江苏省扬州市2021届第一学期高三数学期中调研试卷及答案

江苏省扬州中学2021－2022学年度第一学期期中试题高二数学 2021.11试卷满分：150分，考试时间：120分钟注意事项：1.作答第Ⅰ卷前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码．2.将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B 铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效．3.考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.0()y a a -+=∈R 的倾斜角为（ ） A .30° B .60° C .150° D .120° 【答案】B2.已知方程221104x y t t +=--表示的曲线是椭圆，则t 的取值范围为（ ）A .（4，7）B .（4，10）C .（7，10）D .（4，7）⋃（7，10） 【答案】D3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4610a a +=，则9S =（ ） A .36 B .38 C .45 D .50 【答案】C4.以坐标轴为对称轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上的抛物线的标准方程为（ ） A .y 2＝16x 或x 2＝－12y B .y 2＝16x 或x 2＝12y C .y 2＝－16x 或x 2＝12y D .y 2＝－12x 或x 2＝16y 【答案】A5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见初行行里数，请公仔细算相还．其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天到达目的地．”则此人第一天走了（ ）A .192里B .148里C .132里D .124里6.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线与直线l ：x ＋2y ＝2平行，则此双曲线的离心率是（ ）A B .2C .32D 【答案】B7.已知圆C ：x 2＋（y －5）2＝4和两点A （－a ，0）、B （a ，0）（a ＞0），若圆C 上存在点M ，满足MA ⊥MB ，则实数a 的取值范围是（ ）A .（3.5）B .[3，5]C .[3，7]D .[4，7] 【答案】C8.如图，O 是坐标原点，P 是双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的一点，F 是双曲线E 的右焦点，延长PO 、PF 分别交双曲线E 于Q 、R 两点，已知QF ⊥FR ，且||2||QF FR =，则双曲线E 的离心率为（ ）A B C D 【答案】B【解】如图，有 PFQF '是矩形，设||FR m =，则||2,||22,2,||32PF FQ m PF m a RF m a PR m a '==-=+=-'=， 在Rt F PR '中，222(2)(32)(2)m m a m a +-=+，解得43am =或m ＝0（舍去）， 从而有82,||,Δ33a a PF PF Rt F PF '='=中，22282433a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得2217,9c c e a a ===所以双曲线E 的离心率为3．二、选择题：本共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若直线ax ＋y －2＋a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值可能是（ ） A .1 B .－1 C .2 D .－2 【答案】AC10.在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1418a a +=，2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）A .q ＝2B .数列{}2n S +是等比数列C .8510S =D .数列{}lg n a 是公差为2的等差数列 【答案】ABC11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．己知在平面直角坐标系xOy 中，A （－2，0）、B （4，0），点P 满足12PA PB =，点P 所构成的曲线记为曲线C ，则下列结论正确的是（ ） A .曲线C 的方程为（x ＋4）2＋y 2＝16 B .在曲线C 上存在点D ，使得||1AD =C .在曲线C 上存在点M ，使M 在直线x ＋y －2＝0上D .在曲线C 上存在点N ，使得22||||4NO NA += 【答案】AD12.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12F F 、，长轴长为4，点P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A.离心率的取值范围为10,2⎛⎫⎪⎝⎭B.当离心率为4时，1QF的最大值为2+C.不存在点Q，使得21QF QF⋅=D.1241QF QF+的最小值为94【答案】BCD【解】由题设，a＝2，则22214x yb+=，又P在椭圆内部，则21112b+<，即224b<<，e⎛∴==⎝⎭，故A错误；当4e=时，有272b=，易得12,22F F⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴由124QF QF+=，则12442222QF QF⎛⎫=-≤--=+⎪⎪⎝⎭，故B正确；由222420c b b-=-<，即c＜b，以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，∴椭圆上不存在点Q使得21QF QF⋅=，故C正确；换1法可求1241QF QF+的最小值为94，故D正确．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在数列{}n a中，12a==，则数列{}n a的通项公式为．【答案】22na n=14.设直线1:60l x my++=和2:(2)320l m x y m-++=，若12l l∥，则m＝．【答案】－115.过点P（－3，1）作直线m（x－1）＋n（y－1）＝0的垂线，垂足为点M，若定点N（3，4），那么||MN的最小值为．【答案】316.我国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，除了1之外的每个数字都等于上一行的左右两个数字之和，且第n行的所有数字之和为12n-．若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的第12项为 ，前35项和为 ．【答案】15，995四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）已知直线m ：2x －y －3＝0与直线n ：x ＋y －3＝0的交点为P ．（1）若直线l 过点P ，且点A （1，3）、B （3，2）到l 的距离相等，求直线l 的方程； （2）若直线1l 过点P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△ABO 的面积为4，求直线1l 的方程． 【解】（1）由23030x y x y --=⎧⎨+-=⎩得21x y =⎧⎨=⎩即交点P （2，1）．由直线l 过点P ，且点4（1，3）和点B （3，2）到直线l 的距离相等， 可知l //AB 或l 过AB 的中点． 当由l //AB 得321132l AB k k -===--， 所以直线l 的方程为11(2)2y x -=--即240x y +-=． 当直线l 过AB 的中点52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线l 的方程为x ＝2. 综上：直线l 的方程为x ＋2y －4＝0或x ＝2.（2）由题可知直线1l 的横、纵截距a ，b 都存在，且a ＞0，b ＞0， 则1:1x yl a b+=．又直线1l 过点P （2，1），△ABO 的面积为4， 所以211142a bab ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=⎩，故直线1l 的方程为142x y+=，即240x y +-=．18.（12分）已知双曲线C ：22221(0,0)y x a b a b -=>>，抛物线D ：y 2＝2px（P ＞0）的焦点为F ，准线为l ，直线l 交双曲线C 的两条渐近线于M 、N 两点，△MNF 的面积为3．（1）求双曲线C 的渐近线方程； （2）求抛物线D 的方程．【解】（1）由题意，双曲线C ：22221y x a b -=可得3c e a ===，解得13b a =可得3a b =， 所以C 的渐近线方程为3y x =±．（2）由抛物线D ：y 2＝2px ，可得其准线方程为l ：2px =-， 代入渐近线方程得33,,,2222p p p p M N ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以||3MN p =，则1332MFNSp p =⨯⨯=，解得p =所以曲线D 的方程为2y =．19.（12分）在数列{}n a 中，()112,431n n a a a n n *+==-+∈N ．（1）求证：数列{}n a n -是等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【解】（1）由已知得()1(1)4n n a n a n +-+=-， 又1110,a -=≠∴数列{}n a n -是公比为4的等比数列，（2）由（1）得()11114,4n n n n a n a a n ---=-⋅∴=+14(1)41(1),14232n n n n n n n S n N +-+-+∴=+=+∈-．20.（12分）已知椭圆C 的标准方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，若右焦点为F ，．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M 、N 是椭圆C 上不同的两点，直线MN 与曲线x 2＋y 2＝b 2相切，且M 、N 、F 三点共线，求线段||MN 的长． 【解】（1）由题意，椭圆半焦距c =3c e a ==，则a = 2221b a c ∴=-=，∴椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>当直线MN 的斜率不存在时，直线MN ：x ＝1，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y 又M ，N ，F 三点共线， 可设直线MN：(y k x =-，即0kx y -=， 由直线MN 与曲线x 2＋y 2＝1（x ＞01=，，解得1k =±，联立22(13y x x y ⎧=±-⎪⎨+=⎪⎩，得2430x -+=，则1212324x x x x +=⋅=，||MN ∴==．21.（12分）椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是圆O ：x 2＋y 2＝r 2（r ＞0）上异于点A （－r ，0）和B （r ，0）的一点，直线AP 与椭圆C 交于点M ，N ，直线BP 与椭圆C 交于点S ，T ．若直线OM ，ON ，OS ，OT 的斜率存在且分别为1234,,,k k k k ，问：是否存在r ，m ，使得()12340k k m k k +++=恒成立？若存在，求r ，m 的值；若不存在，请说明理由． 【解】（1）由题意，圆心O （0，0），半径b，b=，即b = 又椭圆的离心率12c e a ==，即a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，联立a 2＝b 2＋c 2＝3＋c 2，即可解得a 2＝4，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）由题意直线AP ，BP 斜率存在且均不为0，d 设直线AP 的方程为()()1122(),,,,y k x r M x y N x y =+，由22()143y k x r x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222223484120k x k rx k r +++-=，2221212228412,3434k r k r x x x x k k --∴+==++，① 又()1212121212122OM ONkx x kr x x y y k k k k x x x x +++=+=+=，②将①代入②得，122263kk k k r -+=-，又AP ⊥BP ，以1k-代替k ，以－r 替代r ， 同理可得342263OS OT kk k k k r k+=+=- 假设存在常数r ，m ，使得()12340k k m k k +++=恒成立 即222266033k km k r r k-+=--恒成立， 所以()22233mr k r m +=+对k ≠0恒成立，所以223030r m mr ⎧+=⎨+=⎩，解得1r m ==-，经检验此时判别式△＞0，因此存在常数1r m ==-满足题意．22.（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =M ⎛ ⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）点P （0，1），直线l 交椭圆C 于A 、B 两点（异于P ），直线P A 、PB 的斜率分别为12,k k ，且121k k ⋅=，问：直线l 是否过定点？若是，请求出该定点：若不是，请说明理由．【解】（1）由已知条件可得222221314c a a b c ab ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（2）①当直线l 的斜率存在时，设()()1122:,,,,l y kx m A x y B x y =+，由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()()222418410k x kmx m +++-=， 则()2121222418,4141m km x x x x k k -+=-=++， 由121k k ⋅=得()()12121212111,110y y kx m kx m x x x x --⋅=+-⋅+--⋅=()()2212121(1)(1)0k x x k m x x m ∴-+-++-=()()222224181(1)(1)04141m km k k m m k k -⎛⎫∴-⋅+--+-= ⎪++⎝⎭()()()222224118(1)41(1)0m k k m m k m ∴----++-= 2244(1)0m m ∴-++-=1m ∴=（舍）或53m =-∴直线l 过定点50,3⎛⎫- ⎪⎝⎭②当直线l 的斜率不存在时，设22:,(,),(,),14s l x s A s t B s t t =-+=由121k k ⋅=得2222111,1,,04t t s s t s s s s ---⋅=∴+=∴=∴=∴直线l ：x ＝0综上，直线l 过定点50,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．。

江苏省扬州市2021届高三上学期期初学情调研数学试卷(考试时间: 120 分钟试卷满分: 150 分)一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A= {1,2,3}, B={|y=3x,x∈A}. 则A∪B= ( )A. {,2,3,9,27}B.{3}C. {1,3,6,9,27}D.{1,3}2.已知随机变量X ~N(1,σ2 ),P(X≥0)=0.8, 则P(X>2)= ( )A.0.2B.0.4C.0.6D.0.83.设f(x)=lnx+x-2，则函数f(x)零点所在的区间为( )A. (0，1)B.(1, 2)C.(2, 3)D.(3，4)4.已知a = ,b= ,c=则a,b,c的大小关系为( )A. a>b>cB.b>a> CC. c>b>aD. c>a>b5.设函数f(x)=xIn,则函数的图像可能为( )x6.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究发现地震释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为IgE=4.8+1 .5M.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震与2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震所释放出来的能量的比值为( )A.10-15B.1.5C.lg1.5D.101.57.已知函数f(x)= +k,若存在区间[a,b] [-2,+∞),使得函数f(x)在区间[a,b] 上的值域为[a +2,b+2],则实数k的取值范围为( )A. (-1,+∞).B.(-]C.( -)D. (-1,0]8.己知定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x)，y= f(x+3)为偶函数，若f(x)在(0,3)内单调递减，则下面结论正确的是( )A. f()<f()<f(ln2)B. f() <f(ln2) < f()C. f(ln2)<f() < f()D. f(ln2)<f()< f()二、多项选择题;本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省扬州市2021届新高考数学第一次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）A．72种B．144种C．288种D．360种【答案】B【解析】【分析】利用分步计数原理结合排列求解即可【详解】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有2412A=种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有2412A=种排法，所以不同的排表方法共有1212144⨯=种.选B.【点睛】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题2．函数()sin xyx-=（[),0xπ∈-或(]0,xπ∈）的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】确定函数的奇偶性，排除两个选项，再求xπ=时的函数值，再排除一个，得正确选项．【详解】分析知，函数()sin xyx-=（[),0xπ∈-或(]0,xπ∈）为偶函数，所以图象关于y轴对称，排除B，C，当x π=时，sin 0xx=，排除D ， 故选：A ． 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等，研究特殊的函数的值、函数值的正负，以及函数值的变化趋势，排除错误选项，得正确结论．3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2c ，过左焦点1F 作斜率为1的直线交双曲线C 的右支于点P ，若线段1PF 的中点在圆222:O x y c +=上，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．22 C ．21+ D ．221+【答案】C 【解析】 【分析】设线段1PF 的中点为A ，判断出A 点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率. 【详解】设线段1PF 的中点为A ，由于直线1F P 的斜率是1，而圆222:O x y c +=，所以()0,A c .由于O 是线段12F F 的中点，所以222PF OA c ==，而1122222PF AF c c ==⨯=，根据双曲线的定义可知122PF PF a -=，即2222c c a -=，即21222ca==+-.故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.4．圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（ ） A ．()()22211x y -+-= B ．()()22211x y +++= C ．()()22215x y -+-= D ．()()22215x y +++=【答案】A 【解析】 【分析】求出所求圆的半径，可得出所求圆的标准方程. 【详解】圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的半径为1，因此，所求圆的方程为()()22211x y -+-=.故选：A. 【点睛】本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，过2F 作一条直线与双曲线右支交于A B ，两点，坐标原点为O ，若22215OA a b BF a =+=，，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．2C D ．3【答案】B 【解析】 【分析】由题可知1212OA c F F ==，1290F AF ∠=︒，再结合双曲线第一定义，可得122AF AF a =+，对1Rt AF B V 有22211AF AB BF +=，即()()()22222235AF aAFaa +++=，解得2AF a =，再对12Rt AF F △，由勾股定理可得()()22232a a c +=，化简即可求解【详解】如图，因为15BF a =，所以2523BF a a a =-=.因为1212OA c F F ==所以1290F AF ∠=︒. 在1Rt AF B V 中，22211AF AB BF +=，即()()()22222235AF aAFaa +++=，得2AF a =，则123AF a a a =+=.在12Rt AF F △中，由()()22232a a c +=得c e a =.故选：B 【点睛】本题考查双曲线的离心率求法，几何性质的应用，属于中档题6．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则C 的离心率为 A 2 B 3C ．2 D 5【答案】A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==Q ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．2e ∴=，故选A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．7．已知数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=L ，则23342122a a a a a a +++=L （ ） A ．58B ．34C ．54D ．52【答案】C 【解析】 【分析】利用()32n n a -的前n 项和求出数列(){}32nn a -的通项公式，可计算出na，然后利用裂项法可求出23342122a a a a a a +++L 的值.【详解】()12347324n a a a n a n ++++-=Q L .当1n =时，14a =；当2n ≥时，由()12347324n a a a n a n ++++-=L ， 可得()()1231473541n a a a n a n -++++-⋅=-L ， 两式相减，可得()324n n a -=，故432n a n =-，因为14a =也适合上式，所以432n a n =-.依题意，()()12161611313433134n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，故233421221611111111161153477101013616434644a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L . 故选：C. 【点睛】本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.8．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．140【答案】C 【解析】从频率分布直方图可知，用水量超过15m³的住户的频率为(0.050.01)50.3+⨯=，即分层抽样的50户中有0.3×50=15户住户的用水量超过15立方米 所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为152006050⨯=，故选C 9．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为（ ） A 2 B 3C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()a y x c b =--，联立方程，求得2a x c=，ab y c =，即2,a ab P c c ⎛⎫⎪⎝⎭，由16PF =，列出相应方程，求出离心率. 【详解】解：不妨设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()ay x c b=--，由()b y x a a y xc b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得2a x c =，ab y c =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由1PF OP =，所以有22224222226a b a a a b c c c cc ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得223a c =，所以离心率==ce a． 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题．10．已知函数()f x 是奇函数，且22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x -=+----，若对11[,]62x ∀∈，(1)(1)f ax f x +<-恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(3,1)--B ．(4,1)--C ．(3,0)-D ．(4,0)-【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数奇偶性求得()(),f x f x '，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数()f x 是奇函数， 所以函数'()f x 是偶函数.22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x ---=--+--， 即22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x --=--+--，又22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x -=+----，所以()ln(1)ln(1)f x x x =+--，22'()1f x x =-. 函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以22'()01f x x =>-， 则函数()f x 在(1,1)-上为单调递增函数.又在(0,1)上，()(0)0f x f >=，所以()f x 为偶函数，且在(0,1)上单调递增.由(1)(1)f ax f x +<-，可得11 111 ax xax⎧+<-⎨-<+<⎩，对11[,]62x∈恒成立，则112ax xax⎧+<-⎪⎨-<<⎪⎩，2112axax⎧-<<-⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩对11[,]62x∈恒成立，，得3140aa-<<-⎧⎨-<<⎩，所以a的取值范围是(3,1)--.故选：A.【点睛】本题考查利用函数单调性求解不等式，根据方程组法求函数解析式，利用导数判断函数单调性，属压轴题. 11．设集合{}220A x x x=-->，{}2log2B x x=≤，则集合()RC A B=IA．{}12x x-≤≤B．{}02x x<≤C．{}04x x<≤D．{}14x x-≤≤【答案】B【解析】【分析】先求出集合A和它的补集，然后求得集合B的解集，最后取它们的交集得出结果.【详解】对于集合A，()()210x x-+>，解得1x<-或2x>，故[]1,2RC A=-.对于集合B，22log2log4x≤=，解得04x<≤.故()(]0,2RC A B⋂=.故选B.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为0，然后通过因式分解，求得对应的一元二次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.12．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A ．12B ．13C ．23D ．56【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积. 【详解】根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：由图可知，该几何体是在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中截去四棱锥1B ABCD -所形成的几何体， 该几何体的体积为321211133V =-⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年高三上学期期中测试数学试题 含答案xx ．11一：填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1.= 。

2.复数的虚部为 。

3.抛物线的准线方程为，则抛物线方程为 。

4.不等式的解集为 。

5.已知平行直线，则与之间的距离为 。

6.若实数满足条件，则目标函数的最大值为 。

7.已知向量，则的充要条件是= 。

8.已知，则= 。

9.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 。

10.已知圆，直线与圆C 相交于A 、B 两点，D 为圆C 上异于A ，B 两点的任一点，则面积的最大值为 。

11.若，且，则使得取得最小值的实数= 。

12.已知函数无零点，则实数的取值范围是 。

13.双曲线的右焦点为F ，直线与双曲线相交于A 、B 两点。

若，则双曲线的渐近线方程为 。

14. 已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 。

二：解答题（本大题共6小题，计90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分14分）已知函数2)cos (sin sin )2cos(2)(x x x x x f =+-=π。

（1）求函数的单调递增区间；（2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值。

16.（本小题满分14分）函数的定义域为A，函数。

（1）若时，的解集为B，求；（2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围。

17.（本小题满分14分）已知圆。

（1）若，过点作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且（其中O为坐标原点），求圆M的半径。

18.（本小题满分16分）如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心。

在海岸线上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B 镇在养殖中心工作的员工有3百人，C 镇在养殖中心工作的员工有5百人。

现欲在BC 之间建一个码头D ，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1∶2. （1）求的大小；（2）设，试确定的大小，使得运输总成本最少。

2020—2021学年度第一学期期中检测试题高 三 数 学 参 考 答 案1．B 2．D 3．A 4．B 5．C 6．A 7．A 8．C 9． AB 10． AC 11． ABD 12． ACD13．230x y +-= 14．11315．1 16． (0,1)[7,)+∞17． 在ABC △cos cos cos A a C c A =+，cos sin cos sin cos B A A C C A =+ ………2分cos sin B A B =,因为sin 0B ≠，所以cos A = ………5分选择①，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得210c -=，解得c = ………10分 选择②，1cos sin 22c S B bc A ==，所以cos sin cos()2B A A π==-所以2B A π=-，即2C π=，解得c ………10分选择③，3C π=，因为sin sin()sin cos cos sin 333B A A A πππ=+=+=所以由sin sin c b C B =得sin 4sin b Cc B== ………10分18． (1) 1cos2()sin()sin()2266x f x x x πππ+++--12cos()sin()266x x x ππ+⨯--1sin(2)23x x π+-1111(sin 2cos2(sin 2cos22222x x x x x +⋅-=⋅+ 1sin(2)23x π=+. ………4分 所以()f x 的最小正周期22T ππ==. ………5分 由2,Z 3x k k ππ+=∈得,Z 26k x k ππ=-∈，所以()f x 的对称中心为(,0),Z 26k k ππ-∈. ……6分 (2) 由1()6f α=得1sin(2)33πα+=，因为(,)123ππα∈，所以2(,)32ππαπ+∈，所以cos(2)3πα+==， ………8分所以cos2cos[(2)]cos(2)cos sin(2)sin 333333ππππππαααα=+-=+⋅++⋅1123=+=. ………12分19． (1) 方法1：因为()f x 是R 上的奇函数，所以()010k f a =-=，解得0k = ………3分下面检验，此时()x x f x a a -=-，故()()x x f x a a f x --=-=-，所以()f x 为奇函数 ……5分 方法2：因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，即++x k x x x k a a a a ---=-， ………1分 即)((10)x x k a a a --=+， ………3分 所以10k a -=，解得0k = ………5分 (2)由()10f <得10a a-<，解得01a <<， ………6分 所以()x x f x a a -=-是R 上的减函数， ………7分 因为()f x 为奇函数,所以由()()23+4210f tx f x +-+≤得()()()223+42121f tx f x f x ≤--+=- 因为()f x 是R 上的减函数，所以23421tx x +≥-对任意[1,1]t ∈-成立 ………9分 令22()3421352g t tx x tx x =+-+=+-，则()0g t ≥对任意[1,1]t ∈-成立，等价于22(1)3520(1)3520g x x g x x =+-≥-=-+-≥⎧⎪⎨⎪⎩, ………10分 解得11x -≤≤，所以x 的取值范围是[11]-，. ………12分 20． (1) 因为平面11ABB A ⊥平面11AA C C ，1BE AA ⊥，BE ⊂平面11ABB A ，平面11ABB A 平面11AA C C 1=AA ，所以BE ⊥平面11AA C C ， ………4分 又因为11C A ⊂平面11AA C C ，所以11BE C A ⊥. ………5分(2)方法1：（综合法）作1EF CC ⊥于F ，因为1BE CC ⊥，,BE EF E BE =⊂平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，所以1CC ⊥平面BEF ，因为BF ⊂平面BEF ，所以1BF CC ⊥,所以BFE ∠即为二面角1B CC A --的平面角. ………9分（注：对于作出了平面角，但没有证明的给2分） 在菱形11ABB A 中，由2AB =、1=4BAA π∠，可求得BE =在菱形11AA C C 中，由2AB =、1=3A AC π∠，可求得EF =分所以在Rt BEF △中，EF =BFcos BFE ∠= 所以二面角1B CC A --. ………12分 方法2：（向量法）作1EF CC ⊥于F ，则1EF AA ⊥，因为平面11AAC C ⊥平面11ABB A ，EF ⊂平面11AA C C ，平面11ABB A 平面11AA C C 1=AA ，所以EF ⊥平面11ABB A ，以E 为坐标原点，,,EA EB EF 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系 …6分 在菱形11ABB A 中，由2AB =、1=4BAA π∠，可求得AE BE ==.F BC AC 1B 1A 1EEA 1B 1C 1AC B在菱形11AA C C 中，由2AB =、1=3A AC π∠，可求得EF1CF =，所以点B的坐标为()0，点1B的坐标为()2-，点C的坐标为0，.由(1)知BE ⊥平面11AA C C ，所以平面1AC C 的一个法向量()10,1,0n =， .………8分设平面1BC C 的法向量()2,,n x y z =，则21200n BB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取0x y z ===，，则平面1BC C的一个法向量(20,n = .………10分所以113cos ,n n <>==………11分 所以二面角1B CC A --. ………12分 21．(1) ()()ii nxx y r y --==∑………3分62467.5155>==>=⨯=， ………5分 所以“数学学期综合成绩”与“物理学期综合成绩”高度相关. ………6分 注：这里处理方案很多，例如：根据赋分规则可知，7个人赋分为2，4个人赋分为1，9个人赋分为0.所以9222036(0)190C P X C ===，49112203619(1)0C C P X C ===，2112204791609(29)C C C P X C +===，114722023810(9)C C P X C ===，27220(4)21190C P X C ===. 所以X 的分布列为：1所以190190190()012341901901905E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== ……12分 22． (1)方法1：分离参数得 当2x π≥时，不等式2x e m x -<恒成立，令2()x e h x x -=，则22(2)(1)2()0x x x e x e e x h x x x---+'==>， ………2分 所以()h x 在[,)2π+∞上递增，所以2min 228()()252e h x h ππππ-==≈， ………3分 因为28125π<<，所以正整数m 的值为1. ………4分 方法2：()x f x e m '=-.① 当2m e π≤时，()0f x '≥，所以()f x 在[,)2π+∞上递增，所以2min ()()2022f x f e m πππ==-⋅->，即222852e m πππ-<≈，又28125π<<，所以正整数m 的值为1. ………2分 ② 当2m e π>时，令()0x f x e m '=-=，则ln x m =.当(,ln )2x m π∈时，()0f x '<，所以()f x 在(,ln )2m π上递减；当(ln ,)x m ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(ln ,)m +∞上递增.所以min ()(ln )ln 2(1ln )20f x f m m m m m m ==--=--<，这与()0f x ≥恒成立矛盾，故不符合. 综上得：正整数m 的值为1. ………4分 (2) 当0x ≥时， 函数()g x 有2个零点. ………5分 证明如下：显然(0)0g =，所以0是()g x 的一个零点， ………6分 ①当2x π>时，()sin cos 120x x g x e x x x e x =--->-->，所以()g x 无零点； ………7分②当02x π≤≤时，()2cos sin x g x e x x x '=-+，令()()2cos sin x h x g x e x x x '==-+，则()()3sin cos 0x h x g x e x x x '''==++>，所以()g x '在[0,]2π上递增又(0)10,g '=-<2()022g e πππ'=+>，所以存在唯一1(0,)2x π∈使得1()0g x '=. ………9分所以当1(0,)x x ∈时，()0g x '<，故()g x 递减；当1(,)2x x π∈时，()0g x '>，故()g x 递增；因为(0)0g =，所以1()0g x <，又2()202g e ππ=->，所以存在唯一21(,)2x x π∈使得2()0g x =综上得：当0x ≥时， 函数()g x 有2个零点. ………12分。

江苏省宝应中学高三数学期中考试模拟试卷（二）一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M ={x ｜－3＜x ＜1｝，N ={x |x ≤3}，则集合｛x |x ≤－3或x ≥1｝＝ ( ▲ ） A ． M ∩NB ． M ∪NC ． C R (M ∩N ）D ． C R (M ∪N )2．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ,i 是虚数单位)，且z 2＝－2i,则有 ( ▲ ）A ． a ＋b ＝－1B ． a －b ＝－1C ． a －b ＝0D ． a ＋b ＝03．已知cos （α＋错误!)＝错误!，则sin2α的值为 ( ▲ )A ． 错误!B ． 错误!C ． 错误!D ． 错误!4．如图，己知函数f (x ）的图像关于坐标原点O 对称，则函数f (x )的解析式可能是 ( ▲ ）A ． f （x )＝x 2ln|x ｜ B ． f （x ）＝x ln ｜x | C ． f (x ）＝错误!D ． f （x ）＝错误!5．设等边三角形△ABC 的边长为1，平面内一点M 满足AM →＝错误!错误!＋错误!错误!,向量AM →与错误!夹角的余弦 值为 （ ▲ )A ． 错误!B ． 错误!C ． 错误!D ． 错误!6．若随机变量()~2,1X N ,且()10.8413P X >=，则()3P X >= ( ▲ ）A ．0。

1587B ．0。

3174C ．0.3413D ．0。

68267．若关于x 的方程2x 3－3x 2＋a ＝0在区间［－2,2］上仅有一个实根，则实数a 的取值范围为( ▲ ）A ． [－4,0］B ． (1,28]C ． ［－4，0)∪（1，28]D ． [－4,0）∪（1,28)8．已知函数3ln , 1()1, 1x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，若函数()(1)y f x a x =--恰有三个零点,则实数a 的取值范围是( ▲ )A ．（34-，0）B ．(-∞,34-)C ．(﹣3,34-） D ．（0,1）二、多项选择题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

扬州市2021届高三上学期期初学情调研数学试题2020. 09(考试时间: 120 分钟试卷满分: 150 分)一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A= {1,2,3}, B={|y=3x ,x∈A}. 则A∪B= ( )A. {,2,3,9,27}B.{3}C. {1,3,6,9,27}D.{1,3}2.已知随机变量X ~N(1,σ2 ),P(X≥0)=0.8, 则P(X>2)= ( )A.0.2B.0.4C.0.6D.0.83.设f(x)=lnx+x-2，则函数f(x)零点所在的区间为( )A. (0，1)B.(1, 2)C.(2, 3)D.(3，4)4.已知a = ,b= ,c=则a,b,c的大小关系为( )A. a>b>cB.b>a> CC. c>b>aD. c>a>b5.设函数f(x)=xIn,则函数的图像可能为( )x6.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究发现地震释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为IgE=4.8+1 .5M.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震与2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震所释放出来的能量的比值为( )A.10-15B.1.5C.lg1.5D.101.57.已知函数f(x)= +k,若存在区间[a,b] [-2,+∞),使得函数f(x)在区间[a,b] 上的值域为[a +2,b+2],则实数k的取值范围为( )A. (-1,+∞).B.(-]C.( -)D. (-1,0]8.己知定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x)，y= f(x+3)为偶函数，若f(x)在(0,3)内单调递减，则下面结论正确的是( )A. f()<f()<f(ln2)B. f() <f(ln2) < f()C. f(ln2)<f() < f()D. f(ln2)<f()< f()二、多项选择题;本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省扬州市2021届高三数学上学期期中调研测试试题（含解析）第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{3，4}，B ＝{1，2，3}，则A B ＝ ． 答案：{1，2，3，4} 考点：集合的并集解析：∵集合A ＝{3，4}，B ＝{1，2，3}， ∴A B ＝{1，2，3，4}．2．若(3i)2i z +=-(i 为虚数单位)，则复数z ＝ ．答案：11i 22-+ 考点：复数解析：∵(3i)2i z +=-∴222i (2i)(3i)i 5i 65i 511i 3i (3i)(3i)9i 1022z --⋅--+-+=====-+++⋅--． 3．函数3x my -=(m ∈R)是偶函数，则m ＝ ．答案：0考点：函数的奇偶性 解析：∵函数3x my -=关于直线x ＝m 对称，且是偶函数∴直线x ＝m 与y 轴重合，即m ＝0．4．双曲线1422=-x y 的渐近线方程为 ． 答案：2y x =± 考点：双曲线的渐近线解析：根据双曲线22221y x a b -=(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为a y x b=±，得双曲线1422=-x y 的渐近线方程为2y x =±． 5．抛物线x y 42=上横坐标为4的点到焦点的距离为 ． 答案：5考点：抛物线的定义解析：抛物线x y 42=的焦点坐标为(1，0)，准线为x ＝﹣1， 则抛物线上横坐标为4的点到准线的距离为5，根据抛物线的定义，该点到抛物线焦点的距离为5．6．设函数2ln , 0()1, 02x x x f x x >⎧⎪=⎨<⎪⎩，则2(())f f e -＝ ．答案：16考点：分段函数 解析：∵20e->∴22()2ln 40f e e--==-<，则241(())(4)162f f e f --=-==． 7．直线062=++y ax 与直线2(1)10x a y a +-+-=平行，则两直线间的距离为 ．考点：平行直线及其距离解析：∵直线062=++y ax 与直线2(1)10x a y a +-+-=平行， ∴(1)20a a --=，22(1)6(1)0a a ---≠，解得a ＝﹣1， 此时两直线方程为：260x y --=与20x y -=，5． 8．函数1()xxf x e +=的极大值是 ． 答案：1考点：利用导数研究函数的极值 解析：∵1()x xf x e +=∴()xx f x e '=-当x ＜0时，()f x '＞0，()f x 在(-∞，0)单调递增，当x ＞0时，()f x '＜0，()f x 在(0，+∞)单调递减，∴当x ＝0时，()f x 有极大值010(0)1f e+==． 9．将函数x y cos =的图象向右平移2π个单位后，再将图象上所有点的横坐标变为原来的一半（纵坐标保持不变），得到函数()f x 的图象，则()6f π＝ ．答案：2考点：三角函数的图像变换 解析：函数x y cos =的图象向右平移2π个单位后，的函数cos()sin 2y x x π=-=， 再将图象上所有点的横坐标变为原来的一半（纵坐标保持不变），得()sin 2f x x =，故()sin632f ππ==． 10．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，AD ＝AB ＝3DC ＝3，若M 为线段BC 的中点，则AM BD⋅的值是 ． 答案：﹣32考点：平面向量数量积解析：以A 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 得A(0，0)，B(3，0)，C(1，3)，D(0，3)，M(2，32) 则AM ＝(2，32)，BD ＝(﹣3，3)， ∴AM BD ⋅＝(2，32)·(﹣3，3)＝2×(﹣3)＋32×3＝﹣32．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝3，sin 2A ﹣sin 2B ＝3sin 2C ，cosA＝13-，则△ABC 的面积是 ． 2考点：正弦定理，余弦定理解析：由正弦定理可将sin 2A ﹣sin 2B ＝3sin 2C 转化为2223a b c -=，由余弦定理得：2222cos A a b c bc =+-， 将b ＝3，cosA ＝13-，代入上面两个式子，并化简可得： 22223929a c a c c ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩，解得：1c =， ∵cosA ＝13-，∴sinA 22，∴S ＝1sin A 2bc ＝1223123⨯⨯⨯2．12．已知点A(﹣1，0)，B(2，0)，直线l ：50kx y k --=上存在点P ，使得PA 2＋2PB 2＝9成立，则实数k 的取值范围是 ． 答案：[1515] 考点：直线与圆的位置关系解析：设P(x ，y )，根据PA 2＋2PB 2＝9得： 2222(1)2[(2)]9x y x y +++-+=， 化简得：22(1)1x y -+=，故点P 在以(1，0)为圆心，1为半径的圆上，又点P 在直线l ：50kx y k --=上，1≤，化简得：2151k ≤，则k ≤≤， 综上所述，实数k 的取值范围是[15-，15]． 13．已知实数x ，y 满足23>y 且04296=-+-y x xy ，则y x +3的最小值是 ．12考点：基本不等式解析：∵04296=-+-y x xy ，∴31(31)()22x y +-=，∴3(31)()2x y ++-≥2632x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩取“＝”，故132x y +≥，综上所述，y x +312． 14．已知关于x 的不等式2(1)0xx k e e --+<有且仅有三个整数解，则实数k 的取值范围是 ． 答案：(e ，213e +] 考点：利用导数研究函数存在性问题（不等式整数解） 解析：令2()(1)xf x x k e e =--+，则()()xf x e x k '=- 当x ＜k 时，()0f x '<，此时()f x 在(-∞，k )单调递减； 当x ＞k 时，()0f x '>，此时()f x 在(k ，+∞)单调递增． ∴当x ＝k 时，()f x 有最小值为2ke e -+，显然2(1)0x x k e e --+<有解，则2k e e -+＜0，则k ＞2， 此时2(2)(2)0f k e =-<，故x ＝2是原不等式的整数解， ①当(1)0f ≥时，即20ke e -+≥时，2＜k ≤e ，此时4242(4)(3)(3)0f k e e e e e =-+≥-+>，故此时最多有两个整数解； ②当(1)0f <时，即20ke e -+<时，k ＞e ，此时323222(3)(2)(2)(21)0f k e e e e e e e e =-+<-+=---<， 故x ＝1，2，3是原不等式的整数解，则242(0)10(4)(3)0f k e f k e e ⎧=--+≥⎪⎨=-+≥⎪⎩，解得22113k e k e ⎧≤-⎪⎨≤+⎪⎩，故e ＜k ≤213e +， 综上所述，实数k 的取值范围是(e ，213e+]． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）已知关于x 的不等式031<-+x x 的解集为A，函数()f x =域为集合B （其中R m ∈）．（1）若0=m ，求B A ； （2）若RB A ⊆，求实数m 的取值范围．16．（本题满分14分）已知α∈(0，2π)，3cos 5α=． （1）求tan()4πα+的值；（2）求sin(2)6πα+的值．17．（本题满分15分）已知圆C ：22(2)4x y +-=，直线l 过点A(﹣3，0)． （1）若l 与圆C 相切，求l 的斜率k ；（2）当l 的倾斜角为4π时，l 与y 轴交于点B ，l 与圆C 在第一象限交于点D ，设AB BD λ=，求实数λ的值.18．（本题满分15分）为迎接2021年奥运会，某商家计划设计一圆形图标，内部有一“杠铃形图案”（如图阴影部分），圆的半径为1米，AC ，BD 是圆的直径，E ，F 在弦AB 上，H ，G 在弦CD 上，圆心O 是矩形EFGH 的中心，若2EF 3=米，∠AOB＝2θ，5412ππθ≤≤． （1）当3πθ=时，求“杠铃形图案”的面积；（2）求“杠铃形图案”的面积的最小值．19．（本题满分16分）如图，已知椭圆()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与椭圆交于点P(35，455)．（1）求椭圆的方程；（2）过y轴正半轴上一点A(0，t)作斜率为k(k＞0)的直线l．①若l与圆和椭圆都相切，求实数t的值；②直线l在y轴左侧交圆于B、D两点，与椭圆交于点C、E（从上到下依次为B、C、D、E），且AB＝DE，求实数t的最大值．20．（本题满分16分）已知函数2()ln 22f x x ax ax a =--++-(a ∈R)．（1）当1=a 时，求函数()f x 在1=x 处的切线方程；（2）是否存在非负整数a ，使得函数()f x 是单调函数，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（3）已知()()3g x f x x =+-，若存在b ∈(1，e )，使得当x ∈(0，b ]时，()g x 的最小值是()g b ，求实数a 的取值范围．（注：自然对数的底数 2.71828e =）第II卷（附加题，共40分）21．（10分）已知向量11α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是矩阵⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1A03a的属于特征值λ的一个特征向量．（1）求实数λ,a的值；（2）求2A．22．（10分）一个盒子中装有大小相同的2个白球、3个红球，现从中先后有放回地任取球两次，每次取一个球，看完后放回盒中． （1）求两次取得的球颜色相同的概率；（2）若在2个白球上都标上数字1，3个红球上都标上数字2，记两次取得的球上数字之和为X ，求X 的概率分布列与数学期望()X E ．23．（10分）如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长均为2，点E 、F 分别在棱AA 1、BB 1上移动，且1AE AA λ=，()11BF BB λ=-． （1）若21=λ，求异面直线CE 与C 1F 所成角的余弦值；（2）若二面角A—EF—C的大小为θ，且552sin=θ，求λ的值．24．（10分）设()1111nkk n nk S kC +==-∑，*n k N ∈，． （1）求21S S -，32S S -； （2）猜想∑=-nk n k S 11的值，并加以证明．。

绝密★启用前扬州市2021届高三考前调研测试试题数学注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合要求)．1．设全集{}2|lg(2)U x y x x ==-，集合{}|2,0xA y y x ==<，则UA（）A ．[1,)+∞B ．(0,1]C ．[1,2)D ．(,1]-∞2．若(3)(2)i xi y ++=，其中,x y R ∈,i 为虚数单位，则复数x yi +在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在ABC ∆中,6,8,10,2,AB AC BC BC DB ====则AD BC ⋅=（）A.86-B.86C.7D.7-4．现有《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》各一本，分给甲、乙、丙、丁、戊5名同学，每人一本，若甲乙都没有拿到《诗经》，且乙也没拿到《春秋》，则所有可能的分配方案有（） A ．18种B ．24种C ．36种D ．54种5．密位制是度量角的一种方法．将周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如：478密位写成“478-”，1周角等于6000密位，记作1周角6000=-．如果一个扇形的半径为2，面积为73π，则其圆心角可以用密位制表示为（）A ．2500-B ．3500-C ．4200-D ．7000-6．“五一”期间，甲、乙、丙三个大学生外出旅游，已知一人去北京，一人去西安，一人去云南.回来后，三人对去向作了如下陈述： 甲：“我去了北京，乙去了西安.” 乙：“甲去了西安，丙去了北京.” 丙：“甲去了云南，乙去了北京.”事实是甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半（关于去向的地点仅对一个）.根据以上信息，可判断下面说法中正确的是（） A ．甲去了西安 B ．乙去了北京C ．丙去了西安D ．甲去了云南7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ,以F 为圆心，OF 为半径的圆交双曲线C 的右支于,P Q 两点（O 为坐标原点）,若OPQ ∆是等边三角形，则双曲线C 的离心率为（） A.713+ B.3C.512+ D.2 8．已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数()f x 在()0-∞，上单调递减，且满足()22f =，则关于x 的不等式()sin f x x x π<+的解集为（）A ．()(),22,-∞-⋃+∞ B．()()2,02,-⋃+∞C ．()(),20,2-∞-⋃D ．()()2,00,2-⋃二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．已知0ab >且11a b>，则下列不等式一定成立的有（） A ．a b <B ．a b b a< C ．2a bb a+> D ．22a b a b +<+10．已知函数()sin()(0)6f x x πωω=->在区间[0,]π上恰能取到2次最大值，且最多有4个零点，则下列说法中正确的有（）A.()f x 在(0,)π上恰能取到2次最小值B.ω的取值范围为825[,)36C.()f x 在(0,)6π上一定有极值D.()f x 在(0,)3π上不单调 11．正方体1111ABCD A B C D -中，1=2AA ，点P 在线段1BC 上运动，点Q 在线段1AA 上运动，则下列说法中正确的有（） A ．三棱锥1A D PC -的体积为定值 B ．线段PQ 长度的最小值为2C ．当P 为1BC 中点时，三棱锥1P ABB -的外接球表面积为2πD ．平面BPQ 截该正方体所得截面可能为三角形、四边形、五边形12．在三角函数部分，我们研究过二倍角公式2cos 22cos 1x x =-，实际上类似的还有三倍角公式，则下列说法中正确的有（）A ．3cos34cos 3cos x x x =-B ．存在1x ≤时，使得3431x x ->C ．给定正整数n ，若1,(1,2,,)i x i n ≤=，且310ni i x ==∑，则13ni i n x =≤∑ D ．设方程38610x x --=的三个实数根为123,,x x x ，并且123x x x <<，则2232312()x x x x -=-三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．62x ⎛⎝展开式中常数项为___________（用数字作答）.14．已知点P 在抛物线24y x =上，点Q 在圆22(5)1x y -+=上，则PQ 长度的最小值为__________15．根据天文学有关知识，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于58-时，能在扬州的夜空中看到它．下表列出了10颗恒星的“赤纬”数值：中看到观测目标，则X 的数学期望为 16．对于有限数列{}n a ，定义集合()1221|110ki k i i a a a S k s s i i k i ++⎧⎫==≤<<<≤⎨⎬⎩⎭+，，其中110k Z k ∈≤≤且，若n a n =，则()3S 的所有元素之和为四、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：112a b ==，且2361,,1--a a a 是等比数列{}n b 的连续三项.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设()2121log ()log nn n n n c a a b +=-+，求数列{}n c 的前10项和10T ．18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，现有下列四个条件：①a =②2b =；③2cos cos cos c A a B b A =+；④2223()a c b +-=-. （1）③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；（2）请从上述四个条件中选三个，使得ABC ∆有解，并求ABC ∆的面积. （注：如果选择多个组合作为条件分别解答，按第一个解答计分） 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD //BC ，2,AB AD AC ===AC BD E =,2DM MP =，PB //平面MAC ．（1）证明：AC ⊥平面PAD ；（2）若PB 与平面ABCD 所成角为45，求二面角C PD A --的余弦值． 20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆C 上一点，线段1MF 与圆221x y +=相切于该线段的中点N ，且12MF F ∆的面积为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 上是否存在三个点,,A B P ，使得直线AB 过椭圆C 的左焦点1F ，且四边形OAPB 是平行四边形？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分12分）甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制(先赢3局的学校获胜，比赛结束)，约定比赛规则如下：先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛.按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为23，乙校获胜的概率为13，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为13，乙校获胜的概率为23，每局比赛结果相互独立.（1）求甲校以3:1获胜的概率；（2）记比赛结束时女生比赛的局数为ξ，求ξ的概率分布. 22．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x ax =-.（1）若()f x 存在极值，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，判断函数()()2sin g x f x x =+的零点个数，并证明你的结论.扬州市2021届高三考前调研测试试题数学参考答案2021.051.C2.B3.A4.D5.B6.D7.A8.B 9．ACD10.BD11．AB12.ACD 13.6014.315.3.616.12117．解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q 因为2361,,1--a a a 是等比数列{}n b 的连续三项所以2326(1)(1)=--a a a ，即2(22)(21)(251)+=+-+-d d d ，解得3=d 或1=-d因为{}n b 是等比数列，其各项不能为零，所以1=-d 舍去，所以3=d ，所以()23131=+-=-n a n n ………3分 又3221==-a q a ，所以1222n n n b -=⨯=.…………6分 （2）∵()()2122221log ()log (1)log (31)(32)1[log (31)log (32)]nnn n n n n c b b a n n n n n n +=-+=--++=+--++， ∴{}n c 的前10项和()()()10222222(1210)log 2log 5log 5log 8log 8log 11T =++++--+++--+()()2222log 26log 29log 29log 32+--++2210(110)log 2log 32592+=-+=.……………10分18.解析：（1）不能同时满足③④，理由如下：由条件③得2sin cos sin cos sin cos C A A B B A =+，即2sin cos sin C A C =，即1cos 2A =， 因为()0,A π∈，所以3A π=；……………2分由条件④得2221cos 22a c b B ac ac +-==⨯=分因为12cos cos23B π=<-=，()0,B π∈，而cos y x =在()0,π单调递减，所以23B ππ<<. 于是233A B πππ+>+=，与A B π+<矛盾.所以ABC ∆不能同时满足③④ (6)分（2）满足三角形有解的所有组合为①②③或①②④.若选择组合①②③：由sin sin a bA B=得32sin 3B =，即sin 1B =， 因为()0,B π∈，所以2B π=，………9分ABC ∆为直角三角形，所以222(3)1c =-=，所以13132ABC S ∆=⨯⨯=.………12分若选择组合①②④：由2222cos b a c ac B =+-得221c c +=，解得21c =-，……………9分因为()0,B π∈，所以2236sin 1cos 133B B ⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以11622sin 3(21)2232ABC S ac B ∆-==⨯⨯-⨯=.……………12分 19．(1)证明连接ME ，∵PB//平面MAC ，PB ⊂平面PBD ，平面PBD 平面MAC=ME ，∴PB//ME ，2DE DM AD BE PM BC===，∴BC=1，……………2分 而AB=2，3AC =，222AC BC AB ∴+=，∴CA ⊥BC ，即CA ⊥AD ， 又PA ⊥平面ABCD ，CA ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CA ， 又PAAD=A ，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴CA ⊥平面PAD ．……………5分(2)因为PB 与平面ABCD 所成的角为45，所以45PBA ∠=，即2PA = 方法1：向量法如图，以A 为原点，射线AC ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系， 则(0,0,0),(3,0,0),(0,2,0),(0,0,2),A C D P 所以(3,0,2),(0,2,2),PC PD =-=- 设平面PCD 的法向量为1(,,)n x y z =，则1103200202n PC x z z n y PD ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎨⋅==⎪⎪-⎩⎩，即，所以平面PCD 的一个法向量为1(2,3,3)n =，……………8分 又平面PAD 的一个法向量为2(1,0,0)n =，……………10分所以1212122cos ||||10nn n n n n ⋅⋅===⋅.所以二面角C PD A --的余弦值为5……………12分 方法2：综合法提示，在PAD ∆内作AH PD ⊥于H ，则CHA ∠即为所求角20、解析：（Ⅰ）因为1ON =，又ON 是三角形12MF F 的中位线，所以22MF =，12MF MF ⊥，由椭圆的定义可知122MF a =-，因为三角形12MF F 的面积为1(22)22222S a a =-⨯=-=，所以2a =，又因为12F F ==c =b =所以椭圆的方程为22142x y +=……………4分（2）存在①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x =此时椭圆上不存在符合题意的点P ；……5分②当直线AB 的斜率存在且0k =时，此时,,O A B 三点共线，所以椭圆上不存在符合题意的点P ；③当直线AB 的斜率存在且不为0时，设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ， 设直线AB 的方程为(y k x =.联立22(142y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得()222221440kx x k +++-=，216160k ∆=+>，所以212212x x k +=+-，21221442k x x k -=+……………7分 所以(2112221y k x x k y ==++++因为四边形OAPB是平行四边形，所以OP OA OB =+()1212,x x y y =++222,2211k k ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭++.所以点2121P k k ⎛ ⎝⎭++.……………9分又点P 在椭圆上，则有2224⎛+= ⎝⎭⎝⎭，即441k =，解得2k =±. 所以椭圆上存在三个点,,A B P ，满足要求，此时直线AB 的方程为12y x =±+.……………12分 21.解（1）设甲校以3:1获胜为事件B ，4局比赛中甲校胜出分别为()1,2,34i A i =，…………1分则()()131234241234P B P A A A A A A A A A A A A =++21221121=3333333812721124C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅+⋅⋅⋅== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 答：甲校以3:1获胜的概率为427……4分 （2）ξ的可能取值为1、2、3()2221121=333392627P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；……6分()2221122212111102=333333332721112223033333381P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎪ ⎪⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎝ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭⎭⎭……9分()2211222221212133331321213333333P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎪⎭⎝⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭⎭⎭ 3112322221211111+=3333333327222993243C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎛⎫ ⎝⎭⎭⎭⎝⎭⎪⎝ 所以，随机变量ξ的概率分布列为：22．解析：（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()11axf x a x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '>，故()f x 在()0,∞+上递增，所以()f x 无极值； 当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在当1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.所以()f x 在1x a=处取得极大值，无极小值. 综上所述，若()f x 存在极值，则a 的取值范围为()0,∞+.……………4分 (2)()()2sin ln 2sin g x f x x x x x =+=-+，下面分区间逐段研究 ①当[),2x ππ∈时，sin 0x ≤，由（1）知1a =时()ln f x x x =-，此时()()ln 1f x x x f =-≤，即ln 1x x -≤-， 所以()0g x <，所以()g x 在[),2ππ上没有零点．……………6分 ②当[)2,x π∈+∞时，()ln 2g x x x ≤-+ 设()ln 2x x x ϕ=-+，()110x xϕ'=-<，所以()x ϕ在[)2,π+∞上单调递减，所以()()20x ϕϕπ≤<所以当[)2,x π∈+∞时，()()()20g x x ϕϕπ≤≤<恒成立，所以()g x 在[)2,π+∞上没有零点．………8分③当()0,x π∈时，()112cos g x x x '=-+，()212sin 0g x x x''=--<，所以()g x '在()0,π上单调递减，又因为31103g ππ⎛⎫'=-+>⎪⎝⎭，2102g ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以()g x '在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一的零点α．()g x 在()0,α上单调递增;()g x 在(),απ上单调递减;所以()g x 在()0,π上存在唯一的极大值点32ππαα⎛⎫<<⎪⎝⎭，且()ln 2202222g g ππππα⎛⎫>=-+>-> ⎪⎝⎭又因为2222111122sin 220g e e e e ⎛⎫=--+<--+< ⎪⎝⎭，所以()g x 在()0,α上恰有一个零点．又因为()ln 20g ππππ=-<-<，所以()g x 在(),απ上也恰有一个零点．g x有且仅有两个零点．……………12分综上得，()。

姓名，年级：时间：树人学校2020-2021学年度第一学期期中模拟考试高三 数学总分：150分 时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{2,1,0,1,2}A =--，集合2{|log (1)}B x y x ==-,则A B =（ ） A 。

{2} B. {1,2} C. {2,1,0}-- D 。

{2,1,0,1}-- 2。

已知tan=13-，则2cos sin cos ααα-+的值为（ ）A 。

3B 。

34 C. 43D. 343。

函数ln ()x xf x x=的大致图象为（ ）A B C D4. 已知实数0,0>>y x ，则“1<xy ”是“0log log 3131>+y x "的（ ）A. 充分不必要条件 B 。

必要不充分条件 C 。

充要条件 D 。

既不充分也不必要条件5。

刘徽(约公元225年-295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形（如图所示),当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,运用割圆术的思想，得到sin 2的近似值为( ）A ．π90B ．π180C ．π270D ．π3606.函数()22x f x a x=--的一个零点在区间()1,2内,则实数a 的取值范围是( )A ．()1,3B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,27.已知函数()f x 是偶函数,当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为( ) A ．y x =-B ．2y x =-+C ．y x =D ．2y x =-8。

扬州市2021届高三考前调研测试试题数学参考答案 2021.051.C2.B3.A4.D5.B6.D7.A8.B 9． ACD 10. BD 11．AB 12. ACD 13.60 14.3 15. 3.6 16.12117．解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q 因为2361,,1--a a a 是等比数列{}n b 的连续三项所以2326(1)(1)=--a a a ，即2(22)(21)(251)+=+-+-d d d ，解得3=d 或1=-d 因为{}n b 是等比数列，其各项不能为零 ，所以1=-d 舍去，所以3=d ，所以()23131=+-=-n a n n ………3分 又 3221==-a q a ，所以1222n n n b -=⨯=. …………6分 （2）∵()()2122221log ()log (1)log (31)(32)1[log (31)log (32)]nnn n n n n c b b a n n n n n n +=-+=--++=+--++， ∴{}n c 的前10项和()()()10222222(1210)log 2log 5log 5log 8log 8log 11T =++++--+++--+()()2222log 26log 29log 29log 32+--++2210(110)log 2log 32592+=-+=. ……………10分 18. 解析：（1）不能同时满足③④，理由如下：由条件③得2sin cos sin cos sin cos C A A B B A =+，即2sin cos sin C A C =，即1cos 2A =， 因为()0,A π∈，所以3A π=； ……………2分由条件④得2221cos 2323a cb B ac ac +-==-⨯=-， ……………4分因为12cos cos23B π=<-=，()0,B π∈，而cos y x =在()0,π单调递减，所以23B ππ<<. 于是233A B πππ+>+=，与A B π+<矛盾.所以ABC ∆不能同时满足③④. ……………6分 （2）满足三角形有解的所有组合为①②③或①②④.若选择组合①②③：由sin sin a b A B=2sin B =，即sin 1B =， 因为()0,B π∈，所以2B π=， ………9分ABC ∆为直角三角形，所以1c ==，所以1122ABC S ∆=⨯=. ………12分若选择组合①②④：由2222cos b a c ac B =+-得221c c +=，解得1c =， ……………9分因为()0,B π∈，所以sin 3B ==，所以112sin 1)222ABC S ac B ∆==-=. ……………12分 19． (1) 证明 连接ME ， ∵PB//平面MAC ，PB ⊂平面PBD ，平面PBD 平面MAC=ME ，∴PB//ME ，2DE DM ADBE PM BC===，∴BC=1， ……………2分 而AB=2，AC =222AC BC AB ∴+=，∴CA ⊥BC ，即CA ⊥AD ， 又PA ⊥平面ABCD ，CA ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CA ， 又PAAD=A ，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴CA ⊥平面PAD ． ……………5分(2) 因为PB 与平面ABCD 所成的角为45，所以45PBA ∠=，即2PA = 方法1：向量法如图，以A 为原点，射线AC ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,2,0),(0,0,2),A C D P 所以(3,0,2),(0,2,2),PC PD =-=- 设平面PCD 的法向量为1(,,)nx y z =， 则110200202n PC z z n y PD ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎪-⎩⎩，即，所以平面PCD 的一个法向量为1(2,3,n = ，……………8分 又平面PAD 的一个法向量为2(1,0,0)n=， ……………10分所以1212122cos 5||||10nn n n n n ⋅⋅===⋅.所以二面角C PD A --的余弦值为5……………12分 方法2：综合法 提示，在PAD ∆内作AH PD ⊥于H ，则CHA ∠即为所求角20、解析：（Ⅰ）因为1ON =，又ON 是三角形12MF F 的中位线，所以22MF =，12MF MF ⊥， 由椭圆的定义可知122MF a =-，因为三角形12MF F 的面积为1(22)22222S a a =-⨯=-=，所以2a =，又因为12F F ==c =b =所以椭圆的方程为22142x y += ……………4分（2）存在①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB的方程为x =P ；……5分 ②当直线AB 的斜率存在且0k =时，此时,,O A B 三点共线，所以椭圆上不存在符合题意的点P ； ③当直线AB 的斜率存在且不为0时，设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ， 设直线AB的方程为(y k x =+.联立22(142y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得()222221440k x x k +++-=，216160k ∆=+>，所以212212x x k +=+-，21221442k x x k -=+ ……………7分所以(2112221y k x x k y ==++++ 因为四边形OAPB 是平行四边形，所以OP OA OB =+()1212,x x y y =++222,2211k k ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭++.所以点2222121,P k k ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭++. ……………9分又点P在椭圆上，则有22222242121k k ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++，即441k =，解得2k =±. 所以椭圆上存在三个点,,A B P ，满足要求，此时直线AB的方程为12y x =±+. ……………12分 21. 解（1）设甲校以3:1获胜为事件B ，4局比赛中甲校胜出分别为()1,2,34i A i =，…………1分 则()()131234241234P B P A A A A A A A A A A A A =++21221121=3333333812721124C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅+⋅⋅⋅== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 答：甲校以3:1获胜的概率为427……4分 （2）ξ的可能取值为1、2、3()2221121=333392627P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ……6分()2221122212111102=333333332721112223033333381P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎪ ⎪⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎝ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭⎭⎭……9分()2211222221212133331321213333333P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎪⎭⎝⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭⎭⎭3112322221211111+=3333333327222993243C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎛⎫ ⎝⎭⎭⎭⎝⎭⎪⎝所以，随机变量ξ的概率分布列为：22．解析：（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()11axf x a x x-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '>，故()f x 在()0,∞+上递增，所以()f x 无极值； 当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在当1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 所以()f x 在1x a=处取得极大值，无极小值. 综上所述，若()f x 存在极值，则a 的取值范围为()0,∞+. ……………4分 (2) ()()2sin ln 2sin g x f x x x x x =+=-+，下面分区间逐段研究 ①当[),2x ππ∈时，sin 0x ≤，由（1）知1a =时()ln f x x x =-，此时()()ln 1f x x x f =-≤，即ln 1x x -≤-，所以()0g x <，所以()g x 在[),2ππ上没有零点． ……………6分 ②当[)2,x π∈+∞时，()ln 2g x x x ≤-+ 设()ln 2x x x ϕ=-+，()110x xϕ'=-<，所以()x ϕ在[)2,π+∞上单调递减，所以()()20x ϕϕπ≤< 所以当[)2,x π∈+∞时，()()()20g x x ϕϕπ≤≤<恒成立，所以()g x 在[)2,π+∞上没有零点．………8分 ③当()0,x π∈时，()112cos g x x x '=-+，()212sin 0g x x x''=--<，所以()g x '在()0,π上单调递减， 又因为31103g ππ⎛⎫'=-+>⎪⎝⎭，2102g ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以()g x '在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一的零点α． ()g x 在()0,α上单调递增;()g x 在(),απ上单调递减;所以()g x 在()0,π上存在唯一的极大值点32ππαα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，且()ln 2202222g g ππππα⎛⎫>=-+>-> ⎪⎝⎭又因为2222111122sin 220g e e e e ⎛⎫=--+<--+<⎪⎝⎭，所以()g x 在()0,α上恰有一个零点． 又因为()ln 20g ππππ=-<-<，所以()g x 在(),απ上也恰有一个零点．综上得，()g x 有且仅有两个零点． ……………12分。

树人学校2020-2021学年度第一学期期中模拟考试高三 数学总分：150分 时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{2,1,0,1,2}A =--，集合2{|log (1)}B x y x ==-，则A B =（ ）A. {2}B. {1,2}C. {2,1,0}--D. {2,1,0,1}--2.已知tan α=13-，则2cos sin cos ααα-+的值为（ ） A.-3B.-34C. -43D.343.函数ln ()x xf x x=的大致图象为（ ）A B C D4. 已知实数0,0>>y x ，则“1<xy ”是“0log log 3131>+y x ”的（ ）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin 2的近似值为( )A ．π90B ．π180C ．π270D ．π3606.函数()22xf x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是( ) A ．()1,3B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,27.已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为( ) A ．y x =- B ．2y x =-+C ．y x =D ．2y x =-8.设函数()e 3x f x x a =+-.若曲线sin y x =上存在点()00,x y ，使得()()00f f y y =，则实数a 的取值范围是（ ）A. []1,e 2+B. 1e 3,1-⎡⎤-⎣⎦C. []1,e 1+D. 1e 3,e 1-⎡⎤-+⎣⎦二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知函数()()()2sin 20f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是( ) A ．56πϕ= B ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心 C ．()2fϕ=-D ．6x π=-是()f x 图象的一条对称轴10.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4π B ．点C 到面11ABC D 的距离为22C ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为4π D ．三棱柱1111AA D BB C -311.若104a =，1025b =，则( ) A ．2a b +=B ．1b a -=C ．281g 2ab >D ．lg6b a ->12.已知111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则( )A ．MB ．当M 最小时，2125x =C ．M 的最小值为45D ．当M 最小时，265x =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数．．．．，则m 的范围是__________ A ．1(,)3+∞B ．1(,)3-∞C ．1[,)?3+∞D ．1(,]3-∞14.ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则·AF BC 的值为__________A ．58-B ．18C ．14D ．11815.已知实数,a b 满足0ab >，则2a a a b a b-++的最大值为__________16.已知函数(),()f x x g x x ωω=，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图像的交点，且不共线.①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为___________；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，则ω的最小值为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在①()2223163c S b a +=-；②5cos 45b C c a +=，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC 的面积为S ，已知________． (1)求tan B 的值；(2)若42,S =10a =，求b 的值．18.已知函数4()cos f x x =-42sin cos sin x x x - (1)求()f x 的单调递增区间； (2)求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值及取最小值时的x 的集合.19.如图，在四棱锥S ABCD -中，ABCD 是边长为4的正方形，SD ⊥平面ABCD ，E F ，分别为AB SC ，的中点.(1)证明：//EF 平面SAD .(2)若8SD =，求二面角D EF S --的正弦值.20.某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[100,120)内，则为合格品，否则为不合格品. 表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.表1：甲套设备的样本的频数分布表质量指标值[95,100) [100,105) [105,110) [110,115) [115,120) [120,125]频数 1 4 19 20 5 1图1：乙套设备的样本的频率分布直方图(1)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计(2)根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较；(3)将频率视为概率. 若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为X，E X.求X的期望()附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.21.对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”． （1）已知二次函数()()224f x ax x a a R =+-∈，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）若()12423xx f x m m +=-⋅+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．22.巳知函数f (x )=x e x —e x +m . (1)求函数f (x )的极小值；(2)关于x 的不等式f (x )—x 3<0在x ∈[13,1]上存在解,求实数m 的取值范围.树人学校2020-2021学年度第一学期期中模拟考试高三 数学总分：150分 时间：120分钟四、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{2,1,0,1,2}A =--，集合2{|log (1)}B x y x ==-，则A B =（ ）A. {2}B. {1,2}C. {2,1,0}--D. {2,1,0,1}--答案：C2.已知tan α=13-，则2cos sin cos ααα-+的值为（ ） A.-3 B.-34 C. -43D.34答案：A3.函数ln ()x xf x x=的大致图象为（ ）A B C D答案：A5. 已知实数0,0>>y x ，则“1<xy ”是“0log log 3131>+y x ”的（ ）B. 充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案：C5.刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin 2的近似值为( )A ．π90B ．π180C ．π270D ．π360【答案】A 【解析】由割圆术可知当n 变得很大时,这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,设圆的半径为r ,每个等腰三角形的顶角为360n︒, 所以每个等腰三角形的面积为21360sin2r n ︒, 所以圆的面积为221360sin2r n r n π︒=⋅,即3602sin n n π︒=, 所以当180n =时,可得3602sin sin 218018090ππ︒=︒==, 故选:A6.函数()22xf x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是( ) A ．()1,3 B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,2【答案】C 【解析】由题,显然函数()22xf x a x=--在区间()1,2内连续,因为()f x 的一个零点在区间()1,2内,所以()()120f f <,即()()22410a a ----<,解得0<<3a ,故选:C7.已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为( ) A ．y x =- B ．2y x =-+C ．y x =D ．2y x =-【答案】A 【解析】因为0x <，()()ln()1f x f x x x =-=--+，()11f -=，()ln()1f x x '=---，(1)1f '-=-，所以曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()11y x -=-+，即y x =-. 故选：A8.设函数()f x =.若曲线sin y x =上存在点()00,x y ，使得()()00f f y y =，则实数a 的取值范围是（ ）A. []1,e 2+B. 1e 3,1-⎡⎤-⎣⎦C. []1,e 1+D. 1e 3,e 1-⎡⎤-+⎣⎦答案：A五、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知函数()()()2sin 20f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是( ) A ．56πϕ= B ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心 C ．()2fϕ=-D ．6x π=-是()f x 图象的一条对称轴【答案】ABD 【解析】由题意，()()2sin 2f x x ϕ=+向右平移6π， 得2sin 22sin 263y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin 23y x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，所以32k ππϕπ-=+，k Z ∈6k k Z πϕπ5∴=+∈，，又0ϕπ<< 506k πϕ∴==， 即()52sin 26x x f π⎛⎫+⎝=⎪⎭50221266f ff πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，， 则,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，6x π=-是()f x 图象的一条对称轴而()2fϕ=，则C 错，A,B,D 正确故选：ABD10.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4π B ．点C 到面11ABC D 的距离为22C ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为4π D ．三棱柱1111AA D BB C -3【答案】ABD 【解析】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，对于A ，直线BC 与平面11ABC D 所成的角为14CBC π∠=，故选项A 正确；对于B ，因为1B C ⊥面11ABC D ，点C 到面11ABC D 的距离为1B C 长度的一半，即22h =，故选项B 正确；对于C ，因为11//BC AD ，所以异面直线1D C 和1BC 所成的角为1AD C ∠，而1AD C 为等边三角形，故两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为3π，故选项C 错误； 对于D ，因为11111,,A A A B A D 两两垂直，所以三棱柱1111AA D BB C -外接球也是正方体1111ABCD A B C D -的外接球，故2221113r ++==D 正确． 故选：ABD ．11.若104a =，1025b =，则( )A ．2a b +=B ．1b a -=C ．281g 2ab >D ．lg6b a ->【答案】ACD 【解析】由104a =，1025b =，得lg 4a =，lg 25b =，则lg 4lg 25lg1002a b ∴+=+==，25lg 25lg 4lg 4b a ∴-=-=， 25lg101lg lg 64=>> lg6b a ∴->24lg 2lg 54lg 2lg 48lg 2ab ∴=>=，故正确的有：ACD12.已知111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则( )A ．MB ．当M 最小时，2125x =C ．M 的最小值为45D ．当M 最小时，265x =【答案】BC 【解析】由111ln 20x x y --+=，得：111ln 2y x x =-+，()()221212x x y y -+-的最小值可转化为函数ln 2y x x =-+图象上的点到直线242ln 20x y +--=上的点的距离的最小值的平方， 由ln 2y x x =-+得：11y x'=-， 与直线242ln 20x y +--=平行的直线的斜率为12-， 则令1112x -=-，解得：2x =，∴切点坐标为()2,ln 2，()2,ln 2∴到直线242ln 20x y +--=的距离d ==.即函数ln 2y x x =-+上的点到直线242ln 20x y +--=. ()()221212M x x y y ∴=-+-的最小值为245d =，过()2,ln 2与242ln 20x y +--=垂直的直线为()ln 222y x -=-，即24ln 20x y --+=.由242ln 2024ln 20x y x y +--=⎧⎨--+=⎩，解得：125x =，即当M 最小时，2125x =. 故选：BC.六、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数．．．．，则m 的范围是__________ A ．1(,)3+∞ B ．1(,)3-∞C ．1[,)?3+∞D ．1(,]3-∞【答案】C 【解析】若函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数，只需2320y x x m '=++≥ 恒成立，即141203m m =-≤∴≥，．故选：C ．14.ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则·AF BC 的值为__________A ．58- B ．18C ．14D ．118【答案】B 【解析】设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=.15.已知实数,a b 满足0ab >，则2a aa b a b-++的最大值为__________【答案】3-. 【解析】 由题意，()()()()222222232a ab a ab a a aba b a b a b a b a ab b +-+-==++++++ ()220a b-≥2220a b ∴-+≥222a b ∴+≥22323a ab b ab ∴++≥+2232a ab b ∴++的最小值是3ab +0ab >∴当22323a ab b ab ++=+，即a 时，2232aba ab b ++的值最大2232aba ab b∴++3==-2a aa b a b∴-++的最大值为3-.16.已知函数(),()f x x g x x ωω=，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图像的交点，且不共线.①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为___________；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，则ω的最小值为__________. 【答案】2π 2π【解析】函数(),()f x x g x x ωω=，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图象的交点，当1ω=时，(),()f x x g x x ωω==．所以函数的交点间的距离为一个周期2π，高为222+=． 所以：()121122ABC S ππ∆⋅⋅+＝＝． 如图所示：①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为2π；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半， 则22222222πω+⎭⋅＝， 解得ω的最小值为 2π． 故答案为：2π， 2π．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在①()2223163c S b a +=-；②5cos 45b C c a +=，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC 的面积为S ，已知________． (1)求tan B 的值；(2)若42,S =10a =，求b 的值． 【答案】(1)34；(2)62 【解析】(1)选择条件①．()2223163c S b a +=-，所以()2221316sin 32⨯+=-c ac B b a ， 整理得：()2228sin 3ac B a c b=+-．即2224sin 32a c b B ac+-=⋅. 整理可得3cos 4sin B B =，又sin 0B >．所以cos 0B >，所以sin 3tan cos 4B B B ==. 选择条件②．因为5cos 45bC c a +=，由正弦定理得，5sin cos 4sin 5sin B C C A +=，5sin cos 4sin 5sin()B C C B C +=+，即sin (45cos )0C B -=， 在ABC 中，sin 0C ≠，所以cos 45B =，3sin 5B ==，所以3tan 4B =. (2)由3tan 4B =，得3sin 5B =，又42,S =10a =， 则113acsin 1042225S B c ==⨯⨯=，解得14c =. 将42,S =10,a =14c =代入()222261636c S c a =++-中，得()2222614164231410b ⨯=⨯++-，解得b =18.已知函数4()cos f x x =-42sin cos sin x x x - (1)求()f x 的单调递增区间； (2)求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值及取最小值时的x 的集合.【答案】(1)()5,88k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦；(2)最小值为，x 的集合为38π⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【解析】 (1)()()()442222cos 2sin cos sin cos sin cos sin 2sin cos f x x x x x x x x x x x=--=-+-22cos sin 2sin cos cos 2sin 224x x x x x x x π⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭，解不等式()3222242k x k k Z πππππ-+≤-≤-+∈， 得()588k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈， 因此，函数()y f x =的单调递增区间为()5,88k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦；(2)0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，32444x πππ∴-≤-≤，当242x ππ-=时，即当38x π=时，函数()y f x =取得最小值2-. 因此，函数()y f x =的最小值为2-，对应的x 的集合为38π⎧⎫⎨⎬⎩⎭.19.如图，在四棱锥S ABCD -中，ABCD 是边长为4的正方形，SD ⊥平面ABCD ，E F ，分别为AB SC ，的中点.(1)证明：//EF 平面SAD .(2)若8SD =，求二面角D EF S --的正弦值. 【答案】(1)证明见解析(2)23【解析】(1)证明：记SD 的中点为G ，连接GF ，GA . 因为E F ，分别为AB SC ，的中点，则//GF CD ，且12GF CD =. 因为//AE CD ，且12AE CD =，所以//GF AE ，且GF AE =， 所以四边形GFEA 为平行四边形， 则//EF AG .又EF ⊄平面SAD ，AG ⊂平面SAD ， 所以//EF 平面SAD .(2)以D 为原点，分别以DA ，DC ，DS 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()008S ，，，()000D ，，，()420E ，，，()024F ，，，(4,2,0),(0,2,4),(4,0,4),(4,2,8)DE DF EF ES ===-=--设平面DEF 的法向量()111m x y z =，，，则1111420240DE m x y DF m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 令12x =，则()242m =-，，. 设平面SEF 的法向量为()222n x y z =，，，则222224404280EF n x z ES n x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ 令22x =，则()242n =，，. 1,3mn cosm n m n ⋅==-， 设二面角D EF S --为θ，则223sin θ=， 即二面角D EF S --的正弦值为223.20.某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[100,120)内，则为合格品，否则为不合格品. 表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.表1：甲套设备的样本的频数分布表 质量指标值[95,100)[100,105)[105,110)[110,115)[115,120)[120,125]频数 1 4 19 20 5 1图1：乙套设备的样本的频率分布直方图(1)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关； 甲套设备 乙套设备 合计 合格品 不合格品 合计(2)根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较；(3)将频率视为概率. 若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为X ，求X 的期望()E X . 附： P (K 2≥k 0) 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 k 02.0722.7063.8415.0246.63522()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)325【解析】(1)根据表1和图1得到列联表甲套设备乙套设备合计合格品 48 43 91 不合格品 2 7 9 合计5050100将列联表中的数据代入公式计算得()()()()()()222100487243 3.0535050919n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯∵ 3.053 2.706>，∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关 (2)根据表1和图1可知，甲套设备生产的合格品的概率约为4850，乙套设备生产的合格品的概率约为4350，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115)之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散.因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备. (3)由题知，1~3,25X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()1332525E X =⨯=. 21.对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”． （1）已知二次函数()()224f x ax x a a R =+-∈，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）若()12423xx f x m m +=-⋅+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．解：（1）当时，方程即有解，所以为“局部奇函数”． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分（2）当时，可化为．设，则，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分从而在有解即可保证为“局部奇函数”．令，1° 当，在有解，由，即，解得； ┅┅┅┅┅┅┅┅8分2° 当时，在有解等价于解得． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分（说明：也可转化为大根大于等于2求解） 综上，所求实数m 的取值范围为． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分22.巳知函数f (x )=x e x —e x +m . (1)求函数f (x )的极小值；(2)关于x 的不等式f (x )—x 3<0在x [13,1]上存在解,求实数m 的取值范围.。