中考圆知识点总结复习教学课件

中考圆的知识点总结(一)中考圆的知识点总结前言在中考数学中，圆是一个重要的知识点，掌握圆的性质和相关计算方法对于提高数学成绩至关重要。

本文将对中考圆相关的知识进行总结和归纳，以帮助同学们更好地掌握和应用。

正文1. 圆的定义和性质•圆的定义：圆是平面上到一个定点距离相等的所有点的集合。

•圆的性质：–圆心：圆上所有点到圆心的距离相等。

–半径：圆心到圆上任意一点的距离为半径。

–直径：通过圆心的两个点组成的线段，长度等于半径的两倍。

–弧：在圆上两个点之间的部分。

–相交：两个圆的交点即为相交的部分。

–切线：与圆只有一个交点的直线。

2. 圆的计算公式•圆的周长：C = 2πr，其中r为半径。

•圆的面积：S = πr²。

3. 圆的相关定理•弧长定理：弧长 = 弧度× 半径长度。

•弧度与度的关系：一周对应的弧度为2π弧度，180°对应π弧度，360°对应2π弧度。

•圆心角定理：圆心角的弧度等于对应的弧的弧度。

•切线定理：切线与半径垂直。

4. 圆的应用•判断点是否在圆的内部、外部或边界上。

•利用圆的性质解决几何问题，如求两个圆的位置关系、求切线等。

•应用圆的计算公式计算周长和面积。

结尾通过对中考圆的知识进行总结和归纳，我们可以更好地掌握和运用圆的相关性质和计算方法。

希望同学们在备考中能够深入理解这些知识，灵活运用，取得优异的成绩！5. 圆与三角形的关系•内切圆：三角形内部与三条边都相切的圆。

•外接圆：三角形三个顶点在圆上的圆。

•正切圆：三角形的一个顶点在圆上，另外两边分别与圆相切的圆。

6. 圆与直线的关系•弧的度数：弧所对圆心角的度数，通常表示为θ。

•弦：圆上两个点之间的线段。

•弦长定理：弦长等于过弧中点的直径的两倍乘以sin(θ/2)。

•弦切角定理：切线与弦的交点所对的圆心角等于弦上所对的弧的圆心角的一半。

7. 圆与平行线的关系•切割线定理：若两条平行线分别与一个圆相交，那么它们所切割出的弦、切线和割线都是相等的。

中考圆知识点总结复习教学课件精编Document number：WTT-LKK-GBB-08921-EIGG-22986圆一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；A3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

图4图5推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

中考圆专题知识点总结一、圆的概念圆是平面上一个集合，该集合中任意两点的距离都相等，并且距离都等于圆的半径。

圆的周长叫做圆的周长，圆的面积叫做圆的面积。

圆的半径为r，圆的直径为d。

二、圆的性质1. 圆的周长和面积：圆的周长C = 2πr圆的面积S = πr²2. 弧和圆心角：- 弧：两点间的曲线部分，圆的一部分。

- 弧长：弧的长度，记作L。

- 圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的弧度数。

3. 弧长公式：L = rθ（θ用弧度表示）4. 圆周角：圆周角是一条弧所对的圆心角。

圆周角的度数等于它所对的圆心角的两倍。

5. 切线和切点：切线是与圆只有一个交点的直线。

切线与圆相切的点叫做切点。

6. 相交弧、对应弧和交角：- 相交弧：两个圆相交的弧。

- 对应弧：两个圆相交的弧的对应部分。

- 交角：两个相交弧的交角。

7. 圆内接四边形：如果一个四边形的四个顶点都在圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形。

8. 圆的切线和割线：切线是与圆只有一个交点的直线，割线是与圆相交而不相切的直线。

切线和割线的切点到圆心的连线和圆的半径相垂直。

三、圆周角、圆心角和弧对应的关系1. 圆周角的度数等于所对的圆心角的两倍。

2. 圆周角的度数等于所对的弧的度数。

3. 圆心角的度数等于所对的弧的度数。

四、圆的性质定理证明1. 同弧或同角：弧对应的圆心角和圆周角以及弧的长度都相等。

2. 切线定理：若直线与圆相交，且交点在圆外，则直线与圆的切点连线垂直于直线。

3. 切线与弦定理：如果一条切线和一条弦相交于圆上的同一点，则切线上这个点的两个切线段相等。

五、常见的圆相关问题1. 圆与圆之间的位置关系：相离、外切、相交、内切、相切。

2. 圆的面积和周长问题：求圆的面积和周长。

3. 圆心角、圆周角和弧的问题：根据给定的信息计算圆心角、圆周角和弧的长度。

4. 切线和切点的问题：计算切线和切点的位置以及相关长度。

5. 圆的切线和割线问题：计算切线和割线的位置以及相关长度。

圆的知识点复习知识点1垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

题型1.在直径为1000mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB＝800mm，则油的最大深度为 mm.2. 如图，在△ABC中，∠C是直角，AC=12，BC=16，以C为圆心，AC为半径的圆交斜边AB于D，求AD的长。

3. 如图，弦AB垂直于⊙O的直径CD，OA=5，AB=6，求BC长。

CBDA4. 如图所示，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长。

知识点2 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

弦心距：过圆心作弦的垂线，圆心与垂足之间的距离叫弦心距。

定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角度数相等，所对的弦相等。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角度数相等，所对的弧相等。

题型1. 如果两条弦相等，那么（）A．这两条弦所对的弧相等 B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦的弦心距相等 D．以上答案都不对2.下列说法正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等C．相等的弦所对的圆心到弦的距离相等 D．圆心到弦的距离相等，则弦相等3.线段AB是弧AB 所对的弦，AB的垂直平分线CD分别交弧AB、AC于C、D，AD的垂直平分线EF分别交弧AB、AB于E、F，DB的垂直平分线GH分别交弧AB、AB于G、H，则下面结论不正确的是（）A．弧AC=弧CB B.弧EC=弧CG C.EF=FH D.弧AE=弧EC4. 弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是________，弦所对的圆心角是_____.5. 如图，AB 为⊙O 直径，E 是BC 中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=_____.6. 如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=________．7. 如图，已知AB 、CD 为⊙O 的两条弦，弧AD =弧BC , 求证：AB =CD 。

AdrOBdCd d d R r R r R r 图1 图2 图3d d rR rR一，圆的概念中学圆复习集合形式的概念： 1 ，圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2 ，圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3 ，圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1，圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2，垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3 ，角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4 ，到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5 ，到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线；二，点与圆的位置关系1，点在圆内 d r 点C 在圆内；2，点在圆上 d r 点B 在圆上；3，点在圆外 d r 点A 在圆外；三，直线与圆的位置关系1，直线与圆相离 d r 无交点；2，直线与圆相切 d r 有一个交点；3，直线与圆相交 d r 有两个交点；r d d=r r d四，圆与圆的位置关系外离（图1）无交点 d R r ；外切（图2）有一个交点 d R r ；相交（图3）有两个交点内切（图4）有一个交点RdrRd Rr ；r ；内含（图5）无交点 d R r ；图4 图5五，垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧；推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4 个定理，简称 2 推3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即：① AB 是直径② AB CD ③CE DE ④ 弧BC 弧BD ⑤ 弧AC 弧AD 中任意2 个条件推出其他 3 个结论；A推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等；即：在⊙O 中，∵AB ∥CD C DO六，圆心角定理∴弧AC 弧BD OEA B C DB圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的E弧相等，弦心距相等；此定理也称 1 推3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，就可以推出其它的 3 个结论， F 即：①AOB DOE ；②AB DE ；O③OC OF ；④弧BA 弧BD DACB七，圆周角定理C 1，圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半；即：∵AOB 和ACB 是弧AB 所对的圆心角和圆周角∴AOB 2 ACB B OA 2，圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆D周角所对的弧是等弧；即：在⊙O 中，∵ C ， D 都是所对的圆周角∴ C DB OA 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直C角所对的弧是半圆，所对的弦是直径；即：在⊙O 中，∵AB 是直径或∵ C 90∴ C 90 ∴AB 是直径 B AO推论3：如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是CB AOCP直角三角形； 即：在△ ABC 中，∵ OC OA OB ∴△ ABC 是直角三角形或C 90留意：此推论实是初二年级几何中矩形的推论： 在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理；八，圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角； 即：在⊙ O 中， ∵四边 ABCD 是内接四边形DC九，切线的性质与判定定理1，切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不行即：∵ MN OA 且 MN 过半径 OA 外端∴ MN 是⊙ O 的切线2，性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点；推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心；以上三个定理及推论也称二推肯定理：BAEOM A N即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最终一个；十，切线长定理B切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角；O即：∵ PA ， PB 是的两条切线∴ PA PB ； PO 平分 BPAA十一，圆幂定理1，相交弦定理 ：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等；D即：在⊙ O 中，∵弦 AB ，CD 相交于点 P ，BO ∴ PA PB PC PD PC A推论：假如弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径 C所成的两条线段的比例中项；即：在⊙ O 中，∵直径 AB CD ，BO EA∴ CE 2AE BED2，切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割线， 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；∴ CBAD 180 B D 180 DAE C即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线A∴PA2PC PB ED 3，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条P O割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如右图）；C B 即：在⊙ O 中，∵ PB ，PE 是割线∴PC PB PD PE十二，两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦；A 如图：O1O2垂直平分AB ；O1 O2 即：∵⊙O1，⊙O2相交于 A ， B 两点B ∴O1O2垂直平分AB十三，圆的公切线A B 两圆公切线长的运算公式：CO1 （1））公切线长：Rt O O C 中，AB 2CO 2O O 2CO 2；O21 2 1 1 2 2（2））外公切线长：CO2是半径之差；内公切线长：CO2是半径之和十四，圆内正多边形的运算（1））正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关运算在Rt BOD 中进行：OD : BD : OB 1: 3 : 2；CB COB D AO OA E D BA（2））正四边形同理，四边形的有关运算在Rt OAE 中进行，（3））正六边形同理，六边形的有关运算在Rt OAB 中进行，OE : AE : OAAB : OB : OA1:1: 2 ：1: 3 : 2.A十五，扇形，圆柱和圆锥的相关运算公式O S lB1，扇形：（1）弧长公式：l （2）扇形面积公式：n R；180n R2 1S lR360 2n ：圆心角R ：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长S ：扇形面积2，圆柱：（1））圆柱侧面绽开图ADD1S S 2 S= 2 rh 2 r 2表侧底母线长（2））圆柱的体积：V r 2 h 底面圆周长B C1CB13，圆锥侧面绽开图（1））S S S = Rr r 2O表侧底1 2（2））圆锥的体积：V r h R3十六，内切圆及有关运算；CA r B（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等；（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，就内切圆的半径r= a b c；2（3）S = 1r (a b c)，其中a，b，c 是边长，r 是内切圆的半径；△ABC2 A D（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦；O 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D； CB练习题1. 如⊙O 的半径为4cm，点 A 到圆心O 的距离为3cm，那么点 A 与⊙O 的位置关系是( )A ．点A 在圆内B ．点A 在圆上c．点 A 在圆外 D ．不能确定2. 已知⊙O 的半径为5, 弦AB 的弦心距为3, 就AB 的长是3. 如图，MN 是半径为 1 的⊙O 的直径，点 A 在⊙O 上，∠AMN =30°，B 为AN 弧的中点，点P 是直径MN 上一个动点，就求PA+PB 的最小值_A B B_M_P_O_oN_AE CD 图2_4 如图2，已知BD 是⊙ O 的直径，⊙ O 的弦AC ⊥BD 于点E，如∠ AOD=60°，就∠ DBC 的度数为5. 与直线L 相切于已知点的圆的圆心的轨迹是．6. 已知直角三角形的两直角边长分别为 5 和12，就它的外接圆半径R= ，内切圆半径r= ．7. ⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 为6 3 ，以 3 为半径的同心圆与直线AB 的位置关系是．8. PA，PB 是⊙O 的切线，切点是 A ，B，∠APB=50°，过A 作⊙O 直径AC，连接CB，就∠PBC= ．9. 如图4，AB 是⊙O 的直径，弦AC，BD 相交于P，就CD ∶AB 等于A ．sinBPC B．cosBPC C．tanBPC D．cotBPC图4 图510. 如图5，点P 为弦AB 上一点，连结OP，过PC 作PC⊥OP ，PC 交⊙O 于C，如AP=4，PB=2，就PC 的长是A ． 2 B．2 C．2 2 D． 311．圆的最大的弦长为12 cm，假如直线与圆相交，且直线与圆心的距离为d，那么A ．d<6 cm B．6 cm<d<12 cmC．d≥6 cm D．d>12 cm12. 如图6，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，P 为切点，设AB=12 ，就两圆构成圆环面积为．图6 图713. 如图7，PE 是⊙O 的切线，E 为切点，PAB，PCD 是割线，AB=35，CD =50，AC∶DB =1∶2，就PA= ．14. 如图8，AB 是⊙O 的直径，点 D 在AB 的延长线上，且BD =OB，点 C 在⊙O 上，∠CAB =30 °，求证：DC 是⊙O 的切线．图815. 如图，AB 既是⊙ C 的切线也是⊙ D 的切线，⊙ C 与⊙ D 相外切，⊙C 的半径r=2 ，⊙D 的半径R=6 ，求四边形ABCD 的面积；D CBA16. 如图10，BC 是⊙O 的直径， A 是弦BD 延长线上一点，切线DE 平分AC 于E，求证：(1) AC 是⊙ O 的切线．(2) 如AD ∶DB =3∶2，AC=15，求⊙ O 的直径．(12 分)图1017. 如图11，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，弦CD ⊥AB，垂足为E，且PC2=PE·PO．(1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2) 如OE∶EA=1∶2，PA=6，求⊙O 的半径；(3)求sinPCA 的值．(12 分)图1118. 如图，⊙O 的两条割线AB，AC 分别交圆O 于D，B，E，C，弦DF//AC 交BC 于C．（1）求证：AC FG BC CG ；（2）如CF ＝AE．求证：△ ABC 为等腰三角形．BD G FO·AE C19. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 与点E，点P 在⊙O 上，∠1=∠C，（1）求证：CB ∥PD；（2）如BC=3 ，sinP= 3，求⊙ O 的直径；520. 如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，PA 是过 A 点的直线，∠PAC＝∠B．（l）求证：PA 是⊙O 的切线；P C（2）假如弦CD 交AB 于E，CD 的延长线交PA 于F，AC＝8，CE ：ED ＝6：5，AE：EB＝2：3，求AB 的长和∠ ECB 的正切值．A E ． BODF21. 如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，∠A 的平分线交BC 于点 D ，E 为AB 上的一点，DE＝DC ，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙ D ， A求证：（l）AC 是⊙D 的切线；E（2）AB＋EB＝AC．22. 如图，AB 是⊙O 的直径，以OA 为直径的⊙（l）求证：AD ＝DC ；BD CO1；与⊙O 的弦AC 相交于 D ，DE⊥OC，垂足为E．（2）求证：DE 是⊙O1的切线；（3）假如OE＝EC，请判定四边形O1OED 是什么四边形，并证明你的结论．CDEA BO1 O考点一：与圆相关概念的应用利用与圆相关的概念来解决一些问题是必考的内容，在复习中精确懂得与圆有关的概念，留意分清它们之间的区分和联系. 1. 运用圆与角（圆心角，圆周角），弦，弦心距，弧之间的关系进行解题【例1】已知：如下列图，在△ABO中，∠AOB=90°，∠B=25°，以O为圆心，OA长为半径的圆交AB于D，求弧AD的度数.【例2】如图，A，B，C 是⊙O上的三点，∠AOC=100°，就∠ABC的度数为（）.Ａ. 30 °Ｂ. 45 °Ｃ. 50 °Ｄ.60°2. 利用圆的定义判定点与圆，直线与圆，圆与圆的位置关系【例3】已知⊙O的半径为3cm，A 为线段OM的中点，当OA满意：（1）当OA=1cm时，点M与⊙O的位置关系是.（2）当OA=1.5cm时，点M与⊙O的位置关系是.（3）当OA=3cm时，点M与⊙O的位置关系是.【例4】⊙O的半径为4，圆心O到直线l 的距离为3，就直线l 与⊙O的位置关系是（）.Ａ. 相交Ｂ. 相切Ｃ. 相离Ｄ. 无法确定【例5】两圆的半径分别为3cm 和4cm，圆心距为2cm，那么两圆的位置关系是.3. 正多边形和圆的有关运算【例6】已知正六边形的周长为72cm，求正六边形的半径，边心距和面积.4. 运用弧长及扇形面积公式进行有关运算【例7】如图，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB 为直径的半圆O与DC相切于点E，就阴影部分的面积为（结果保留）.5. 运用圆锥的侧面弧长和底面圆周长关系进行运算【例8 】已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，就这个圆锥的母线长与底面半径长的比是.考点二：圆中运算与证明的常见类型1. 利用垂径定懂得题垂径定理及其推论中的三要素是：直径，平分，过圆心，它们在圆内经常构成圆周角，等分线段，直角三角形等，从而可以应用相关定理完成其论证或运算.【例1】在⊙O 中，弦CD与直径AB相交于点P，夹角为30°，且分直径为1∶5 两部分，AB=6，就弦CD 的长为.Ａ. 2 Ｂ. 4 Ｃ. 4 Ｄ. 22. 利用“直径所对的圆周角是直角”解题“直径所对的圆周角是直角”是特别重要的定理，在解与圆有关的问题时，经常添加帮助线构成直径所对的圆周角，以便利用上面的定理.【例2】如图，在⊙O的内接△ABC中，CD是AB边上的高，求证：∠ACD=∠OCB.3. 利用圆内接四边形的对角关系解题圆内接四边形的对角互补，这是圆内接四边形的重要性质，也揭示了确定四点共圆的方法.【例3】如图，四边形ABCD为圆内接四边形， E 为DA延长线上一点，如∠C＝45°，AB＝ 2 ，就点 B 到AE的距离为.4. 判定圆的切线的方法及应用判定圆的切线的方法有三种：（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；（2）如圆心到一条直线的距离等于圆的半径，就该直线是圆的切线；（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例4】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=4 3 ，D是线段BC的中点.（1）试判定点 D 与⊙O的位置关系，并说明理由.（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.【例5】如图，已知O 为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O 与BC相切于M，与AB，AD分别相交于E，F，求证CD与⊙O相切.【例6】如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D 为劣弧上一动点，P 在CB的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP是半圆O的切线.【课堂巩固练习】一. 挑选题：1. ⊙O的半径为R，点P 到圆心O的距离为d，并且d≥R，就P 点［］A. 在⊙ O内或圆周上B. 在⊙ O外C. 在圆周上D. 在⊙ O外或圆周上2. 由一已知点P 到圆上各点的最大距离为5，最小距离为1，就圆的半径为［］A ，2 或3B ，3C ，4D ，2 或43. 如图，⊙O中，ABDC是圆内接四边形，∠BOC=110°，就∠BDC的度数是［］A.110 °B.70 °C.55 °D.125 °4. 在⊙O中，弦AB垂直并且平分一条半径，就劣弧AB 的度数等于［］A.30 °B.120 °C.150 °D.60 °5. 直线ａ上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，就直线ａ与⊙O的位置关系是［］Ａ，相离Ｂ，相切Ｃ，相切或相交Ｄ，相交6，如图，ＰＡ切⊙O于Ａ，ＰＣ交⊙O于点Ｂ，ＣA，如PA＝5，PB＝BＣ，就ＰＣ的长是［］OＡ，10 Ｂ，5 Ｃ，5 2 Ｄ，5 3P7．如图，某城市公园的雕塑是由 3 个直径为1m的圆两两相垒立在水平的地面 B C 上，就雕塑的最高点到地面的距离为［］A．2 3B.3 32 2C.2 2D.3 22 28，已知两圆的圆心距是9，两圆的半径是方程2x两圆有［］条切线；A，1 条 B ，2 条 C ，3 条 D ，4 条－17x+35=0 的两根，就9，假如等腰梯形有一个内切圆并且它的中位线等于20cm，就梯形的腰长为［］Ａ，１０ｃｍＢ，１２ｃｍＣ，１４ｃｍＤ，１６ｃｍ10，如图，⊙O1 和⊙O2 相交于A，B 两点，且 A O1，A O2 分别是两圆的切线， A 是切点，如⊙O1 的半径r=3 ，⊙O2 的半径R=4，就公共弦AB的长为［］A，2 B ，4.8 C ，3 D ，2.411，水平放置的排水管（圆柱体）截面半径是1cm，水面宽也是1cm，就截面有水部分（弓形）的面积是［］A， B ， C ， D ，或二. 填空题：12.6cm 长的一条弦所对的圆周角为90°，就此圆的直径为；13. 在⊙O 中，AB是直径，弦CD与AB相交于点E，如，就CE=DE（只需填一个适合的条件）；14. 在圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=5∶2∶1，就∠D= ；15. 如三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是；16. 如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于E 点，AB=120°，CD=70°就∠AEB= ；17. 已知两个圆的半径分别为8 cm 和3 cm，两个圆的圆心距为7 cm，就这两个2圆的外公切线长为；18. 如图，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，OF⊥AB于F，OG⊥CD于G，如AE=8cm，EB=4cm，就OG= cm ；19. 已知圆锥的母线长为 5 厘米，底面半径为 3 厘米，就它的侧面积为；四. 解答题20. 如图在△ABC中，∠C=90°，点O为AB 上一点，以O为圆心的半圆切AC于E，交AB于D，AC=12，BC=9，求AD的长；CEAD O B21. 如图在⊙ O中，C 为ACB的中点，CD为直径，弦AB交CD于点P，又PE⊥CB于E，如BC=10，且CE∶EB=3∶ 2，求AB的长．22. 已知：如图， A 是以EF 为直径的半圆上的一点，作A G⊥EF 交EF 于G，又 B 为AG上一点，EB的延长线交半圆于点K，求证：AE 2EB EK23. 已知：如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，CD是△ABC中AB 边上的高，求证：AC·BC=AE·CD。

中考圆形知识点总结归纳一、圆的定义及性质1. 定义：圆是平面上到一个定点的距离等于定长的点的全体构成的集合。

2. 圆心和半径：圆心是到圆上任一点的距离相等的点；半径是圆心到圆上任一点的距离。

3. 直径：通过圆心并且有圆上两点的线段叫做直径，直径的长度等于两倍的半径。

4. 切线和切点：在圆上的一点处与圆相切的直线叫做切线，切线与圆相切的点叫做切点。

二、圆的周长和面积1. 周长：圆的周长等于直径乘以π（π≈3.14）。

2. 面积：圆的面积等于半径的平方乘以π。

三、角与弧1. 圆心角与弧长的关系：圆心角的度数等于对应圆周的弧长所对应的圆心角的两倍。

2. 弧长的计算：弧长等于圆周长乘以所含圆心角的度数除以360度。

3. 弧度制：1弧度等于半径长所对应的圆心角的弧长。

4. 弧长与扇形面积的计算：扇形面积等于扇形对应的圆心角的弧度除以2π乘以圆的面积。

四、相交圆的位置关系1. 相交圆的位置关系：两个圆相交于两个不同的点，一个点，或者不相交。

2. 内切和外切圆：两个圆内切的位置关系就是一个圆在另一个圆内部，一个圆与另一个圆外切的位置关系就是一个圆的周长与另一个圆的圆心的距离相等。

五、圆的应用1. 圆的模型：圆在自然界中有丰富的应用，例如铁路辙、车轮、橱柜的拉手等都是圆形的。

2. 饼图：根据数据用圆形图示数据的比例和百分比，通过饼图可以直观的看出不同部分所占的比例。

综上所述，圆形是数学中重要的基本图形之一，在日常生活和工作中都有着广泛的应用，掌握圆形的基本概念和性质对于学习和生活都是非常有帮助的。

希望大家能够认真学习圆形知识，掌握相关的计算方法，提高自己的数学能力。

中考圆知识点总结复习 Revised by Jack on December 14,2020初中数学——《圆》【知识结构】一、圆及与圆相关的概念 二、圆的对称性（1）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。

（2）对称轴——直径所在的直线，对称中心——圆心。

三、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；知2推3定理：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

四、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

知1推3定理：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =； ③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 五、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

2、推论：B1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

六、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

七、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外； 八、三点定圆定理——三角形外接圆1、三点定圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2、三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

3、三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

九、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点； 十、切线的性质与判定定理1、判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线BAO（两个条件，缺一不可） 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

九年级圆的知识点总结PPT圆是几何学中的重要概念，它在数学的不同领域中都有着广泛的应用。

在九年级学习阶段，我们掌握了很多关于圆的知识点。

本文将针对九年级学生学习的圆的知识点进行总结，以PPT的形式呈现给大家。

第一部分：什么是圆？圆是平面上所有距离中心点相等的点的集合。

其中，距离中心点相等的线段被称为半径，而连接圆心和任意点的线段则称为弦。

第二部分：圆的元素1. 圆心（Center）：圆心是圆的中心点，通常用字母O表示。

2. 半径（Radius）：从圆心到圆上任意点的距离叫做半径，通常用字母r表示。

3. 直径（Diameter）：直径是穿过圆心的线段，且两个端点都位于圆上。

4. 弧（Arc）：圆上两点之间的部分被称为弧，一个圆可以有许多不同长度的弧。

第三部分：圆的性质1. 圆的周长（Circumference）：圆的周长是圆上所有点到圆心的距离之和，记作C。

周长的计算公式为C = 2πr，其中π是一个常数，约等于3.14。

2. 圆的面积（Area）：圆的面积是圆内所有点所围成的空间大小，记作A。

面积的计算公式为A = πr²。

3. 弧长（Arc Length）：弧长是弧的长度，它由弧所对应的圆心角决定。

计算弧长的公式为L = 2πr(θ/360°)，其中θ是圆心角的度数。

4. 扇形面积（Sector Area）：扇形面积是由半径和弧所围成的部分所构成的区域。

计算扇形面积的公式为S = (θ/360°)πr²，其中θ是扇形所对应的圆心角的度数。

第四部分：圆的相关定理1. 切线定理：从圆外某点引切线，切线与半径的夹角等于切线与此半径所对应的弧的圆心角。

2. 弦切角定理：一个弦和切线的夹角等于此弦所对应的圆心角的一半。

3. 弦弧角定理：一个弦所对应的圆心角等于其所对应的弧所对应的圆心角的一半。

4. 弧度制与角度制的转换：弧度制与角度制是两种常用的角度单位，其转换关系为π弧度 = 180°。

初中数学——《圆》【知识结构】⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧侧面积、全面积计算侧面展开图定义圆柱和圆锥形面积计算圆面积、扇形、组合图形周长计算圆周长、弧长、组合图画法应用边长、面积的计算计算半径、边心距、中心角计算概念正多边形正多边形与圆内含内切相交外切外离圆和圆的位置关系切割线定理及推论相交弦定理及推论相交性质判定相切相离直线和圆的位置关系反证法点的轨迹圆内接四边形圆周角定理距之间的关系圆心角、弧、弦、弦心垂径定理及推论基本性质三点定圆定理点与圆的位置关系定义圆的有关性质圆一、圆及与圆相关的概念二、圆的对称性（1）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。

（2）对称轴——直径所在的直线，对称中心——圆心。

三、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；知2推3定理：①AB是直径②AB CD=④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD⊥③CE DE推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

四、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

知1推3定理：①AOB DOE=；④弧BA=弧BD∠=∠；②AB DE=；③OC OF五、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

2、推论：1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

六、圆接四边形圆的接四边形定理：圆的接四边形的对角互补，外角等于它的对角。

初中圆复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；A四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②AB CD⊥③CE DE=④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。

图4图5推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

精心整理圆一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；45线。

123123推论1（2（3以上共32个条推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④弧BA =弧BDD七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角∴2AOB ACB ∠=∠2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角∴C ∠=角所∴C ∠=∴△注意∴C ∠+1即：∵∴MN 2推论1推论2线的夹角。

即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB =；PO 平分BPA ∠ 十一、圆幂定理1、相交弦定理即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ， ∴PA PB PC PD ⋅=⋅ 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥， ∴2CE AE BE =⋅DB2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线 ∴2PA PC PB =⋅3、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如右图）。