在闭区间上的最值(或值域)例5 已知函数f(x)＝4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －23cos 2x －1，且给定条件p ：“π4≤x ≤π2”．(1)求f(x)的最大值及最小值；(2)若又给条件q ：“|f(x)－m|＜2”且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围． 【解析】(1)∵f(x)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －23cos 2x －1＝2sin 2x －23cos 2x ＋1＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1.又∵π4≤x ≤π2，∴π6≤2x －π3≤2π3，∴3≤4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1≤5.∴f(x)max ＝5，f(x)min ＝3. (2)∵|f(x)－m|＜2， ∴m －2＜f(x)＜m ＋2. 又p 是q 的充分条件，∵⎩⎪⎨⎪⎧m －2<3，m ＋2>5， ∴3＜m ＜5.例6 已知函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋sin 2x －cos 2x.设函数g(x)＝[f(x)]2＋f(x)，求g(x)的值域．【解析】f(x)＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝⎛⎪⎫2x －π6.故g(x)＝[f(x)]2＋f(x) ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋sin ⎝⎛⎪⎫2x －π6 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋122－14.当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12时，g(x)取得最小值－14，当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1时，g(x)取得最大值2，所以g(x)的值域为⎣⎡⎦⎤－14，2. 【点评】求三角函数最值的两种思路：(1)将问题化为y ＝A sin (ωx ＋φ)＋B 的形式，结合三角函数的性质或图象求解；(2)将问题化为关于sin x 或cos x 的二次函数的形式，借助二次函数的性质或图象求解．规 律 总 结 【p 25】1．三角函数的图象与性质的应用问题中用到数形结合思想的常见题型：(1)确定函数的性质；确定某些三角函数的最值(值域)、周期性等性质时，常根据条件作出函数的图象数形结合求解．(2)由图象特点求解析式；求解时根据所给图象由最值点求A ，由周期求ω，由特殊点求φ，实现“以形助数”．(3)三角函数零点(或三角方程解)的问题；求解此类问题时，常作出符合要求的图象，由数形结合法求解．(4)变换法作图；结合函数解析式特征，通过平移变换、伸缩变换、对称变换作出图象，实现“以数辅形”．2．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ)或y ＝A tan(ωx ＋φ))的单调区间的步骤：(1)将ω化为正．(2)将ωx ＋φ看成一个整体，由三角函数的单调性求解．3．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的图象求解析式的步骤： (1)A ＝y max －y min 2，B ＝y max ＋y min2.(2)由函数的周期T 求ω⎝⎛⎭⎫ω＝2πT .(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.4．三角函数图象与性质解题中失分误区：(1)忽视定义域和名称；求解三角函数的单调区间、最值(值域)以及作图象等问题时，要注意函数的定义域和名称．(2)忽视平移单位；要重视图象变换顺序，在图象变换过程中，注意分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．(3)忽视A ，ω的符号，忽视注明k ∈Z ；在求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，若ω＜0，需先通过诱导公式将x 的系数化为正的．高 考 回 眸 【p 25】考题1[2018·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝2sin x ＋sin 2x ，则f(x)的最小值是________．【解析】－332f ′(x)＝2cos x ＋2cos 2x ＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)， 当cos x<12时，f ′(x)<0，f(x)单调递减；当cos x>12时，f ′(x)>0，f(x)单调递增；所以当cos x ＝12时，f(x)有最小值．又f(x)＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x(1＋cos x)， 所以当sin x ＝－32时，f(x)有最小值． 即f(x)min ＝2×⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫1＋12＝－332.【命题立意】本题主要考查了三角函数的最值，导数的应用，考查了考生的转化化归能力、运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．考题2[2018·全国卷Ⅱ]若f(x)＝cos x －sin x 在[－a ，a]是减函数，则a 的最大值是( ) A .π4 B .π2 C .3π4 D ．π 【解析】选A .f(x)＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，即x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，函数f(x)单调递减，因为f(x)在[－a ，a]是减函数，所以[－a ，a]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，故a 的最大值为π4，选A .【命题立意】本题考查了三角函数的单调性，三角恒等变换，意在考查考生的逻辑思维能力、等价转换能力、运算求解能力．考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算．考题3[2018·全国卷Ⅲ]函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点的个数为________．【解析】3由题意可知，当3x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＝0.因为x ∈[0，π]， 所以3x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，19π6， 故当3x ＋π6取值为π2，3π2，5π2时，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＝0，即函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点的个数为3.【命题立意】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了数形结合思想和考生的运算求解能力．考查的数学核心素养是数学运算．考点限时训练 【p 119】 A 组 基础演练1．在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2 范围内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象交点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】选A.在同一坐标系中，作出y ＝sin x 与y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的图象，很难做到精确，容易误认为3个交点．联想到不等式“sin x <x <tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2”，故y ＝sin x 与y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内的图象无交点，又它们都是奇函数，从而y ＝sin x 与y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0内的图象也无交点，所以在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2范围内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象交点的个数为1个，即坐标原点()0，0.选A.2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值是( )A ．－1 B.22C ．－22D ．0 【解析】选C.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，因此f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，即函数f (x )的最小值是－22. 3．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中0<φ<2π，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对任意x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，则φ等于( ) A.π6 B.5π6 C.7π6 D.11π6 【解析】选C.由f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6可知π6是函数f (x )的对称轴，所以2×π6＋φ＝π2＋k π，所以φ＝π6＋k π，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，得sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，即－sin φ>sin φ，所以sin φ<0，又0<φ<2π，所以π<φ<2π，所以当k ＝1时，φ＝7π6.*4.已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤13，56B.⎣⎡⎦⎤13，76 C.⎣⎡⎦⎤14，56 D.⎣⎡⎦⎤14，76 【解析】选B.由2k π＋π2≤ωx ＋π3≤2k π＋3π2，即2k π＋π6≤ωx ≤2k π＋7π6，由π2<x <π，得π2ω<ωx <πω，故⎩⎪⎨⎪⎧2k π＋π6≤π2ω，2k π＋7π6≥πω，令k ＝0，解得13≤ω≤76.5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中A >0，ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则函数f (x )的解析式为f (x )＝________．【解析】sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3由图象可知A ＝1，T 4＝7π12－π3＝π4，T ＝π，即2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．f ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－1，即 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1，所以π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.6．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )有下列命题：①y ＝f (x )是以2π为最小正周期的周期函数； ②y ＝f (x )可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6；③y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称；④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－5π12对称；其中正确命题的序号为________． 【解析】②③④由题意可得函数的最小正周期为2π2＝π，故选项①错误；由诱导公式可得f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，故选项②正确；由2x ＋π3＝k π，可得x ＝k2π－π6，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝－π6，故函数图象的一个对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，故选项③正确；由2x ＋π3＝k π＋π2，可得x ＝k2π＋π12，k ∈Z ，当k ＝－1时，x ＝－5π12，故函数图象的一条对称轴为x ＝－5π12，故选项④正确．7．已知直线x ＝π4是函数f (x )＝a sin x －b cos x (ab ≠0)图象的一条对称轴，则直线ax ＋by＋c ＝0的倾斜角为________．【解析】π4由条件，f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2⇒－b ＝a ，∴－ab ＝1，故倾斜角为π4.*8.已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的最大值为3，f (x )的图象与y轴的交点坐标为(0，2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝________．【解析】4 038f (x )＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋A 2＋1，由相邻两条对称轴间的距离为2知，T2＝2，得T ＝4＝2π2ω，ω＝π4，由f (x )的最大值为3，得A ＝2. 又f (x )的图象过点(0，2)， ∴cos 2φ＝0，∴2φ＝k π＋π2(k ∈Z )，又0<φ<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2＋2＝－sin πx 2＋2.∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝3，f (4)＝2. 又f (x )的周期为4，2 019＝4×504＋3，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝504×(1＋2＋3＋2)＋1＋2＋3＝4 038.9．已知函数f (x )＝2a sin 2 x ＋2sin x cos x －a (a 为常数)的图象过点(0，－3)．(1)求函数f (x )的值域；(2)若将函数y ＝f (x )的图象向右平移12m 个单位后(作长度最短的平移)，其图象关于y 轴对称，求出m 的值．【解析】(1)函数f (x )的图象过点(0，－3)， ∴－3＝2a sin 20＋2sin 0cos 0－a ， ∴a ＝3，∴f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x －3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，∴函数f (x )的值域为[－2，2]．(2)由y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎫x －12m －π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －m －π3，即函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －m －π3的图象关于y 轴对称，则必有－m －π3＝π2＋k π，∴m ＝－56π－k π(k ∈Z )，要使|m |最小，则当k ＝－1时，m ＝π6.B 组 能力提升10．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.32B.12C.22D ．1 【解析】选A.由题知最大值A ＝1，半周期T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，即T ＝π，T ＝2πω，得ω＝2.又过⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入可得φ＝π3.由已知x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)，则x ＝π12是函数的一条对称轴，可得x 1＋x 22＝π12，即x 1＋x 2＝π6，代入可得f (x 1＋x 2)＝32.故选A.11．f (x )为定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x ＝π4对称，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，f (x )＝tan x ，则方程5πf (x )－4x ＝0解的个数是( )A ．7B ．5C ．4D ．3【解析】选B.即求y ＝f (x )与y ＝4x5π交点个数，作图如下：共五个交点，选B.12．已知函数f (x )＝2sin ωx －2cos ωx (ω<0)，若y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象与y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象重合，记ω的最大值为ω0，则函数g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ω0x －π3的单调递增区间为( )A.⎣⎡⎦⎤－π3＋k π2，－π12＋k π2(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤－π12＋k π2，π6＋k π2(k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤－π3＋2k π，－π12＋2k π(k ∈Z )D.⎣⎡⎦⎤－π12＋2k π，－π6＋2k π(k ∈Z )【解析】选A.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象与y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象重合，说明函数的周期为π2，由于ω<0，T ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2πω＝－2πω≤π2，ω≤－4，ω0＝－4，g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x －π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，2k π－π≤4x ＋π3≤2k π，则k π2－π3≤x ≤k π2－π12，选A.13．将函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是________．【解析】2函数f (x )的图象向右平移π4个单位长度得到函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ4的图象，因为此时函数图象过点⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0，所以sin ω⎝⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝0，即ω⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝ωπ2＝k π(k ∈Z )，所以ω＝2k (k ∈Z )，又ω>0，所以ω的最小值为2.*14.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于P 点，其一条对称轴与x 轴交于C 点，且P A ＝PC ＝23，PB ＝BC ，则ω＝________．【解析】π4函数周期为2πω，故AB ＝12T ＝πω，PB ＝BC ＝T 4＝π2ω，AC ＝3π2ω，OA ＝OC ＝3π4ω，OB ＝OC－BC ＝π4ω，由于OB ＝12PB ，所以∠OPB ＝∠PCB ＝∠BPC ＝π6，∠OBP ＝π3，所以3π4ω＝OC ＝PC cos π6＝3，故ω＝π4.15．已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫π4－ωx ＋sin 2ωx ＋a (ω>0)的图象与直线y ＝m (m >0)相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列，且f (x )的最大值为1.(1)若x ∈[0，π]，求函数f (x )的单调递增区间；(2)将f (x )的图象向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，若函数y ＝g (x )－m 在⎣⎡⎦⎤0，π2上有零点，求实数m 的取值范围．【解析】(1)∵f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π2＋sin 2ωx ＋a＝3cos 2ωx ＋sin 2ωx ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋a ，由题意得ω＝1， ∴2＋a ＝1，所以a ＝－1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1，由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，所以函数f (x )在区间[0，π]上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π12，π.(2)∵将f (x )的图象向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π3－1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－1，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π3，∴当2x ＋2π3＝2π3时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝32，g (x )取最大值3－1；当2x ＋2π3＝3π2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝－1，g (x )取最小值－3.若函数y ＝g (x )－m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有零点，则－3≤m ≤3－1.16．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：(1)1，x 2，x 3(2)将f (x )的图象向右平移23个单位得到函数g (x )的图象，若函数g (x )在区间[0，m ](3<m <4)上的图象的最高点和最低点分别为M ，N ，求向量NM →与ON →夹角θ的大小(O 为坐标原点)．【解析】(1)由条件知，13ω＋φ＝π2，73ω＋φ＝3π2，∴ω＝π2，φ＝π3，∴x 1＝－23，x 2＝43，x 3＝103，f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3.(2)∵函数f (x )的图象向右平移23个单位得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2⎝⎛⎭⎫x －23＋π3＝3sin π2x ，∵函数g (x )在区间[0，m ](m ∈(3，4))上的图象的最高点和最低点分别为M ，N ， ∴最高点为M (1，3)，最低点为N (3，－3)， ∴ON →＝(3，－3)，NM →＝(－2，23)， ∴cos θ＝ON →·NM →|ON →|·|NM →|＝－32，又∵0≤θ≤π，∴θ＝5π6.17．已知函数f (x )＝2sin ωx ，其中常数ω>0.(1)若y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围；(2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a <b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．【解析】(1)因为ω>0，根据题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω≥－π2，2π3ω≤π2，⇒0<ω≤34. (2)f (x )＝2sin 2x ，g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1.g (x )＝0⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ，即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.另一种解法：若b －a 最小，则a 和b 都是零点，此时在区间[a ，π＋a ]，[a ，2π＋a ]，…，[a ，m π＋a ](m ∈N *)上分别恰有3，5，…，2m ＋1个零点，所以在区间[a ，14π＋a ]上恰有29个零点，从而在区间(14π＋a ，b ]上至少有一个零点， b －a －14π≥π3，另一方面，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，14π＋π3＋5π12上恰有30个零点，因此b －a 的最小值为14π＋π3＝43π3.第7讲三角恒等变换与解三角形知识网络【p26】考情分析【p26】备 考 建 议 【p 26】1．三角函数公式众多，化简方法灵活多变，复习中要熟练掌握三角恒等变换的技巧，加深对三角公式的记忆与内在联系的理解．2. 解三角形内容应用性较强，命题灵活，在解答题与选择填空题位置均有出现，常规命题是主流，也有与实际问题结合起来命题(如利用三角形求解与测量、航海有关的实际问题)的情况，特别是选择填空题位置需要注意．典 例 剖 析 【p 26】探究一 给值(式)求角例1(1)已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则α＋β等于( )A ．－π3B ．－23π或π3C ．－23π D .π3【解析】选C .因为tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝－331－4＝3，所以α＋β＝π3＋k π，k ∈Z ，又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＋β＝－23π⎝⎛⎭⎪⎫α＋β＝π3舍.【点评】给值求角时，注意角的范围的讨论，最好选择单调函数． (2)已知A ∈(0°，180°)，且满足2sin 2A 2＋3cos A2＝2.(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)求sin(A ＋10°)·[1－3tan(A －10°)]的值． 【解析】(Ⅰ)由2sin 2A 2＋3cos A2＝2，得3cos A2＝2⎝⎛⎭⎫1－sin 2A 2， 即3cos A 2＝2cos 2A2，又A ∈(0°，180°)，则A2∈(0°，90°)，则cos A 2＞0，故cos A 2＝32.从而A2＝30°，故A ＝60°.(Ⅱ)由(Ⅰ)sin(A ＋10°)·[1－3tan(A －10°)] ＝sin 70°·(1－3tan 50°) ＝sin 70°·cos 50°－3sin 50°cos 50°＝sin 70°·2⎝⎛⎭⎫12cos 50°－32sin 50°cos 50°＝2sin 70°·sin （30°－50°）cos 50°＝－2sin 20°·cos 20°sin 40°＝－1.【点评】给角求值时，注意化异角为同角，化切为弦，这样便于发现彼此间的联系．探究二 给值求值例2 (1)已知cos 2α＋sin α(2sin α－1)＝25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( )A .17B .13C .27D .23 【解析】选A .由二倍角公式得cos 2α＋2sin 2α－sin α＝25，整理得1－2sin 2α＋2sin 2α－sin α＝25，因此sin α＝35，由于α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtanπ4＝17. (2)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝3，则lg (8sin α＋6cos α)－lg (4sin α－cos α)＝________．【解析】1∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3，∴tan α＋11－tan α＝3，∴tan α＝12，∴lg (8sin α＋6cos α)－lg (4sin α－cos α)＝lg 8sin α＋6cos α4sin α－cos α＝lg 8tan α＋64tan α－1＝lg 10＝1.【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换、对数及其运算和同角三角函数的图象及其性质，考查了学生综合知识能力的应用和计算能力．其解题的一般思路为：首先运用正切的和的公式并结合已知条件可计算得到tan α的值，然后运用对数运算的法则以及同角三角函数的基本关系即可将所求的结果，转化为有关tan α的求值问题，最后得出所求的结果．(3)已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝45，－π2<α<0，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝__________．【解析】－435∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋23π＝45，－π2<α<0， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝35，而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎪⎫α＋2π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3sin π3＝3－4310，∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3－2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3cos 2π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3sin 2π3＝－3－4310，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝3－4310＋－3－4310＝－435.【点评】在使用三角恒等变换公式解决问题时，“变换”是其中的精髓，在“变换”中既有公式的各种形式的变换，也有角之间的变换，如把π2＋2α变换成2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·α＋β2，α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β等．注意若将结论中的角用条件中的角表示往往可能较快找到解题的突破口．探究三 三角形中边角关系例3(1)在△ABC 中，利用正弦定理解三角形时，其中有两解的选项是( ) A ．a ＝3，b ＝6，A ＝30° B ．a ＝6，b ＝5，A ＝150° C ．a ＝3，b ＝43，A ＝60° D ．a ＝92，b ＝5，A ＝30°【解析】选D .有钝角或直角最多一解，B 错．由sin B ＝b sin Aa ，A 中sin B ＝1，B ＝90°，1解，不符．C中sin B ＝2>1，无解．D 中sin B ＝59>12，B<150°符合两解．选D .【点评】在己知两边一对角的题型中，有钝角或直角最多一解，己知角所对边为大边，最多一解，其余情况根据三角形内角和180°，大边对大角来判断．(2)在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin (A －B)＝(a 2－b 2)·sin C ，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 【解析】选D .由已知(a 2＋b 2)sin (A －B)＝(a 2－b 2)sin C ， 得b 2[sin (A －B)＋sin C]＝a 2[sin C －sin (A －B)]， 从而b 2sin A cos B ＝a 2cos A sin B 即sin 2B sin A cos B ＝sin 2A cos A sin B ，所以sin 2B ＝sin 2A. 而0＜A ＜π，0＜B ＜π， 得0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π， 故2A ＝2B 或2A ＝π－2B.即A ＝B 或A ＋B ＝π2.【点评】分析求解与三角形有关的三角函数问题时，一方面应充分注意三角形三内角之间的相互关系和取值范围，并利用三内角和为180°进行角之间的相互转换，另一方面应充分利用正弦定理和余弦定理进行“边与角”的互化．(3)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD ，2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________________________________________________________________________．【解析】66设AB ＝c ，则AD ＝c ，BD ＝2c 3，BC ＝4c3，在△ABD 中，由余弦定理得cos A ＝c 2＋c 2－43c 22c 2＝13，则sin A ＝223.在△ABC 中，由正弦定理得c sin C ＝BC sin A ＝4c3223，解得sin C ＝66. 【点评】应用正弦定理、余弦定理解三角形时，要讲究公式的准确恰当运用，同时由正弦定理求角时，一定要利用大边对大角确认是一解还是两解．1．解三角形常见类型及解法在三角形的六个元素中要知三个(除三角外)才能求解，常见类型及其解法见下表：2.确定三角形的形状主要的途径及方法探究四 三角形中的三角函数例4 已知在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2－a 2－c 2ac ＝cos （A ＋C ）sin A cos A.(1)求角A 的大小； (2)若sin Bcos C>2，求角C 的取值范围． 【解析】(1)由余弦定理得：b 2－a 2－c 2ac ＝－2cos B ，又cos （A ＋C ）sin A cos A ＝－2cos B 且cos B ≠0，∴－2cos B sin 2A＝－2cos B ，∴sin 2A ＝1， 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4.(2)∵B ＋C ＝34π，∴sin B cos C＝sin ⎝⎛⎭⎫34π－C cos C＝22＋22tan C>2， ∴tan C>1，又0<C<34π，∴π4<C<π2.规 律 总 结 【p 28】1．要能熟练推证公式，熟悉公式的正用、逆用，还要熟练掌握公式的变形应用． 如两角和与差的正切公式可变形为：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．余弦二倍角公式有多种形式，即cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，变形公式sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2.它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂的作用．2．对于形如a sin α＋b cos α的式子，都可通过合理的变形，借助两角和与差的三角函数公式的逆用，化为只含有一个三角函数的形式，即a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2·sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba ，这个公式称为辅助角公式，它在解决三角函数问题中具有广泛的应用． 3．三角恒等变换常用方法：正切化弦、常数代换、角的变换、降幂转化、逆用公式、变形后用公式等．(1)要注意拆角、拼角技巧．例如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β等． (2)注意倍角的相对性，如α是α2的倍角，3α是3α2的倍角等．(3)要注意公式间的内在联系及特点，解题过程中，要善于观察差异，寻找联系，实现转化，要熟悉公式的正用、逆用和变形应用，也应注意公式成立的条件．4．三角函数恒等变换易错点 (1)“给角求值”时没有发现角的内在联系造成错解．一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合三角公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”没有运用整体思想造成繁解．给出某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”时忽视对角的范围的限制造成增解．“给值求角”实质上是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调性区间求得角．5．正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，注意定理的灵活变形，如a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R (其中2R 为三角形外接圆的直径)，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等，灵活根据条件求解三角形中的边与角．6．三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A ＋B )＝sin C ，sin A ＋B 2＝cos C 2等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题，如：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解，注意确定解的个数．7．解三角形问题中的易错提醒： (1)忽视解的多种情况；如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π，求C ，再由正弦定理或余弦定理求边c ，但解可能有多种情况．(2)忽略角的范围；应用正、余弦定理求解边、角等量的最值(范围)时，要注意角的范围． (3)忽视解的实际意义；求解实际问题，要注意解得的结果要与实际相吻合．高 考 回 眸 【p 28】考题1[2018·全国卷Ⅰ]在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ；(2)若DC ＝22，求BC.【解析】(1)在△ABD 中，由正弦定理得 BDsin ∠A ＝AB sin ∠ADB. 由题设知，5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25.由题设知，∠ADB<90°， 所以cos ∠ADB ＝1－225＝235. (2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2·BD·DC·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25. 所以BC ＝5.【命题立意】本题考查正弦定理、余弦定理，特殊角的三角函数值，考查学生的数形结合能力、转化与化归的能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算、直观想象．考题2[2018·全国卷Ⅱ]已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin (α＋β)＝________．【解析】－12因为sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0， 所以sin 2α＋cos 2β＋2sin αcos β＝1， cos 2α＋sin 2β＋2cos αsin β＝0，两式相加得2＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝2＋2sin (α＋β)＝1， 所以sin (α＋β)＝－12.【命题立意】本题主要考查三角恒等变换，考查学生分析问题、解决问题的能力．考查的数学核心素养是数学运算．考题3[2018·全国卷Ⅲ]△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A .π2B .π3C .π4D .π6 【解析】选C .因为S △ABC ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24＝2ab cos C 4＝ab cos C 2，所以sin C ＝cos C ，即C ＝π4，故选C .【命题立意】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算．考点限时训练 【p 122】 A 组 基础演练1．若cos 2θsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－22，则log 2(sin θ－cos θ)的值为( )A ．－12 B.12 C ．－2 D ．2【解析】选C.cos 2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos 2θ－sin 2θ22（sin θ＋cos θ）＝2(cos θ－sin θ)＝－22，∴sin θ－cos θ＝12. 于是，log 2(sin θ－cos θ)＝log212＝－2. 2.2cos 10°cos 20°－tan 20°＝( )A ．1 B.3－12 C.3 D.32【解析】选C.2cos 10°－sin 20°cos 20°＝2cos （30°－20°）－sin 20°cos 20°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.*3.若△PQR 的三个顶点坐标分别为P (cos A ，sin A )，Q (cos B ，sin B )，R (cos C ，sin C )，其中A ，B ，C 是△ABC 的三个内角且满足A <B <C ，则△PQR 的形状是( )A ．锐角或直角三角形B ．钝角或直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形【解析】选D.因为△PQR 的三个顶点坐标分别为P (cos A ，sin A )，Q (cos B ，sin B )，R (cos C ，sin C )，其中A ，B ，C 是△ABC 的三个内角且满足A <B <C ，则利用余弦定理可以判定△PQR 的形状是钝角三角形，选D.另：本题也可特殊化处理．4．(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝__________．【解析】8注意到tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可化为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)．因此：(1＋tan α)[1＋tan(45°－α)]＝1＋tan α＋tan(45°－α)＋tan α·tan(45°－α)＝1＋tan 45°·[1－tan αtan(45°－α)]＋tan αtan(45°－α)＝1＋1＝2， 由于20°＋25°＝21°＋24°＝22°＋23°＝45°，故原式＝2·2·2＝8.5．已知△ABC 中，a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin A 的值为________． 【解析】5314由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝52＋32－2×5×3×cos 120°＝49，即c ＝7；根据正弦定理a sin A ＝c sin C ，解得sin A ＝5314.*6.若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．【解析】6－24∵sin A ＋2sin B ＝2sin C . 由正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，即c ＝a ＋2b 2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab≥26ab －22ab 8ab ＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2即a b ＝23时等号成立．∴cos C 的最小值为6－24.7．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos 2x ＋3sin x cos x .(1)若|x |<π4，求函数f (x )的值域； (2) 设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝52，cos ()A ＋C ＝－5314，求cos C 的值． 【解析】(1)f (x )＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋1＋cos 2x 2＋32sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋12＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12. ∵|x |<π4，∴－π3<2x ＋π6<2π3，∴－32<sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1，∴12－3<f (x )≤52， 即f (x )的值域为⎝⎛⎦⎤12－3，52. (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝52，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1，又A 为△ABC 的内角，所以A ＝π3， 又因为在△ABC 中，cos(A ＋C )＝－5314，所以sin(A ＋C )＝1114，所以cos C ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋C －π3＝12cos ()A ＋C ＋32sin(A ＋C )＝3314.8．如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．【解析】(1)在△CDE 中，由余弦定理可得EC 2＝CD 2＋DE 2－2·CD ·DE ·cos ∠EDC ，于是由题设可知7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3<0，舍去)．在△CDE 中，令∠CED ＝α，由正弦定理可得CE sin ∠EDC ＝CDsin α⇒sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2·327＝217， 即sin ∠CED ＝217. (2)由题设可得0<α<π3，于是根据正余弦之间的关系可得cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277，而∠AEB ＝2π3－α， 所以cos ∠AEB ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714， 在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE ，所以BE ＝2cos ∠AEB ＝2⎝⎛⎭⎫714＝47.B 组 能力提升9．已知△ABC 中，角A ，B 的对边分别为a ，b ，且A ＝30°，a ＝2，b ＝2，那么满足条件的△ABC ( )A ．有一个解B ．有两个解C ．不能确定D ．无解【解析】选B.由余弦定理可得2＝c 2＋4－4c cos A ，即c 2－23c ＋2＝0，因判别式Δ＝12－8＝4>0，故C 的值有两正解，即满足条件的△ABC 有两解，选B.10．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B ·sin C ，则A 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，π6 B.⎣⎡⎭⎫π6，πC.⎝⎛⎦⎤0，π3D.⎣⎡⎭⎫π3，π【解析】选C.在△ABC 中，由正弦定理可得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，由sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C 可得a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥12，∴0<A ≤π3.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，π3<C <π2，b a －b ＝sin 2Csin A －sin 2C ，a ＝3，sin B ＝116，则b 等于( ) A. 3 B ．2C. 5 D ．2 3 【解析】选A.由题意得：b a －b ＝sin 2Csin A －sin 2C，由正弦定理得，sin B sin A －sin B ＝sin 2Csin A －sin 2C ，则sin A sin B －sin B sin 2C ＝sin A sin 2C －sin B sin 2C ， 又sin A ≠0，得sin B ＝sin 2C ，即sin(A ＋C )＝sin 2C ， 因为π3<C <π2，所以A ＋C >π3，2π3<2C <π，则A ＋C ＝2C ，得A ＝C ，即c ＝a ＝3，且B 是锐角， 由sin B ＝116得cos B ＝1－sin 2B ＝56，由余弦定理得，b 2＝2a 2－2a 2cos B ＝3，即b ＝3， 故选A.*12.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，O 是△ABC 外接圆的圆心，若2a cos B ＝2c －b ，且cos B sin C AB →＋cos C sin BAC →＝mAO →，则m 的值是( )A.24 B.22C. 2 D ．2 2 【解析】选C.因为2a cos B ＝2c －b ，由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2c －b ，整理得b 2＋c 2－a 2＝2bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝22，即A ＝π4.因为O 是△ABC 的外心， ∴AO →·AB →＝12AB →2＝12c 2，由cos B sin C AB →＋cos C sin BAC →＝mAO →，得 cos B sin C AB →2＋cos C sin B AC →·AB →＝mAO →·AB → ⇒cos B sin C c 2＋cos C sin B bc cos A ＝m ×12c 2 ⇒cos B sin C c ＋cos C sin B b cos A ＝12mc ⇒cos B ＋cos A cos C ＝12m sin C ，∴m ＝2×cos B ＋cos A cos Csin C ＝2×－cos （A ＋C ）＋cos A cos C sin C ＝2×sin A sin C sin C ＝2sin A ＝ 2.故选C.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B －b cos A ＝12c ，当tan(A－B )取最大值时，角B 的值为__________．【解析】π6依题意，由正弦定理得sin A cos B －sin B cos A ＝12sin C ＝12sin ()A ＋B ，化简得sin A cos B＝3cos A sin B ，即tan A ＝3tan B ．所以tan ()A －B ＝tan A －tan B1＋tan A tan B ＝2tan B 1＋3tan 2B ＝21tan B＋3tan B ≤33，当且仅当tan 2B ＝13，B ＝π6时等号成立． *14.已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，若x ＝x 0⎝⎛⎭⎫0≤x 0≤π2为函数f (x )的一个零点，则cos 2x 0＝__________．【解析】35＋18由f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，化简可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，又f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π6＋12＝0，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0－π6＝－14<0，又0≤x 0≤π2得－π6≤2x 0－π6≤5π6，所以－π6≤2x 0－π6≤0，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π6＝154.此时：cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π6sin π6＝35＋18.15．已知向量a ＝(2cos 2x ，3)，b ＝(1，sin 2x )，函数f (x )＝a·b .(1)求函数f (x )(x ∈R )的单调增区间；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝2，α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6的值．【解析】(1)∵a ＝(2cos 2x ，3)，b ＝(1，sin 2x )，∴f (x )＝a·b ＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－2π3＋π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π2＋1＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π2＝－cos 2α＝12，即cos 2α＝－12，∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，∴2α∈[π，2π]，∴2α＝4π3.则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝sin 3π2＝－1.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积．【解析】(1)由题意得1＋cos 2A 2－1＋cos 2B 2＝32sin 2A －32sin 2B ， 即32sin 2A －12cos 2A ＝32sin 2B －12cos 2B ， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6.由a ≠b ，得A ≠B ，又A ＋B ∈(0，π)，得2A －π6＋2B －π6＝π，即A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3.(2)由c ＝3，sin A ＝45，a sin A ＝c sin C ，得a ＝85.由a <c ，得A <C ，从而cos A ＝35，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝4＋3310，所以，△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝83＋1825.。

溯源回扣二 函数与导数1.求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；分式中分母不为0；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏. [回扣问题1] 函数f (x )＝3x 21－x ＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13 解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，3x ＋1>0.即⎩⎨⎧x <1，x >－13，所以－13<x <1. 答案 A2.求解与函数、不等式有关的问题(如求值域、单调区间、判断奇偶性、解不等式等)，要注意定义域优先的原则.[回扣问题2] (2017·全国Ⅱ卷改编)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调增区间是________.解析 要使函数有意义，则x 2－2x －8>0，解得x <－2或x >4，结合二次函数、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则得函数的单调增区间为(4，＋∞). 答案 (4，＋∞)3.定义域必须关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称.函数y ＝f (x )为奇函数，但不一定有f (0)＝0成立.[回扣问题3] 函数f (x )＝lg （1－x 2）|x －2|－2的奇偶性是________.解析 由1－x 2>0且|x －2|－2≠0，知f (x )的定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称，则f (x )＝lg （1－x 2）－x，又f (－x )＝lg （1－x 2）x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数. 答案 奇函数4.理清函数奇偶性的性质. (1)f (x )是偶函数f (－x )＝f (x )＝f (|x |)； (2)f (x )是奇函数f (－x )＝－f (x )；(3)定义域含0的奇函数满足f (0)＝0.[回扣问题4] 已知函数f (x )＝ln(|x |＋1)＋x 2＋1，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C .(1，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13 解析 易知函数f (x )为偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)＋x 2＋1是[0，＋∞)上的增函数，∴使得f (x )>f (2x －1)成立的x 满足|2x －1|<|x |，得13<x <1. 答案 A5.记准函数周期性的几个结论：由周期函数的定义“函数f (x )满足f (x )＝f (a ＋x )(a >0)，则f (x )是周期为a 的周期函数”得：(1)函数f (x )满足f (a ＋x )＝－f (x )，则f (x )是周期T ＝2a 的周期函数； (2)若f (x ＋a )＝1f （x ）(a ≠0)成立，则T ＝2a ； (3)若f (x ＋a )＝－1f （x ）(a ≠0)恒成立，则T ＝2a ；(4)若f (x ＋a )＝f (x －a )(a ≠0)成立，则T ＝2a .[回扣问题5] 对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x ＋2)＝－1f （x ），若当2<x ≤3时，f (x )＝x ，则f (2 017)＝________.解析 易知y ＝f (x )的最小正周期T ＝4， ∴f (2 017)＝f (1)＝－1f （3）＝－13.答案 －136.求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接，或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.[回扣问题6] 函数f (x )＝x 3－3x 的单调增区间是________. 解析 由f ′(x )＝3x 2－3>0，得x >1或x <－1. 答案 (－∞，－1)和(1，＋∞) 7.图象变换的几个注意点.(1)混淆平移变换的方向与单位长度. (2)区别翻折变换：f (x )→|f (x )|与f (x )→f (|x |). (3)两个函数图象的对称.[回扣问题7] 函数g (x )＝4sin x cos x 的图象向左平移π6个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数f (x )的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________.解析 函数g (x )＝4sin x cos x ＝2sin 2x 的图象向左平移π6个单位得到函数y ＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，该函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)所得图象对应的函数为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2x ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π3＝2sin 2π3＝ 3.答案38.不能准确理解基本初等函数的定义和性质.如函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的单调性忽视字母a 的取值讨论，忽视a x >0；对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)忽视真数与底数的限制条件.[回扣问题8] (2018·潍坊模拟)若函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( )解析 由于f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在R 上为减函数，则0<a <1.又|x |－1>0，得x >1或x <－1.当x >1时，y ＝log a (x －1)是减函数，易知D 正确. 答案 D9.分段函数的图象，一定要准确看清楚分界点的函数值.[回扣问题9] 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x－k ，x ≤0，（1－k ）x ＋k ，x >0是R 上的增函数，则实数k的取值范围是________.解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－k >0，e 0－k ≤（1－k ）×0＋k ，即⎩⎨⎧k <1，k ≥12，所以12≤k <1.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，110.易混淆函数的零点和函数图象与x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化.[回扣问题10] 函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点个数为( ) A .1B .2C .3D .4解析 由|x －2|－ln x ＝0，得ln x ＝|x －2|.在同一坐标系内作y ＝ln x 与y ＝|x －2|的图象(图略)，有两个交点.∴f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内有两个零点. 答案 B11.混淆y ＝f (x )的图象在某点(x 0，y 0)处的切线与y ＝f (x )过某点(x 0，y 0)的切线，导致求解失误.[回扣问题11] (2017·天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________.解析 f (1)＝a ，切点为(1，a ).f ′(x )＝a －1x ，则切线的斜率为f ′(1)＝a －1，切线方程为：y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0得出y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1. 答案 112.利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f (x )在某个区间内可导，如果f ′(x )>0，那么f (x )在该区间内为增函数；如果f ′(x )<0，那么f (x )在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f ′(x )＝0，那么f (x )在该区间内为常函数.注意 如果已知f (x )为减函数求参数取值范围，那么不等式f ′(x )≤0恒成立，但要验证f ′(x )是否恒等于0，增函数亦如此.[回扣问题12] 已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________.解析 由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，∵当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x max ＝83，∴2a ≥83，即a ≥43. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞13.对于可导函数y ＝f (x )，错以为f ′(x 0)＝0是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处有极值的充分条件.[回扣问题13] 若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极小值10，则a ＋b ＝________.解析 由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，。

第1讲三角函数1．三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查； 2．利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查；3．三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心．1．常用三种函数的图象性质(下表中k ∈Z )2(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋2π(k ∈Z )时为偶函数； 对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋2π(k ∈Z )求得． (2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋2π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数； 对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得． (3)y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数． 3．三角函数的两种常见变换(1)y ＝sin x ()()00ϕϕϕ><−−−−−−−−−−−→向左或向右平移个单位y ＝sin(ωx ＋φ)A −−−−−−−−−−−→纵坐标变为原来的倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)．y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)． 4．三角函数公式(1)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin tan cos ααα=． (2)诱导公式：对于“2k απ±，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆： 奇变偶不变，符号看象限．(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ±=；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=．(4)二倍角公式：sin 22sin cos ααα=，2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-． (5)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan b aϕ=．热点一 三角函数的图象【例1】(1) (2018·清流一中)（1）用“五点法”作出这个函数在一个周期内的图象；（2）函数x y cos =图象经过怎样的变换可以得到 (2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)0,0,2A ωϕπ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 212f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)解 (1)列表【注：列表每行1分，该行必须全对才得分；图象五点对得1分，图象趋势错扣1分】（2）把x y cos =的图象向左平移变，横坐标变为原来的2变为原来的2(2)由(1)知()5sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据图象平移变换，得()5sin 226g x x θπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．因为y ＝sin x 的对称中心为()π,0k ，k ∈Z ． 令2x ＋2θ－6π＝k π，k ∈Z ，解得212k x θππ=+-，k ∈Z ． 由于函数y ＝g (x )的图象关于点,0125π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，令521212k θπππ+-=，k ∈Z ，解得23k θππ=-，k ∈Z ．由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值6π． (2)解析 (1)由题意知A ＝2，54126T ππ⎛⎫=-=π ⎪⎝⎭，ω＝2，因为当512x π=时取得最大值2，所以522sin 212ϕπ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭， 所以522122k ϕππ⨯+=π+，k ∈Z ，解得π32k ϕ=-π，k ∈Z ， 因为|φ|<2π，得3ϕ=-π，因此函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．探究提高 1．“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．2．在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．3．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．【训练1】(1) (2018·孝感期末)已知函数()()1sin 20,022πf x A x A ϕϕ⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭，()333xxm g x -⋅=，()f x 的图像在y 轴上的截距为1，且关于直线12πx =对称．若对于任意的[]11,2x ∈-，存在20,6πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 使得()()12g x f x ≥，则实数m 的取值范围为______．(2)(2017·贵阳调研)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(0A >，0ω>，π2ϕ<)的部分图象如图所示．①求函数f (x )的解析式；②将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上的最小值． 解析(1)因为()f x 的图像在y 轴上的截距为1，且关于直线12πx =对称， 所以()10sin 12f A ϕ=-=，sin 21π12ϕ⎛⎫⨯+=± ⎪⎝⎭，又0A >，0π2ϕ<<，所以π3ϕ=，A =所以()π1232f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，6π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2π2,33ππ3x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin 23πx ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()12f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()min 1f x =， 因为()33333x x x m g x m -⋅==-，[]1,2x ∈-，所以()min13g x m =-， 若对于任意的[]11,2x ∈-，存在20,6πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12g x f x ≥，则()()12min min g x f x ≥，所以113m -≥，解得23m ≤-，所以实数 的取值范围为2,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，答案为2,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．答案2,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦(2)解 ①设函数f (x )的最小正周期为T ，由题图可知A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2，即T ＝π，所以π＝2πω，解得ω＝2，故f (x )＝sin(2x ＋φ)．由0＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ可得π3＋φ＝2k π，k ∈Z ， 则φ＝2k π－π3，k ∈Z ，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3． ②根据条件得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π8时，4x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6， 所以当x ＝π8时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝12．热点二 三角函数的性质【例2】(2018·哈尔滨三中)已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象与y 轴的交点为(0,，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()0,2x 和0,2π2x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 解析式及0x 的值； （2）求()f x 的单调增区间；（3）若2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()21g x f x m =++有两个零点，求实数m 的取值范围．解（1）由题意知，2A =，π22T =，∴πT =，∴2π2Tω==；又∵图象过点(0,，∴2sin ϕ=sin ϕ=； 又∵π2ϕ<，∴3πϕ=-；∴()2sin 2π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；又∵()02,x 是()f x 在y 轴右侧的第1个最高点，∴0π2π23x -=，解得05π12x =． （2）由()2π22π23ππ2πk x k k -≤-≤+∈Z ，得()5πππ1212πk x k k -≤≤+∈Z ， ∴()f x 的单调增区间为()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（3）∵在2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()21g x f x m =++有两个零点，∴()0g x =有两个实数根，即函数图象有两个交点． ∴π1sin 234m x --⎛⎫-= ⎪⎝⎭在0,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个根，∵2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴2π2,π33π3x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴结合函数图象，函数()()21g x f x m =++有两个零点的范围是(5,1⎤--⎦．∴(5,1m ⎤∈--⎦．探究提高 1．讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．2．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间，是将ωx ＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间(或减区间)，但是当A ＞0，ω＜0时，需先利用诱导公式变形为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间． 【训练2】(2017·浙江卷)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．解 (1)f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x ＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 则f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋π6＝2． (2)f (x )的最小正周期为π．由正弦函数的性质，令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ．所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z ．热点三 三角函数图象与性质的综合应用【例3】(2017·西安调研)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π． (1)求函数f (x )的单调递增区间．(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．解 (1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1)＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3． 由最小正周期为π，得ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，整理得k π－π12≤x ≤kx ＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ． (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin 2x ＋1的图象；所以g (x )＝2sin 2x ＋1．令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z )，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可．所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12．探究提高 1．研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|．应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的最小正周期为T ＝π|ω|．【训练3】函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数()f x 的性质，并在此基础上填写下表，作出()f x 在区间[]π,2π-上的图象．解∵1-sinx≥0且1+sinx≥0，在R 上恒成立，∴函数的定义域为R ； ∵()2222cos fx x ==+，∴由|cosx|∈[0，1]，f 2（x ）∈[2，4]，可得函数的值域为[ ，2]； ∵()()πf x f x +，∴函数的最小正周期为π，∵当2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2cos 2xf x ，在0,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，当π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2sin 2xf x ==，在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴()f x 在ππ,π2k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，在π,π2πk k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上递减()k ∈Z ， ∵()()f x f x -=，且2π2πf x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()f x 在其定义域上为偶函数，结合周期为π得到图象关于直线π2k x =对称， 因此，可得如下表格：热点四 三角恒等变换及应用【例4】(1)(2015·重庆卷)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3．答案C ．探究提高1．三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值． 2．解决条件求值问题的三个关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角． (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．(3)解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围， 求出角的大小．【训练4】 (1) (2018·泰安一中)平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=， 若5π,36πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 5π6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则0x 的值为_________．(2)(2017·石家庄质检)若cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0<β<π4<α<π2，则α＋β的值为________．解析(1)∵点()00,P x y 在单位圆O 上，且xOP α∠=，∴cos ＝ 0，sin ＝ 0， 又5π,36πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 5π6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则4cos 5π6α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴ 0＝cosα＝cos[（α）]＝cos （α）cossin （α）sin431655π2=-+⨯=． (2)因为cos(2α－β)＝－1114且π4<2α－β<π，所以sin(2α－β)＝5314．因为sin(α－2β)＝437且－π4<α－2β<π2，所以cos(α－2β)＝17．所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝－1114×17＋5314×437＝12．因为π4<α＋β<3π4，所以α＋β＝π3．答案(1)－79；(2)π3．1．(2018·全国I 卷)已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（） A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为42．(2018·全国II 卷)若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是（） A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π3．(2018·全国III 卷)函数()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为（）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π4．(2018·全国III 卷)函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,π的零点个数为________．5．(2018·全国II 卷)已知，则 __________．1．(2018·余江一中)时有极大值，且()f x β-为奇函数，则α，β的一组 可能值依次为（） （A ）π6，π12-（B ）π6，π12（C ）π3，π6-（D ）π3，π62．(2018·湖师附中)若函数 ＝ ＋ ( ， )的图象的一条对称轴方程是， 函数 的图象的一个对称中心是， ，则 的最小正周期是（） A ．B ．C ．D ．3．(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是() 高频易错题经典常规题（45分钟）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 24．(2017·长沙一中调研)已知f (x )＝a sin x －b cos x ，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为（） A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π45．(2018·潍坊期中)已知 ， 为第二象限的角，，，则 的值为（）A ．B ．C ．D ．1．(2018·长春外国语)定义行列式运算，已知函数，满足： ， ，且 的最小值为，则 的值为（） A ．B ．C ．D ．2．(2018·滨州期末)已知函数 ，的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需把 上所有的点（）A ．向右平移个单位长度 B ．向右平移个单位长度 C ．向左平移 个单位长度D ．向左平移个单位长度3．(2017·池州模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13⎝⎛⎭⎫0<α<π2，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝________．精准预测题4．(2018·烟台期中)已知函数 的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为．（1）求函数f （x ）的对称轴方程及单调递增区间；（2）将函数y=f （x ）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y=g （x ）的图象，当x ∈（ ，）时，求函数g （x ）的值域．5．(2017·西安模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32． (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．参考答案1．【解题思路】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+， 之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项． 【答案】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B ． 2．【解题思路】先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定a 的最大值， 【答案】因为()πcos sin 4f x x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由()π02ππ2π,4k x k k +≤+≤+∈Z ，得()3ππ2π2π,44k x k k -+≤≤+∈Z ， 因此 ， π，3π， π，3ππ，从而 的最大值为π4，故选A ．点睛：函数 ， 的性质： (1) + ， ． (2)周期．(3)由 ππ 求对称轴，经典常规题(4)由 ππ ππ 求增区间；由ππ3ππ 求减区间．3．【解题思路】将函数()2tan 1tan xf x x=+进行化简即可【答案】由已知得()22sin tan 1cos sin cos sin 21tan 2sin 1cos xx x f x x x x x x x ====+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故选C ． 4．【解题思路】求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数． 【答案】0πx ≤≤，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知 ， ，或 ，解得，，或，故有3个零点．5．【解题思路】利用两角差的正切公式展开，解方程可得． 【答案】，解方程得．1．【解题思路】由极值点的导数为0确定α，由奇函数确定β． 【答案】()()2cos 2f x x α'=+，因为当，k ∈Z ，当0k =k ∈Z ，当0k =D ． 2．【解题思路】根据题意得到，得 ，得出， 即可求解函数的最小正周期，得到答案．【答案】由题设，有，即，得 ，又，所以，从而，所以， ，即 ， ， 又由 ，所以 ，于是，故 的最小正周期是 ．故选B ．3．【解题思路】先把y ＝cos x 用诱导公式化为正弦形式，再根据平移伸缩原则确定答案．高频易错题【答案】易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，因此D 项正确．故选D ． 4．【解题思路】由f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，可得x ＝π4是其对称轴，再根据特殊值确定a ，b 的关系． 【答案】 在f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x 中，令x ＝π4，得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，即－b ＝a ， ∴直线ax －by ＋c ＝0的斜率k ＝a b ＝－1，因此直线的倾斜角为34π．故选D ．5．【解题思路】先利用同角三角函数的基本关系求得4πsin α⎛-⎫ ⎪⎝⎭和πcos 4β⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用两角和的正弦公式求得()ππsin sin 44αβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的值．【答案】∵α，β为第二象限的角，cos （ ）= ，sin （β+ ）=， ∴sin （）==，cos （β+）=﹣=﹣，则()πππππ41235sin sin sin cos cos cos 444444513513παβαβαβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=-++--=⋅-+-⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦6365=-，故选B ．1．【解题思路】先求出函数 的解析式，然后由 的最小值为可以求出周期 ，进而求出 ． 【答案】由题意得， （）， ，因为 的最小值为，所以 ，则由得 ．2．【解题思路】由函数的最值求出 ，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数 的解析式， 再利用 的图象变換规律，得出结论．【答案】由函数 (其中 ，的部分图象可得 ，，求得 ，再根据五点法作图可得，，， 故把的图象向右平移个长度单位，精准预测题可得的图象，故选A ．3．【解题思路】已知角度与所求角度互余．【答案】∵sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13； 又0<α<π2，∴π6<π6＋α<2π3，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6＋α＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223．故填223． 4．【解题思路】（1）根据题意得到=，从而得到ω 1，f （x ）=sin （2x+）+，令2x+kπ+，求得x=+，即对称轴；（2）根据图像的变换得到g （x ）=sin （4x ﹣）+，当x ∈（，）时，4x ﹣∈（﹣，），结合函数的性质得到值域．【答案】（1）∵函数sin2ωx+ =sin （2ωx+ ）+ 的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为=，∴ω 1，f （x ）=sin （2x+ ）+． 令2x+kπ+，求得x= +， 故函数f （x ）的对称轴方程为得ππ26k x =+，k ∈Z ． （2）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位后， 可得y=sin （2x ﹣ +）+=sin （2x ﹣）+的图象；再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数y=g （x ）=sin （4x ﹣）+的图象．当x ∈（，）时，4x ﹣∈（﹣，），∴sin （4x ﹣）∈（﹣1，1]，故函数()g x 的值域为13,22⎛⎤- ⎥⎝⎦．5．【解题思路】利用二倍角公式，辅助角公式把f (x )化为()sin y A x ωϕ=+形式．【答案】解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1)＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3． 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1．(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为5=+122kx ππ，k ∈Z ， ∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π，1112π．又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2．结合图象可知，∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝⎛⎭⎫56π－2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 2－π3， 又f (x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 2－π3＝23，故cos(x 1－x 2)＝23．。

溯源回扣三　三角函数与平面向量1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定.[回扣问题1]　已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________.解析　由三角函数定义，sin α＝－，cos α＝，4535∴sin α＋cos α＝－.15答案　－152.求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意ω，A 的符号.若ω<0时，应先利用诱导公式将x 的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加2k π时，不要忘掉k ∈Z ，所求区间一般为闭区间.[回扣问题2]　函数y ＝sin 的递减区间是________.(－2x ＋π3)解析　y ＝－sin ，令2k π－≤2x －≤2k π＋，k ∈Z ，得k π－≤x ≤k π＋(2x －π3)π2π3π2π12π，k ∈Z .512答案　(k ∈Z )[k π－π12，k π＋512π]3.运用二次函数求三角函数最值，注意三角函数取值的限制.[回扣问题3]　(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin 2x ＋cos x －的最大334(x ∈[0，π2])值是________.解析　f (x )＝－cos 2x ＋cos x ＋＝－＋1，由x ∈，知0≤314(cos x －32)2 [0，π2]cos x ≤1，当cos x ＝，即x ＝时，f (x )取到最大值1.32π6答案　14.已知三角形两边及一边对角，利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解.在△ABC 中，A >B sin A >sin B .[回扣问题4]　在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝，c ＝2π6，b ＝2，则C ＝________.3解析　由正弦定理得＝，∴sin C ＝.c sin C b sin B c sin B b∵B ＝，c ＝2，b ＝2，∴sin C ＝＝，π6323×12232又b <c ，∴C ＝或.π32π3答案　或π32π35.在三角函数求值中，忽视隐含条件的制约导致增解.[回扣问题5]　已知cos α＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，则cos β＝________.175314π2π2解析　∵0<α<且cos α＝<cos ＝，π217π312∴<α<，又0<β<，∴<α＋β<π，π3π2π2π3又sin(α＋β)＝<，∴<α＋β<π.5314322π3∴cos(α＋β)＝－＝－，1－sin 2（α＋β）1114sin α＝＝.1－cos 2α437∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β) cos α＋sin(α＋β)sin α＝.12答案　126.活用平面向量运算的几何意义，灵活选择几何运算与坐标运算.[回扣问题6]　(1)(2017·全国Ⅱ卷改编)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a·b ＝________.(2)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则·＝________.AE → BD →解析　(1)由|a ＋b |＝|a －b |，知以a ，b 为邻边的平行四边形为矩形，从而a·b ＝0.(2)如图，建立平面直角坐标系，则＝(1，2)，＝(－2，2)，AE → BD →所以·＝2.AE → BD →答案　(1)0　(2)27.设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，当θ为锐角时，a ·b >0，且a ，b 不同向；故a ·b >0是θ为锐角的必要不充分条件；当θ为钝角时，a ·b <0，且a ，b 不反向，故a ·b <0是θ为钝角的必要不充分条件.[回扣问题7]　已知向量a ＝(2，1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，设a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是________________.解析　因为θ为锐角，所以0<cos θ<1.又因为cos θ＝a ·b |a ||b |＝，2λ＋15·λ2＋1所以0<且≠1，2λ＋15·λ2＋12λ＋15·λ2＋1所以解得{2λ＋1>0，2λ＋1≠5·λ2＋1，){λ>－12，λ≠2，)所以λ的取值范围是.{λ|λ>－12)，且λ≠2}答案　{λ|λ>－12)，且λ≠2}8.切忌混淆三角形“四心”，注意不同的向量表示形式.[回扣问题8]　若O是△ABC 所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2OB → OC → OB → OC → OA →|，则△ABC 的形状为_________________.解析　∵|－|＝|＋－2|，OB → OC → OB → OC → OA →∴||＝|＋|，CB → AB → AC →即|－|＝|＋|.AB → AC → AB → AC →故以AB ，AC 为邻边的平行四边形为矩形.因此△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形.答案　直角三角形。

溯源回扣四 数列与不等式1.已知数列的前n 项和S n 求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示.事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.[回扣问题1] 在数列{a n }中，a 1＋a 22＋a 33＋…＋a nn ＝2n －1(n ∈N *)，则a n ＝________. 解析依题意得，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 的前n 项和为2n －1，当n ≥2时，a nn ＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1， 又a 11＝21－1＝1＝21－1，因此a nn ＝2n －1(n ∈N *)， 故a n ＝n ·2n －1. 答案 n ·2n －12.等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，并灵活整体代换进行基本运算.如等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝n ＋12n ＋3，求a n b n 时，无法正确赋值求解.[回扣问题2] 等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝3n －12n ＋3，则a 8b8＝________.解析 a 8b 8＝2a 82b 8＝a 1＋a 15b 1＋b 15＝S 15T 15＝3×15－12×15＋3＝43.答案 433.运用等比数列的前n 项和公式时，易忘记分类讨论.一定分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论.[回扣问题3] 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则公比q ＝________.解析 (1)当q ＝1时，显然S 3＋S 6＝S 9成立. (2)当q ≠1时，由S 3＋S 6＝S 9，得a 1（1－q 3）1－q ＋a 1（1－q 6）1－q ＝a 1（1－q 9）1－q .由于1－q 3≠0，得q 6＝1，∴q ＝－1. 答案 1或－14.利用等差数列定义求解问题时，易忽视a n －a n －1＝d (常数)中，n ≥2，n ∈N *的限制，类似地，在等比数列中，b nb n －1＝q (常数且q ≠0)，忽视n ≥2，n ∈N *的条件限制.[回扣问题4] (2015·安徽卷改编)已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋1＝a n ＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________.解析 由a 2＝1，a n ＋1＝a n ＋12(n ≥2)，∴数列{a n }从第2项起是公差为12的等差数列，∴S 9＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9 ＝1＋8a 2＋8（8－1）2×12＝23.答案 235.对于通项公式中含有(－1)n 的一类数列，在求S n 时，切莫忘记讨论n 的奇偶性；遇到已知a n ＋1－a n －1＝d 或a n ＋1a n －1＝q (n ≥2)，求{a n }的通项公式时，要注意分n 的奇偶性讨论.[回扣问题5] 若a n ＝2n －1，b n ＝(－1)n －1a n ，则数列{b n }的前n 项和T n ＝________.解析 b n ＝(－1)n －1a n ＝(－1)n －1(2n －1).当n 为偶数时，T n ＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…＋a n －1－a n ＝(－2)×n2＝－n . 当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋b n ＝－(n －1)＋a n ＝n . 故T n ＝⎩⎨⎧－n ，n 为偶数，n ，n 为奇数.答案 T n ＝⎩⎨⎧－n ，n 为偶数，n ，n 为奇数6.解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论.[回扣问题6] 若不等式x 2＋x －1<m 2x 2－mx 对x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是________.解析 原不等式化为(m 2－1)x 2－(m ＋1)x ＋1>0对x ∈R 恒成立. (1)当m 2－1＝0且m ＋1＝0，不等式恒成立，∴m ＝－1.(2)当m 2－1≠0时，则⎩⎨⎧m 2－1>0，Δ＝（m ＋1）2－4（m 2－1）<0.即⎩⎪⎨⎪⎧m >1或m <－1，m >53或m <－1.所以m >53或m <－1. 综合(1)(2)知，m 的取值范围为(－∞，－1]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞.答案 (－∞，－1]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞7.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f (x )＝x 2＋2＋1x 2＋2的最值，就不能利用基本不等式求解最值. [回扣问题7] (2017·山东卷)若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________.解析 依题意1a ＋2b ＝1(a >0，b >0)，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝4＋b a ＋4a b ≥8，当且仅当b a ＝4ab ，即a ＝2，b ＝4时，取等号. 故2a ＋b 的最小值为8. 答案 88.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y －2x ＋2是指已知区域内的点(x ，y )与点(－2，2)连线的斜率，而(x －1)2＋(y －1)2是指已知区域内的点(x ，y )到点(1，1)的距离的平方等.[回扣问题8]若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4，则z ＝y －2x ＋3的最小值为()A .－2B .－23C .－125D.2－47解析 作出满足条件的可行域如图中阴影部分所示，z ＝y －2x ＋3的几何意义为可行域内的动点与定点P (－3，2)连线的斜率，设过P 的圆的切线的斜率为k ，则切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0， 由|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝0或k ＝－125. ∴z ＝y －2x ＋3的最小值为－125. 答案 C9.求解不等式、函数的定义域、值域时，其结果一定要用集合或区间表示，另外一元二次不等式的解集表示形式受到二次项系数符号的影响.[回扣问题9] 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－2，或x >－12，则ax 2－bx ＋c >0的解集为________. 解析 ∵ax 2＋bx ＋c <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－2或x >－12， ∴a <0，且c a ＝1，－b a ＝－52，∴b ＝52a ，c ＝a ，故ax 2－bx ＋c >0化为ax 2－52ax ＋a >0，由于a <0，得x 2－52x ＋1<0，解之得12<x <2.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2。