【数学】2.3《抛物线》习题精选(新人教A版选修1-1)

课时作业18 抛物线及其标准方程知识点一抛物线的定义1.已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|，则动点M 的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆答案 C解析 方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|可化为x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5，它表示点M 到坐标原点O 的距离等于它到直线3x ＋4y －12＝0的距离，由抛物线的定义可知，动点M 的轨迹是抛物线．故选C.2．给出下列命题：①到定点F (－1,0)的距离和定直线x ＝1的距离相等的动点P 的轨迹为抛物线； ②到定点F (2,1)的距离和到定直线3x －2y －4＝0的距离相等的动点P 的轨迹为抛物线； ③抛物线的焦点一定在y 轴上． 其中假命题是________(填序号)． 答案 ②③解析 由抛物线的定义，知命题①为真命题；因为定点F (2,1)在定直线3x －2y －4＝0上，可知动点P 的轨迹为一条直线，所以命题②为假命题；因为抛物线的焦点可以随建立坐标系的方式不同而不同，因此可以在x 轴上，所以命题③为假命题．3．平面上动点P 到定点F (1,0)的距离比点P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程． 解 解法一：设点P 的坐标为(x ，y )， 则x －12＋y 2＝|x |＋1.两边平方并化简，得y 2＝2x ＋2|x |，所以y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x <0.于是动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x <0)．解法二：由于点F (1,0)到y 轴的距离为1，所以当x <0时，射线y ＝0上的点满足题意； 当x ≥0时，已知条件等价于点P 到点F (1,0)的距离与到其直线x ＝－1的距离相等，所以点P 的轨迹是以点F 为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x .于是动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x <0)． 知识点二抛物线的标准方程4.抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是________，准线方程为________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18y ＝－18解析 抛物线方程即x 2＝12y ，可知焦点在y 轴上，且p 2＝18，所以焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18，准线方程为y ＝－18.5．根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)准线方程为y ＝－1；(2)焦点在x 轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.解 (1)由准线方程为y ＝－1知抛物线焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，则p ＝2.故抛物线的标准方程为x 2＝4y .(2)设焦点在x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p2，则焦点到准线的距离是p ＝3，因此所求的抛物线的标准方程是y 2＝6x .一、选择题1．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( ) A.y 2＝－4xB.x 2＝4yC.y 2＝－4x 或x 2＝4y D.y 2＝4x 或x 2＝－4y答案 C解析 设抛物线方程为y 2＝－2p 1x 或x 2＝2p 2y ，把(－4,4)代入得16＝8p 1或16＝8p 2，即p 1＝2或p 2＝2.故抛物线的标准方程为y 2＝－4x 或x 2＝4y .故选C.2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( ) A.12 B.1 C.2 D.4答案 C解析 由抛物线的标准方程得准线方程为x ＝－p2.由x 2＋y 2－6x －7＝0得(x －3)2＋y 2＝16. ∵准线与圆相切，∴3＋p2＝4，∴p ＝2.故选C.3．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( ) A.12 B.1 C.32 D.2答案 D解析 易知抛物线的焦点为F (1,0)，设P (x P ，y P )，由PF ⊥x 轴可得x P ＝1，代入抛物线方程得y P ＝2，(－2舍去)，把P (1,2)代入曲线y ＝k x(k >0)得k ＝2.故选D.4．若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A.y 2＝8x B.y 2＝－8x C.y 2＝4x D.y 2＝－4x答案 A解析 设动圆的半径为r ，圆心为O ′(x ，y )，且O ′到点(2,0)的距离为r ＋1，O ′到直线x ＝－1的距离为r ，所以O ′到(2,0)的距离与到直线x ＝－2的距离相等，由抛物线的定义，动圆圆心的轨迹方程为y 2＝8x .故选A.5．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0等于( )A.4B.2C.1D.8答案 C解析 如图，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0， 过A 作AA ′⊥准线l ， ∴|AF |＝|AA ′|， ∴54x 0＝x 0＋p 2＝x 0＋14， ∴x 0＝1.故选C. 二、填空题6．若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________． 答案 9解析 由于抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1，设点M 的坐标为(x ，y )，则x ＋1＝10，所以x ＝9.故M 到y 轴的距离是9.7．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A (2,1)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的准线方程是__________．答案 x ＝－54解析 OA 的垂直平分线方程为y ＝－2x ＋52，令y ＝0，得x ＝54，∴焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0. ∴抛物线方程为y 2＝5x ，其准线方程为x ＝－54.8．下图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________m.答案 2 6解析 以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴建立直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py ，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，所以x 2＝－2y .当y ＝－3时，x 2＝6，所以水面宽为2 6 m.三、解答题9．设抛物线y 2＝mx 的准线与直线x ＝1的距离为3，求抛物线的方程． 解 当m >0时，准线方程为x ＝－m4，由条件知1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4＝3，所以m ＝8.此时抛物线方程为y 2＝8x ； 当m <0时，准线方程为x ＝－m4，由条件知－m4－1＝3，所以m ＝－16，此时抛物线方程为y 2＝－16x . 所以所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－16x .10．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点．(1)若点P 到直线x ＝－1的距离为d ，A (－1,1)，求|PA |＋d 的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．解(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1. 由抛物线的定义，知|PF|＝d，于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为22＋12＝ 5. (2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±12，因为12＞2，所以点B在抛物线内部．自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)，由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.。

人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.3.2 抛物线及其标准方程（二）同步练习题【基础演练】题型一：抛物线的基本运算 因为抛物线中的基本量之间存在着内在联系，所以从方程的角度来讲，可以已知一部分求另一部分，请根据以上知识解决以下1~4题。

1. 对抛物线ay 4x 2=（0a ≠），下列说法中正确的是A. 若0a >，焦点为（0，a ），若0a <，焦点为（0，-a ）B. 若0a >，焦点为⎪⎭⎫ ⎝⎛2a ,0；若0a <，焦点为⎪⎭⎫ ⎝⎛-2a ,0C. 不论0a >，还是0a <，焦点都是（0，a ）D. 不论a 0>，还是0a <，焦点都是⎪⎭⎫⎝⎛2a ,02. 已知椭圆14y 5x 22=+的中心为A ，右准线为l ，那么A 为顶点，l 为准线的抛物线方程为A. x 20y 2-=B. x 20y 2=C. x 10y 2-=D. x 10y 2=3. 已知P （8，a ）在抛物线px 4y 2=上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为 A. 2 B. 4 C. 8 D. 164. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1），能使此抛物线方程为x 10y 2=的条件是___________。

（要求填写合适条件的序号）。

题型二：求抛物线的方程 求抛物线方程的常用方法有：待定系数法、直译法、定义法、相关点法、几何法等，请根据以上知识解决以下5~7题。

5. 如图2-3-1所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧面C C BB 11内一动点，若P 到直线BC 与直线11D C 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线6. 已知点A （-2，0）、B （3，0），动点P （x ，y ）满足2x PB PA =⋅，则点P 的轨迹是 A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线7. 已知抛物线C 的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，直线AB 交抛物线C 于A 、B 两点，交x 轴的正半轴于点M （m ，0），A 、B 到x 轴的距离之积为2m ，求抛物线C 的方程。

课时作业20 抛物线的简单几何性质(2)知识点一直线与抛物线的交点问题1.过点(2,4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条答案 B解析 由题意知，点(2,4)在抛物线y 2＝8x 上，所以过点(2,4)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．故选B.2．已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 有： (1)一个公共点？ (2)两个公共点？ (3)没有公共点？解 将直线l 和抛物线C 的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，方程(*)只有一个解，为x ＝14，此时y ＝1.∴直线l 与抛物线C 只有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，此时直线l 平行于x 轴． 当k ≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2，①当Δ>0，即k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点，此时直线l 与抛物线C 相交；②当Δ＝0，即k ＝1时，直线l 与抛物线C 有一个公共点，此时直线l 与抛物线C 相切； ③当Δ<0，即k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点，此时直线l 与抛物线C 相离． 综上所述，(1)当k ＝1或k ＝0时，直线l 与抛物线C 有一个公共点； (2)当k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点； (3)当k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点. 知识点二中点弦问题3.已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若AB 中点为(2,2)，则直线l 的方程为__________．答案 y ＝x解析 由题意知，抛物线C 的方程为y 2＝4x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把A ，B 代入抛物线方程得⎩⎪⎨⎪⎧ y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，①②①－②得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．又y 1＋y 2＝4， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1. ∴直线l 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x . 知识点三直线与抛物线位置关系的综合应用4.过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 在准线上的射影为A 1，B 1，则∠A 1FB 1等于( )A.45°B.90°C.60°D.120°答案 B解析 如图，由抛物线定义知 |AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |， 所以∠AA 1F ＝∠AFA 1. 又∠AA 1F ＝∠A 1FO ， 所以∠AFA 1＝∠A 1FO . 同理∠BFB 1＝∠B 1FO .于是∠AFA 1＋∠BFB 1＝∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝∠A 1FB 1.故∠A 1FB 1＝90°.故选B. 5．已知点P 在直线x ＋y ＋5＝0上，点Q 在抛物线y 2＝2x 上，求|PQ |的最小值． 解 设与直线x ＋y ＋5＝0平行且与抛物线y 2＝2x 相切的直线方程是x ＋y ＋m ＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋m ＝0，y 2＝2x ，消去x 得y 2＋2y ＋2m ＝0，令Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，因此|PQ |的最小值等于直线x ＋y ＋5＝0与x ＋y ＋12＝0间的距离，即等于⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－122＝924.一、选择题1．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( ) A.2或－2B.1或－1C.2D.3答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0.又由Δ＝42(k ＋2)2－16k 2＞0，得k＞－1.则由4k ＋2k 2＝4，得k ＝2.故选C. 2．已知抛物线y 2＝8x ，过点P (3,2)引抛物线的一弦，使它恰在点P 处被平分，则这条弦所在的直线l 的方程为( )A.2x －y －4＝0B.2x ＋y －4＝0C.2x －y ＋4＝0D.2x ＋y ＋4＝0答案 A解析 设l 交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．又P (3,2)是AB 的中点，∴y 1＋y 2＝4.又直线l 的斜率存在，∴直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，∴直线l 的方程为2x －y －4＝0，故选A. 3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作一条直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 1y 2x 1x 2的值为( )A.4B.－4C.p 2D.－p 2答案 B解析 解法一：设过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的直线方程为x ＝my ＋p 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋p 2，y 2＝2px ，得y2－2pmy －p 2＝0.由根与系数的关系，得y 1y 2＝－p 2.又x 1＝y 212p ，x 2＝y 222p ，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 24.于是y 1y 2x 1x 2＝－p 2p 24＝－4.故选B. 解法二：采用特例法，当直线与x 轴垂直时，易得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p ，y 1y 2x 1x 2＝－4.故选B.4．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12B.[－2,2]C.[－1,1]D.[－4,4]答案 C解析 设直线方程为y ＝k (x ＋2)，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k x ＋2，消去x 得到关于y 的方程ky 2－8y ＋16k ＝0.当k ＝0时，直线与抛物线有一个交点； 当k ≠0时，令Δ＝64－64k 2≥0， 解得－1≤k <0或0<k ≤1. 故－1≤k ≤1.故选C.5．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12B.22C. 2D.2答案 D解析 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算等知识．由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16，因为MA →·MB →＝0，所以(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2，故选D.二、填空题6．已知直线x －y ＋1＝0与抛物线y ＝ax 2有两个公共点，则a 的取值X 围是________． 答案 a >－14且a ≠0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝ax 2，得ax 2－x －1＝0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝－12－4×a ×－1>0，解得a >－14且a ≠0.7．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y －4＝0的距离最短的点的坐标是__________． 答案 (1,1)解析 把直线2x －y －4＝0平移至与抛物线y ＝x 2相切时，切点即为所求．设此时直线方程为2x －y ＋b ＝0，联立y ＝x 2，得x 2－2x －b ＝0，由题意得Δ＝4＋4b ＝0，b ＝－1.即x 2－2x ＋1＝0，解x ＝1，y ＝1.8．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为抛物线C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为________．答案 2 3解析 由y 2＝42x 知：焦点F (2，0)，准线x ＝－ 2.设P 点坐标为(x 0，y 0)， 则x 0＋2＝42，∴x 0＝32， ∴y 20＝42×32＝24， ∴|y 0|＝26，∴S △POF ＝12×2×26＝2 3.三、解答题9．已知y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点． (1)若|AB |＝10，某某数m 的值； (2)若OA ⊥OB ，某某数m 的值．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x ，得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.Δ>0解得m <2，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2，y 1y 2＝m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋m 2＝8m . (1)因为|AB |＝1＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·64－32m ＝10，所以m ＝716.(2)因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0，解得m ＝－8，m ＝0(舍去)．10．已知△AOB 的一个顶点为抛物线y 2＝2x 的顶点，点A ，B 都在抛物线上，且∠AOB ＝90°，证明：直线AB 必过一定点．证明 设OA 所在直线的方程为y ＝kx ，则直线OB 的方程为y ＝－1kx ，由题意知k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k 2，y ＝2k ，即点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k2，2k ，同样由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2x ，解得点B 的坐标为(2k 2，－2k )．故AB 所在直线的方程为y ＋2k ＝2k＋2k2k2－2k2(x －2k 2)，化简并整理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1k－k y ＝x －2.不论实数k 取任何不等于0的实数， 当x ＝2时，恒有y ＝0. 故直线过定点P (2,0)．。

解析几何同步练习（抛物线及其标准方程1A ）知识要点： ① 定义：d PF =||（d 为动点P 到准线距离）；② 标准方程：()022>=p px y 。

一、选择题1、已知抛物线的焦点坐标是（2，0），则抛物线的标准方程是[ ]A.y 2=4xB.y 2=8xC.y 2=-8xD.y 2=-4x2、已知抛物线的准线方程是x=-7，则抛物线的标准方程是[ ]A.x 2=-28yB.y 2=-28yC.y 2=28xD.x 2=28x3、经过点P （4，-2）的抛物线标准方程为[ ]A.y 2=x 或x 2=-8yB.y 2=x 或y 2=8xC.y 2=-8xD.x 2=-8y4、抛物线y=a 1x 2（a ≠0）的焦点坐标是 [ ] A.(0,4a )或（0，-4a ） B.（0，4a ）C.（0，a 41）或（0，-a 41） D.（0，a 41）二、填空题1、若点M 到点()0,1F 的距离比它到直线0=x 的距离大1，则点M 的轨迹方程为 .2、抛物线x y 42=上的两点A 、B 到焦点的距离之和为10，则线段AB 中点到y 轴的距离为 .3、顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线1243=-y x 上的抛物线方程是 .4、抛物线()022>=p px y 上任一点 与其焦点连线的中点的轨迹方程为 。

三、解答题1、 已知点()3,2-A 到抛物线()022>=p px y 焦点F 的距离为5，求抛物线方程。

2、 已知点()3,-m A 在抛物线()022>=p px y 上，它到抛物线焦点F 的距离为5，若0>m 求抛物线方程。

3、动点N 到定点A （4，0）的距离等于点N 到直线4x-3y-16=0的距离，求点N 的轨迹方程.参考答案一、选择题：BCAB二、填空题： 1、x y 42=或()00≤=x y ； 2、4； 3、x y 162=或y x 122-=；4、2241p px y -=。

第二章 2.3 2.3.1A级基础巩固一、选择题1．若A是定直线l外一定点，则过点A且与直线l相切的圆的圆心轨迹为导学号 03624520( D )A．直线B．椭圆C．线段D．抛物线[解析] 因为圆过点A，所以圆心到A的距离为圆的半径；又圆与直线相切，所以圆心到直线的距离也等于圆的半径，且点A是定直线l外一定点，故圆心的轨迹为抛物线．2．如果抛物线y2＝2px的准线是直线x＝－2，那么它的焦点坐标为导学号 03624521( B )A．(1,0) B．(2,0)C．(3,0) D．(－1,0)[解析] 因为准线方程为x＝－2＝－p2，所以焦点为(p2，0)，即(2,0)．3．(2016·贵州贵阳高二检测)抛物线x2＝4y的焦点到准线的距离为导学号 03624522( C )A．12B．1C．2 D．4[解析] 抛物线x 2＝4y 中，P ＝2，∴焦点到准线的距离为2. 4．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是导学号 03624523( C )A ．(1,0)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，0C ．⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，18D ．⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，14[解析] 抛物线的标准方程为x 2＝12y ，∴p ＝14，且焦点在y 轴的正半轴上，故选C ．5．抛物线y 2＝4x 上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是导学号 03624524( A )A ．0B ．1516C ．78D ．1716[解析] 设M(x 0，y 0)，则x 0＋1＝1，∴x 0＝0，∴y 0＝0.6．从抛物线y 2＝4x 图象上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM|＝5，设抛物线焦点为F ，则△MPF 的面积为导学号 03624525( A )A ．10B ．8C ．6D ．4[解析] 设P(x 0，y 0)，∵|PM|＝5，∴x 0＝4，∴y 0＝±4， ∴S △MPF ＝12|PM|·|y 0|＝10.二、填空题7．若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝__2__，准线方程为__x ＝－1__.导学号 03624526[解析] 本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程. 由p2＝1知p ＝2，则准线方程为x ＝－p2＝－1.8．以双曲线x 216－y 29＝1的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是__y 2＝－20x__.导学号 03624527[解析] ∵双曲线的左焦点为(－5,0)，故设抛物线方程为y 2＝－2px(p>0)， 又p ＝10，∴y 2＝－20x. 三、解答题9．过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 任作一条直线，交抛物线于P 1、P 2两点，求证：以P 1P 2为直径的圆和该抛物线的准线相切.导学号 03624528[证明] 设线段P 1P 2的中点为P 0，过P 1，P 2，P 0分别向准线l 引垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，Q 0，如图所示．根据抛物线的定义，得|P 1F|＝|P 1Q 1|，|P 2F|＝|P 2Q 2|.∴|P 1P 2|＝|P 1F|＋|P 2F|＝|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|.。

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

关闭Word文档返回原板块。

课时提升作业(十六)抛物线的简单几何性质(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015·长春高二检测)过抛物线y2=4x的顶点O作互相垂直的两弦OM，ON，则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为( )A.64B.32C.16D.4【解析】选C.由已知设OM的斜率为k，则ON的斜率为.从而OM的方程为y=kx，联立方程解得M的横坐标x1=.同理可得N的横坐标x2=4k2，可得x1x2=16.2.设M(x0，y0)为抛物线C：x2=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )A.(0，2)B.C.(2，+∞)D.=0.由已知解得a≥1.答案：[1，+∞)三、解答题(每小题10分，共20分)5.给定抛物线y2=2x，设A(a，0)，a>0，P是抛物线上的一点，且|PA|=d，试求d的最小值. 【解题指南】利用两点间的距离公式，把d表示为a的函数，再结合抛物线的范围讨论其最小值.【解析】设P(x0，y0)(x0≥0)，则=2x0，所以d=|PA|===.因为a>0，x0≥0，所以(1)当0<a<1时，1-a>0，此时有x0=0时，d min==a；(2)当a≥1时，1-a≤0，此时有x0=a-1时，d min=.6.(2015·太原高二检测)如图，已知抛物线C：y2=2px(p>0)和☉M：(x-4)2+y2=1，过抛物线C上一点H(x0，y0)(y0≥1)作两条直线与☉M相切于A，B两点，分别交抛物线于E，F两点，圆心M到抛物线准线的距离为.(1)求抛物线C的方程.(2)当∠AHB的角平分线垂直于x轴时，求直线EF的斜率.(3)若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值.【解析】(1)因为点M到抛物线准线的距离为4+=，所以p=，所以抛物线C的方程为y2=x.(2)因为当∠AHB的角平分线垂直于x轴时，点H(4，2)，所以k HE=-k HF，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，所以=-，所以=-，所以y1+y2=-2y H=-4.k EF====-.(3)设A(x1′，y1′)，B(x2′，y2′)，因为k MA=，所以k HA=，所以直线HA的方程为(4-x1′)x-y1′y+4x1′-15=0，同理直线HB的方程为(4-x2′)x-y2′y+4x2′-15=0，所以(4-x1′)-y1′y0+4x1′-15=0，(4-x2′)-y2′y0+4x2′-15=0，所以直线AB的方程为(4-)x-y0y+4-15=0，令x=0，可得t=4y0-(y0≥1)，因为t关于y0的函数在[1，+∞)上单调递增，所以t min=-11.即t的最小值为-11.关闭Word文档返回原板块第一章章末总结知识点一四种命题间的关系命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．例1判断下列命题的真假．(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；(2)若0<x<5，则|x－2|<3的否命题与逆否命题；(3)设a、b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0的逆命题和否命题．知识点二充要条件及其应用充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：(1)定义法(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn 图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．例2 若p ：－2<a <0,0<b <1；q ：关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，则p 是q 的什么条件？例3 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0.q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．知识点三 逻辑联结词的应用对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．例4 判断下列命题的真假．(1)对于任意x ，若x －3＝0，则x －3≤0；(2)若x ＝3或x ＝5，则(x －3)(x －6)＝0.例5 设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．知识点四 全称命题与特称命题全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．例6 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)3＝2；(2)5>4；(3)对任意实数x ，x >0；(4)有些质数是奇数．例7 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围．章末总结重点解读例1 解 (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x ∈B ，则x ∈A ∪B ，为真命题．(2)∵0<x <5，∴－2<x －2<3，∴0≤|x －2|<3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.例如当x ＝－12，⎪⎪⎪⎪－12－2＝52<3. 故否命题为假．(3)原命题：a ，b 为非零向量，a ⊥b ⇒a·b ＝0为真命题．逆命题：若a ，b 为非零向量，a·b ＝0⇒a ⊥b 为真命题．否命题：设a ，b 为非零向量，a 不垂直b ⇒a·b ≠0也为真．例2 解 若a ＝－1，b ＝12，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，故p ⇒q .若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x 1、x 2，且0<x 1≤x 2<1，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .于是0<－a <2,0<b <1，即－2<a <0,0<b <1，故q ⇒p .所以，p 是q 的必要不充分条件．例3 解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}．B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x <－4或x ≥－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－4a <0或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2a <0， 解得－23≤a <0或a ≤－4. 故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0. 例4 解 (1)∵x －3＝0，有x －3≤0，∴命题为真；(2)∵当x ＝5时，(x －3)(x －6)≠0，∴命题为假．例5 解 p ：由ax 2－x ＋116a >0恒成立得 ⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝1－4×a ×a 16<0，∴a >2. q ：由2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立，令t ＝2x ＋1>1，则x ＝t 2－12， ∴t <1＋a ·t 2－12， ∴2(t －1)<a (t 2－1)对一切t >1均成立．∴2<a (t ＋1)，∴a >2t ＋1，∴a ≥1. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，a >2且a <1不存在．若p 假q 真，则a ≤2且a ≥1，∴1≤a ≤2.故a 的取值范围为1≤a ≤2.例6 解 (1)3≠2，真命题；(2)5≤4，假命题；(3)存在一个实数x ，x ≤0，真命题；(4)所有质数都不是奇数，假命题．例7 解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时，只需m >－4.(2)不等式m －f (x 0)>0可化为m >f (x 0)，若存在一个实数x 0，使不等式m >f (x 0)成立， 只需m >f (x )min .又f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4，∴m >4.所以，所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．。

2.3 抛物线1、过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点,如果126x x +=,那么AB =( ) A.6B.8C.9D.102、抛物线2y ax =的准线方程是2y =-，则a 的值为( ) A.4B.8C.18D.143、已知F 为抛物线2y x =的焦点,点,A B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,而且6OA OB ⋅=u u u r u u u r( O 为坐标原点),若ABO △与AFO △的面积分别为1S 和2S ,则124S S +最小值是( )A.2B.6C.132D.4、抛物线24y x =的焦点为F ,点P 为抛物线上的动点,点M 为其准线l 上的动点,当FPM △为等边三角形时,其面积为( )A.B.4C.6D.5、若抛物线2y x =上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P 的坐标为()A. 1,44⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭B. 1,84⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭C. 1,44⎛ ⎝⎭D. 1,84⎛ ⎝⎭6、已知抛物线2:8C y x =与点(2,2)M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若90AMB ∠=︒，则k 的值为（ ）A ．12B ．2CD ．27、设1122,,)()(P x y Q x y 、分别为曲线y =,21(1,0),43F x x =+，则QFPF=( )A.2B.3C.D.48、已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,直线1)y x =-与C 交于,A B (A 在x 轴上方)两点.若AF mFB =u u u r u u u r,则m 的值为( )B.32C. 2D. 39、已知P 为抛物线24y x =上一个动点, Q 点坐标()0,4,那么点P 到点 Q 的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是( )B. C. 5 D. 910、设抛物线2:2(0)C y px p =>，过点(,0)M p 的直线l 与抛物线相交于,A B 两点,O 为坐标原点，设直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，则12k k =( ) A ．-1 B ．2 C ．-2 D ．不确定11、已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线MN 过焦点F ，且与抛物线C 交于,M N 两点.P 为抛物线C 准线l 上一点，且PF MN ⊥，连接PM 交y 轴于点Q ，过点Q 作QD MF ⊥于点D ,若||2||MD FN =，则||MF =__________.12、设抛物线y x 42=的焦点为F ，点B A ,在抛物线上，且满足AF FB λ=u u u r u u u r ，若3||2AF =u u u r ，则λ的值为 . 13、已知抛物线216y x =,焦点为F ,(8,2)A 为平面上的一定点, P 为抛物线上的一动点,则PA PF+的最小值为__________14、以抛物线22(0)y px p =>焦点F 为圆心，p 为半径作圆交y 轴于,A B 两点，连结FA 交抛物线于点D （D 在线段FA 上），延长FA 交抛物线的准线于点C ，若AD m =，且[]1,2m ∈，则FD CD ⋅的最大值为_____．15、如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>，点F 为焦点，过点F 的直线交抛物线于A B 、两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S .1.求p 的值及抛物线的标准方程；2.求12S S 的最小值及此时点G 的坐标.答案以及解析1答案及解析： 答案：B解析：由题意知，抛物线24y x =的准线方程是1x =-.∵过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，∴122AB x x =++.又∵126x x +=，∴1228AB x x =++=.故选B2答案及解析： 答案：C解析：抛物线2y ax =的标准方程为21x y a =，所以其准线方程为124y a =-=-，故18a =.3答案及解析： 答案：B解析：设直线AB 的方程为x ty m =+，点1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 与x 轴的交点为(,0)M m .联立2x ty m y x=+⎧⎨=⎩可得20y ty m --=.根据根与系数的关系，得12y y m ⋅=-. ∵6OA OB ⋅=u u u r u u u r ,∴12126x x y y +=，即21212()60y y y y ⋅+⋅-=.∵,A B 位于x 轴的两侧，∴123y y ⋅=-.∴3m =. 设点A 在x 轴的上方，则10y >. ∵1(,0),4F ∴1212111143()4224S S y y y +=⨯⋅-+⨯⨯ 111113319()26222y y y y y =++=+≥，当且仅当11922y y =，即132y =时，取等号. ∴124S S +的最小值是6.故选B4答案及解析： 答案：D解析：如图，∵FPM △是等边三角形，∴PF PM FM ==,由抛物线的定义知PM l ⊥.在Rt MQF △中，2,30QF QMF =∠=︒,∴4MF =,∴23443PMF S =⨯=△.故选D5答案及解析： 答案：B解析：设P 坐标为()2,a a 依题意可知抛物线的准线方程为14x =-. 24214a a a +=+24a =±,∴点P 的坐标为12,84⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭.故选B.6答案及解析： 答案：D 解析：7答案及解析： 答案：D 解析：8答案及解析： 答案：D 解析：9答案及解析：答案：A 解析：10答案及解析： 答案：C 解析：11答案及解析：2解析：由题意，直线MN 的斜率存在且不为0.设1122(,),(,)M x y N x y ，直线MN 的方程为(1)y k x =-，代入抛物线方程,得222212242(4)0,2k x k x k x x k-++=+=+∴， 由2||||,FN MD =得2||||2(1)||,,||||MD MQ x MD MF MP +==∵21112(1)11x x x x +=++∴， 21112x x =-∴，由1222142112x x k x x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得12823x k =+，22122228223k k x k k k ++++=+=∵∴，2134,1,||2k x MF =+==∴∴∴.12答案及解析： 答案：12解析：设()11,A x y ，()22,B x y .因为抛物线24x y =的焦点为(0,1)F ，准线为1y =-，所以由32AF =u u u r ，得1312y +=，所以112y =，21142x y ==.由AF FB λ=u u u r u u u r 得()121211x x y y λλ-=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，， 即21121111 1.2x x y y λλλ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+=+⎪⎩，因为2224x y =，所以)121(4)1(21+=-λλx . 解得1=2λ或1λ=-（舍）13答案及解析： 答案：12 解析：14答案及解析： 答案：32解析：由题意可得抛物线22(0)y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，所以以F 为圆心，p 为半径的圆的方程为222()2p x y p -+=， 因为,A B 两点为圆222()2p x y p -+=与y 轴的两个交点，不妨令A 为y 轴正半轴上的点，由0x =得，0,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭； 所以直线AF的斜率为22AF k p =-AF的方程为2y =+，由2y p x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()2p C -；由22y y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩(6p D ，所以2623p p p FD =+=，43CD p ==，13AD p ==， 又AD m =，且[]1,2m ∈，所以[]11,23p ∈，即[]3,6p ∈，因此28329FD CD p ⋅=≤，当且仅当6p =时，取等号.故答案为3215答案及解析： 答案：1.由题意得12p=，即 2.p = 所以，抛物线的准线方程为 1.x =-2.设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2A x t =.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为2112t x y t-=+，代入24y x =，得()222140t y y t---=，故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++及重心G 在x 轴上，故220c t y t-+=，得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，直线AC 方程为()222y t t x t -=-，得()21,0Q t -.由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23A c t t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t -+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-. 令22m t =-，则0m >，122122213434S mS m m mm=-=-≥=+ ++++当m=时，12SS取得最小值12+，此时20G（，）.解析：。

高中数学人教A版选修1-1 第二章圆锥曲线与方程2.3.1 抛物线及其标准方程课时测试（1）1.抛物线x2=-16y的焦点坐标是( )A.(0,-4)B.(0,4)C.(4,0)D.(-4,0)【解析】选A.=4,焦点在y轴上,开口向下,焦点坐标应为,即(0,-4).2.抛物线y2=2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a,则点M的横坐标是( )A.a+B.a-C.a+pD.a-p【解析】选B.设M(x0,y0),由点M到焦点的距离为a,可得点M到准线x=-的距离也为a,即x0+=a,所以x0=a-.3.若椭圆+=1(p>0)的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则p为.【解析】由题意,得-=-,解得p=.答案:4.若抛物线y2=2px(p≠0)的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则实数p= .【解析】因为椭圆+=1,所以a2=6,b2=2,所以c2=a2-b2=4,故c=2,所以右焦点为(2,0),所以=2,p=4.答案:45.抛物线y2=-2px(p>0)上有一点M的横坐标为-9,它到焦点的距离为10,求此抛物线方程和M 点的坐标.【解析】设焦点为F,M点到准线的距离为d,则d=|MF|=10,即9+=10,所以p=2,所以抛物线方程为y2=-4x.将M(-9,y)代入抛物线的方程,得y=±6.所以M点坐标为(-9,6)或(-9,-6).课时测试（2）一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·四川高考)抛物线y2=4x的焦点坐标是 ( )A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)【解题指南】根据抛物线的标准方程求解.【解析】选D.由题意,y2=4x的焦点坐标为(1,0).【补偿训练】在平面直角坐标系内,到点(1,1)和直线x+2y=3的距离相等的点的轨迹是( )A.直线B.抛物线C.圆D.双曲线【解析】选A.因为点(1,1)在直线x+2y=3上,故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x+2y=3垂直的直线.2.(2016·日照高二检测)抛物线y=4x2的焦点坐标是( )A.(0,1)B.(1,0)C. D.【解析】选C.由y=4x2得x2=y,所以抛物线焦点在y轴正半轴上且2p=,所以p=,所以焦点为.【误区警示】本题易忽略抛物线的标准形式,认为2p=4而出错.3.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是( )A.y=-3x2B.y2=9xC.y2=-9x或y=3x2D.y=-3x2或y2=9x【解析】选D.由已知易得圆心为(1,-3),当焦点在x轴上时设抛物线的方程是y2=ax,将(1,-3)代入得a=9,所以方程为y2=9x,当焦点在y轴上时设抛物线的方程是x2=ay,将(1,-3)代入得a=-,所以方程为y=-3x2.4.(2016·成都高二检测)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是( )A. B. C.1 D.【解题指南】先求得抛物线的焦点坐标,然后求得双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距离公式进行求解即可.【解析】选B.抛物线y2=4x的焦点是(1,0),双曲线x2-=1的一条渐近线方程为x-y=0,根据点到直线的距离公式可得d==.【补偿训练】抛物线y2=8x的焦点到直线x-y=0的距离是( )A.2B.2C.D.1【解析】选D.抛物线y2=8x的焦点为(2,0),根据点到直线的距离公式可得d==1.5.(2016·肇庆高二检测)已知M是抛物线y2=2px(p>0)上的点,若M到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4,则点M的横坐标为( )A.1B.1或4C.1或5D.4或5【解析】选B.因为点M到对称轴的距离为4,所以点M的坐标可设为(x,4)或(x,-4),又因为M到准线的距离为5,所以解得或二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·浙江高考)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是. 【解题指南】根据抛物线的定义求解.【解析】x M+1=10⇒x M=9.答案:97.(2016·烟台高二检测)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为.【解析】由抛物线方程y2=2px(p>0),得其准线方程为x=-.又圆的方程为(x-3)2+y2=16,所以圆心为(3,0),半径为4.依题意,得3-=4,解得p=2.答案:28.(2016·西安高二检测)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽米.【解题指南】建立平面直角坐标系,求出抛物线方程,根据方程求解.【解析】以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴建立直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则点(2,-2)在抛物线上,代入可得p=1,抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x2=6,所以水面宽为2米.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.根据下列条件求抛物线的标准方程.(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点.(2)抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5.【解析】(1)双曲线方程化为-=1,左顶点为(-3,0).由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0)且=-3,所以p=6,所以方程为y2=-12x.(2)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为y2=2px(p≠0),A点坐标为(m,-3).由抛物线定义得5=|AF|=|m+|.又(-3)2=2pm,所以p=±1或p=±9,故所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.10.如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管O′P=1m,水从喷头P喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面2m,P距抛物线的对称轴1m,则水池的直径至少应设计为多少米?(精确到1m)【解析】如图所示,建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2py(p>0).依题意有P′(1,-1)在此抛物线上,代入得p=.故得抛物线方程为x2=-y.点B在抛物线上,将B(x,-2)代入抛物线方程得x=,即|AB|=,则|AB|+1=+1,因此所求水池的直径为2(1+)m,约为5m,即水池的直径至少应设计为5m.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·厦门高二检测)抛物线y2=mx的焦点为F,点P(2,2)在此抛物线上,M为线段PF的中点,则点M到该抛物线准线的距离为( )A.1B.C.2D.【解析】选D.因为点P(2,2)在抛物线上,所以(2)2=2m,所以m=4,P到抛物线准线的距离为2-(-1)=3,F到准线距离为2,所以M到抛物线准线的距离为d==.2.(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x 的焦点重合,点A,B是C的准线与E的两个交点,则= ( )A.3B.6C.9D.12【解析】选B.设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),右焦点为(c,0),依题意得解得a=4,由b2=a2-c2=16-4=12,所以椭圆E的方程为+=1,因为抛物线C:y2=8x的准线为x=-2,将x=-2代入到+=1,解得y=±3,所以A(-2,3),B(-2,-3),故=6.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·陕西高考)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p= .【解题指南】利用抛物线和双曲线的简单性质,以及抛物线方程y2=2px中p的意义可以求解. 【解析】双曲线x2-y2=1的左焦点为(-,0),故抛物线y2=2px的准线为x=-,所以=,所以p=2.答案:24.(2016·南昌高二检测)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B 两点,若△ABF为等边三角形,则p= .【解题指南】A,B,F三点坐标都能与p建立起联系,分析可知△ABF的高为p,可构造p的方程解决.【解析】由题意知,△ABF的高为p,将y=-代入双曲线方程得A,B两点的横坐标为x=±,因为△ABF为等边三角形,所以=tan60°,从而解得p2=36,即p=6.答案:6三、解答题(每小题10分,共20分)5.一辆卡车高3m,宽1.6m,欲通过断面为抛物线型的隧道,已知拱口宽恰好是拱高的4倍,若拱口宽为am,求使卡车通过的a的最小整数值.【解析】以隧道顶点为原点,拱高所在直线为y轴建立直角坐标系,如图所示,则B点的坐标为,设隧道所在抛物线方程为x2=my,则=m·,所以m=-a,即抛物线方程为x2=-ay.将(0.8,y)代入抛物线方程,得0.82=-ay,即y=-.欲使卡车通过隧道,应有y->3,即->3,由于a>0,得上述不等式的解为a>12.21,所以a应取13.6.已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,设A,B是抛物线C上的两个动点(AB 不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0),求抛物线的方程. 【解析】设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则其准线为x=-.设A(x1,y1),B(x2,y2),因为|AF|+|BF|=8,所以x1++x2+=8,即x1+x2=8-p.因为Q(6,0)在线段AB的垂直平分线上,所以|QA|=|QB|,即=,又=2px1,=2px2,所以(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0,因为AB与x轴不垂直,所以x1≠x2.故x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0,即p=4.从而抛物线的方程为y2=8x.课时测试（3）(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2014·安徽高考)抛物线y=x2的准线方程是( )A.y=-1B.y=-2C.x=-1D.x=-2【解析】选A.y=x2⇔x2=4y，所以抛物线的准线方程是y=-1.2.(2015·大连高二检测)点M(5，3)到抛物线y=ax2准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )A.y=12x2B.y=12x2或y=-36x2C.y=-36x2D.y=x2或y=-x2【解析】选D.分两类a>0，a<0可得y=x2，y=-x2.3.抛物线y2=ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( )A. B. C.|a| D.-【解析】选B.因为y2=ax，所以p=，即焦点到准线的距离为.故选B.4.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯口的直径为60cm,灯深40 cm,则抛物线的标准方程可能是( )A.y2=xB.y2=xC.x2=-yD.x2=-y【解析】选C.如果设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则抛物线过点(40,30),302=2p×40,2p=,所以抛物线的方程应为y2=x,所给选项中没有y2=x,但方程x2=-y中的“2p”的值为,所以选项C符合题意.5.(2015·重庆高二检测)O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为( )A.2B.2C.2D.4【解题指南】由|PF|=4及抛物线的定义求出点P的坐标，进而求出面积.【解析】选C.抛物线C的准线方程为x=-，焦点F(，0)，由|PF|=4及抛物线的定义知，P点的横坐标x P=3，从而y P=±2，所以=|OF|·|y P|=××2=2.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2015·邢台高二检测)若点P到直线y=-1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________.【解析】由题意可知点P到直线y=-3的距离等于它到点(0，3)的距离，故点P的轨迹是以点(0，3)为焦点，以y=-3为准线的抛物线，且p=6，所以其标准方程为x2=12y.答案：x2=12y7.若抛物线y2=-2px(p>0)上有一点M，其横坐标为-9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________.【解析】由抛物线方程y2=-2px(p>0)，得其焦点坐标为F(-，0)，准线方程为x=，设点M 到准线的距离为d，则d=|MF|=10，即-(-9)=10，所以p=2，故抛物线方程为y2=-4x.将M(-9，y)代入抛物线方程，得y=±6，所以M(-9，6)或M(-9，-6).答案：(-9，-6)或(-9，6)【补偿训练】(2015·皖南八校联考)若抛物线y2=2x上一点M到坐标原点O的距离为，则点M到抛物线焦点的距离为________.【解析】设M(x，y)，则由得x2+2x-3=0.解得x=1或x=-3(舍).所以点M到抛物线焦点的距离d=1-=.答案：8.已知F是抛物线y=x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是________.【解析】由y=x2得x2=4y，所以F(0，1).设线段PF的中点M(x，y)，P(x0，y0)，则即又P(x0，y0)在x2=4y上，故4x2=4(2y-1)，得x2=2y-1.答案：x2=2y-1三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2015·吉林高二检测)已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆C：x2+(y+3)2=1外切，求动圆圆心M的轨迹方程.【解题指南】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到C(0，-3)的距离与到直线y=3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是一条抛物线，其方程易求.【解析】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到C(0，-3)的距离与到直线y=3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，y=3为准线的一条抛物线，其方程为x2=-12y. 10.某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米.一木船宽4米，高2米，载货的木船露在水面上的部分为0.75米，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？【解题指南】先建立平面直角坐标系，确定抛物线的方程，由对称性知，木船的轴线与y轴重合，问题转化为求出x=2时的y值.【解析】以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立直角坐标系(如图).设抛物线的方程是x2=-2py(p>0)，由题意知(4，-5)在抛物线上，故：16=-2p×(-5)⇒p=，则抛物线的方程是x2=-y(-4≤x≤4)，设水面上涨，木船两侧面与抛物线形拱桥接触于B，B′时，木船开始不能通航.设B(2，y′)，所以22=-y′⇒y′=-，即水面与拱顶相距为0.75+=2(米)，故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2米时，木船开始不能通航.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·武汉高二检测)若点P到点F(0，2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2，则点P的轨迹方程为( )A.y2=8xB.y2=-8xC.x2=8yD.x2=-8y【解析】选C.由题意知点P到点F(0，2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2，因此点P到点F(0，2)的距离与到直线y+2=0的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，y=-2为准线的抛物线，其方程为x2=8y.2.已知点A(2，0)，抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|= ( )A.2∶B. 1∶2C.1∶D.1∶3【解题指南】利用射线FA的斜率和抛物线的定义求解.【解析】选C.射线FA的方程为x+2y-2=0(x≥0).由条件知tanα=，所以sinα=，由抛物线的定义知|MF|=|MG|，所以==sinα==.故选C.二、填空题(每小题5分，共10分)3.边长为1的等边三角形AOB,O为原点,AB⊥x轴,以O为顶点,且过A,B的抛物线方程是________.【解析】根据题意可知抛物线以x轴为对称轴,当开口向右时,A(,),设抛物线方程为y2=2px,则有=2p·,所以p=.抛物线方程为y2=x,同理可得,当开口向左时,抛物线方程为y2=-x.答案:y2=±x4.(2015·上饶高二检测)已知P是抛物线y2=4x上一动点,则点P到直线l:2x-y+3=0和y轴的距离之和的最小值是________.【解析】由题意知,抛物线的焦点为F(1,0).设点P到直线l的距离为d,由抛物线的定义可知,点P到y轴的距离为|PF|-1,所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d+|PF|-1.易知d+|PF|的最小值为点F到直线l的距离,故d+|PF|的最小值为=,所以d+|PF|-1的最小值为-1.答案:-1三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015·温州高二检测)已知点A(0，4)和抛物线y2=2px(p>0)的焦点F，若线段FA的中点B 在抛物线上，求B到该抛物线准线的距离.【解析】依题意可知F的坐标为(，0)，所以B的坐标为(，2)代入抛物线方程得p=2，所以抛物线准线方程为x=-，所以点B到抛物线准线的距离为+=.6.抛物线y2=2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y=2x，斜边长为5，求此抛物线方程.【解析】设抛物线y2=2px(p>0)的内接直角三角形为AOB，直角边OA所在直线方程为y=2x，另一直角边所在直线方程为y=-x.解方程组可得点A的坐标为(，p)；解方程组可得点B的坐标为(8p，-4p). 因为|OA|2+|OB|2=|AB|2，且|AB|=5，所以(+p2)+(64p2+16p2)=325.所以p=2，所以所求的抛物线方程为y2=4x.。

[课时作业] [A 组 基础巩固]1．经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝8x B ．x 2＝y C ．y 2＝8x 或x 2＝yD ．无法确定解析：由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝2py (p >0)，将点(2,4)代入可得p ＝4或p ＝12，所以所求抛物线标准方程为y 2＝8x 或x 2＝y ，故选C.答案：C2．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1，故选A. 答案：A3．若动点M (x ，y )到点F (4,0)的距离等于它到直线x ＋4＝0的距离，则M 点的轨迹方程是( ) A ．x ＋4＝0 B ．x －4＝0 C ．y 2＝8xD ．y 2＝16x解析：根据抛物线定义可知，M 点的轨迹是以F 为焦点，以直线x ＝－4为准线的抛物线，p ＝8，∴其轨迹方程为y 2＝16x ，故选D. 答案：D4．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( ) A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：抛物线的焦点⎝⎛⎭⎫0，p 2，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝bax ，即bx －ay ＝0，焦点到渐近线的距离为|a ×p 2|a 2＋b 2＝2，即ap ＝4a 2＋b 2＝4c ，所以c a ＝p 4，双曲线的离心率为c a ＝2，所以c a ＝p4＝2，所以p ＝8，所以抛物线方程为x 2＝16y .故选D.答案：D5．(2015·高考浙江卷)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( ) A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知焦点F (1,0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1.∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1.答案：A6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为________． 解析：依题意得，直线x ＝－p 2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，因此圆心(3,0)到直线x ＝－p2的距离等于半径4，于是有3＋p2＝4，即p ＝2.答案：27．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，定点A (0,2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________． 解析：抛物线的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0， 线段F A 的中点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 4，1， 代入抛物线方程得 1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫24，1，故点B 到该抛物线准线的距离为24＋22＝324.答案：3248．对于抛物线y 2＝4x 上任意一点Q ，点P (a,0)都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是________． 解析：设Q (x 0，±2x 0)(x 0≥0)，则|PQ |＝(x 0－a )2＋4x 0≥|a |对∀x 0≥0恒成立， 即(x 0－a )2＋4x 0≥a 2对∀x ≥0恒成立． 化简得x 20＋(4－2a )x 0≥0.当4－2a ≥0时，对∀x 0≥0，x 20＋(4－2a )x 0≥0恒成立，此时a ≤2； 当4－2a ＜0时，0＜x 0＜2a －4时不合题意． 答案：(－∞，2]9．已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与定直线l ：x ＝1，且动圆P 和圆A 外切并与直线l 相切，求动圆的圆心P 的轨迹方程．解析：如图，作PK 垂直于直线x ＝1，垂足为K ，PQ 垂直于直线x ＝2，垂足为Q ，则|KQ |＝1，所以|PQ |＝r ＋1， 又|AP |＝r ＋1. 所以|AP |＝|PQ |.故点P 到圆心A (－2,0)的距离和到定直线x ＝2的距离相等． 所以点P 的轨迹为抛物线，A (－2,0)为焦点． 直线x ＝2为准线． ∴p2＝2.∴p ＝4. ∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .10.如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O ′P ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，P 距抛物线的对称轴1 m ，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到整数位)解析：如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，依题意有P (－1，－1)，在此抛物线上，代入得p ＝12，故得抛物线方程为x 2＝－y . 又因为B 点在抛物线上， 将B (x ，－2)代入抛物线方程 得x ＝2，即|AB |＝2，则水池半径应为|AB |＋1＝2＋1，因此所求水池的直径为2(1＋2)，约为5 m ， 即水池的直径至少应设计为5 m.[B 组 能力提升]1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( ) A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3| B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2 C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3| D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|解析：|FP 1|＝x 1＋p 2，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p 2，∵2x 2＝x 1＋x 3， ∴2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|. 答案：C2．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5 解析：设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2， ∵M 在抛物线上，∴M 到焦点的距离等于到准线的距离，即2＋p2＝3，p ＝2，抛物线方程为y 2＝4x ，∵M (2，y 0)在抛物线上，∴y 20＝8，∴|OM |＝22＋y 20＝22＋8＝2 3.答案：B3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1的左顶点为A .若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于________． 解析：由抛物线定义知1＋p2＝5，∴p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝16x ，所以m 2＝16， ∴m ＝4，即M (1,4)，又因为A (－a ，0)，双曲线渐近线方程为y ＝±1a x ，由题意知41＋a ＝1a，∴a ＝19.答案：194．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a ＜b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p ＞0)经过C ，F 两点，则ba ＝________.解析：∵正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b ，O 为AD 的中点，∴C ⎝⎛⎭⎫a 2，－a ，F ⎝⎛⎭⎫a2＋b ，b . 又∵点C ，F 在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝pa ，b 2＝2p ⎝⎛⎭⎫a 2＋b ，解得b a ＝2＋1. 答案：2＋15．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点． (1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．解析：(1)证明：设A (－y 21，y 1)，B (－y 22，y 2)． 则y 1＝k (－y 21＋1)，y 2＝k (－y 22＋1)， 消去k 得y 1(1－y 22)＝y 2(1－y 21)．∴(y 2－y 1)＝y 1y 2(y 1－y 2)， 又y 1≠y 2，∴y 1y 2＝－1，∴OA →·OB →＝y 1y 2＋y 21y 22＝y 1y 2(1＋y 1y 2)＝0， ∴OA ⊥OB .(2)S △OAB ＝12×1×|y 2－y 1|，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k (x ＋1)，得ky 2＋y －k ＝0， ∴S △OAB ＝12×1×|y 2－y 1|＝121k 2＋4＝10， ∴k ＝±16.6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)．试问：(1)在抛物线上是否存在点P ，使得点P 到焦点F 的距离与点P 到y 轴的距离相等？ (2)在抛物线上是否存在点P ，使得点P 到x 轴的距离与点P 到准线的距离相等？解析：(1)假设在抛物线上存在点P ，使得点P 到焦点F 的距离与点P 到y 轴的距离相等．那么根据抛物线定义，得点P到准线的距离与点P到y轴的距离相等，这显然是不可能的．所以在抛物线上不存在点P，使得点P到焦点F的距离与点P到y轴的距离相等．(2)假设在抛物线上存在点P，使得点P到x轴的距离与点P到准线的距离相等，则由抛物线定义，得点P到x轴的距离与点P到焦点的距离相等．这样的点是存在的，有两个，即当PF与x轴垂直时，满足条件.。

人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.3.3 抛物线的简单几何性质同步练习题【基础演练】题型一：抛物线的几何性质方程()0p px 2y 2>=，（1）范围：0x ≥，抛物线向右上方和右下方无限延伸；（2）对称性：对称轴为x 轴；（3）顶点：（0，0）；（4）离心率：1e =。

请根据以上知识解决以下1~4题。

1. 过抛物线的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，A 、B 在准线上的射影为1A 、1B ，则∠11FB A 为A. 等于90°B. 大于90°C. 小于90°D. 不能确定2. 若A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）是过抛物线()0p px 2y 2>=的焦点弦，则21x x 和21y y 均为定值，其值分别为A. 221p x x =，221p y y -=B. 2p x x 221=，2p y y 221-=C. 221p 2x x =，221p y y -=D. 4p x x 221=，221p y y -=3. 过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线，分别交准线于P 、Q 两点，又过P 、Q 分别作抛物线对称轴OF 的平行线，交抛物线于M 、N 两点，则M 、N 、F 三点 A. 共圆 B. 共线 C. 在另一抛物线上 D. 分布无规律4. AB 为抛物线2x y =上的动弦，且a |AB |=（a 为常数且1a ≥），求弦AB 的中点M 离x 轴的最近距离。

题型二：焦点弦过焦点F 的直线与抛物线交于点A 、B ，则线段AB 称为焦点弦，若A （1x ，1y ），B（2x ，2y ），抛物线方程为px 2y 2=（>p 0），则焦半径2px |AF |1+=，焦点弦p x x |AB |21++=，请根据以上知识解决以下5~7题。

5. 过抛物线x 4y 2=的焦点作直线交抛物线于A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）两点，如果6x x 21=+，那么|AB |等于A. 10B. 8C. 6D. 126. 抛物线y 4x 2-=的通径为AB ，O 为抛物线的顶点，则A. 通径长为8， △AOB 的面积为4B. 通径长为-4，△AOB 的面积为2C. 通径长为4，△AOB 的面积为4D. 通长长为4，△AOB 的面积为27. 过抛物线()0p px 2y 2>=的焦点作倾斜角为θ的直线l ，设l 交抛物线于A 、B 两点，（1）求|AB |；（2）求|AB |的最小值。

2．3.1 抛物线及其标准方程预习课本P56～59，思考并完成以下问题1．平面内满足什么条件的点的轨迹叫做抛物线？它的焦点、准线分别是什么？2．抛物线的标准方程有几种形式？分别是什么？ [新知初探] 1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y 2＝2px(p >0)⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0x ＝－p2y 2＝－2px(p >0)⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 x ＝p 2x 2＝2py (p >0)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 y ＝－p 2x 2＝－2py(p >0)⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2 y ＝p2[小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点轨迹一定是抛物线( ) (2)抛物线y 2＝20x 的焦点坐标是(0,5)( ) 答案：(1)× (2)×2．抛物线x ＝－2y 2的准线方程是( ) A ．y ＝12B ．y ＝18C ．x ＝14D ．x ＝18答案：D3．若抛物线y 2＝8x 上一点P 到其焦点的距离为10，则点P 的坐标为( ) A ．(8,8) B ．(8，－8) C ．(8，±8) D ．(－8，±8)答案：C4．已知动点P 到定点(2,0)的距离和它到直线l ：x ＝－2的距离相等，则点P 的轨迹方程为________．答案：y 2＝8x抛物线的标准方程[典例] (1)过点M (－6,6)；(2)焦点F 在直线l ：3x －2y －6＝0上． [解] (1)由于点M (－6,6)在第二象限， ∴过M 的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在x 轴上， 设其方程为y 2＝－2px (p >0)，将点M (－6,6)代入，可得36＝－2p ×(－6)， ∴p ＝3.∴抛物线的方程为y 2＝－6x .若抛物线开口向上，焦点在y 轴上， 设其方程为x 2＝2py (p >0)，将点M (－6,6)代入可得，36＝2p ×6， ∴p ＝3，∴抛物线的方程为x 2＝6y .综上所述，抛物线的标准方程为y 2＝－6x 或x 2＝6y . (2)①∵直线l 与x 轴的交点为(2,0)， ∴抛物线的焦点是F (2,0)，∴p2＝2，∴p ＝4，∴抛物线的标准方程是y 2＝8x . ②∵直线l 与y 轴的交点为(0，－3)， 即抛物线的焦点是F (0，－3)， ∴p2＝3，∴p ＝6， ∴抛物线的标准方程是x 2＝－12y .综上所述，所求抛物线的标准方程是y 2＝8x 或x 2＝－12y .求抛物线的标准方程的方法 定义法 根据定义求p ，最后写标准方程 待定系数法 设标准方程，列有关的方程组求系数直接法 建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程[注意] 当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y 2＝ax 或x 2＝ay (a ≠0)的形式，以简化讨论过程．[活学活用]1．若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝______，准线方程为________． 解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以p 2＝1，p ＝2，准线方程为x ＝－p2＝－1.答案：2 x ＝－12．抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5，求抛物线的标准方程．解：设所求焦点在x 轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2ax (a ≠0)，点A (m ，－3)． 由抛物线的定义得|AF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋a 2＝5，又(－3)2＝2am ，∴a ＝±1或a ＝±9.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .抛物线定义的应用[典例] (1)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8(2)若位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12.求点M 的轨迹方程．[解析] (1)由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1，故选A.[答案] A(2)解：由于位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等．由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线(不包含原点)， 其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p 2＝12，所以p ＝1,2p ＝2， 故点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0)． [一题多变]1．[变结论]若本例(2)中点M 所在轨迹上一点N 到点F 的距离为2，求点N 的坐标． 解：设点N 的坐标为(x 0，y 0)，则|NF |＝2.又点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0)，所以由抛物线的定义得x 0＋12＝2，解得x 0＝32.因为y 20＝2x 0，所以y 0＝±3，故点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3.2．[变结论]若本例(2)中增加一点A (3,2)，其他条件不变，求|MA |＋|MF |的最小值，并求出点M 的坐标．解：如图，由于点M 在抛物线上，所以|MF |等于点M 到其准线l的距离|MN |，于是|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MN |≥|AN |＝3＋12＝72.当A ，M ，N 三点共线时，|MA |＋|MN |取最小值，亦即|MA |＋|MF |取最小值72，这时M 的纵坐标为2.可设M (x 0,2)，代入抛物线方程得x 0＝2，即M (2,2)．抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题．(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．抛物线的实际应用[典例] 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？[解] 如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x 轴，竖直直线为y 轴，建立直角坐标系．因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A (10，－2)． 设桥孔上部抛物线方程是x 2＝－2py (p >0)， 则102＝－2p ×(－2)，所以p ＝25， 所以抛物线方程为x 2＝－50y ，即y ＝－150x 2.若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x ＝8时，y ＝－150×82＝－1.28，即船体在x ＝±8之间通过，B (8，－1.28)，此时B 点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)． 而船体高为5米，所以无法通行．又因为5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7， 150×7＝1 050(吨)，所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．求抛物线实际应用的五个步骤[活学活用]如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py ，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，所以x 2＝－2y .当y ＝－3时，x 2＝6，所以水面宽为26米． 答案：2 6层级一 学业水平达标1．抛物线y ＝12x 2上的点到焦点的距离的最小值为( ) A ．3 B ．6 C.148D.124解析：选C 将方程化为标准形式是x 2＝112y ，因为2p ＝112，所以p ＝124.故到焦点的距离最小值为148.2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2D ．4解析：选C ∵抛物线y 2＝2px 的准线x ＝－p2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，∴－p2＝－1，即p ＝2.3．若抛物线y 2＝2px (p >0)上横坐标是2的点M 到抛物线焦点的距离是3，则p ＝( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：选B ∵抛物线的准线方程为x ＝－p 2，点M 到焦点的距离为3，∴2＋p2＝3，∴p＝2.4．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B. 2 C.322D ．2 2解析：选C 焦点F (1,0)，设A ，B 分别在第一、四象限，则由点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得A 的横坐标为2，纵坐标为22，直线AB 的方程为y ＝22(x －1)，与抛物线方程联立可得2x 2－5x ＋2＝0，所以点B 的横坐标为12，纵坐标为－2，所以S △AOB ＝12×1×(22＋2)＝322.5．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：选D 双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，由于c a ＝a 2＋b 2a 2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，所以b a＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以p22＝2，所以p ＝8，所以抛物线方程为x 2＝16y .6．已知抛物线C ：4x ＋ay 2＝0恰好经过圆M ：(x －1)2＋(y －2)2＝1的圆心，则抛物线C 的焦点坐标为_______，准线方程为________．解析：圆M 的圆心为(1,2)，代入4x ＋ay 2＝0得a ＝－1，将抛物线C 的方程化为标准方程得y 2＝4x ，故焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1.答案：(1,0) x ＝－17．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，双曲线x 2－y 2a＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝________.解析：根据抛物线的定义得1＋p2＝5，p ＝8.不妨取M (1,4)，则AM 的斜率为2，由已知得－a ×2＝－1，故a ＝14.答案：148．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号)解析：抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x 上一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．答案：②④9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2，准线l ：y ＝p2，作MN ⊥l ，垂足为N ，则|MN |＝|MF |＝5，而|MN |＝3＋p 2，3＋p2＝5，即p ＝4.所以抛物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2. 由m 2＝－8×(－3)＝24，得m ＝±2 6.法二：设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2.∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2. 10.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．(1)以抛物线的顶点为原点O ，其对称轴所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?解：如图所示．(1)依题意，设该抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)， 因为点C (5，－5)在抛物线上， 所以该抛物线的方程为x 2＝－5y . (2)设车辆高为h ，则|DB |＝h ＋0.5， 故D (3.5，h －6.5)，代入方程x 2＝－5y ，解得h ＝4.05， 所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．层级二 应试能力达标1．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．12解析：选B 由抛物线的方程得p 2＝42＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.2．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( )A ．2 3B ．4C ．6D ．4 3解析：选D 如图，∵△FPM 是等边三角形． ∴由抛物线的定义知PM ⊥l . 在Rt △MQF 中，|QF |＝2， ∠QMF ＝30°，∴|MF |＝4，∴S △PMF ＝34×42＝4 3.故选D. 3．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心的轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆D ．圆解析：选A 法一：设圆C 的半径为r ，则圆心C 到直线y ＝0的距离为r .由两圆外切，得圆心C 到点(0,3)的距离为r ＋1，也就是说，圆心C 到点(0,3)的距离比到直线y ＝0的距离大1，故点C 到点(0,3)的距离和它到直线y ＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C 的轨迹为抛物线．法二：设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r ，点A (0,3)，由题意得|CA |＝r ＋1＝y ＋1，∴x 2＋y －32＝y ＋1，化简得y ＝18x 2＋1，∴圆心的轨迹是抛物线．4．经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，如果A ，B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1，B 1，那么∠A 1FB 1为( )A.π6B.π4C.π2D.2π3解析：选C 由抛物线的定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，故∠BFB 1＝∠BB 1F ，∠AFA 1＝∠AA 1F .又∠OFB 1＝∠BB 1F ，∠OFA 1＝∠AA 1F ，故∠BFB 1＝∠OFB 1，∠AFA 1＝∠OFA 1，所以∠OFA 1＋∠OFB 1＝12×π＝π2，即∠A 1FB 1＝π2.5．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA ―→＋FB ―→＋FC ―→＝0，则|FA ―→|＋|FB ―→|＋|FC ―→|＝________.解析：因为FA ―→＋FB ―→＋FC ―→＝0，所以点F 为△ABC 的重心，则A ，B ，C 三点的横坐标之和为点F 的横坐标的三倍，即x A ＋x B ＋x C ＝3，所以|FA ―→|＋|FB ―→|＋|FC ―→|＝x A ＋1＋x B ＋1＋x C ＋1＝6.答案：66．已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a >0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________．解析：将双曲线方程化为标准方程，得x 2a 2－y 23a2＝1，∴其焦点坐标为(±2a,0)，(2a,0)与抛物线的焦点重合，联立抛物线与双曲线方程⎩⎪⎨⎪⎧ x 2a 2－y 23a2＝1，y 2＝8ax⇒x ＝3a ， 而由⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＋|PF 2|＝12，|PF 1|－|PF 2|＝2a ⇒|PF 2|＝6－a ，∴|PF 2|＝3a ＋2a ＝6－a ，得a ＝1，∴抛物线的方程为y 2＝8x ，其准线方程为x ＝－2.答案：x ＝－27.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，点A 到抛物线准线的距离等于5，过点A 作AB 垂直于y 轴，垂足为点B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)过点M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p 2， 于是4＋p 2＝5，p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x . (2)由题意得A (4,4)，B (0,4)，M (0,2)．又F (1,0)，所以k AF ＝43，则直线FA 的方程为y ＝43(x －1)． 因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34， 则直线MN 的方程为y ＝－34x ＋2. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－34x ＋2，y ＝43x －1得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝85，y ＝45，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.8．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点．(1)若点P 到直线x ＝－1的距离为d ，A (－1,1)，求|PA |＋d 的最小值；(2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．解：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1. 由抛物线的定义，知|PF|＝d，于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为22＋12＝ 5. (2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±12，因为12>2，所以点B在抛物线内部．自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)．由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.。

抛物线及其标准方程同步试题一、选择题1．若是定直线外的一定点，则过与相切圆的圆心轨迹是（）A．圆 B．椭圆 C．双曲线一支 D．抛物线2．抛物线的焦点到准线的距离是（）A．2.5 B．5 C．7.5 D．103．已知原点为顶点，轴为对称轴的抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的方程是（）A．B．C．D．4．．抛物线的焦点坐标是（）．A．B．C．D．5．抛物线（）的焦点坐标为（）A． B．C． D．时为，时为6．抛物线的准线方程是（）A．B．C．D．7．若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（）A． B．C． D．8．抛物线的焦点位于（）A．轴的负半轴上 B．轴的正半轴上C．轴的负半轴上 D．轴的正半轴上9．抛物线的焦点坐标是（）A． B．C． D．10．与椭圆有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是（）A．B．C．D．11．过（0，1）作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（）条A．1 B．2 C．3 D．412．设抛物线（）与直线（）有两个公共点，其横坐标分别是、，而是直线与轴交点的横坐标，则、、关系是（）A．B．C．D．13．已知点，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，取得最小值时点的坐标为（）．A．（0，0）B．C．D．（2，2）14．设，是抛物线上的不同两点，则是弦过焦点的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分不必要条件二、填空题1．过点（－2，3）的抛物线的标准方程为__________．2．点M与的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程为___________．3．已知椭圆以抛物线的顶点为中心，以此抛物线的焦点为右焦点，又椭圆的短轴长为2，则此椭圆方程为___________．4．在抛物线上有一点，它到焦点的距离是20，则点的坐标是_________．5．已知抛物线（）上一点到焦点的距离等于，则 =_______， =________．6．抛物线的焦点弦的端点为，，且，则 =_______．7．若正三角形的一个顶点在原点，另两个顶点在抛物线（）上，则这个三角形的面积为__________．8．抛物线上的一点到轴的距离为12，则与焦点间的距离 =______．9．若以曲线的中心为顶点，左准线为准线的抛物线与已知曲线右准线交于、两点，若点的纵坐标为，则点的纵坐标为__________．10．过抛物线的对称轴上一点作一条直线与抛物线交于、两点，若点的纵坐标为，则点的纵坐标为__________．11．在抛物线内，通过点（2，1）且在此点被平分的弦所在直线的方程是________．12．已知点（－2，3）与抛物线（）的焦点的距离是5，则 =_________．13．焦点在直线的抛物线的标准方程是________________．三、解答题1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，抛物线上的点到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和的值．2．已知点和抛物线上的动点，点分线段为，求点的轨迹方程．3．求顶点在原点，以轴为对称轴，其上各点与直线的最短距离为1的抛物线方程．4．抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，、为抛物线上两点，且，方程为，，求抛物线方程．5．若直线交抛物线于、两点，且中点的横坐标是2，求．6．过抛物线的焦点引一直线，已知直线被抛物线截得的弦被焦点分成2：1，求这条直线的方程．7．某抛物线形拱桥跨度是20米，拱度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱长．8．已知抛物线，过焦点的直线交抛物线交于，两点，直线的倾斜角为，求证：．9．是否存在同时满足下列两个条件的直线：①与抛物线有两个不同的交点，；②线段被直线垂直平分．若不存在，说明理由；若存在，求出的方程．10．如果抛物线和圆相交，它们在轴上方的交点为、，那么当为何值时，线段中点在直线？参考答案：一、1．D 2．B 3．D 4．B 5．C 6．D 7．C 8．C 9．B10．B 11．C 12．C 13．D 14．C二、1．或；2．；3．4．（18，12）或（18，－12）；5．，；6．47．；8．13；9．；10．11．；12．4；13．或三、1．据题意可知，抛物线方程应设为（），则焦点是点在抛物线上，且，故，解得或抛物线方程，2．设，，，即，，而点在抛物线上，，即所求点的轨迹方程为3．依题设可设抛物线方程为（）此抛物线上各点与直线的最短距离为1，此抛物线在直线下方而且距离为1的直线相切．由有所求抛物线方程为：4．设方程为（），方程为方程为由，由，又又，所求方程为由对称性可知开口向左的方程为5．6．由得焦点，设所求弦两端点为，，直线①②又过焦点，且，故③由②③解得或把、代入①式得故所求的直线方程为7．3.84米．8．分、两种情况证明．9．若存在直线，则垂直平分，所以．设的方程为，代入整理得，则中点为，代入的方程得，故．经检验满足，故符合条件的直线存在，其方程为．10．设，，，由及可得．因为，．所以，．又在直线上，所以，解得，又由得或．所以当时，线段的中点在直线上．。

2.3 抛物线1、过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点,如果126x x +=,那么AB =( ) A.6B.8C.9D.102、抛物线2y ax =的准线方程是2y =-，则a 的值为( ) A.4B.8C.18D.143、已知F 为抛物线2y x =的焦点,点,A B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,而且6OA OB ⋅=( O 为坐标原点),若ABO △与AFO △的面积分别为1S 和2S ,则124S S +最小值是( ) 73B.6C.132D.434、抛物线24y x =的焦点为F ,点P 为抛物线上的动点,点M 为其准线l 上的动点,当FPM △为等边三角形时,其面积为( )A.3B.4C.6D.435、若抛物线2y x =上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P 的坐标为()A. 12,44⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭B. 12,84⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭C. 1,44⎛ ⎝⎭D. 1,84⎛ ⎝⎭6、已知抛物线2:8C y x =与点(2,2)M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若90AMB ∠=︒，则k 的值为（ ）A ．12B D ．27、设1122,,)()(P x y Q x y 、分别为曲线y =,21(1,0),43F x x =+，则QFPF=( )A.2B.3C.D.48、已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,直线1)y x =-与C 交于,A B (A 在x 轴上方)两点.若AF mFB =,则m 的值为( ) 3 B.32C. 2D. 39、已知P 为抛物线24y x =上一个动点, Q 点坐标()0,4,那么点P 到点 Q 的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是( ) 17 B. 25C. 5 D. 910、设抛物线2:2(0)C y px p =>，过点(,0)M p 的直线l 与抛物线相交于,A B 两点,O 为坐标原点，设直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，则12k k =( ) A ．-1 B ．2 C ．-2 D ．不确定11、已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线MN 过焦点F ，且与抛物线C 交于,M N 两点.P 为抛物线C 准线l 上一点，且PF MN ⊥，连接PM 交y 轴于点Q ，过点Q 作QD MF ⊥于点D ,若||2||MD FN =，则||MF =__________.12、设抛物线y x 42=的焦点为F ，点B A ,在抛物线上，且满足AF FB λ=，若3||2AF =，则λ的值为 . 13、已知抛物线216y x =,焦点为F ,(8,2)A 为平面上的一定点, P 为抛物线上的一动点,则PA PF+的最小值为__________14、以抛物线22(0)y px p =>焦点F 为圆心，p 为半径作圆交y 轴于,A B 两点，连结FA 交抛物线于点D （D 在线段FA 上），延长FA 交抛物线的准线于点C ，若AD m =，且[]1,2m ∈，则FD CD ⋅的最大值为_____．15、如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>，点F 为焦点，过点F 的直线交抛物线于A B 、两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S.1.求p 的值及抛物线的标准方程；2.求12S S 的最小值及此时点G 的坐标.答案以及解析1答案及解析： 答案：B解析：由题意知，抛物线24y x =的准线方程是1x =-.∵过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，∴122AB x x =++.又∵126x x +=，∴1228AB x x =++=.故选B2答案及解析： 答案：C解析：抛物线2y ax =的标准方程为21x y a =，所以其准线方程为124y a =-=-，故18a =.3答案及解析： 答案：B解析：设直线AB 的方程为x ty m =+，点1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 与x 轴的交点为(,0)M m .联立2x ty m y x=+⎧⎨=⎩可得20y ty m --=.根据根与系数的关系，得12y y m ⋅=-. ∵6OA OB ⋅=,∴12126x x y y +=，即21212()60y y y y ⋅+⋅-=.∵,A B 位于x 轴的两侧，∴123y y ⋅=-.∴3m =. 设点A 在x 轴的上方，则10y >. ∵1(,0),4F ∴1212111143()4224S S y y y +=⨯⋅-+⨯⨯ 111113319()26222y y y y y =++=+≥，当且仅当11922y y =，即132y =时，取等号. ∴124S S +的最小值是6.故选B4答案及解析： 答案：D解析：如图，∵FPM △是等边三角形，∴PF PM FM ==,由抛物线的定义知PM l ⊥.在Rt MQF △中，2,30QF QMF =∠=︒,∴4MF =,∴24PMF S ==△.故选D5答案及解析： 答案：B解析：设P 坐标为()2,a a 依题意可知抛物线的准线方程为14x =-. 24214a a a +=+24a =±,∴点P 的坐标为12,84⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭.故选B.6答案及解析： 答案：D 解析：7答案及解析： 答案：D 解析：8答案及解析： 答案：D 解析：9答案及解析：答案：A 解析：10答案及解析： 答案：C 解析：11答案及解析：2解析：由题意，直线MN 的斜率存在且不为0.设1122(,),(,)M x y N x y ，直线MN 的方程为(1)y k x =-，代入抛物线方程,得222212242(4)0,2k x k x k x x k-++=+=+∴， 由2||||,FN MD =得2||||2(1)||,,||||MD MQ x MD MF MP +==∵21112(1)11x x x x +=++∴，21112x x =-∴，由1222142112x x k x x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得12823x k =+， 222212221822123k k k k x k ++++++=+=∵∴， 213434,31,||32k x MF =+==∴∴∴.12答案及解析： 答案：12解析：设()11,A x y ，()22,B x y .因为抛物线24x y =的焦点为(0,1)F ，准线为1y =-， 所以由32AF =，得1312y +=，所以112y =，21142x y ==.由AF FB λ=得()121211x x y y λλ-=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，， 即21121111 1.2x x y y λλλ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+=+⎪⎩，因为2224x y =，所以)121(4)1(21+=-λλx . 解得1=2λ或1λ=-（舍）13答案及解析： 答案：12 解析：14答案及解析： 答案：32解析：由题意可得抛物线22(0)y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，所以以F 为圆心，p 为半径的圆的方程为222()2p x y p -+=， 因为,A B 两点为圆222()2p x y p -+=与y 轴的两个交点，不妨令A 为y 轴正半轴上的点，由0x =得，30,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭； 所以直线AF 的斜率为3232AF k p -=-AF 的方程为33p y x =-由22y p x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()2p C -；由22y y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩(6p D ，所以2623p p p FD =+=，43CD p ==，13AD p ==， 又AD m =，且[]1,2m ∈，所以[]11,23p ∈，即[]3,6p ∈，因此28329FD CD p ⋅=≤，当且仅当6p =时，取等号.故答案为3215答案及解析： 答案：1.由题意得12p=，即 2.p = 所以，抛物线的准线方程为 1.x =-2.设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2A x t =.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为2112t x y t-=+，代入24y x =，得()222140t y y t---=，故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++及重心G 在x 轴上，故220c t y t-+=，得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，直线AC 方程为()222y t t x t -=-，得()21,0Q t -.由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23A c t t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-. 令22m t =-，则0m >，122122213434S mS m m mm=-=-≥=+ ++++当m=时，12SS取得最小值12+，此时20G（，）.解析：。

人教新课标A版选修1-1数学2.3抛物线同步检测同步测试共 24 题一、选择题1、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0) 上，求正三角形外接圆的方程（）A. B.x2-y2-8px=0C.x2+y2+8px=0D.x2+y2-8px=02、过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影是A1、B1，则∠A1FB1等于( )A.45°B.60°C.90°D.120°3、在平面直角坐标系 xOy 中，过定点C(0,P) 作直线与抛物线 x2=2py(p>0)相交于 A,B 两点．若点 N 是点 C 关于坐标原点O 的对称点，求面积的最小值（）A. B.C. D.4、已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )A. B.1C.2D.45、抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(－5,)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为( )A.y2=-2xB.y2=-4xC.y2=2xD.y2=-4x或y2=-36x6、设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点(k ，－2)与F点的距离为4，则k的值是( )A.4B.4或－4C.－2D.2或－27、已知动圆M与直线y=3相切，且与定圆C： x2+(y+3)2=1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．( )A.y2=12xB.x2=-12yC.x2=12yD.y2=-12x8、抛物线y2=8x 的焦点到直线的距离是（）A. B.2C. D.19、设抛物线C :y2=2px(p>0)的焦点为 F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为　( )A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x10、经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线的方程是( )A.6x-4y-3=0－B.3x-2y-3=0C.2x+3y-2=0D.2x+3y-1=011、设抛物线的焦点为 F ，直线过 F 且与 C 交于 A ， B 两点。