高二数学最新教案-45高二下册数学(人教版)典例剖析(研究性学习课题：多面体欧拉定理的发现) 精品

教材优化全析JIAO CAI YOU HUA QUAN XI在实际生活中，我们会碰到以下问题：竖旗杆时，怎样才能保证它垂直于地面？如何计算河对岸的塔高？为什么用铅锤能测量出所砌墙体与地面垂直？要解决这些问题，知道其中的奥妙，就要学习一门新的学科《立体几何》.平面几何主要研究平面图形的性质，立本几何则重点研究空间图形的几何性质及其位置关系的判定、画法、度量、计算以及相关的应用等.下面我们学习9.1《平面》.1.平面（1）平面的概念常见的桌面、黑板面、平静的水面等，都给我们以平面的形象.平面是一个只描述而不加定义的最基本的原始概念.生活中的平面是比较平整、有限的，而立体几何中所说的平面是从生活中常见的平面抽象、概括出来，是理想的、绝对“平整”的、无限延展的.立体几何中的平面与平面几何中的平面图形是有区别的：平面图形如三角形、正方形、梯形等它们有大小之分；而平面无大小之分，无厚薄之分，是不可度量的，可以向四周无限延伸.（2）平面的画法在立体几何中，我们通常．．画平行四边形来表示平面，但是应注意：①所画的平行四边形表示平面，如图9-1-2（1）.画出的只是平面的一部分，但是表示整个平面.需要时，可以向四周延伸.如同画直线一样，画一条线段来表示即可，需要时，可将线段向两方延伸.②“通常”二字的意思是：有时根据需要，我们也可画其他平面图形表示平面.例如用三角形表示，如图9-1-2（2）；用多边形表示，如图9-1-2（3）；用椭圆表示，如图9-1-2（4）等其他平面图形来表示平面.（1）（2）（3）（4）图9-1-2③两个相交平面的画法：a.画两条相交线段，如图9-1-3（1）中的线段AB、EF.b.画交线，如图9-1-3（2）中的线段PQ.c.过端点A、B、E、F分别画出与PQ平行且相等的线段AD、BC、FG、EH，连接CD、HG，可以得到表示平面的两个平行四边形ABCD和EFGH，如图9-1-3（3）.d.把被平面遮住的部分画成虚线或不画，如图9-1-3（4）.立体几何是平面几何的扩充和拓展，立体几何的研究对象是空间的图形.平面是一个绝对“理想”化的概念.在平面几何中，辅助线均画成虚线；而在立体几何中则不然，凡是被平面遮住的线，均画成虚线或不画，无论是题中原有的，还是后添加的辅助线，凡是不被遮住的线均画成实线.通常画平行四边形表示平面；还可以画三角形、四边形等多边形或椭圆等平面图形来表示；还可以根据实际需要画适当的平面图形来表示平面.（1）（2）（3）（4）图9-1-3在本章学习中，我们要加强对识图、析图、作图的训练，对空间图形的准确辨识能够培养我们的空间想象能力.选择一个恰当的角度画一个恰当的图形，能够帮助我们解决问题，提高解题速度.（3）平面的表示方法①用一个希腊字母α、β、γ等来表示.常把希腊字母写在表示平面的多边形的一个角内.例如图9-1-2（1）的平面可以记为：平面α.②用两个大写的英文字母（表示平面的多边形的对角线顶点）来表示.例如图9-1-2（1）的平面也可以记为：平面AC，图9-1-2（3）的平面也可以记为：平面AC或平面AD等.③用三个大写的英文字母（表示平面的图形内的不共线的三点）来表示.例如图9-1-2（2）的平面可以记为：平面ABC；图9-1-2（4）的平面，在椭圆上取三点，那么可记为：平面ABC.④用四个（或四个以上）大写的英文字母（多边形的顶点）来表示.例如图9-1-2（1）的平面可以记为：平面ABCD.2.平面的基本性质（1）基本性质①本质特征：绝对“平”、无限延展、无厚薄之分.②三个公理文字语言形式：公理 1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.公理 2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些点的集合是一条直线.公理3 经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面.图形语言形式：公理1 如图 9-1-4（1）；公理2 如图 9-1-4（2）；公理3 如图 9-1-4（3）.（1）（2）（3）平面的表示方法：①用一个希腊字母；②用两个大写的英文字母；③用三个大写的英文字母；④用四个（或四个以上）大写的英文字母.准确地画图，能培养想象能力，也有利于解题.文字语言自然、生动，它能将问题所研究的对象的含义更加明白地叙述出来，教材中的概念、定理等多是以文字语言叙述的.思维拓展图形语言易引起清晰的视觉形象，能直观地表达概念、定理的本质以及相互关系，在抽象的数学思维面前起着具体化和加深理解的作用.解题时，要想着先画图，培养“画图意识”.思维拓展图9-1-4符号语言形式：公理1：A ∈a ，B ∈a ，A ∈α，B ∈α⇒a ⊂α. 公理2：A ∈α，A ∈β⇒α∩β=a ，A ∈a.公理3：不共线的三点A 、B 、C ⇒有且只有一个平面α，使A ∈α，B ∈α，C ∈α.三种数学语言间的“互译”可为我们在更广阔的思维领域里寻找问题解决的途径提供方便，有利于培养我们思维的广阔性.（2）基本性质的应用公理1反映了平面的本质属性.通过直线的“直”和“无限延伸”的特性，揭示了平面的“平”和“无限延伸”的特征.其作用是：①检验平面；②判定直线在平面内.例如：已知直线a ∥直线b ，直线c ∩a=A ，c ∩b=B. 求证：a 、b 、c 共面. 证法一：（同一法）如图9-1-5所示， ∵a ∥b ，∴直线a 、b 确定一个平面α. ∵c ∩a=A ，∴A ∈a.又∵a ⊂α，∴A ∈α.同理可证B ∈α.又∵A ∈c ，B ∈c ，∴c ⊂α. ∴a 、b 、c 共面. 证法二：（重合法）如图9-1-5所示，∵a ∥b ，∴直线a 、b 确定一个平面α，则a ⊂α，b ⊂α. ∵C ∩a=A ，∴直线a 、c 确定一个平面β，则a ⊂β，c ⊂β. ∵C ∩b=B ，∴B ∈c ，B ∈b.∴B ⊂α，B ⊂β. ∴直线a 和直线a 外一点B 既在平面α内，又在平面β内. 由推论1知平面α和平面β重合. ∴a 、b 、c 共面.公理2进一步反映了平面的“无限延展性”，其作用：①判定两个平面相交；②作两平面的交线；③证明点在直线（交线）上或多点共线.已知两个平面有一个公共点时，我们就可确定这两个平面相交，而且这个点在这两个平面的交线上；当已知两个平面有两个公共点时，我们既可确定这两个平面相交，又能确定这两点的连线就是这两个平面的交线.很明显：两个相交平面将空间分成4部分.例如：如图9-1-6（1）（此图是2001年全国高考第17题中的图），直角梯形ABDC ，AB ∥CD ，AB ＞CD ，S 是直角梯形ABCD 所在平面外一点，画出平面SBD 和平面SAC 的交线.符号语言比较简洁、严谨，可以大大地缩短文字语言表达的长度，有利于推理和计算.解题过程通常用符号语言书写.思维拓展公理1的作用是检验平面和判定直线在平面内.证明若干直线共面，可选择其中部分直线确定一个平面，然后再证明其余的直线都同在这个平面内，这种证法称为同一法.思维拓展公理2的作用是判定两个平面相交、作两平面的交线和证明点在直线上或多点共线.两个相交平面将空间分成4部分.图9-1-5 要证明若干直线共面，可先由部分直线确定若干个平面，再证明这些平面重合，这种证法称为重合法.思维拓展当画两个平面的交线时，只需在已知图形中作出（或找到）这两个平面的两个公共点，那么这两个公共点的连线就是这两个平面的交线.（1） （2）图9-1-6解析：很明显，点S 是平面SBD 和平面SAC 的一个公共点，即点S 在交线上.由于AB ＞CD ，则分别延长AC 和BD 交于点E ，如图9-1-6（2）所示.∵E ∈AC ，AC ⊂平面SAC ，∴E ∈平面SAC. 同理可证E ∈平面SBD ，∴点E 在平面SBD 和平面SAC 的交线上，则连接SE ，直线SE 是面SBD 和平面SAC 的交线.公理3的作用:确定平面的依据.它提供了把空间问题转化为平面问题的条件.例如：三点确定几个平面？当这三点共线时，确定无数个平面；当这三点不共线时，确定一个平面.所以三点确定一个或无数个平面.公理3中的“有且只有一个”包含两层含义：（1）“有”说明平面的存在性；（2）“只有一个”说明平面的唯一性.“有且只有一个”和“只有一个”不是同义词，和“确定”是同义词。

教材优化全析JIAO CAI YOU HUA QUAN XI1.球和它的性质 （1）球的概念在空间中，与定点的距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体(简称球)，定点叫球心，定长叫球的半径．与定点距离等于定长的点的集合叫球面.球是一种常见的几何体，它与棱柱、棱锥等多面体不同，球只有一个面即整个球面，但是球面不能展开，球可以看成是平面图形圆在空间的延伸. (2)球的表示法用表示球心的字母表示.如图9-9-1所示的球表示为球O. (3)球的画法.如图9-9-1所示的球，画三个互相垂直且经过球心的圆面来表示一个球，同时标出球心的位置，这样画出来的球具有较强的立体感.有时根据实际需要，三个圆面中至少画一个. (4)球的截面及其性质由于球的截面是圆，我们可得到球的截面性质：①球的任何截面是圆，经过球心的截面叫球的大圆，不经过球心的截面叫球的小圆；②球心和截面圆心的连线垂直于截面；③球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 构成直角三角形，满足关系式r=22d R -，当d=0时，截面是球的大圆；当0<d<R 时，截面是球的小圆.(5)球的截面性质的应用例如：已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12π和16π，求这两个截面间的距离.解：如图9-9-2所示，设球的大圆为圆O ，C 、D 为两截面圆心，AB 为经过C 、O 、D 的直径，且两圆半径分别是6和8.当两截面在球心同侧时，如图9-9-2(1).则CD=OC-OD=22EC OE --22DF OF -=2. 当两截面在球心两侧时，如图9-9-2(2)， 则CD=OC+OD=22EC OE -+22DF OF -=14.∴两截面的距离是2或14.图9-9-1图9-9-2球只有一个种表示法.(6)地球上的经纬线在立体几何中，把地球看作一个球，经线是地面上经过地轴的半个大圆，纬线是与地轴垂直的地球的截面圆，赤道是地球的一个大圆，其余纬线是地球的小圆.0°经线也叫本初子午线，0°经线和180°经线合成一个经过地轴的地球的大圆，0°纬线就是赤道.地球上某点P 的经度是指经过点P 的经线与地轴确定的半平面与0°经线和地轴确定的半平面所成的二面角的度数.如图9-9-3所示，点P 的经度数是∠AOB 的度数.地球上某点P 的纬度数是指经过这点的地球半径与赤道面所成角的度数.如图9-9-3所示，点P 的纬度数是∠POB 的度数. 例如(教材例1)：我国首都北京靠近北纬40°纬线，求北纬40°纬线的长度约等于多少千米(地球半径约为6370 km)?解：如图9-9-4所示，设A 是北纬40°纬线上的一点，AK 是它的半径，则OK ⊥AK.∠AOB=∠OAK=40°，∴北纬40°的纬线长是2π·AK=2π·OAcosOAK =2π×OAcos40°=2×3.14×6370×cos40°≈3.066×104(km)(由计算器算得).即北纬40°纬线长约等于3.066×104km. (7)球面距离及其求法在球面上，两点A 、B 之间的最短连线的长度，是经过A 、B 的大圆在A 、B 之间的一段劣弧的长度，这段弧长叫做球面上两点A 、B 的球面距离.在实际生活中，飞机、轮船都是尽可能以大圆弧为航线航行，因为这样航行，路线最短，用的时间最少.下面探讨球面距离的求法.例如：地球半径为R，在北纬45°圈上有A 、B 两点，A 在西经40°，B 在东经50°，求A 、B两点的球面距离. 解：如图9-9-5所示，设地心为O ，北纬45°圈的圆心为O 1，则有∠AO 1B=40°+50°=90°，∠O 1BO=45°，OO 1⊥O 1B. ∴AB=2BO 1=2·OBsinO 1BO=2·R ·22=R. ∴△AOB 是等边三角形.则∠AOB=3. 图9-9-3经线是半个圆，南北方向；纬线是整个圆，东西方向.图9-9-4北(或南)纬n °的纬线圈的半径是地R cosn °，而纬线长是2πRcosn°.图9-9-5球面上A 、B 两点的球面距离不是线段AB 的长，是一段劣弧长.求球面上A 、B 两点的球面距离的步骤：①求线段AB 的长；②求球心角∠AOB 的弧度数(O 为球心)；③由弧长公式l=|α|r 得A 、B 两点的球面距离.∴A 、B 两点的球面距离是3πR. 2.球的体积公式及应用球的体积是关于球体所占空间大小的度量，它是球半径R 的函数，即3R 34V π=球，教材中所介绍的体积公式的推导方法是用极限(以后学习)方法推导的，即“分割，求近似和，化为准确和”的方法，运用了“化整为零，又积零为整”的极限思想，这种方法实际上是定积分(以后学习)的一个具体应用.推导球体积公式时，只要求了解基本思考方法即可，重点在于掌握公式的应用，而不必掌握公式推导的细节.例如(教材例2)：有一种空心钢球，质量为142 g ，测得外径等于5.0 cm ，求它的内径.(钢的密度为7.9 g/cm 3，精确到0.1 cm) 解：设空心球内径为2x cm ，则有7.9×[33x 34)25(34π-π]=142. 解得x 3=14.349.73142)25(3⨯⨯⨯-≈11.3.∴2x ≈4.5(cm).即空心球的内径约为4.5 cm. 3.球的表面积公式及应用球的表面积是关于球的表面大小的度量，它是以球半径R 为自变量的函数.由于球面是不可展开的曲面(不能展成平面)，所以球的表面积公式S=4πR 2的推导方法比较特殊，推导方法与推导球的体积公式的方法相同，只是在具体分割的做法上有所不同.同样，重点是掌握球的表面积公式，不刻意追求公式推导过程的细节.例如：长方体的一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是多少?解：设长方体的对角线为l ，球的半径为R ，则有l=2R ，而l 2=32+42+52=50，得S 球=4πR 2=l 2π=50π. 又例如(教材例3)：如图9-9-6，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：(1)球的表面积等于圆柱的侧面积； (2)球的表面积等于圆柱全面积的32. 证明：(1)设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，得2R 4S π=∴球， 2R4R 2R 2S π=⋅π=圆柱侧.圆柱侧球S S =∴.(2)222R 6R 2R 4S π=π+π=圆柱全 ．图9-9-6推导球表面积公式时，其处理方法包含较深刻的变化思想，涉及“直与曲”近似与准确”“有限与无限”的转化.顶点均在同一球面上的长方体的对角线是球的直径.解决球与圆柱的组合体时，应适当选择球的大圆，用它来揭示组合体与球之间的关系，从而把空间问题转化为平面问题.S 球=4πR 2，圆柱全球S 32S =∴.。

人教版高二数学教案大全【6篇】人教版高二数学教案大全【6篇】高二数学的课件很重要的。

教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。

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人教版高二数学教案大全【篇1】一、教学目标：掌握向量的概念、坐标表示、运算性质，做到融会贯通，能应用向量的有关性质解决诸如平面几何、解析几何等的问题。

二、教学重点：向量的性质及相关知识的综合应用。

三、教学过程：（一）主要知识：掌握向量的概念、坐标表示、运算性质，做到融会贯通，能应用向量的有关性质解决诸如平面几何、解析几何等的问题。

（二）例题分析：略四、小结：1、进一步熟练有关向量的运算和证明；能运用解三角形的知识解决有关应用问题，2、渗透数学建模的思想，切实培养分析和解决问题的能力。

人教版高二数学教案大全【篇2】【教学目标】1.会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。

2.能根据几何结构特征对空间物体进行分类。

3.提高学生的观察能力；培养学生的空间想象能力和抽象括能力。

【教学重难点】教学重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。

教学难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。

【教学过程】1.情景导入教师提出问题，引导学生观察、举例和相互交流，提出本节课所学内容，出示课题。

2.展示目标、检查预习3、合作探究、交流展示（1）引导学生观察棱柱的几何物体以及棱柱的图片，说出它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？（2）组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。

在此基础上得出棱柱的主要结构特征。

（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。

概括出棱柱的概念。

（3）提出问题：请列举身边的棱柱并对它们进行分类（4）以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。

教材优化全析JIAO CAI YOU HUA QUAN XI1.棱柱的概念 (1)定义有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面.棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面.棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱侧棱.棱柱中侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线.棱柱的两个底面的距离叫做棱柱的高.棱柱中过不相邻的两条侧棱的截面叫做棱柱的对角面.侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.如图9-7-2所示的棱柱，底面是五边形ABCDE 和E D C B A '''''；侧面是面AB ′、面BC ′等；侧棱是A A '、B B '等；顶点是A 、B 、C 、D 、E 、A '、B ′、C ′、D ′、E ′；对角线是AC ′、AD ′、BD ′、BE ′等；若HH ′⊥面AD ，则HH ′是高；对角面是面ACC ′A '、面BEE ′B′等. (2)棱柱的表示法棱柱用表示底面各顶点的字母来表示，如图9-7-2中的棱柱，记作棱柱ABCDE —E D C B A '''''，或者用表示一条对角线端点的两个字母来表示，例如棱柱A 'C. (3)棱柱的分类①按底面多边形的边数分类：三棱柱，四棱柱……n 棱柱. ②按侧棱与底面的位置关系分类： 斜棱柱(侧棱与底面不垂直)棱柱 正棱柱(底面为正 直棱柱(侧棱垂直于底面) 多边形的直棱柱) 其他直棱柱 (4)棱柱的判定例如：有下列几个命题：①有两个侧面都与底面垂直的棱柱是直棱柱； ②有两个对角面是矩形的棱柱是直棱柱；③有一条侧棱垂直于底面两条边的棱柱是直棱柱； ④底面是正多边形的棱柱是正棱柱；⑤高与侧棱、底面边长都相等的三棱柱是正棱柱. 其中正确命题的序号是______. 如图9-7-3所示，在斜六棱柱中，底面为正六边形，侧面AB 1和侧面ED 1都垂直于底面，则对角面AE 1和对角面BD 1都是矩形.在四棱柱ABDE —A 1B 1D 1E 1中，AA 1⊥AE ，且BB 1图9-7-2 图9-7-3图9-7-5⊥BD ，故①②③④不正确.因为高与侧棱相等的棱柱为直棱柱，而底面为正多边形的直棱柱是正棱柱，所以⑤正确.故填⑤.又例如：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗?如图9-7-4所示的几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，很明显这个几何体不是棱柱，因此这样的几何体不一定是棱柱.2.棱柱的性质 (1)性质如下表所示：(2)棱柱的性质应用例如：如图9-7-5，四棱柱ABCD —D C B A ''''的底面ABCD 是菱形，且B A '=D A '，求证：(1)对角面C C AA ''⊥截面BD A'； (2)对角面B DB D ''是矩形.O A '， 证明：(1)连结AC 与BD 交于O ，连结 ∵B A '=D A '，∴O A '⊥BD. 又底面ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD. ∴BD ⊥平面C AC A ''. 又⊂BD 平面DB A '，∴对角面C C A A ''⊥截面BD A '.(2)由(1)知BD ⊥A A '，且A A '∥B B '， ∴BD ⊥B B '，即对角面B DB D ''是矩形. 又例如：如图9-7-6所示，在底面是等腰三角形的直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，C 1A 1=C 1B 1，A 1B ⊥AC 1.求证：A 1B ⊥B 1C.证明：取AB 、A 1B 1的中点，分别记为M 、图9-7-4图9-7-6M 1，连结CM 、C 1M 1、AM 1、MB 1.∵A 1B ⊥AC 1，且C 1M 1⊥平面AA 1B 1B ， ∴A 1B ⊥AM 1. 又∵B 1M ∥AM 1，∴A 1B ⊥B 1M.又∵CM ⊥平面AA 1B 1B ，由垂线定理，得A 1B ⊥B 1C.(3)常见的四棱柱 ①定义底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体；侧棱与底面垂直的平行四面体叫直平行六面体；侧棱与底面不垂直的平行六面体叫斜平行六面体；底面是矩形的直平行六面体叫长方体；棱长都相等的长方体叫正方体.这些几何体之间的关系如图9-7-7所示．图9-7-7②平行六面体的性质a.六个面均是平行四边形；b.任一面均可作为底面；c.相对的两面平行；d.四条对角线相交于一点，且在交点处互相平分；e.四条对角线的平方和等于各棱的平方和.(证明略) ③长方体的性质a.六个面均是矩形；b.四条对角线相交于一点且相等；c.长方体一条对角线长的平方等于同一个顶点上三条棱长的平方和；d.长方体的一条对角线与同一顶点上的三条棱所成角的余弦值的平方和是常数1；e.长方体一条对角线和同一顶点的三个面所成角的余弦值的平方和是常数2.(证明略) ④定义和性质的应用例如：判定下列命题是否正确： a.直平行六面体是长方体.b.有两个相邻侧面是全等矩形的平行六面体是正四棱柱.c.有一个对角面垂直于底面的平行六面体是直平行六面体.d.正四棱柱是正方体.解：a.不正确．底面不一定是矩形；b.不正确.底面是菱形但不一定是正方形；c.不正确.对角面是矩形，侧棱不一定垂直于底面；d.不正确.正四棱柱的棱长不一定相等. 例如：求证：对角线相等的平行六面体是长方体.解决有关概念的判定题目的关键是弄明白概念的内涵和外延.图9-7-8证明：如图9-7-8，这是一个平行六面体，且四条对角线相等.由ABCD —A 1B 1C 1D 1是平行六面体知，它的对角线交于同一点，设其为O ，且在O 点互相平分.在四边形AA 1C 1C 中，由OA=OC 1，OA 1=OC 知AA 1C 1C 是平行四边形.又AC 1=A 1C ，故AA 1C 1C 是矩形.所以AA 1⊥A 1C 1，同理BB 1⊥D 1B 1. 由AA 1∥BB 1，知AA 1⊥B 1D 1，又AA 1⊥A 1C 1，故AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1. 所以ABCD —A 1B 1C 1D 1是直平行六面体. 同理D 1A 1⊥平面AA 1B 1B 1故A 1D 1⊥A 1B 1. 所以 A 1B 1C 1D 1是矩形．所以ABCD —A 1B 1C 1D1是长方体.又例如(2000年全国高考)：一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是632、、，这个长方体对角线的长是…………………………………………………………( )A.23B.32C.6D.6解析：设长方体同一顶点处三棱长分别是a 、b 、c ， ab=2 ① 则有 bc=3 ② ac=6 ③ ①×②×③得 abc=6.∴a=2，b=1，c=3.∴对角线长6c b a l 222=++=.故选D.又例如：如图9-7-9所示，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1B 与对角面A 1B 1CD 所成的角为30°. 求证：此四棱柱为正方体. 证明：∵A 1B 1⊥平面BB 1C 1C ， ∴平面A 1B 1CD ⊥平面B 1BCC 1. 作BM ⊥B 1C ，得BM ⊥平面A 1B 1CD ，连A 1M ，得∠BA 1M=30°，在Rt △BMA 1中，BM=21A 1图9-7-9∵正四棱柱侧面是全等的矩形，∴B 1C=A 1B. 从而在Rt △B 1CB 中，又可得M 为B 1C 的中点. 故B 1B=BC.∴ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体.平行六面体可看成由平行四边形发展而来，所以许多平行四边形(包括它的特例矩形、菱形、正方形)的性质可引申到平行六面体中来(包含它的特例长方体、正方体)，证明时还往往通过平行四边形的有关知识去证.⑤棱柱的侧面积、全面积与体积a.斜棱柱的直截面：垂直于斜棱柱侧棱的截面.b.设斜棱柱的侧棱长为l，直截面周长为C，面积为S′，侧面积为S，体积为V，则S=Cl，V=S′l.c.设直棱柱的侧棱长为l，直截面周长即为底面周长记为C，底面积为s，侧面积为S，体积为V，则S=Cl，V=sl.d.棱柱的全面积等于侧面积与两底面面积的和.下面探讨面积、体积的求法.例如：已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧面BB1C1C的面积为S，侧棱AA1到侧面BB1C1C的距离为a，求该三棱柱的体积.解：在斜三棱柱ABC—A1B1C1的一侧补上一个三棱柱ACD—A1C1D1，如图9-7-10，使之成为一个平行六面体AA1D1D—BB1C1C，显然，它的体积为aS，斜三棱柱ABC—A1B1C1的体积为aS21.又例如：已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且∠AA1B1=∠AA1D1=60°，如图9-7-11，求平行六面体的体积.解：作AO⊥底面A1B1C1D1，O为垂足，则由已知条件得A1O平分∠B1A1D1，作OE⊥A1B1于E，连结AE，则AE⊥A1B1. 图9-7-11∵AA1=b，∠AA1B1=60°，∴A1E=2b，AE=b23.而OE=2b，∴AO=b22．于是平行六面体的体积为ba222．3.水平放置的平面图形的直观图的画法例如(教材例1)：画水平放置的正六边形的直观图(图9-7-12).画法：(1)在已知正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，取对称轴GH为y轴，两轴交于O.画对应的x'、y'轴，使yOx'''∠=45°.直棱柱的侧棱长和高相等.图9-7-10图9-7-12(2)以点O '为中点，在x '轴上取D A ''=AD ，在y '轴上取H G ''=GH 21，以点H '为中点画E F ''平行于x '轴，且E F ''=FE ，再以G '为中点画C B ''平行于x '轴，且C B ''=BC.(3)连结B A ''、D C ''、E D ''、A F ''所得的六边形就是正六边形F E D C B A ''''''就是六边形ABCDEF 的直观图. 4.直棱柱的直观图的画法 例如：画正六棱柱的直观图.画法：(1)画轴．画x '，y '，z '轴，使y O x '''∠=45°(或135°)，z O x '''∠＝90°(如图9-71-3(1)).图9-7-13(2)画底面．按x '，y '轴画正六边形的直观图ABCDEF. (3)画侧棱．过A 、B 、C 、D 、E 、F 各点分别作z '轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA ′、BB ′、CC ′、DD ′、EE ′、FF ′都等于侧棱长.(4)成图.顺次连结A 1′、B 1′、C 1′、D 1′、E 1′、F 1′，并加以整理，就得正六棱柱的直观图(图9-7-13(2)).直棱柱的直观图的画法分四步：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线).。

第十课时●课题研究性学习课题：多面体欧拉定理的发现（二）●教学目标（一）教学知识点1.欧拉公式的证明.2.欧拉公式的应用.（二）能力训练要求1.使学生能理解多面体欧拉公式的证明过程并能叙述其证明思路.2.使学生掌握多面体欧拉公式并灵活地将其应用于解题中.（三）德育渗透目标继续培养学生寻求规律、发现规律、认识规律、并利用规律解决问题的能力.●教学重点欧拉公式的应用.●教学难点欧拉公式的证明思路.●教学方法学导式本节课继续上节课对欧拉公式的研究活动，遵循寻求规律——发现规律——认识规律——应用规律的学习过程，对上节课已猜想出的欧拉公式进一步深入研究，探索它的证明思路，让学生了解这种证明思想，进而达到熟练掌握欧拉公式的目标，以便于学生得心应手地将欧拉公式应用到各种问题的解决中.●教具准备投影片三张.第一张：课本P58的C60分子结构问题(记作A)第二张：本课时教案例1（记作B)第三张：本课时教案例2（记作C)●教学过程Ⅰ.课题导入［师］上节课我们已经猜想出了欧拉公式并且同学们也已自学了它的证明过程，这节课我们继续对它的证明方法及其重要应用进行学习和探讨.Ⅱ.讲授新课［师］上节课我们已对课本P57的欧拉公式的证明进行了自学，那么，谁能说一下课本中的证明思路和关键是什么？［生］将立体图形转化为平面图形.［师］好，前面我们经常把不在同一平面中的几何图形的问题转化为同一平面中图形的问题，所以此处如果能把求一个简单多面体的V、F、E三者之间的关系问题，转化为平面中的问题就会前进一大步了.那么课本中是怎样实现转化的呢？［生］把多面体想象成是用橡皮膜做成的，即课本P57图9-87(1)的多面体，将它的底面ABCDE剪掉，然后其余各面拉开铺平，得到如图9-87(2)相应的平面多边形.［师］在这个变化过程中虽然实现了立体图形平面化的目的，但是不是又引起了我们原来多面体的V、F、E的改变呢？为什么？［生］不会引起原来多面体中V、E、F的变化，以上变化过程中只改变了原多面体中各面的大小、各棱的长短，而V 、F 、E 这三个数与各面的大小、各棱的长短是无关的.［师］也就是说只要不改变每个面（多边形）的边数，不使顶点（棱或面）重合，无论怎样改变面的形状的大小及棱的长短，V 、F 、E 这三个数就不变，当然，它们之间的关系也不会改变.好，下面请同学们提出在自学欧拉公式证明过程中所遇到的问题. （学生思考整理问题，教师等待、耐心解释，可能会有以下问题）(1)设多面体各面分别是n 1,n 2,…,n F 边形,则n 1+n 2+…+n F 和多面体的棱数E 有什么关系? (教师应给学生讲清因为多面体中每一条棱同属于两个面,所以有n 1+n 2+…+n F =2E ) (2)怎样说明为什么有“（E -F ）·360°=(V -2)·360°”呢?(教师强调：在变形过程中，原来多面体的面是几边形，它对应的仍是几边形，而多边形的内角和仅与边数有关，所以多面体各面多边形的内角和应等于图9-87(2)中各小多边形及“最大”多边形（即多边形ABCD ）的内角总和.［师］同学们能叙述出证明欧拉公式的思路二吗?［生］(1)将四面体A —BCD 中的一个面BCD 去掉,压缩成平面图形.设这个平面图形的三角形的个数、边、顶点分别为F ′、E ′、V ′,在这个变化过程中边、顶点数不变,因此,只需证明V ′-E ′+F ′=2.(2)将所得平面图形外围线段逐一去掉,每去掉一条线段,V ′不变,E ′、F ′各减少1,因此V ′-E ′+F ′=2不变.这样在剩下的树枝形中,仍有V ′-E ′+F ′=2.(3)从剩下的树枝形中,逐一去掉线段,每去掉一条线段,F ′不变,E ′、V ′各减少1.因此, V ′-E ′+F ′=2不变,这样在剩下的一条线段中显然有V ′-E ′+F ′=2成立,从而欧拉公式V -E +F =2成立.［师］欧拉定理表明，任意的一个简单多面体，经过连续变形后，尽管它的形状可以变化万千，但有一个数始终不变，这就是顶点数+面数-棱数，它总是等于2.所以将2叫做连续变形下的不变数.下面，我们来应用欧拉定理.（打出投影片A ,读题,学生解题,教师巡视）解：设C 60分子中形状为五边形和六边形的面各有x 个和y 个.多面体的顶点数V =60，面数F =x +y ,棱数E =21（3×60），根据欧拉公式，可得 60+（x +y )-21(3×60)=2. 另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即21（5x +6y ）= 21(3×60). 由以上两方程可解得 x =12,y =20.答：C 60分子中形状为五边形和六边形的面各有12个和60个. 继续体会欧拉公式的应用.［师］欲求出V 与F 的关系，需结合已知条件寻找V 与E 的关系，再结合欧拉公式得出，具体如何做呢？［生］因此简单多面体每个顶点都有三条棱，而每条棱上有两个顶点，所以有3V =2E ,即E =23V .又因为简单多面体顶点数、棱数、面数之间适合欧拉公式，所以V +F -23V =2，即2V +2F -3V =4.故得V =2F -4. ［师］以上题目要注意准确恰当地将已知条件中关于顶点数与棱数的关系转化成代数关系式.下面请同学们回忆前面所学过的关于正多面体的概念及其种类. ［生］每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫做正多面体.正多面体只有四种：正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体.［师］对于“为什么只有四种正多面体”的问题，今天就可以利用欧拉公式证明了.［生］从正多面体的定义考虑.［师］同学们翻开课本P 59的欧拉公式和正多面体的种类，仔细阅读，体会其中的证明思路与方法.（学生自学，教师查看，解决学生的疑难问题） Ⅲ.课堂练习1.C 70分子是与C 60分子类似的球状多面体结构，它有70个顶点，以每个顶点为一端都有3条棱，各面是五边形或六边形，求C 70分子中五边形和六边形的个数.解：设有x 个五边形和y 个六边形,∴F =x +y .∵E =2370⨯=105, V =70,E =21(5x +6y ), ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=-++.105)65(21,210570y x y x解之得x =12,y =25.答：C 70分子中五边形为12个，六边形为25个.2.设一个凸多面体有V 个顶点，求证:它的各面多边形的内角总和为（V -2）·360°. 证明：设这一凸多面体的各面分别为n 1,n 2,…,n F 边形，则各面多边形内角和是（n 1-2)·180°+(n 2-2)·180°+…+(n F -2)·180°=(n 1+n 2+…+n F )·180°-2F ·180°=(n 1+n 2+…+n F -2F )·180°.∵n 1+n 2+…+n F =2E , ∴原式=（E -F ）·360°. ∵V +F -E =2, ∴E -F =V -2. ∴原式=（V -2）·360°. Ⅳ.课时小结本节课我们探讨了欧拉公式的证明方法及其重要应用，在理解欧拉公式的证明过程的同时重在体会其中的“立体图形平面化”的思想.另外，同学们要适当准确地应用欧拉公式去解决与多面体的顶点数、面数及棱数有关的问题.①②Ⅴ.课后作业（一）求证：如果简单多面体的所有面都是奇数边的多边形，那么面数是偶数.证明：设简单多面体的面数为F ，因为各面的边数为奇数，所以简单多面体各面边数的和为F 个奇数的和,即个F k n m )12()12()12(++++++.当把F 个面拼合成多面体时，两条边合成一条棱，则棱数E =2)12()12()12(个F k n m ++++++=2)(2F k n m ++++ =2F+偶数.因为E 必须为整数，所以（偶数+F ）能被2整除.又因为（偶数+F ）中偶数能被2整除，所以F 必须被2整除，即F 必须为偶数.（二）1.预习内容课本P 61球的概念和性质至P 62结束. 2.预习提纲（1）怎样给球定义呢？（2）准确表述出球心、球的半径、球的直径等概念. （3）尝试归纳并证明球的性质.（4）结合地球仪理解地球上的经纬线，知道某地点的经度与纬度. （5）你怎样理解“球面上，两点之间的最短连线的长度”？ ●板书设计●备课资料欧拉公式的应用举例［例1］一个简单多面体的各面都是三角形，且有6个顶点，求这个简单多面体的面数. 解：因为一个面都有3条边，每两条边合为1条棱, 所以它的面数F 和棱数E 之间有关系E =23F.又由欧拉公式V +F -E =2，且顶点数V =6. ∴F =E +2-V =E +2-6=23F -4. ∴F =8.［例2］证明：没有棱数为7的简单多面体.证明：设一个简单多面体的棱E =7，它的面数为F ，顶点数为V ，那么根据欧拉公式有V +F =E +2=9.又多面体的面数F ≥4,顶点数V ≥4, ∴只能有两种情况：（1）F =4，V =5或（2）F =5，V =4.当F =4时，多面体为四面体，而四面体只有4个顶点，故（1）不可能； 当V =4时，多面体也是四面体，而四面体只有4个面，故（2）不可能. ∴没有棱数为7的简单多面体.［例3］已知一个十二面体共有8个顶点，其中两个顶点处各有6条棱，其他顶点处各有相同数目的棱，则其他顶点处各有几条棱？解：∵F =12，V =8， ∴E =V +F -2=18.∵两个顶点处各有6条棱, ∴余6条棱，6个顶点.而这6个顶点构成六边形，过这6个顶点的棱应该各有4条.注意：本题也可以作为一个数学模型帮助我们去验证上述结果，即作一个六边形，在它所在面的两侧各取一个点，共8个顶点、12个面.从中体会构建数学模型对于解决问题的方便与直观.［例4］证明：四面体的任何两个顶点的连线都是棱，而其他凸多面体都不具有这一性质.证明：设多面体的顶点数V =n ,则它们互相连接成的棱数E =)1(2-n n.每一条棱是两个面的边界，每个面至少有3条棱作边界.∴F ≤32·2n (n -1)=3n(n -1). ∵V +F =E +2, ∴n +3n (n -1)≥2n·(n -1)+2. ∴6n +2n (n -1)≥3n (n -1)+12. ∴n 2-7n +12≤0,(n -3)(n -4)≤0. ∵n ≥4, ∴n =4.［例5］正n (n =4,8,20)面体的棱长为a ,求它们表面积的共同公式. 解：∵正n (n =4,8,20)面体的面都是边长为a 的正三角形, ∴S △=43a 2. ∴它们表面积的共同公式为 S 全=n ·43a 2=43na 2(其中n =4,8,20). ［例6］已知凸多面体的各面都是四边形，求证：F =V -2.证明：∵这个凸多面体每个面都是四边形， ∴每个面都是四条边.又∵多面体相邻两面的两条边合为一条棱, ∴E =24⨯F =2F . 将其代入欧拉公式V +F -E =2中，得F =V -2.注意：教学中可启发学生考虑：各面是三角形或五边形的情况.。

典例剖析【例1】某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷.现从这11人中选出4人排版、4人印刷，有几种不同的选法？A B524解：设A=｛排版｝，B=｛印刷｝，如图.对B∩A中的四人进行分类.（1）4人全部选出，此时完成这件事还需从其余7人中选出2人排版.这相当于从4人中选出4人印刷，从7人中选出4人制版，故有C44C47=35种选法.（2）4人中选出3人，此时还需从A∩B中选出一人去印刷，然后再从剩下的6人中选出4人制版，故有C34·C12·C46=120种取法.（3）4人中选出2人，此时还需从A∩B中选出两人去印刷，然后再从A∩B中选出4人制版，故有C24·C22·C45=30种取法.根据分类计数原理，共有35+120+30=185种不同的选法.点评：（1）本题属于交叉问题（A∩B有2个元素），此类问题要借助集合知识按块进行分类讨论.（2）也可按A∩__B分成三类，C45·C46+C35·C12·C45+C25·C22·C44=185.（3）还可按A∩B分类，但较麻烦，同学们不妨试一试.【例2】有6本不同的书.（1）分给甲、乙、丙三人，如果每人得2本有多少种方法？（2）分给甲、乙、丙三人，如果甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种分法？（3）分给甲、乙、丙三人，如果1人得1本，1人得2本，一人得3本，有多少种分法？（4）分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种分法？（5）平均分成三堆，有多少种分法？（6）分成四堆，其中2堆各1本，2堆各2本，有多少种分法？（7）分给4人，其中2人各1本，2人各2本，有多少种分法？解：（1）甲先取2本有C26种方法，乙再从余下的4本书中取2本有C24种方法，丙取最后2本书有C22种方法，因此总共有C26·C24·C22=90种方法.（2）同（1）有C16·C25·C33=60种分法.（3）三人中没有指明谁是甲、乙、丙，而三人中谁是甲、乙、丙可有A33种方法，所以共有C16·C25·C33·A33=360种分法.（4）同（2）有C 16·C 25·C 33=60种分法.（5）同（2）有C 26·C 24·C 22种分法，下面对其正确性进行研究：设a ，b ，c ，d ，e ，f 六本书，则C 26中有可能为a 、b ，C 24可能为c 、d ，C 22可能为e 、f ，即有一分堆方法：a 、b ，c 、d ，e 、f ；同时C 26中也有可能为c 、d ，C 24中可能为e 、f ，C 22可能为a 、b ，显然这种分组方法同上，故C 26·C 24·C 22种方法中有重复，应剔除.注意到a 、b ，c 、d ，e 、f 的所有排列只对应一种分堆方法，故分堆方法应为33222426A C C C ⋅⋅=15种方法. 本题还可用下面的方法处理：设每堆2本的分法为x .分给甲、乙、丙每人两本，则可分步进行，先平均分成3堆，有x 种方法，再将3堆不同的书送给3位同学，有A 33种方法.所以x ·A 33=C 26·C 24·C 22，∴x =15.（6）同（5），有2222241516A A C C C C ⋅⋅⋅⋅=45种方法. （7）同（5）（6）有222222241516A A C C C C ⋅⋅⋅⋅·A 44=1080种方法. 点评：（1）以“书”为主元素比以“人”为主元素考虑要方便.（2）平均分组应防止重复.（3）平均（部分均匀）分成m 组，则需除以A m m ，若有序，则再乘以全排列.（4）复杂问题（如（7））可先组合（分组）后排序.【例3】（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，每盒可空，问不同的放法有多少种？（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，要求每个盒子中的小球数不小于其编号数，问不同的放法有多少种？解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若记作“|”看作隔板，则如图00|0000|0000|00隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有C 311=165种.答：每盒至少有一个小球，有165种不同放法.（2）因为每盒可空，所以隔板之间允许无球，那么插入法就无法应用，现建立如下数学模型.将三块隔板与12个球排成一排，则如图000||00000|0000中隔板将这一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入3个，0个，5个，4个小球，这样每一种隔板与球的排列法，就对应了球的一种放法.排列的位置有15个，先从这15个位置中选出3个位置放隔板有C315个选法即排法，再在余下的位置放球，只有一种放法，所以隔板与球的排列法有C315种，即球的放法有C315=455（种）.答：允许空盒，有455种不同的放法.（3）解法一：用（1）的处理问题的方法.将1个，2个，3个小球分别放在编号为2，3，4的盒子中，将余下的6个小球分别放在四个盒子中，每个盒子至少一个小球，就确定了一种放法.将三块隔板放在6个小球的间隔中，有C35=10种插法，所以不同的放法总数等于余下的6个小球分别放入四个盒子（每盒至少1个）的不同放法总数为10种.解法二：用（2）的处理问题的方法.将1个，2个，3个，4个小球分别放在编号为1，2，3，4的盒子中，将余下的2个小球分别放在四个盒子中，每盒允许空盒，就确定了一种放法.将三块隔板加上2个小球排成一列，有C25种排列，即有C25种放法.所以不同的放法总数等于余下的2个小球分别放入四个盒子（允许空盒）的不同放法总数为10种.答：放球数不小于编号数的放法总数为10种.点评：这是一道有限制条件的“相异元素允许重复的组合”问题，上一道例题是一个有限制条件的“相异元素允许重复的排列”问题，它们的相同之处是“相异元素允许重复地选取”，不同之处是选取后一个是无序的组合，一个是有序的排列.尽管它们有着本质的区别，但类比于上述例题的数学模型，本例我们也可以建立相应的数学模型来处理.。

高二数学教案人教版高二数学教学案例一、教学目标1.理解并掌握空间几何中线线、线面、面面之间的位置关系。

2.学会运用空间几何知识解决实际问题。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

二、教学内容1.空间几何中线线、线面、面面之间的位置关系。

2.空间几何问题的求解方法。

三、教学重点与难点重点：空间几何中线线、线面、面面之间的位置关系。

难点：空间几何问题的求解方法。

四、教学过程第一课时：空间几何中线线、线面、面面之间的位置关系1.导入新课师：同学们，我们已经学习了平面几何，那么在空间几何中，线与线、线与面、面与面之间有哪些位置关系呢？今天我们就来探讨这个问题。

2.探究线线、线面、面面之间的位置关系师：请同学们拿出一张白纸，画出一个长方形，然后折叠这张纸，使得长方形的一边与另一边平行。

请大家观察，这两条边之间有什么关系？生：它们是平行的。

师：很好。

现在请同学们再拿出一张白纸，画出一个长方形，然后折叠这张纸，使得长方形的一边与另一边垂直。

请大家观察，这两条边之间有什么关系？生：它们是垂直的。

师：很好。

现在请同学们再拿出一张白纸，画出一个长方形，然后折叠这张纸，使得长方形的一边与另一边既不平行也不垂直。

请大家观察，这两条边之间有什么关系？生：它们是相交的。

师：很好。

通过刚才的探究，我们发现线线、线面、面面之间有三种位置关系：平行、垂直和相交。

3.小结师：同学们，我们今天学习了空间几何中线线、线面、面面之间的位置关系，它们分别是平行、垂直和相交。

下面请同学们完成练习题，巩固所学知识。

第二课时：空间几何问题的求解方法1.导入新课师：同学们，上一节课我们学习了空间几何中线线、线面、面面之间的位置关系。

那么在实际问题中，我们应该如何运用这些知识来解决空间几何问题呢？今天我们就来学习空间几何问题的求解方法。

2.探究空间几何问题的求解方法师：请同学们看这道题目：一个长方体长a，宽b，高c，求证：对角线d的长度是a²+b²+c²的平方根。

典型例题精析DIAN XING LI TI JING XI【例1】求证：在空间中，过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行.已知点P ∉直线a ，求证：过点P 和直线a 平行的直线b 有且只有一条. 证明：存在性. ∵P ∉a ，∴点P 和直线a 确定一个平面α，在平面α内过点P 作直线b 与直线a 平行（由平面几何知识），故存在一条直线b. 唯一性（反证法）.假设过点P 还有一条直线c 与a 平行. ∵a ∥b ，a ∥c ， ∴b ∥c ，这与b ∩c=P 矛盾，故假设不成立，因此直线b 唯一. 所以过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行. 【例2】如图9-2-15，已知在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AB=4，CD=34，M 、N 分别为对角线AC 、BD 的中点，求MN 与AB 、CD 所成的角. 解：取BC 的中点P ，连结PM 、PN.∵PM 、PN 分别是△ABC 、△BCD 的中位线，∴PN ∥CD 且PN=21CD ，PM ∥AB 且PM=21AB ，∴PN=32，PM=2. 则∠PMN 、∠PNM 分别是MN 与AB 、CD 所成的角，∠MPN 是异面直线AB 、CD 所成的角. ∵AB ⊥CD ， ∴∠MPN=90°. ∵tanPMN=3=PMPN， ∴∠PMN=60°，∠PNM=30°.∴MN 和AB 所成的角为60°，MN 和CD 所成的角为30°.证明“有且只有一条”的命题时，要分两步：①证明存在性；②证明唯一性.本题可作为结论记住.证明存在性，常用反证法.几何法求两异面直线夹角的难点是作出这两条异面直线所成的角.作角时，通常选择一个特殊点（中点、顶点等）.图9-2-15。

《多面体与欧拉公式》教学设计方案一．教学目标设计（1）认知目标：了解多面体的相关概念，在探究欧拉公式的过程中经历猜测、试验、分析试验结果、检验等活动。

（2）能力目标：通过学生对多面体的观察，使学生经历观察、猜想、验证、推理等数学活动过程，发展学生动手操作、自主探究、合作交流和分析归纳能力。

（3）情感目标：学生在自主探究、合作交流的学习过程中体验到数学活动充满着探索和创造。

使学生获得成功的体验，增强自信心，提高学习数学兴趣，建立严谨的科学态度和不怕困难的顽强精神。

二．教材分析1．教学内容分析《多面体与欧拉公式》是高等教育出版社中职教材《数学》第二册第九章第四部分开篇，是高中新课程改革中的新增内容，目的是通过实际的操作活动发展学生的动手实践能力，激发学生学习兴趣；通过学生自主进行数学实验，培养学生主动探索新知的能力。

本节课通过引导学生动手，利用实际操作活动，让学生体会到多面体的面数、顶点及棱数之间的关系，培养学生体会“观察——猜想——验证”的数学活动过程，提高学生的观察、操作、推理、交流合作的能力。

2．教学重点与难点教学重难点：1.重点：多面体的概念的理解，欧拉公式及其应用。

解决办法：通过实物模型理解多面体的概念，努力弄懂欧拉公式的发现过程，搞清V、E、F的含义。

2.难点：多面体的概念，欧拉公式的发现过程，欧拉公式的应用。

解决办法：注意相互讨论，大胆探索。

学法引导：注意由特殊到一般、由具体到抽象的归纳猜想，注意复习平面图形中多边形的特点，向三维空间拓展让学生理解多面体的概念。

教学用具：实物模型，多媒体教学课件三．教学对象分析教学过程是师生互相交流的活动过程，教师起主导作用，学生在教师的启发下充分发挥主体性作用。

中职学校的学生从认知的特点来看具有爱问好学、求知欲强，想象力丰富的特点，他们有一定的电脑操作及上网浏览、查询资料的能力，他们希望探索能力得到充分的展示和表现，因此，在学习方法上，充分发挥学生在教学中的主体作用，采取让学生自己观察、大胆猜想、动手操作、进行小组间的讨论和交流、利用课件及网络资源自主探索等方式，激发学习兴趣，让学生主动地学习。

高中数学多面体模型教案
目标：学生能够识别和构造常见的数学多面体模型。

教学目标：
1. 了解多面体的定义和性质。

2. 能够识别和命名常见的数学多面体。

3. 能够使用纸板和胶水构造简单的多面体模型。

教学准备：
1. 多面体的图片和名称卡片。

2. 纸板、胶水，剪刀等制作多面体模型的材料。

3. 展示板或黑板。

教学步骤：
一、引入（5分钟）
教师在展示板上展示不同的多面体图片，引导学生讨论多面体的定义和特点。

二、认识多面体（10分钟）
1. 教师分发多面体的名称卡片，让学生辨认并归类。

2. 学生依次介绍各种多面体的特点和名称。

三、构造多面体模型（20分钟）
1. 教师示范如何使用纸板、剪刀和胶水制作简单的多面体模型。

2. 学生根据教师示范尝试制作多面体模型。

3. 学生展示自己制作的多面体模型，并互相交流。

四、总结（5分钟）
教师总结本节课的内容，强调多面体的重要性和应用，并鼓励学生多实践、多探索。

五、作业（2分钟）
布置作业：学生利用家庭材料制作更复杂的多面体模型，并写一份体会。

教学反思：
1. 学生认知能力不同，应根据学生的实际水平和兴趣设计教学内容。

2. 多面体模型制作可能需要辅助工具和材料，要提前准备好。

3. 鼓励学生互相分享和合作，培养学生的团队合作精神。

备注：可以根据教学需要适当调整时间和步骤。

人教版的高二数学教案【10篇】人教版的高二数学教案【10篇】数学的教学课件很有意义的。

在实际教学活动中，教案起着十分重要的作用。

编写教案有利于教师弄通教材内容，准确把握教材的重点与难点，下面小编给大家带来关于人教版的高二数学教案，希望会对大家的工作与学习有所帮助。

人教版的高二数学教案（篇1）1.认真阅读教材想只凭借课堂听讲就学好高中数学，这对大多数同学来说是不太可能的。

要求我们在课下认真阅读教材，在阅读的同时还要勒于思考，只有这样才能深入理解知识及知识的联系。

2.理解、掌握、运用数学思想方法数学思想方法是数学知识的精髓。

初中阶段同学们对综合分析法、反证法等有了一些体会。

与之相比，高中所涉及的数学思想方法要丰富得多。

如：集合思想、函数思想、类比法、数学归纳法、分析法等常用的数学思想方法渗透于各部分知识中，都需要大家认真体会。

3.注意知识之间的联系在日常的学习中要做到：①注意思考不同数学知识之间的联系;②注意例题与习题间的联系。

弄清知识之间的逻辑关系，从而系统、灵活地掌握高中数学。

人教版的高二数学教案（篇2）1、对课本上的内容，上课之前能够首先预习一下，课后针对性的练习题一定要认真做，不能偷懒，也可以在课后复习时把课堂例题反复演算几遍，毕竟上课的时候，做好课堂笔记。

“好记性不如赖笔头”。

对于数理化题目的解法，光靠脑子里的大致想法是不够的，一定要经过周密的笔头计算才能够发现其中的难点并且掌握化解方法，最终得到正确的计算结果。

2、其次是要善于总结归类，寻找不同的题型、不同的知识点之间的共性和联系，把学过的知识系统化。

3、最后就是要加强课后练习，除了作业之外，找一本好的参考书，尽量多做一下书上的练习题(尤其是综合题和应用题)。

熟能生巧，这样才能巩固课堂学习的效果，使你的解题速度越来越快。

人教版的高二数学教案（篇3）空间中的垂直问题（1）线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。

高二下数学教案一、课程基本信息课程名称：高二数学（下）课程类型：必修课程授课时间：具体学期授课对象：高二年级学生二、课程目标1、知识与技能目标学生能够掌握圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义、标准方程和几何性质。

理解空间向量的概念、运算及其在立体几何中的应用。

掌握导数的概念、导数的计算方法以及导数在研究函数单调性、极值和最值中的应用。

2、过程与方法目标通过对圆锥曲线的探究，培养学生的观察、分析和推理能力。

利用空间向量解决立体几何问题，提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

经历导数的学习过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思维方法。

3、情感态度与价值观目标激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

感受数学在实际生活中的广泛应用，增强学生的数学应用意识。

三、课程内容1、圆锥曲线椭圆椭圆的定义：平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。

椭圆的标准方程：焦点在 x 轴上时，＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））；焦点在 y 轴上时，＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞0\））。

椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率等。

双曲线双曲线的定义：平面内与两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。

双曲线的标准方程：焦点在 x 轴上时，＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）；焦点在 y 轴上时，＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）。

双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等。

抛物线抛物线的定义：平面内与一定点 F 和一条定直线 l（l 不过 F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

研究性学习课题:多面体欧拉定理的发现●课时安排2课时●从容说课本节通过学生对简单多面体的V、E、F关系的发现,提高学生寻求规律、发现规律的能力;通过学生对欧拉公式的猜想,提高学生归纳、猜想的能力;通过学生从理论上对欧拉公式的证明过程,提高学生认识规律的能力;通过学生对欧拉公式的应用,提高学生利用规律的能力.学生学习的重点是欧拉定理的发现及其应用;难点是体会和学习数学家研究数学的方法的过程及欧拉公式的证明思路.教学中,通过对学生介绍数学家欧拉的业绩,从而增加学生对数学史的了解,培养学生学习数学家献身科学、勇于探索的科学研究精神,激发学生对数学、对科学的热爱和对理想的追求.在对课题的研究过程中,应先从一些常见的多面体出发,让学生对它们的顶点、棱、面的数目进行观察,互相讨论、互相交流,表达他们的新发现或提出更多的新问题,教师只作适当的引导.第九课时●课题研究性学习课题：多面体欧拉定理的发现（一）●教学目标（一）教学知识点1.简单多面体的V、E、F关系的发现.2.欧拉公式的猜想.3.欧拉公式的证明.（二）能力训练要求1.使学生能通过观察具体简单多面体的V、E、F,从中寻找规律.2.使学生能通过进一步观察验证所得的规律.3.使学生能从拓扑的角度认识简单多面体的本质.4.使学生能通过归纳得出关于欧拉公式的猜想.5.使学生了解欧拉公式的一种证明思路.（三）德育渗透目标1.通过介绍数学家的业绩，培养学生学习数学大师献身科学、勇于探索的科学研究精神,激发学生对科学的热爱和对理想的追求.2.培养学生寻求规律、发现规律、认识规律，并利用规律解决问题的能力.●教学重点欧拉公式的发现.●教学难点使学生从中体会和学习数学大师研究数学的方法.●教学方法指导学生自学法通过利用具体实物,从观察入手,培养学生对简单多面体V、E、F关系的感性认识,从中寻找规律,通过归纳,得出关于欧拉公式的猜想,再通过对欧拉公式的证明思路的分析,从理论上探索对发现规律的证明.以上问题的逐步深入展开,不仅使学生在知识上有新的收获,同时还应体会和学习研究数学的思想和方法.●教学过程Ⅰ.课题导入瑞士著名的数学家欧拉，是数学史上的最多产的数学家，他毕生从事数学研究，他的论著几乎涉及18世纪所有的数学分支.比如，在初等数学中，欧拉首先将符号正规化，如f(x)表示函数，e表示自然对数的底，a、b、c表示△ABC的三边等；数学中的欧拉公式、欧拉方程、欧拉常数、欧拉方法、欧拉猜想等.其中欧拉公式的一个特殊公式e iπ+1=0,将数学上的5个常数0、1、i、e、π连在一起；再如就是多面体的欧拉定理V-E+F=2，V、E、F分别代表一简单多面体的顶点、棱和面的数目.今天我们就去体验当年的数学大师是如何运用数学思想和方法发现欧拉公式并给予理论上的推理证明等研究活动，希望大家在活动中要充分展开自己的想象，展开热烈的讨论互相进行数学交流.Ⅱ.新课学习1.发现欧拉公式［师］先从特殊的正多面体的顶点数V、面数F、棱数E之间的关系出发,请大家观察图9-80的图形并填写P55的表格.(学生观察,数它们的顶点数V、面数F、棱数E,填入表中)［师］根据大家所填的数据,顶点数V、面数F及棱数E之间的关系如何?(学生寻找,教师应给予适当点拨、提问)［师］正多面体的面数F随顶点数V的增大而增大吗?［生］不一定.［师］请举例说明.［生］如正八面体和正六面体的顶点数由6增加到8,而面数由8减小到6.［师］此时的棱的数目呢?［生］棱数都是一样的.［师］我们看到,棱的数目也并不随顶点数目的增大而增大.大家从表中还发现了其他的什么规律,请积极观察,勇于发言.(学生可能会归纳如下结论:(1)当顶点数随棱数的增加而减小时,它的面数一定是随棱数的增加而增加;(2)当面数随棱数的增加而减小时,它的顶点数却是随棱数的增加而增加的) (学生可能还会有其他想法,教师应给学生充分的时间,让他们畅所欲言,表达他们的新发现,并予以一一指导)［师］请大家根据自己的归纳去猜想,棱数与顶点数+面数是否有某种关系?［生］(积极验证,可得出)V+F-E=2.［师］同学们猜想得出的关系式V+F-E=2对于其他的多面体是否也成立呢?请同学们观察并验证P55的图9-82及P56的图9-83中V、F、E的关系是否满足V+F-E=2?(经验证,学生得出)［生］V、F、E之间存在特定关系V+F-E=2,不仅对正多面体、棱柱、棱锥成立,而且对更多的多面体也成立.(教师应引导学生画出更多的多面体进行验证)［师］请同学们验证P56的图9-84中的V、F、E之间的关系是否满足V+F-E=2?［生］不满足.［师］可以看出,V+F-E=2并不是对所有多面体都能成立,那么它对于什么样的多面体成立呢?观察图9-84中的多面体,并将它与前面出现的多面体进行比较,有什么发现呢?(教师应及时点拨、提问)［师］一起来设想图9-80、图9-82、图9-83中的多面体,在某个橡皮膜上,当橡皮膜变形后,有的地方伸长、有的地方压缩,但不能破裂或折叠,橡皮膜上的图形的形状也跟着改变.这种图形的变化过程我们称为连续变形.请同学们试想图9-80、图9-82、图9-83中的多面体哪些在连续变形中最后其表面可变为一个球面?［生］图9-80、图9-82、图9-83中的多面体在连续变形中都可以变成一个球面.［师］请同学们继续设想图9-84中的多面体在连续变形中,其表面最后将变成什么图形? ［生］表面经连续变形能变为环面.［师］像以上那些在连续变形中,表面能变成一个球面的多面体叫简单多面体.请同学们判断我们前面所学的图形那些是简单多面体?［生］棱柱、棱锥、正多面体、凸多面体是简单多面体.［师］至此,我们可得到什么猜想?怎样用式子表达?［生］简单多面体的顶点数V 、面数F 的和与棱数E 之间存在规律V +F -E =2.［师］以上式子称为欧拉公式,那么如何证明欧拉公式呢?请同学们打开P 57~P 58看欧拉公式的两种证明思路,认真体会其中所用的数学思想.(学生自学,教师查看,发现问题,收集问题,下节课处理)Ⅲ.课堂练习1.用三棱柱、四棱锥验证欧拉公式.解：在三棱柱中,V =6，F =5，E =9.∵6+5-9=2，∴V +F -E =2.在四棱锥中,V =5，F =5，E =8.∵5+5-8=2，∴V +F -E =2.2.一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V 和面数F 有F =2V -4的关系. 解：∵V +F -E =2,又∵E =23F ，∴V +F -23F =0. ∴F =2V -4.Ⅳ.课时小结本节课，我们一起体验了数学家欧拉运用数学思想与方法去发现公式V +F -E =2的过程；体会到数学家献身科学、勇于探索的科学研究精神；并通过大家自学了解证明欧拉公式成立的两种方法，希望同学们仔细阅读研究，从中提出一些新问题，待我们下节课一起讨论解决.Ⅴ.课后作业预习提纲（1）请尝试叙述欧拉公式的证明思路.（2）为什么正多面体只有五种？●板书设计一、在教学欧拉公式时应注意些什么？（1）本节课“多面体欧拉定理的发现”，采用了“研究性课题”的学习形式，其目的在于体现新大纲的特点，教学中，教师应充分利用其教学价值.这个课题的重要性不在于定理本身及它的应用，而在于定理的发现及证明.因此，研究的过程也是体验数学大师是如何运用数学思想方法的过程.（2）研究这个课题时，应先从一些常见的多面体出发，对它们的顶点、棱、面的数目列出表格，让学生观察发现其中的规律后，再举更多的例子验证,进而猜想并验证结论.（3）教学中，应适当介绍数学家等的业绩，增加学生对数学史的了解，学习数学家献身科学、勇于探索的科学研究精神，激发学生对数学、对科学的热爱和对理想的追求.（4）由于这是一个研究性的课题，学生是研究的主体，所以，在活动中可以让学生自由的想象，热烈的讨论，相互进行数学交流，教师在进行适当引导的同时，应小心地呵护学生思维的闪光点，通过这个过程的活动进一步培养学生的创新意识.二、欧拉公式的证明欧拉公式V +F -E =2，人们已给出多种证法，本节课中给出的是比较直观且不涉及其他更深知识的一种证法，适合我们的知识状况的一种证明方法，这种拉橡皮膜的方法体现了拓扑变换的特点.下面，介绍另两种思维方法供参考.证法一：（1）假想一凸多面体的面用薄橡皮做成，内部是空的，现破掉一个面，把其余的面展平并保持原表面的多边形的边数不变，成为一个平面网络，这时V 、E 不变，只是F 少1，于是即证在网络中V -E +F =1.（2）在网络中的多边形边数若大于3，由于每增加一条对角线，则E 、F 各加上1，V -E +F 不变，于是尽可能增加对角线，使网络成为全由三角形组成的网络.（3）边缘上的三角形若有一个边不与其他三角形共边，去掉这边，则V 不变，E 、F 各减少1；若有两边不与其他三角形共边，去掉这两边，则F 、V 各减少1，E 减少2，这样逐步可把“周围”的三角形一一去掉（如图）.（4）最后剩下一个三角形，显然满足V -E +F =1，从而在凸多面体中，V -E +F =2.证法二：设F 个面分别为n 1,n 2,…,n F 边形，则所有面角总和∑a =(n 1-2)π+(n 2-2)π+…+(n F -2)π=(n 1+n 2+…+n F )π-2F π=2E π-2F π. ① 如上面展成平面网络后，设去掉的一个面为n 边形，可得到一个由n 边形围成的网络，内部有(V -n )个点.则∑a =(n -2)π+(n -2)π+(V -n )2π=(n -2)2π+(V -n )2π. ② 由①、②易得我们所得到的式子.三、欧拉公式的简单应用举例［例1］正二十面体的棱长为a ,连结相对顶点的对角线为b ,求它的体积.解：连结正二十面体的中心与各顶点的线段，将正二十面体分成二十个相等的正三棱锥，这个正三棱锥的侧棱长为2b ,底面半径为33a ,由侧棱长、高、底面半径所组成的直角三角形，求出高h =22)33()2(a b-. ∴V 正二十面体=20V 正三棱锥=20×31×43a 2·22)33()2(a b -=65a 22243a b -.［例2］简单多面体每个面都是五边形，且每个顶点处有3条棱，求这个简单多面体的面数、棱数、顶点数.解：设面数为F ，顶点数为V ，棱数为E .∵每个面上有5条边，每两边合为一条棱,∴E =25F . 又∵每个顶点处有3条棱，每2个顶点间只有1条棱, ∴E =23V ，V =35F . 又由欧拉公式V +F -E =2,得35F +F -25F =2. ∴F =12，V =20，E =30.。

教材优化全析JIAO CAI YOU HUA QUAN XI1.二项式定理 （1）有关概念结合（a+b ）2和（a+b ）3的展开式的特点，利用多项式的乘法法则和组合的知识将（a+b ）4展开后，归纳猜想出（a+b ）n的展开式：nn n r r n r n 1n 1n n 0n n b C b a C b a C a C )b a (+++++=+-- （n ∈N *）.这个公式（等式）所表示的定理叫二项式定理；右边的多项式叫（a+b ）n的二项展开式；展开式中r n C （r=0，1，…，n ）叫第r+1项的二项式系数；把r r n r n b a C -叫做二项展开式的通项，用r r n r n 1r b aC T -+=表示. 要注意r r n r n b aC -是二项展开式的第r+1项，不是第r 项. （2）二项展开式的特点①a+b 的指数为n 时，展开式有n+1项；②通常按a 的降幂（即b 的升幂）排列，不能打破这个书写顺序；③各项中a 的指数与b 的指数的和与（a+b ）n的指数n 相等，即各项的次数均等于二项式的次数n ；④a 、b 可以是单项式、多项式、分式、根式等.例如;x C x C x C x C 1)x 1(;b C )1(ba C )1(b a C a C )]b (a [)b a (nn n rr n22n1nnnn nnrr n r n r 1n 1n n 0n n n ++++++=+-++-++-=-+=---⑤第r+1项的二项式系数是r n C ，与第r+1项的系数不一定相等，例如（a-b ）n的展开式中所有奇数项（即第1、3、5、7、…项）的系数与二项式系数相等，所有偶数项（即第2、4、6、…项）的系数与二项式系数不相等. （3）二项式定理的应用 ①求展开式例如（教材例1）：展开4)x11(+.解：444334224144)x1(C )x 1(C )x 1(C )x 1(C 1)x 11(++++=+ x1x 4x 6x 41++++=.例如（教材例2）：展开6)x1x 2(-.解：先将原式化简，再展开.6366)1x 2(x 1)x 1x 2()x 1x 2(-=-=-]C )x 2(C )x 2(C )x 2(C )x 2(C )x 2(C )x 2[(x1665624633642651663+-+-+-=)1x 26x 415x 820x 161532x 6x 64(x 1234563+-+-+-=∙∙∙∙∙ 3223x 1x 12x 60160x 240x 192x 64+-+-+-=. 又例如：求（x 2+x+1）3的展开式.解：（x 2+x+1）3=[（1+x ）+x 2]332303]x )x 1[()x 1(C ++=+=323322232213303)x (C )x ()x 1(C x )x 1(C )x 1(C ++++++=∙∙=（1+x ）3+3x 2（1+x ）2+3（1+x ）x 4+x665422212233332313x x 3x 3)x C x C 1(x 3)x C x C x C 1(+++++++++=65432x x 3x 6x 7x 6x 31++++++=. ②求近似值例如：求0.955精确到0.01的近似值.解：+-+-⨯+-⨯+=-=3352251522)05.0(C )05.0(C )05.0(C 1)05.01(95.0 ∵35C ×0.053=0.00125<0.005，而以后各项的绝对值更小，∴从第四项起，均可忽略不计.∴0.955=1-5×0.05+10×0.0025=0.775≈0.78.又例如：求1.9975精确到0.001的近似值.解：1.9975=（2-0.003）5=25-15C ·24·0.003+25C ·23·0.0032-C 3235003.02⋅⋅+…≈32-0.24+0.00072≈31.761.③求展开式中某些特定项 a.求展开式的常数项例如：求3)2|x |1|x (|-+展开式中的常数项.解：∵63)|x |1|x |()2|x |1|x (|-=-+， ∴展开式的通项是r26r 6r r r 6r61r )|x |(C )1()|x |1()|x |(C T -∙∙∙-+-=-=.若T r+1为常数项，则6-2r=0，r=3.∴展开式的第四项为常数项，即20C T 364-=-=. 证明：将3)2|x |1|x (|-+化为3]2)|x |1|x [(|-+或3]|x |1)2|x [(|+-或3)]2|x |1(|x [|-+时，如不知化为6)|x |1|x |(-简单，同学们可自己试一试.由此可见，研究（a+b+c ）n的展开式的常数项问题，当a+b+c 是一个完全平方式时，常化为二项式来研究.并不是任意展开式都有常数项，例如（x+x 2）5展开式中就不含有常数项. b.求有理项例如：求93)x x (-展开式中的有理项. 解：∵6r 27r9rr31r 921r 91r x C )1()x ()x (C T -∙∙∙-∙+-=-=，令Z r ∈-627，即Z r∈-+634，且r=0，1，2，…，9. ∴r=3或r=9. 当r=3时，46r 27=-，443934x 84x C )1(T -=-=∙∙. 当r=9时，36r 27=-，3399910x x C )1(T -=-=∙∙. ∴93)x x (-的展开式中有理项是：第4项，-84x 4；第10项，-x 3.c.求其他特定项例如（教材例3）：求（x+a ）12的展开式中的倒数第4项.解：（x+a ）12的展开式共有13项，所以倒数第4项是它的第10项，展开式的第10项是991291219a x C T -+= 9393312a x 220a x C ==.例如（教材例4）：（1）求（1+2x ）7的第4项的系数； （2）求9)x1x (-的展开式中x 3的系数.解：(1)(1+2x)7的展开式的第4项是3337134x 280)x 2(C T T ===∙+.∴展开式第4项的系数是280.（2）9)x1x (-的展开式的通项是主要通过二项展开式的通项公式求特定项的系数，最终归结为解r 的方程.r29r 9r r r 9r 9xC )1()x1(x C ---=-. 根据题意，得9-2r=3， r=3.因此，x 3的系数是 84C )1(393-=-.又例如（2003年全国高考）：92)x21x (-展开式中x 9的系数是________.解：r r 92r 91r )x21()x (C T -=∙-∙+ =r318r 9r xC )21(-∙∙-. 令18-3r=9，解得r=3.∴含x 9的项的系数是221C )21(393-=-. ④解决整除问题例如：求证7777-1能被19整除.证明：)C 76C 76(761C 76C 76C 76C 761)176(17776777517776777776777527776177777777+++=-+++++=-+=- ∵76能被19整除，∴7777-1能被19整除.又例如：求4·6n +5n+1除以20余数.解：4·6n +5n+1=4（5+1）n +5（4+1）n)C 4C 4C 4C (5)C 5C 1n 51n C n 50n C (4nn 1n n 1n 1n n 0n n n 1n n ++++++++-+=--- 9)]C 4C 4C ()C 5C 5C [(201n n 2n 1n 1n 0n 1n n 2n 1n 1n 0n +++++++=------ .∴4·6n +5n+1除以20余数是9. ⑤逆用二项式定理例如：化简nn n 3n 2n 1n C )2(C 8C 4C 21-++-+- .解：原式n n n n n 22n 1n )1()21(C )2()2(C )2(C 1-=-=-++-+-+= .又例如：化简（y-1）4+4（y-1）3+6（y-1）2+4（y-1）+1解：原式4434224314404C )1y (C )1y (C )1y (C )1y (C +-+-+-+-==[（y-1）+1]4=y 4⑥证明不等式例如：求证)N n (2)n 11(*n ∈≥+.证明：n )n11(+n nn 22n 1n )n1(C )n 1(C n 1C 1∙∙++++= 2n C n C 2nn n 22n ≥+++= .2.二项式系数的性质（1）杨辉三角（如图10-4-1所示）图10-4-1图10-4-1中的表叫杨辉三角，它有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1，其余各数都等于它肩上两个数字的和.” 我们可以利用杨辉三角来验证组合数的性质2.如由杨辉三角的规律知，1r m r m 1r 1m C C C ++++=.由“杨辉三角”可直观地看出二项式系数的性质，同时，当二项式乘方次数不大时，可借助于它直接写出各项的二项式系数. （2）二项式系数的性质 ①对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. ②增减性与最大值.如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大.③二项式系数的和为2n，即nn n r n 1n 0n 2C C C C =+++++研究二项式系数的意义：一是有助于研究二项展开式的性质，还有助于学习二项分布（以后学习）；二是有助于进一步认识组合数，对于组合数的计算和变形也有一定作用.（3）二项式系数性质的应用 ①解决最值问题例如：（x+2y ）n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项.解：55n 5n 55n 5n 156y xC 32)y 2(x C T T --+===.66n 6n 66n 6n 167y x C 64)y 2(x C T T --+===. ∴6n 5n C 64C 32=,即6n 5n C 2C =.∴)!6n (!6!n 2)!5n (!5!n -=-∙ 解得n=8.∴展开式中二项式系数最大的项是中间一项4444485y x 1120)y 2(x C T ==.②求有关二项展开式中系数的和例如：若（3x-1）7=a 7x 7+a 6x 6+…a 1x+a 0，求 （1）a 1+a 2+…+a 7； （2）a 1+a 3+a 5+a 7； （3）a 0+a 2+a 4+a 6； 解：（1）令x=0，则a 0=-1.令x=1，则a 7+a 6+…+a 1+a 0=27=128. ① ∴a 1+a 2+…+a 7=129.（2）令x=-1，则-a 7+a 6-a 5+a 4-a 3+a 2-a 1+a 0=（-4）7. ② （3）由2②①-得 8256])4(128[21a a a a 77531=--=+++.由2②①+得 a 0+a 2+a 4+a 6)a a a a a a a a [(2101234567+++++++=)]a a a a a a a a (01234567+-+-+-+-+ 8128])4(128[217-=-+=.③求三项式的展开式中特定项的系数又例如求（1+2x-3x 2）6的展开式中x 5项的系数.解：原式=（1+3x ）6（1-x ）6，其中（1+3x ）6展开式的通项为k k k 61k x 3C T =+，（1-x ）6展开式的通项为rr r 61r x )1(C T -=+. ∴原式=（1+3x ）6（1-x ）6展开式的通项为r k r r6k k 6x )1(C 3C +∙-.现要使k+r=5，又∵k ∈{0,1,2,3,4,5,6}， r ∈{0,1,2,3,4,5,6}，必须⎩⎨⎧==5r 0k 或⎩⎨⎧==4r 1k 或⎩⎨⎧==3r 2k 或⎩⎨⎧==2r 3k 或⎩⎨⎧==1r 4k 或⎩⎨⎧==.0r ,5k 故x 5项的系数为336226446116556006)1(C 3C )1(C 3C )1(C 3C -+-+-∙168)1(C 3C )1(C 3C )1(C 3C 00655616446226336-=-+-+-+.④集合A 中有n 个元素，则 A的子集有nn n 1n 0n 2C C C =+++ 个；真子集有12C C C n 1n n1n 0n -=+++- 个.。

高二下学期数学教案5篇作为一名辛苦耕耘的教育工作者，通常会被要求编写教案，编写教案有利于我们科学、合理地支配课堂时间。

那么优秀的教案是什么样的呢?以下是小编为大家整理的高二下学期数学教案，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

高二下学期数学教案1一、指导思想在学校教学工作意见指导下，在年级部工作的框架下，认真落实学校对备课组工作的各项要求，严格执行学校的各项教育教学制度和要求，强化数学教学研究，提高全组老师的教学、教研水平，明确任务，团结协作，圆满完成教学教研任务。

二、教材简析使用人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学(A版)》，教材在坚持我国数学教育优良传统的前提下，认真处理继承、借鉴、发展、创新之间的关系，体现基础性、时代性、典型性和可接受性等，具有亲和力、问题性、科学性、思想性、应用性、联系性等特点。

三、教学任务本学期上半期授课内容为《选修1—2》和《选修4—4》，中段考后进入第一轮复习。

四、学生基本情况及教学目标认真贯彻高中数学新课标精神，树立新的教学理念，以“双基”教学为主要内容，坚持“抓两头、带中间、整体推进”，使每个学生的数学能力都得到提高和发展。

高二文科学生共有10个班，其中尖尖班2个，8个平行重点班。

尖尖班的学生重点是数学尖子生的培养，冲刺高考数学高分为目标。

平行班学生的主要任务有两点，第一点：保证重点学生的数学成绩稳步上升，成为学生的优势科目;第二点：加强数学学习比较困难学生的辅导培养，增加其信息并逐步缩小数学成绩差距。

五、教法分析1、选取与内容密切相关的，典型的，丰富的和学生熟悉的素材，用生动活泼的语言，创设能够体现数学的概念和结论，数学的思想和方法，以及数学应用的学习情境，使学生产生对数学的亲切感，引发学生“看个究竟”的冲动，以达到培养其兴趣的目的。

2、通过“观察”，“思考”，“探究”等栏目，引发学生的思考和探索活动，切实改进学生的学习方式。

3、在教学中强调类比，推广，特殊化，化归等数学思想方法，尽可能养成其逻辑思维的习惯。

最新通用高二数学教案〔人教版〕篇一：最新通用高二数学教案〔人教版〕选修Ⅱ1.概率与统计〔14课时〕离散型随机变量的分布列。

离散型随机变量的期望值和方差。

抽样方法。

总体分布的估计。

正态分布。

线性回归。

实习作业。

教学目的：〔1〕理解随机变量、离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列。

〔2〕理解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。

〔3〕会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本。

〔4〕会用样本频率分布估计总体分布。

〔5〕理解正态分布的意义及主要性质。

〔6〕通过消费过程的质量控制图理解假设检验的根本思想。

〔7〕理解线性回归的方法。

〔8〕实习作业以抽样方法为内容，培养学生用数学解决实际问题的才能。

2. 极限〔12课时〕数学归纳法。

数学归纳法应用举例。

数列的极限。

函数的极限。

极限的四那么运算。

函数的连续性。

教学目的：〔1〕理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

〔2〕从数列和函数的变化趋势理解数列极限和函数极限的概念。

〔3〕掌握极限的四那么运算法那么；会求某些数列与函数的极限。

〔4〕理解连续的意义，借助几何直观理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质。

3.导数与微分〔16课时〕导数的概念。

导数的几何意义。

几种常见函数的导数。

两个函数的和、差、积、商的导数。

复合函数的导数。

根本导数公式。

微分的概念与运算。

利用导数研究函数的单调性和极值。

函数的最大值和最小值。

教学目的：〔1〕理解导数概念的某些实际背景〔如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等〕；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。

〔2〕熟记根本导数公式〔c，xm〔m为有理数〕， sin x， cos x， ex， ax， ln x， logax的导数〕；掌握两个函数和、差、积、商的求导法那么和复合函数的求导法那么，会求某些简单函数的导数。